浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期数学期末统测模拟试卷一

高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A．2 B． C． D． 3．在中，，记，，则（ ） A． B． C． D． 4．一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ） A． B． C． D． 5．设，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（ ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 7．在三棱台中，平面平面，是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D．2 8．若不等式对任意正实数x，y，z恒成立，则实数k的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9．气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的众数为26 C．该组数据的中位数为25.5 D．该组数据的第70百分位数为26 10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边上的一个动点，点M是边的中点，且，则（ ） A． B．若的面积为，则 C．若，，平分，则 D．若，，当最大时， 11．如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O，则以下结论正确的是（ ） A．点O到平面的距离等于1 B．点O到直线的距离等于1 C．球O在正八面体外部的体积小于 D．球O在正八面体外部的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数，则________． 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则________． 14．已知函数（，），________；的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程． 15．已知向量，满足，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角的余弦值． 16．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，，E为的中点，将沿翻折至． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 17．随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，，求B； （2）若D是的中点，且，，求c； （3）若，，求的面积． 19．已知函数． （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于x的方程恰有三个不等实根，，，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最大值．（参考公式：） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．D 8．C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9．ABD 10．ABD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程． 15．（1）或； （2）． 【解析】（1）设，因为，所以， 因为，所以，解得或， 所以或． （2）因为，所以， 所以，代入得，， 所以，所以与的夹角的余弦值为． 16．（1）证明见解析 （2）． 【解析】（1）如图，取的中点O，连接，， 因为为等边三角形，所以． 因为，所以． 又因为O，E分别是，的中点，所以，所以． 因为，，平面所以平面． 因为平面，所以． （2）在中，，，， 所以， 在中，，，， 由可得， 在中，，，则， 因为平面，平面，所以平面平面． 又因为平面平面，所以为直线与平面所成角． 在中，，，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 17．（1），上四分位数为93.75； （2）． 【解析】（1）∵频率分布直方图中各组频率之和为1，组距为10， ，化简得，． 计算各组累计频率： 评分在的频率为，累计频率为0.05； 评分在的频率为，累计频率为0.15； 评分在的频率为，累计频率为0.3； 评分在的频率为，累计频率为0.6； 评分在的频率为，累计频率为1． ∵上四分位数即第75百分位数，对应累计频率为0.75，且， ∴上四分位数位于区间内，∴上四分位数为． （2）∵评分在的人数为，评分在的人数为， 两组人数之比为， ∴分层随机抽样抽取4人时，从组抽取1人，记为a， 从组抽取3人，记为，，，其中，，为良好等级． 从4人中随机抽取2人的所有基本事件为，，，，，，共6种， 其中2人评分等级都为良好的基本事件为，，，共3种， ∴所求概率． 18．（1）或； （2）2； （3）． 【解析】（1）在中，由正弦定理，即， 解得，所以或． （2）因为，即，化简得①． 法一：在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 又，，所以， 在中，由余弦定理可得，所以，则②． 联立①②得，即， 解得或（舍）或（舍）． 所以． 法二： 延长至点E，使得，连接， 由题意，则，即，整理得③． 联立①③，，解得或（舍）．所以． （3）在内作，所以，设， 在中，由正弦定理知，即，知， 所以， 所以． 19．（1）在上单调递减， （2）（ⅰ）4 （ⅱ）7 【解析】（1）若，， 因为函数和均在，上单调递减， 所以函数在，上单调递减， 故，，值域为． （2）（ⅰ）证明：， 显然：当时，，， 由于方程有三个不等实根，，，所以必有， 令，则，即． 显然有，由， 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：． （ⅱ）由得：，由（ⅰ）得：， 于是，， 令， ． 当且仅当时等号成立，故的最大值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $