23.4 解直角三角形 教案 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

该教案聚焦解直角三角形及应用，涵盖基本解法、仰角俯角、坡度问题。通过比萨斜塔等实际情境导入，连接锐角三角函数与现实问题，搭建从理论到应用的学习支架。 特色是以实际情境培养数学眼光，如台灯高度问题引导发现空间形式，通过构造直角三角形、列方程发展数学思维提升推理能力，建立模型强化数学语言，如河宽测量培养模型意识，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学流程。

23.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 【教学目标】 1.理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点) 2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数. 在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形. (1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； (2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长. 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形. 解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝，即c＝＝＝24，∴b＝sinB·c＝×24＝12； (2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解. 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长. 解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可. 解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答. 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积. 解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解. 解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12.所以△ABC的面积是12. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答. 探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米.求AB的长(精确到0.1米).参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5. 解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解. 解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82).在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7m. 答：AB的长约为546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度. 【类型二】 求不可到达的两点的高度 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)? 解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案. 　　解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm). 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题. 【板书设计】 1.解直角三角形的基本类型及其解法； 2.解直角三角形的简单应用. 第2课时 仰角、俯角问题 【教学目标】 1.使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2.初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题. 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度.如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号). 解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用＝tan30°，求出x的值即可. 解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，＝tan30°，即＝，解得x＝. 答：塔高为m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形. 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD. 解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度. 解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10m，∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度. 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)? 解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可. 解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝＝＝21m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21－21≈15.3(m).则河的宽度AB约是15.3m. 方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 【类型四】 仰角和俯角的综合 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：≈1.4，≈1.7). 解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论. 解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形.∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)，∴AB＝4＋12≈19(m). 答：建筑物AB的高为19m. 方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 【板书设计】 1.仰角和俯角的概念； 2.利用仰角和俯角求高度； 3.利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离； 4.仰角和俯角的综合. 第3课时 坡度问题 【教学目标】 1.理解并掌握坡度、坡比的定义； 2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(重点、难点) 【教学过程】 一、情境导入 在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量.从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示. 你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？ 二、合作探究 探究点：与坡度或坡角有关的实际问题 一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是________. 解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴铅直高度为＝20(m)，∴坡度i＝20∶40＝∶2. 方法总结：根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h. 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(　　) A.5m B.6m C.7m D.8m 解析：由题知，水平距离l＝4m，i＝0.75，∴铅直高度h＝l·i＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为＝5(m).故选A. 方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离. 如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯.已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？ 解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC与AC的和，而由坡度的定义知＝，所以AC可求. 解：∵＝，∴AC＝1.5BC＝1.5×3＝4.5(米). ∴AC＋BC＝4.5＋3＝7.5(米). ∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米). ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元). 答：铺完整个楼梯共需90元. 【板书设计】 坡度(坡比)的问题： 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $