精品解析：江苏泰州市靖江市实验学校2025-2026学年下学期八年级5月学情自测数学试题

靖江市实验学校2025-2026学年度第二学期调研测试 八年级数学（5月） （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批超高音速导弹的使用寿命 B. 考察全国人民保护国家安全的意识 C. 了解军事训练中几个打击目标的坐标 D. 了解全国小学生的身体健康状况 【答案】C 【解析】 【分析】普查适用于调查对象数量少、要求结果准确且调查无破坏性的情况，抽样调查适用于调查范围广、对象数量大或调查具有破坏性的情况，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．了解一批超高音速导弹的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查； B．考察全国人民保护国家安全的意识，调查范围广对象数量多，不适宜普查； C．了解军事训练中几个打击目标的坐标，调查对象数量少，要求结果准确，适宜普查； D．了解全国小学生的身体健康状况，调查范围广对象数量多，不适宜普查． 2. 如图，转盘中个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是掌握：如果一个事件出现有种可能，而且这些事件出现的可能性相同，其中事件出现有种可能，那么事件的概为率．据此列式解答即可． 【详解】解：∵转盘中个扇形的面积相等， ∴任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数共有种等可能结果，其中指向的数是偶数有，，共种结果， ∴任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为． 故选：B． 3. 已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 4. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义、分式的化简，根据最简分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，不是最简分式，故不符合题意； B、当时，，不是最简分式，故不符合题意； C、当时，，不是最简分式，故不符合题意； D、当时，，是最简分式，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 6. 如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当点与重合时，取最小值，如图， 此时，， 故选：． 二、填空题（共30分） 7. 当x满足______时，分式有意义． 【答案】 且 【解析】 【分析】分式有意义需要满足分母不为零，同时二次根式的被开方数为非负数，据此列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围是且． 8. 李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此求解即可． 【详解】解；李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 9. 从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是_______（填序号） 【答案】②①③ 【解析】 【分析】先找出恰好是偶数的有4张卡片，小于6的有5张卡片，不小于9的有1张卡片，再根据概率公式分别进行求解，然后比较即可． 【详解】从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是偶数的概率是； 小于6的数的概率是； 不小于9的数概率是 ， 则这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③； 故答案为②①③． 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：根据题意先化简， 由条件可知， 解得． 故答案为：． 11. 为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为，则第5个小组的频数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路是利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数总数频率”先求出第4小组的频数，再计算第5个小组的频数． 【详解】解：抽取的总人数为，即总频数为，第4个小组的频率为， 第4小组的频数为， 前3个小组的频数分别为，，， 前4个小组的频数和为， 第5个小组的频数为． 12. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据数轴确定，的范围． 13. 若关于x的分式方程的解为正数，则t的取值范围为________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出t的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵该分式方程有正数解， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 15. 如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接，先由菱形性质可得对角线与交于点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点， 、、三点在同一直线上， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，点关于的对称点，过点作的平行线，过点作的平行线，由矩形,，，得到，，，根据对称的性质得到，由，得到，由是平行四边形，得到，，进而得到，由，点到当点在点时，取得最小值，长即为所求，由，求出，由为梯形的中位线，求出，根据，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到． 【详解】解：过点作，垂足为，作点关于的对称点，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，连接与交于点， ∵矩形,，， ∴，，， ∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴当点在点时，取得最小值，长即为所求， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵为中点，， ∴为梯形的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共102分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式分解因式，再进一步提取公因式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，计算绝对值，再合并即可； （2）去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的根． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 如图，四边形为平行四边形，连接、交于点． （1）请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，AO为半径画弧，交OB于H，作OH的垂直平分线IJ交BD于E，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线AE于G，连结BG； （2）根据平行四边形性质得出OB=OD，AO=CO，根据，得出OE=BE，根据AG为OB的垂直平分线，得出AB=AO即可． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，AO为半径画弧，交OB于H，分别以O、H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点I、J，过I、J作直线IJ交BD于E，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线AE于G，连结BG； 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB=OD，AO=CO， ∵， ∴OE+OD=3BE， ∴OE+BE+OE=3BE， ∴OE=BE， ∵AG为OB的垂直平分线， ∴AB=AO， ∵AB=BG， ∴BG=AO=OC． 【点睛】本题考查尺规作图，过点A作线段BD的垂线，作线段BG=AB，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点，掌握查尺规作图，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点是解题关键． 21. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 【答案】（1）15，0.3；（2）图形见解析；（3）72；（4）300. 【解析】 【详解】试题分析：（1）a=60-6-12-18-9=15，b=1-0.1-0.2-0.25-0.15=0.3；（2）根据（1）中a值可以补充完整；（3）利用360°×挂果数量在“35≤x＜45”的频率可以得到对应扇形的圆心角度数；（4）用1000×挂果数量在“55≤x＜65”的频率可以得出株数. 试题解析：（1）a=15，b=0.3；（2） （3）72；（4）300. 考点：1统计图；2频数与频率；3样本估计总体. 22. 如图，在正方形中，、相交于点，的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】证明：如图，取的中点，连接， ∵四边形是正方形，、相交于点， ∴． ∴． ∵四边形是正方形， ∴，，则． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据中位线的性质得出，进而证明，即可得证． 【详解】略 23. 某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）完成第一项任务实际需要7天 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题的关键，注意检验． （1）设设原计划每天生产辆，根据“前面做了1天，又提前3天完成任务”列出方程求解并检验即可； （2）根据不同的方案列式或列方程求出与，并比较大小即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天生产辆，则实际需要的天数是， 列方程得：， 即， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，符合题意， 完成第一项任务实际需要天数为：， 答：完成第一项任务实际需要7天； 【小问2详解】 甲方案的天数为：， 乙方案，由题意得：， ， ∴ ， ，， ，， ， ． 24. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“12相关代数式”，则______； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值； （3）若两个含有二次根式的代数式，与互为“32相关代数式”，求x的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法进行计算； （2）利用二次根式的乘法法则以及有理数的定义进行求解即可． （3）由新定义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴， 整理得，， ∵t是有理数， ∴，， 解得，． 【小问3详解】 解：∵两个含有二次根式的代数式，与互为“32相关代数式”， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，不符合题意； ∴． 25. 在中，点E为中点，连接，． （1）如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 （2）如图2，当时，求证：是矩形； （3）如图3，当且时，求的长及的度数． 【答案】（1）①③ （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是菱形，，即可得到结论； （2）延长交于点F，证明，则．得到，则，再证明，即可得到结论； （3）延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接．证明，得到，则，求出，得到，得到°． 【小问1详解】 解：取的中点，连接， 当时， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∴, ∴，即平分， 故①③正确； 无法证明；故②错误， 故答案为：①③ 【小问2详解】 延长交于点F， 在中，， ∴． ∵点E为中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴即， ∴是矩形． 【小问3详解】 延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接． 由（2）可得． ∵， ∴，， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴°． 综上，． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键． 26. 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 27. 已知关于x的分式方程解为非负数，则k的取值范围是 ． 【答案】且． 【解析】 【分析】解分式方程得到解的表达式，结合解为非负数和分式方程解需满足的条件即可得出k的取值范围． 【详解】解：两边同时乘以得， 解得， 由分式方程的解为非负数得， 解得， 由原分式方程的最简公分母不能为零得，即 解得， 故k的取值范围是且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市实验学校2025-2026学年度第二学期调研测试 八年级数学（5月） （考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解一批超高音速导弹的使用寿命 B. 考察全国人民保护国家安全的意识 C. 了解军事训练中几个打击目标的坐标 D. 了解全国小学生的身体健康状况 2. 如图，转盘中个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向的数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（ ） A. B. 平分 C. D. 4. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共30分） 7. 当x满足______时，分式有意义． 8. 李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 9. 从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是_______（填序号） 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________． 11. 为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为，则第5个小组的频数为______． 12. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果________ 13. 若关于x的分式方程的解为正数，则t的取值范围为________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 15. 如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为______． 三、解答题（本大题共102分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算或解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形为平行四边形，连接、交于点． （1）请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 21. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 22. 如图，在正方形中，、相交于点，的平分线交于点，交于点，求证：． 23. 某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 24. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“12相关代数式”，则______； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值； （3）若两个含有二次根式的代数式，与互为“32相关代数式”，求x的值． 25. 在中，点E为中点，连接，． （1）如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 （2）如图2，当时，求证：是矩形； （3）如图3，当且时，求的长及的度数． 26. 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 27. 已知关于x的分式方程解为非负数，则k的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $