精品解析：福建省莆田哲理中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟考试卷数学试卷

2025-2026哲理九下模拟数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（　　　） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 一岁一枯荣 B. 黄河入海流 C. 明月松间照 D. 白发三千丈 7. 如图，在中，弦，交于点E，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作________． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 13. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 14. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为，交轴于点．若的面积为5，则__________． 16. 小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 21. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 22. 如图，已知，点E是上任意一点（不与A，B重合），于点F． （1）求作：矩形，使得点G在上，点H在上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若是的高，且，求矩形的周长． 23. 点和点在二次函数的图象上． （1）当时，时， ①求证：； ②已知点和点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； （2）当时，求证：． 24. 【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 25. 如图1，在中，直径垂直弦，连接，弦平分分别交于点E，F，与的延长线交于点H． （1）求证：； （2）如图1，当时，求； （3）如图2，当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026哲理九下模拟数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 4. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答． 本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴A运算错误，不符合题意； ∵ ， ∴B运算正确，符合题意； ∵ ， ∴C运算错误，不符合题意； ∵ ， ∴D运算错误，不符合题意. 故选：B． 6. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 一岁一枯荣 B. 黄河入海流 C. 明月松间照 D. 白发三千丈 【答案】D 【解析】 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解： A．是必然事件，故选项错误，不符合题意； B．是必然事件，故选项错误，不符合题意； C．是随机事件，故选项错误，不符合题意； D．是不可能事件，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7. 如图，在中，弦，交于点E，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 8. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 9. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 10. 二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的图象和性质并画出大致图象． 根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可； 【详解】解：∵， ， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则， 若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解；若零上记作，则零下记作， 故答案为：． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 13. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 【答案】63 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，根据折线统计图和中位数的计算方法进行求解即可得出答案． 【详解】解：把这组数由小到大排列，，，，，，，， 则中位数为： 故答案为：． 14. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为，交轴于点．若的面积为5，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据图形的面积求值．设点C的坐标为，进而得到，，根据的面积为5，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵点C在反比例函数上， ∴设点C的坐标为， ∵轴，， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得： 故答案为：． 16. 小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 【答案】0.875 【解析】 【分析】根据题意利用待定系数法求出与的函数关系式，根据弹簧测力计的最大量程列出一元一次方程，解方程即可求出装置高度的最大值． 【详解】解：设拉力与高度的函数关系式为 由题意可知，当时，，则 ∵高度每增加，拉力增加 ∴ ∴函数关系式为 当时， 解得 ∴装置高度的最大值为 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】先计算负指数、特殊角三角函数值、二次根式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了包括负指数、特殊角三角函数值、二次根式的实数运算，解题关键是明确负指数及二次根式的算法和熟记特殊角三角函数值． 18. 如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 【答案】52片 【解析】 【分析】设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元，得到， 确定价格，后建立不等式解答即可． 本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元， 依题意得 ， 解得， 型芯片单价为3万元，型芯片单价为1万元， 设购进型芯片片，则购进型芯片片， ， 解得， 芯片为整数， 型芯片最多购进52片． 21. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200 （2）图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）图中D社团的人数除以D所占的百分比，即可求解； （2）先求出C社团的人数，即可求解； （3）先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，然后由概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有（人）． 故答案为：200． 【小问2详解】 解：C社团的人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 一共有6种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，已知，点E是上任意一点（不与A，B重合），于点F． （1）求作：矩形，使得点G在上，点H在上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若是的高，且，求矩形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）过点E作的垂线，与交于H，再以点F为圆心，为半径画弧，与交于点G，连接即可； （2）设交于T，设，根据证明，得到，进一步求出，最后计算周长即可． 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求； 【小问2详解】 如图，设交于T，设， 则， ∵，是高， ∴，是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，尺规作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行得到相似三角形． 23. 点和点在二次函数的图象上． （1）当时，时， ①求证：； ②已知点和点，若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数与轴的交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，直接推导出参数与的数量关系． ②先根据二次函数与轴的交点坐标，求出函数表达式；再结合函数图像与线段只有一个交点的条件，代入线段端点坐标建立不等式，求解参数的取值范围． （2）先将点、的坐标代入二次函数表达式，通过解方程组用含的代数式表示和；再将、代入待证不等式，通过代数变形化简，证明不等式成立． 【小问1详解】 ①证明：当，时，点和点， ∴方程的解为，， 由根与系数的关系得， ∴； ②解：将点，代入得 ， 解得， ∴， 又∵必过，． 要使图象与线段只有一个交点，则， 解得； 【小问2详解】 证明：要证，即证， 当时，点和点， 由条件可得：， ∴， ∴， ∴，故． 24. 【提出问题】 全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光． 【分析问题】 工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息： 材料一：根据《建筑设计防火规范—（）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至少的距离作为消防疏散通道； 材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离，小区围栏，活动中心就建在这个矩形区域内，其中建筑面积长宽层数，如图所示； 材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面），那么在其他季节就更能保证采光，每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图所示． 【解决问题】 （1）经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为的小树影长为，则________；（请以该太阳高度角为依据解决以下问题） （2）若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理． 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （3）在文体活动中心建筑单层楼高为且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请给出方案（结果精确到）． （4）在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为，单层楼高为，层数为，直接写出等式表示，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 该方案不合理； （3） 层数 单层楼高 楼长 楼宽 建筑面积 楼间距 （4）．【解析】 【分析】由即可求解； 根据题意可得建筑面积，楼高为，通过乘法法则即可求解，由题意得、、，，再通过三角函数求出，从而求解； 设层数为，则楼间距，楼宽，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 由单层楼高为，层数为，则楼间距，楼宽，所以． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：该方案不合理，理由如下： ∵建筑面积长宽层数， ∴建筑面积，楼高为，楼间距为 填表略， 如图，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该方案不合理； 【小问3详解】 解：设层数为，则楼间距，楼宽， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是正整数， ∴当时， ∴楼间距，楼宽，建筑面积， 方案略； 【小问4详解】 解：∵单层楼高为，层数为， ∴楼间距，楼宽， ∴． 25. 如图1，在中，直径垂直弦，连接，弦平分分别交于点E，F，与的延长线交于点H． （1）求证：； （2）如图1，当时，求； （3）如图2，当时，求． 【答案】（1）证明：∵直径垂直弦， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理和相似 三角形的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理得到，利用 (1) 的结论得到，利用相似三角形的性质得到，，进而即可得解； （3）连接，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质得到，则，利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理得到四边形为菱形， 再利用圆周角定理和等边三角形的判定定理得到，为直径，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：连接，，如图， ∵直径垂直弦， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴垂直平分， ∴，为直径， 直径垂直弦， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $