10.1.4 概率的基本性质 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦概率的基本性质，通过类比指数函数性质的研究路径，引导学生从概率定义出发，探究取值范围、特殊事件概率及事件关系下的概率关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合摸球试验等古典概型实例，引导学生经历从具体到抽象的推导过程，培养数学眼光和逻辑推理能力。通过例题与跟踪训练强化应用，用数学语言表达问题解决，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学逻辑与丰富实例。

10.1.4 概率的基本性质 书241引入 一般而言，给了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质。 例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用。 类似的，在给定了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质。 书241 思考：你认为可以从那些角度研究概率的性质？ 下面我们从定义出发研究概率的性质，例如： 概率的取值范围； 特殊事件的概率； 事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等 新知探究 探究1由概率的定义可知： 概率的性质： 一般地，可得概率有如下性质： 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 即 P(Ω)=1，P()=0. 任何事件的概率都是非负的： 在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不发生。 新知探究书242 探究2 设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率 之间具有怎样的关系? 我们用10.1.2节例6来探究. 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”. 则事件R和G的关系是 ， 互斥 事件R∪G=“ ” 两次摸到球颜色相同 n(Ω)=12 n(R)=2 n(G)=2 n(R∪G)=2+2=4 所以P(R)+P(G)= = P(R∪G) 新知探究 概率的性质： 性质3 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况。如果事件 A1，A2，…，Am两两互斥,那么A1∪A2∪…∪Am 发生的概率等于m个事件分别发生的概率之和。 即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 一般地，若事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，则 n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于 P(A∪B)=P(A)+ P(B). 新知探究 书242探究：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？ 性质4 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1， 则 P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 因为事件A和事件B互为对立事件所以和事件为必然事件，即P 由性质3得1=P(A∪B)=P(A)+P(B). 由此我们得到 例1 (多选)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是(　　) A．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)＝1 C．如果事件A与事件B对立，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B) D．如果事件A与事件B对立，那么P(A)＋P(B)＝1 答案：ACD 解析：对于A，事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A正确；对于B，事件A与事件B互斥，事件A∪B不一定是必然事件，即P(A)＋P(B)不一定为1，B错误；对于C，事件A与事件B对立，则事件A与事件B互斥，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，C正确；对于D，事件A与事件B对立，事件A∪B是必然事件，则P(A)＋P(B)＝1，D正确．故选ACD. 跟踪训练1　若A，B为互斥事件，则(　　) A．P(A)＋P(B)＜1　　B．P(A)＋P(B)＞1 C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1 答案：D 解析：因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.故选D. 学习目标二　互斥事件概率公式的应用 例2 一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)求射中环数小于8环的概率． 解析：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29. 学霸笔记：在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏；然后再利用概率加法公式计算． 探究3 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？ ∵A⊆B，∴n(A)≤n(B)， 即 P(A)≤P(B) . 性质5 若A⊆B，则P(A)≤P(B) . 由性质5可得∵⊆A⊆Ω， ∴P()≤P(A)≤P(Ω)， 即0≤P(A)≤1. 推论 任何事件的概率在0~1之间：0≤P (A)≤1. (概率的取值范围) (概率的单调性) 新知探究 一般地，对于事件A和事件B，如果A,即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不会超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性; 学习目标三　对立事件概率公式的应用 例3 现有6名志愿者(他们都只通晓一门外语)，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，志愿者B1，B2，B3通晓韩语，从中选出通晓英语、韩语的志愿者各1名，组成一个小组，其中A1被选中的概率为，A1和B3全被选中的概率为. (1)求A1不被选中的概率； (2)求A1和B3不全被选中的概率． 解析：(1)设事件M为“A1不被选中”，因为A1被选中的概率为， 即P＝，所以A1不被选中的概率为P(M)＝1－. (2)设事件N为“A1和B3不全被选中”，则其对立事件为“A1和B3全被选中”； 因为A1和B3全被选中的概率为，即P＝， 所以A1和B3不全被选中的概率为P(N)＝1－P＝1－. 学霸笔记：(1)当直接计算符合条件的事件个数比较繁琐时，可先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P＝1，求出符合条件的事件的概率． (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题． 跟踪训练3　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率： (1)A＝“取出的两球都是白球”；(2)C＝“取出的两球中至少有一个白球”． 解析：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球，对应的样本空间W＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点． (1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点． ∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝. (2)设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}． ∴P(C)＝1－P＝1－. 新知探究书243 探究4 和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系? 在10.1.2节例6的摸球试验中，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”， “两个球中有红球”=R1∪R2 . 那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗? 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). ∵n(R1)=n(R2)=6 ∵n(R1∪R2)=10 ∴P(R1∪R2) ∵n(R1∩R2)=2 ∴P(R1∩R2) ∵n(R1∪R2)=n(R1)+n(R2)－n(R1∩R2) ∴P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2) ∴P(R1)P(R2) n(Ω)=12 新知探究 概率的性质： 性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件， 则P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 一般事件的概率加法公式 归纳总结 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). (概率的单调性) (互斥事件的概率加法公式) (一般事件的概率加法公式) 概率的性质： 例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设 事件A=“抽到红心”， 事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)= ， 那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C)；(2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 典例分析书243 解：（1）因为C=A∪B ， 且A与B不会同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，得： ． 所以A与B是互斥事件． 所以C 与D互为对立事件． (2) C∩D= ， 由(1)知 ， ∴ ． C∪D=Ω 例12 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动： 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能够中奖的概率为多少？ 典例分析 中奖 第一罐中奖但第二罐不中奖 第一罐不中奖但第二罐中奖 两罐都中奖 事件A 事件A1A2 事件A1A2 ¯ 事件A1A2 ¯ 事件A1A2，A1A2，A1A2两两互斥，且A=A1A2∪A1A2∪A1A2 ¯ ¯ ¯ ¯ P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2) ¯ ¯ 解：设事件A=“中奖”， 事件A1=“第一罐中奖” ，事件A2=“第二罐中奖” 典例分析 样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30 n(A1A2)=2，n(A1A2)=8，n(A1A2)=8 ¯ ¯ 我们借助树状图或列表来求相应事件的样本点数. 第一罐 第二罐 1 2 3 4 a b 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,a) (1,b) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,a) (2,b) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,a) (3,b) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,a) (4,b) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) × (a,b) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,4) (b,a) × 中奖 不中奖 第一罐 2 4 第二罐 中奖 不中奖 1 4 中奖 不中奖 2 3 可能结果数 2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12 ∴ 典例分析 还有其它解法吗？ 中奖 不中奖 第一罐 2 4 第二罐 中奖 不中奖 1 4 中奖 不中奖 2 3 可能结果数 2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12 另解： 事件A的对立事件A=“不中奖” ¯ 即“两罐都不中奖” 由于A1A2 =“两罐都不中奖” ¯ ¯ 而n(A1A2 ) = 4×3=12 ¯ ¯ 所以P(A) = ¯ ¯ 1-P(A1A2 )= 正难则反 典例分析 还有其它解法吗？ 另解： 设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b， 设事件A=“中奖”. 随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为： Ω={ (1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)， (2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)， (3, 4)，(3, a)，(3, b)， (4, a)，(4, b)， (a, b)} . n(Ω)=15，n(A)=9，所以 上述解法没有考虑顺序，但其结果是一样的. 教材P245 学以致用 1. 已知P(A)=0.5，P(B)=0.3. (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ; (2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____. 0.5 0.3 0.8 0 2.指出下列表述中的错误: (1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5; (2) 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1. 解：(1) 因为明天下雨与明天不下雨是对立事件, 且明天下雨的概率 为0.4, 所以明天不下雨的概率为0.6 . (2) 因为事件A与事件B互斥，但不一定不对立，所以不一定有 P(A)+P(B)=1 . 教材P245 学以致用 3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表: 若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率: P(M) =______， P(F) =______， P(M∪F) =______， P(MF) =______， P(G1) = ______，P(M∪G2) =_______， P(FG3) =______. G1 G2 G3 合计 M 18 20 14 F 17 24 7 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 52 48 导练·随堂检测——举一反三 强化实战性 1．在掷骰子的游戏中，向上的点数是5或6的概率是(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：事件“向上的点数是5”与事件“向上的点数是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的点数是5或6”的概率是.故选B. 返回导航 29 2．抛掷两枚硬币，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“两枚正面都不朝上”，则(　　) A．P(A)＝P(B) B．P(A)＞P(B) C．P(A)＜P(B) D．P(A)＋P(B)＞1 答案：B 解析：记硬币正面向上为正，反面向上为反，抛掷两枚硬币的样本空间Ω＝{(正正)，(正反)，(反正)，(反反)}，共4个样本点，A＝{(正正)，(正反)，(反正)}，共3个样本点，因此P(A)＝，显然事件A与B互为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝，显然选项A，C，D不满足，B满足．故选B. 返回导航 30 3．(2025·吉林长春期末)已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A∪B)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 答案：C 解析：由A和C对立，可得P(A)＋P(C)＝1，解得P(A)＝1－0.8＝0.2，又∵随机事件A和B互斥，P(B)＝0.3，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.3＝0.5.故选C. 返回导航 31 4．(2025·江西景德镇期中)口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为________． 0.3 解析：根据题意，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，所以其概率为1－0.4－0.3＝0.3. 返回导航 32 $