精品解析：江苏省泰州市靖江实验学校2024-2025学年下学期八年级5月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省泰州市靖江实验学校八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机抽样，解题的关键是熟练掌握随机抽样的定义：为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．据此分析即可． 【详解】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意． B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意； C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意． D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意； 故选：B． 3. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0， 分式可能是． 故选：B． 4. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质．根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分，根据矩形的判定：对角线相等且互相平分且相等的四边形是矩形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，说法正确，本选项符合题意； B、矩形的对角线不一定平分一组对角，原说法错误，本选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质图像，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系即可判断． 【详解】解：一次函数， 直线经过点，A、D错误； B、由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，反比例函数的图象在二、四象限可知，不正确， C、由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，正确， 故选∶C． 6. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将交点横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：且， 故答案为：且． 8. 下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．熟知同类二次根式的概念是解题关键． 根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】， ∵最简二次根式与同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 10. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 11. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____． 【答案】四边形ABCD是平行四边形 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立． 12. 若关于x的分式方程的解，则满足条件的正整数m的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为，且分式有意义，得到关于m的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， ∵，， ∴，， 解得且， ∴正整数m的值为1， 故答案为：1． 13. 已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 14. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∵与的面积相等， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象与矩形的边分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若的面积为2，矩形的面积为17，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键是由已知条件列出方程．由题意设，求得，再通过已知面积列出方程，进而求得的值． 【详解】解：, 在反比例函数图像上， 设， 点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称 ， 四边形是矩形， 轴, 轴, 则 , 的面积为 2，矩形的面积为 17， 即, 两式相减得，, ． 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形．动点为上一点，，垂足为，点是点关于点的对称点，当值最小时，点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题是一次函数的综合题．由点是点关于点的对称点，先求出点的坐标，然后连接，，可得四边形是平行四边形，进而可得：，进而可将转化为，然后根据两点之间线段最短可知：当点，，在同一直线上时，的值最小，然后求出直线的关系式，进而可求出直线与轴的交点的坐标，从而即可求出点的坐标． 【详解】解：直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点， ，，， 连接，，，则四边形是平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 有最小值，即有最小值， 只需最小即可， 两点之间线段最短， 当点，，在同一直线上时，的值最小， 过点作轴，垂足为， 点是点关于点的对称点， 是的中位线， ，， ， 设直线的关系式为：， 将和分别代入上式得： ， 解得：， 直线的关系式为：， 令得：， ， ∵轴， ， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）观察可得方程最简公分母为，先去分母，转化为整式方程求解．结果要检验； （2）观察可得方程最简公分母为，先去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 解得， 经检验是方程的根； 【小问2详解】 解： ∴， 解得， 经检验是方程的增根． 方程无解． 四、解答题：本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据零指数幂、绝对值性质、二次根式的性质计算，然后进行加减运算即可； （2）首先根据平方差公式和完全平方式进行计算，然后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和相关公式是解题关键． 19. 已知分式． （1）化简这个分式； （2）当时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和． 【答案】（1） （2）变小了，理由见解析 （3）符合条件的所有a值的和为11 【解析】 【分析】（1）分解因式，再通分化简； （2）用作差法比较二者大小关系； （3）先分离常数，再尝试让分子能被分母整除． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：变小了，理由如下： ∵ ∴，， ∴，即 ∴分式B的值较原来分式A的值是变小了； 【小问3详解】 解： 根据题意，， 则、0、、3、4、6， 又， ∴， 即：符合条件的所有a值的和为11． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 20. 端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图： 说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．请根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）对于这次调查，下列推断合理的序号是______； ①调查的样本容量是200； ②个体是每个居民； ③扇形统计图中鲜花粽的圆心角的度数为125°； ④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比． （3）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？ 【答案】（1）补全条形统计图见解析 （2）①④ （3）估计喜爱火腿粽的有546人 【解析】 【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢其它三种粽子的人数即可，从而补全统计图； （2）根据抽样调查的定义以及扇形中总体与部分的关系解答即可； （3）根据样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 抽样调查的总人数：70÷35%＝200（人）， 喜欢火腿粽的人数为：200﹣70﹣40﹣30＝60（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 ①调查的样本容量是：70÷35%＝200，故①符合题意； ②个体是每个居民对四种粽子的喜爱情况，故②不合题意； ③扇形统计图中鲜花粽的圆心角的度数为：360°×＝126°，故③不合题意； ④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比，说法正确，故⑤符合题意； 故答案为：①④； 【小问3详解】 1820×＝546（人）， 答：估计喜爱火腿粽的有546人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 在中， （1）若，如图，点、分别是边、的中点，，，求的长； （2）若，如图，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图中画一个以为边的菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中位线定理、勾股定理，直角三角形性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，过点作于点，求出，利用三角形中位线定理解决问题； （2）连接、交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，连接、、、即可． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接、交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，连接、、、，四边形即为所求． 22. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量 （2）最多购进型玩具个 【解析】 【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可； （2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个， ∴分别表示型玩具和型玩具的数量， ∴表示型玩具的单价； 对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍， ∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价， ∴表示购买型玩具的数量； 故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量 【小问2详解】 设购进型玩具个，则购买型玩具个， 由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴； 答：最多购进型玩具个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 23. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）点到线段的距离为． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形； （2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离． 【小问1详解】 证：菱形中，，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又点、是对角线所在直线上两点， ， 平行四边形是菱形， 菱形中，平分，， ， 菱形是正方形． 【小问2详解】 解：正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的对角线长为， 、互相垂直且平分， ，， ， ， 中，， 设点到线段的距离为， 则根据菱形面积计算公式可得：， 即， 解得， 点到线段的距离为． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 24. 阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 【答案】任务1：；任务2：极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面；任务3：科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意得出函数解析式． 任务1：根据题干提供的信息，根据压强公式求出机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2：根据反比例函数的性质进行解答即可； 任务3：根据科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，可以通过增大受力面积的方法，来减小压强，从而可以安全通过该危险区域． 【详解】解：任务1：∵机器人质量为， ∴机器人对冰面的压力为：， ∴极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式为： ； 任务2：∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3：因为科考人员在行走过程中，对冰面的压力一定，根据压强公式可知，当受力面积越大时，科考人员对冰面的压强越小，因此当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，科考队员最好爬在冰面上，慢慢爬过冰面，可以安全离开危险区． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． （1）如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； （2）已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 【答案】（1）b与a之间的函数关系式为 （2）；N点的坐标为，，， （3）有最小值， 【解析】 【分析】（1）如图1，连，利用旋转的性质和矩形的性质得到，再利用勾股定理即可得解； （2）利用非负数的性质可得，，当点刚好落在边上，由直角三角形的边角关系可得旋转角，分别以为边和对角线得菱形讨论即可得解； （3）如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点，先证出，然后确定，再利用三角形的三边关系即可得到的最小值，进而即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，连， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴b与a之间的函数关系式为， 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∵点刚好落在边上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：； 如图2，存在，以O，，M，N为顶点的四边形是菱形的有四个，分别为菱形，菱形，菱形，菱形 ∵，，, ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴由菱形的对称性质知，和关于轴对称， ∴， ∴N点的坐标为，，，； 【小问3详解】 解：如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点， ∵点G为的中点， ∴，， 由旋转知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系知，， ∴三点共线时，有最小值， 如图所示， 此时， ∴F对应的纵坐标为，横坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，求函数关系式，矩形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）①，；②见解析；③3，4 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【小问1详解】 点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ； 故答案为： 【小问2详解】 ①当，当时， 故答案为：，； ②如图所示， ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: ； 【小问3详解】 ①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省泰州市靖江实验学校八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 3. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 无意义 * * 0 * … A. B. C. D. 4. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 要使代数式有意义，则取值范围是 _____________． 8. 下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 10. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 11. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____． 12. 若关于x的分式方程的解，则满足条件的正整数m的值为_______． 13. 已知点都在反比例函数（a为常数）图象上，且，则的大小关系为__________．（用“”连接） 14. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象与矩形的边分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若的面积为2，矩形的面积为17，则的值是____________． 16. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形．动点为上一点，，垂足为，点是点关于点的对称点，当值最小时，点的坐标为______ 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1） （2） 19. 已知分式． （1）化简这个分式； （2）当时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和． 20. 端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图： 说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．请根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）对于这次调查，下列推断合理的序号是______； ①调查的样本容量是200； ②个体是每个居民； ③扇形统计图中鲜花粽圆心角的度数为125°； ④扇形统计图主要表示总体中各部分所占的百分比． （3）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽有多少人？ 21. 在中， （1）若，如图，点、分别是边、的中点，，，求的长； （2）若，如图，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图中画一个以为边的菱形． 22. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 23. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 24. 阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全？ 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为． 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等． 素材2 重力（G）＝质量（m）×重力系数（g）； 压强（P）； 重力系数． 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为． 解决问题 任务1 直接写出极地机器人对冰面的压强关于受力面积的函数表达式； 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为、、．利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． （1）如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； （2）已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$