精品解析：江西省赣州市信丰县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江西省赣州市信丰县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，是直径，，若，则圆周角的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 8. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 9. 深圳沙井某服装厂2018年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2020年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 ___． 10. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 11. 盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则n的值为______． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如果一个扇形半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 14. 已知方程的两根是，则______． 15. 如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC，∠B＝60°，求CD的长． 16. 如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线．​ 17. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 18. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 20. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 21. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 22. 如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①证明四边形是菱形； ②当时，求与围成阴影部分的面积． 23 已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中取最大值条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省赣州市信丰县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的判断能力，解题的关键是掌握中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，结合题目中的图形逐个判断即可解答． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：袋中装有3个红球和5个绿球共8个球， 从袋中随机摸出1个球是红球的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率的计算公式，正确掌握计算公式是解题的关键． 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 4. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 分析】把抛物线配方变成顶点式y=(x+2)2+ +1，求出顶点坐标，判断即可． 【详解】抛物线（是常数）配方得y=(x+2)2+ +1，顶点坐标为（-2，+1） 常数，≥0，+1≥1， 则抛物线顶点在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线顶点所在象限，关键是会求抛物线顶点坐标． 5. 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 6. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答． 【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块， ∴小球停在黑色方砖的概率为， 故答案为： 8. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴a=-2，b= 3， ∴a+b=-2+3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，代数式的值，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 9. 深圳沙井某服装厂2018年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2020年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 ___． 【答案】8(1-x)2=5.12 【解析】 【分析】利用该服装厂2020年的销售额=该服装厂2018年的销售额×（1-平均每年下降的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：8(1-x)2=5.12． 故答案为：8(1-x)2=5.12． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，以及线段的加减运算．解题的关键在于利用切线长定理将三角形的周长转化为已知线段的和．利用切线长定理，将的周长转化为已知线段的和来求解． 【详解】解：分别和相切于点A、B，且， ， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ， ， 的周长为24， 故答案为：24． 11. 盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则n的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接以概率求法得出关于n的等式进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为2． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵一个扇形的半径是，圆心角的度数为 ∴． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，一般求扇形的面积常用的有两个公式：若已知条件知道半径和圆心角则选择公式；若已知条件知道半径和弧长则选择公式，能根据已知条件选择合适的公式进行求解是解题的关键． 14. 已知方程的两根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 15. 如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC，∠B＝60°，求CD的长． 【答案】1 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算． 【详解】解：，∠BAC=90°， ，， ∴BC=2AB， ， ∴， 、， 由旋转的性质知，， 是等边三角形， ， 则． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质． 16. 如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线．​ 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半，切线的判定，即可． （1）根据同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可； （2）根据三角形的内角和，求出，再根据切线的判定，即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴． 小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵是半径， ∴， 即是的切线． 17. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题； （2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题． 【小问1详解】 解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件； 故答案为：C； 【小问2详解】 从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示： 它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，则， 则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 【答案】（1）主桥拱所在圆的半径 （2）此时水面的宽度 【解析】 【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径； （2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 如图，以O为圆心，连接， 由题意可得，D为弧的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴主桥拱所在圆的半径； 【小问2详解】 由题意得，水面下降为，连接， ∵水面下降1米， ∴， 则， ∴，即水面的宽度为． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点的坐标； （2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点的坐标； （3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求， ∴由图象可得； （2）如图所示：即为所求， ∴由图象可得； （3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧， ∵， ∴点A旋转到点所经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键． 20. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 21. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 【答案】(1)y＝﹣x+80；(2)增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克；(3)当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【解析】 【分析】(1)根据该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示即可求解； (2)根据(1)中求得的函数关系式，代入7000千克，即可求解； (3)确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义. 【详解】解：(1)根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系， 设函数关系式为y＝kx+b，将(12，74)、(28，66)代入关系式可得 解得k＝﹣，b＝80， 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+80. (2)根据题意可列方程(-x+80)(x+80)=7000， 化简得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60， 因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2＝60不符题意舍去， 答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)根据题意可列函数关系式w＝(﹣x+80)(x+80)＝﹣(x﹣40)2+7200. 令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160， 所以当x＝40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y＝﹣x+80＝60 答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围. 22. 如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①证明四边形是菱形； ②当时，求与围成阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①四边形是菱形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等解题即可； （2）①根据圆周角定理得到，然后利用两组对边平行推导四边形是平行四边形，然后利用，得到结论； ②阴影部分的面积为，再利用扇形的面积公式和三角形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； ②由①知，四边形是菱形， ∴， ∴， 由①知，， 在中，， ∴， ∴与围成阴影部分的面积为 ． 23. 已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 小问1详解】 解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $