精品解析：河南漯河市临颍县晨中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高二下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 3. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 5. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（ ） A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 7. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（   ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为4 D. 若M为圆上一点，则的最大值为8 10. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，先由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记为第次传球后球在甲手中的概率，为第次传球后球在乙手中的概率，为第次传球后球在丙手中的概率，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 有一幅散点图如图所示，从5个数据点中去掉，则下列说法中正确的是（ ） A. 残差平方和变大 B. 相关系数r变大 C. 决定系数变大 D. 解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. 某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序. （1）如果工序B，C必须相邻，且不能放在最前，有多少种加工顺序？ （2）如果工序D必须在工序E的前面，且不能相邻，有多少种加工顺序？ 17. 如图，在直三棱柱中，，且． （1）证明：平面. （2）在答题卡上，作出平面与AC的交点，并说明你的理由. （3）求平面与平面夹角的正切值. 18. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 19. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二下学期数学期中考试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 2. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为． 3. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】分1，1，3和2，2，1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组， 可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的方法． 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，得，所以含项的系数为． 故选：D． 5. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，利用补集概念求出答案. 【详解】或， 故. 故选：B 6. 在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（ ） A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设正方体的边长为，可得，到平面的距离为定值，到直线的距离为定值，的面积为定值．从而得到即可求解. 【详解】如图，连接，，，，，，设正方体的边长为 ∵，平面，平面， ∴平面，∴到平面的距离为定值， ∵，∴到直线的距离为定值， ∴的面积为定值． ∵，∴四面体的体积是与m，n无关的定值． 故选：B 7. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 8. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（   ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为4 D. 若M为圆上一点，则的最大值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误. 【详解】对于A选项，双曲线，，， 故渐近线方程为，即，双曲线，，， 故渐近线方程，即，故A正确； 对于B选项，由题意可得，， 由双曲线的定义可得， 因为，，故的周长为，故B正确； 对于C选项，点P为C右支上一动点，设， 则，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，圆的圆心的坐标为，半径为， 易知为双曲线的左焦点，故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 10. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，先由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记为第次传球后球在甲手中的概率，为第次传球后球在乙手中的概率，为第次传球后球在丙手中的概率，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，可得D；利用全概率公式可得，结合可得C；利用C中所得计算可得A、B. 【详解】对D：每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 故第次传球后球在乙或丙手中的概率相同， 即有，故，故D正确； 对C：由题意可得， 则由全概率公式可得，故C正确； 对A：由题意可得，则，，故A正确； 对B：，故B错误. 11. 有一幅散点图如图所示，从5个数据点中去掉，则下列说法中正确的是（ ） A. 残差平方和变大 B. 相关系数r变大 C. 决定系数变大 D. 解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据散点图得到偏离直线，结合相关系数，决定系数和残差平方和的定义得到答案. 【详解】由散点图分析可知，偏离直线， 去掉后，解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强， 相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】5 【解析】 【详解】的展开式通项为， 令解得， 所以展开式中的系数是. 13. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为，结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集． 【详解】构造函数，， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【小问1详解】 当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． 【小问2详解】 由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 16. 某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序. （1）如果工序B，C必须相邻，且不能放在最前，有多少种加工顺序？ （2）如果工序D必须在工序E的前面，且不能相邻，有多少种加工顺序？ 【答案】（1）36 （2）36 【解析】 【分析】（1）利用插空法和捆绑法，先将做全排，从后3个空任选1个，把绑定插入； （2）利用插空法，先将做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把插入. 【小问1详解】 若工序B，C必须相邻，且不能放在最前， 先将做全排，从后3个空任选1个，把绑定插入， 所以，有种加工顺序； 【小问2详解】 若工序D必须在工序E的前面，且不能相邻， 先将做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把插入， 所以，有种加工顺序. 17. 如图，在直三棱柱中，，且． （1）证明：平面. （2）在答题卡上，作出平面与AC的交点，并说明你的理由. （3）求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）延长交延长线于点，连接交于点，证得平面，即可求解； （3）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，即得，所以， 又因为，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：如图所示，延长交延长线于点，连接交于点， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面，所以为平面与的交点. 【小问3详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得. 设平面的法向量为，则， 令，可得 ，所以， 又由轴垂直平面，可得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 可得，则， 故平面与平面夹角的正切值为. 18. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列． （2）由题意可得的所有取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得的分布列，期望，方差． 【小问1详解】 若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为， 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此， 所以，， ，， 因此X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问2详解】由题意，的所有取值为， 则，，， 因此，Y的分布列为： Y 0 1 2 P 所以， . 19. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； 【小问2详解】 解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $