精品解析：湖南长沙市岳麓实验中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

2026届高三全真模拟适应性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 87 2. 如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 4. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知函数，若且，则（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 10. 如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（ ） A. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B. 存在这样的点使EP⊥平面 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 11. 已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A. 的对称中心为 B. 上的点到原点距离的取值范围是 C. 当点在上时， D. 的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 13. 已知，，则的值域为___________. 14. 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点． （1）证明：CF⊥平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 17. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 18. 抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试题卷上无效. 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监 考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72,75,78,80,82,85,88,90,92,94， 96,98.则这组数据的中位数为() A.85 B.86.5 C.88 D.87 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念即可求解。 【详解】数据共12个（偶数个），中位数取第6、第7个数的平均数. 第1页/共29页 命学科网命组卷网 第6个数：85，第7个数：88， 85+88=86.5 所以中位数为2 2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与 CD 交于点F若4B=ā，D=6,则F等于() D C B 1→ a+b 1→ A.4 B30+6 na+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与DC之比，根据平面向量的基底与三角形法则即 可表示AF 【详解】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于 点F, DF DE 1 DF DF 1 则△DEF~△BEA,所以ABBE3,则ABDC3, F-Dc-写4.则f=D+DF-写+D-a+5 所以 3 ,则 3 故选：B. 3,已知集合M=0,L23,45,B=x,)川x∈4ye4x-ye,则集合B中所含元素个数为( 第2页/共29页 6学科网 命组卷网 A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】B 【解析】 【分析】根据术一y的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数. 【详解]当-y=0时，有@，0.22.6,3,44,5,5.6个元素， 时，有 当-y=l时.有0,0.2,0.3,2.(4,3,5,49 时，有 ,5个元素； 当-y=2时.有2,0，.(6,1.4,2.5,3) 时，有 4个元素： 当y=3 3,0.(4,1).5,2),3个元素： 时，有 当术y=4 时，有4,0,5，D,2个元素 当y=5 (5,0) ，有 ,1个元素， 综上，一共有21个元素. 故选：B 4E西改f闪台于通点，了问.B=号Bh-02-则F到m位吉为 3 13 3 A.2或2 B.Z C.2或2 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，先后代入x=3和x=L,确定函数f()的解析式，再通过导函数的符号确定函 数的极小值点即可 【1对因=h-0-行.可将=一8204 第3页/共29页 命学科网命组卷网 将x=3代入整理，4f"(3)+21f0+14=0。 ① 前=1入=r8hx-0r-4用⑩=-J0-4,用0-2. 将其代入0，解得：f'(3)=7,故得f)=-3血x+2r-4x 13 于是四3+4由四0角22今0 x= 3 3 故当0<x2时，f)<0,当>2时，f>0, 0<x< 3 即2是函数(x)的极小值点，函数没有极大值， 故选：D. y2,x2 5.若直线c+-1=0与圆O:x2+y2=1相离，则过点P(a,)的直线与椭圆6+方=l的交点个数是( A.0或1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 【解析】 y2 x2 【分析】由直线与圆相离得a+2<1,则点P(a,b)在椭圆6+了l的内部，由此即可得解 1 〔详解】由恩意直线x+y-1=0与圆O:x+y=1相离，所以圆心到直线的距离√伊+2>1=八 d=- 即0<a2+b2<1 名号l,Haa看号-l的 y2.x2 第4页/共29页 6学科网列组卷网 y2.x2 所以过点P(a,)的直线与椭圈6+了=l的交点个数是2 故选：D, 6.已知函数f(,=l(e2r+e）x,若>且(x)>f(g),则() A.+6<4 B.+为3>4 C+6<8 D.+七3>8 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数变形为f()=h(c+e）,由f(4-)=f()得函数f()的图象关于直线x=2 对称，再判断（☒）单调性，由(：)>(：)，得片-2>-2，两边平方后化简即可 【详解】函数f()=h(e+c)-x的定义域为R, ()()()-he) 因为f(4-)=h(e:+c)-f(),所以函数f()的图象关于直线x=2对称， 令1=e在R上单调递增，函数《=1+ (>0)在t∈(0，e)上单调递减，在1∈(e,+o）上单调递增， 所以“≥2e,当且仅当1=c,即x=2 时等号成立， 函数y=h4在∈(0，+）上单调递增， 由复合函数单调性知，（冈在(，2）上单调递减，在2，+切）上单调递增： 因为(x)>f(x),所以-2>-2， 两边平方得-4x+4>号-45+4，即(：-)(x+x-4)>0 第5页/共29页 学科网命组卷网 又>为，所以+名4>0，即+名>4 故选：B. 7.等差数列{a,}的首项为1，公差不为0若马，4,4成等比数列，则数列加，}的前6项和为《) -24 A. 83 C.26 D.24 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得d=-2,a,=3-2,再结合，的正负性以及等差数 列性质运算求解 【详解】设等差数列a,}的公差为d≠0， 因为4,4,4成等比数列，则心=aa,且4=1 即（1+2d=(1+d)1+5d),整理可得d+2d=0,解得d=-2或d=0(舍去)， 可得4，=1-2(n-1)=3-2n 令a,=3-2n<0 解得n≥2 所以数列a,}的前6项和为la+a++a。=4-(a,++a)=a-5a,=1-5×(-5)=26 2 8.已知随机事件A,B,C发生的概率均为3，且A,B,C两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可 能为() 1 4 A.9 B.6 C.3 D.9 【答案】C 【解析】 第6页/共29页 6学科网6组卷网 【详解】由4B,C两两相互立得到PB)=P(P(B)-号=P(AC)=PBC) 设P(ABC)=x P(AVBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 号x3×3+=子+ea.期两[0， 又专e代a)-=P0-P(4)-P4C)+P4c)-号号x2+=x-号e则 附[别]，上a 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知复数2满足名-41=名-5列，2，-1+21=2（为虚数单位），，。是方程 2x2+3ax+a2-a=0(a∈R) 在复数范围内的两根，则下列结论正确的是() A3,-的最小值为2 B.22-的最小值为4 C当0<a<1时，则+k|=合+8a 2 D.当-8<a<0时，则x+x=V2(a2-a 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点乙，乙：的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一 第7页/共29页 6学科网6组卷网 元二次方程，讨论判别式△>0，△<0分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需 进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项 【详解】设在复平面内，23的对应点分别为乙(：，少)，乙，(：，乃) 9 9 由名-4=名-5列得片=2，所以乙，在直线y=2上. 由3-1+2列=2得G-++2y=4,所乙，在圆P:6x-+0+2=4上 如图所示： Z 9 对于A:3表示复平面内圆P上的点乙到直线'=2上点乙的距离， 防水-司的小为4-(2-2，改A正 9 对于B,3,-2表示复平面内圆P上的点乙2到直线'=2上点乙，的距离， 9 9 -0= 所以乙2一的最小值为202，故B错误： 对于CD:因为，是方程2r+3ar+a2-a=0(aeR) 在复数范围内的两根， 所以+书= 3 2龙= a"-a 2 第8页/共29页 命学科网命组卷网 若A=9a-8d+8知≥0，即a≥0或a≤-8，此时，eR +=V+)=+=V+x)-2x+2 -yRa-(c-d)+lo-d 由d-a20得a≥1或a≤0 a1a-g时，k+--(2-o小(g-回j=B 当0sa<1t+-层c-(-小6-o-得d+2a-4 一，故C正确： 若△=9a2-8a2+8a<0,即-8<a<0,此时，，x为一对共轭虚根， 1+1-24-2开-2-25-229-2c-可. 故D正确 故选：ACD, 【点睛】思路点睛： (山)在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点乙，乙，的轨迹方程，进而转化为直线与 圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题 (2)复数范围解一元二次方程，讨论判别式△>0，△<0分别求解，用根与系数的关系化简求值. 10知图，在授长为1的正方体MBCD-ACD中，点E为4D中点，动点P满足 4P=4B+u4D,(2,∈[0，)则（） 第9页/共29页 6学科网命组卷网 D C P。 B A 2 B A.若点P到直 DD和B,C的距离相等，则P点的轨迹为抛物线的一部分 B、存在这样的点P使BPL平面4BD 5V2 C.若点P与点A重合，则三棱锥E-BCP的外接球半径为8 D.若BP与BB的夹角为4，O为线段BD上的动点，则/P91+V3B π 3 |B0的最小值为√2 【答案】AC 【解析】 【分析】以D为原点，求得点P位于上底面内，过点P作PF⊥BG,得到PD=PF 结合抛物线的 定义，可判定A正确：设P代，少)，求得平面4BD 的法向量”，结合EP1/m,求得*的值，可判定B 不正确：设三棱锥E-BC4的外接球的球心为O,o,2),根据1OE=OC=OA, 列出方程求得 球心的坐标，可判定C正确；求得点P在以B,为圆心的圆弧上，结合对称性，求得 51B0=0G,转 化，Pg+g=Pe+QG,可定D 【详解】以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x2轴，建立空间直角坐标系， 第10页/共29页 命学科网命组卷网 由AP=元AB+μ4D(2,∈[0，），可得点P位于上底面4BCD上， 对于A,连接PD,在正方体ABCD-ABCD中，可得DD1平面4BCD, 因为PDC平面ABGD,所以PD1DD,即点P到DD距离即为 PD 过点P作PF⊥BG,可得点P到BG的距离即为PF列 所以PD=PF,即点P到定点D的距离等于到定直线BG的距离相等， 根据抛物线的定义，点P的轨迹为物线在上底面4BCD内的-部分，所以A正确： 对于B,设P心xy),其中xe[Q,ye[0],则EP=(x-2 又由DA=(0,0,),DB=4l,0) nDA=a+c=0 设平面4BD的法向量为n=a6,g测n-DB=a+h=0 取a=1,可得b=-c=-1,所以n=-,-0, 1 若P上街4D:则驴m:日广2=片子解狗x= 2-y=1 2, 因为x∈[0，]，所以不有在这样的点P使PL平面4BD,所以B不正确： 对于C,当点P与点A重合时，则三棱锥E-BCP即为三棱 E-BCA 因为点E是AD的中点，所以 E20,0.且B0,10).C0,10,44,0D, 设三校锥E-BCA的外接球的球心为O(,%,2）,半径为R, 第11页/共29页 6学科网列组卷网 04-0c,可得6+6+6=6+0-少+号 由10C=0B,可得号+0，-+26=。-)+(，-+元。 1 整理得2x=1,所以。2， 由10C=0A,可得6+0。-+6=(。-++3-， 代入6=2，可得2+1=-22，+1，即%二 1 3 5 再将方 所以外越球的年径为R=0C=-0+店-P+日-0P=52 8,所以C正确： D A B D! 对于D,由Pxy,l,其中x∈[0，小y∈[0，，且B,10,B,1) 可得BP=(x-l,y-,0,BB=(0,0,) πBP.BB 因为即与B服的夹角为子可得o子丽BR 4 V(x-1)2+y-1)2+1×12, 第12页/供29页 命学科网命组卷网 所以Vx-+0-)+1=V2,即x-2+0-12=1,其中x∈[0，，y∈[0，]， 所以点P在以B为圆心，半径为的圆弧上， 连接BD,由对称性知，当点P位于B,D上时，PO取得最小值， 过点Q作QGLBD于点G,在直角△QGB中，sn∠QBD=sm∠DBD=Y5 n-.mi-rac1 在平面BDDB中，过点P作PM L BD于点M,则PO+G≥PM=DD=1 所以D错误， D C P A B D MG B 1.已知二次曲线C:5(r+y)+6g=8表示一个辅圆，则() A. C的对称中心为(0,0) 的占到原点距离的取值苑围是)2 eP6产c 3 D.C的离心率为2 【答案】ACD 第13页/供29页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】根据对称性定义计算可判断A:令户2=+y,由(x±≥r±2y代入化简可得 8-5r≤3，计算可判断B,将曲线看作关于x的方程。由判别式列不等式计算可判断C,先证阴族转 公式，再将原方程标准化，计算判断D即可： 【详解】对于A,设(x)是=次曲线C:5(t+厂)+6g=8上任意一点， 将（←x,-y)代入二次曲线：5[(x+(y)]+6(-x)(-y)=8, 化简可得5(t+y）+6g=8,所以（←x-)在二次曲线C上， 则二次曲线C的对称中心为0,0），故A正确： 对于B今”=r+少，则6四=8-5 图为t=r+y生20rt2y20,同s. 所以8-5r到≤3，解得1≤r2≤4，即e,2], 所以二次曲线C上的点到原点距离的取值范围是，2]，故B错误， 对于C,将曲线方程5(t+y)+6y=8视为关于x的方程5x2+6x+5y2-8=0, 因为x为实数，所以△=36y少-4×5×(5y2-8)=64y2+160≥0 解得2 2,当点P(xo,%)在二次曲线C上时， 1010 可得%∈ 2 2 故C正确： 对于D,先推理旋转公式，记平面内点P(x,）在角的终边上，则P@os0,rsin) 第14页/共29页 学科网 命组卷网 而绕原点顺时针旋转一个锐角“，可得旋转后的坐标为 rcos(0-a),rsin(-a)) 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， rsinsinsin) x=rcos0,y=rsin0 又 (xcosa+ysina,-xsina+ycosa) 所以 ,即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得6cos2α=0， x=x'cos -y'sinπ、2 4 4 (x-) 解得 设 ae0,2 Q= y=xsin+yc sπ-V2, 4 4 42(r+y) 代入能线C,化简可得(，-1 4 故二次曲线C可以看作由椭圆x十4绕坐标原点逆时针旋转无 =1 如图所示，作出符合题意的图形， 1 +4=l中a=2,b=lc=V5,e=5 在椭圆2+ 第15页/共29页 6学科网列组卷网 3 故二次曲线C的离心率为2，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知曲线y=e在x=0处的切线1与圆C(x-+少=4相交子小、B两点，则4B- 【答案】 2W2 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解 【详解】由y=e得y=c,放o=e°=1，进而可得曲线y=e在0,1)处的切线l方程为： y-1=x-0y=x+1 ,即 2 d= 圆心C(0,0)到直线，的距离为“VP+(1 放MB=2P-d=24-(2=22 其中r为圆C的半径 1.()sin.x +co+2sin co) 则f(x)的值域为 【答案】 [1,1+v2] 【解析】 【分析】令t=sinx+cosx,再结合平方关系将2 sinxcosx用t表示，根据三角函数的性质求出t的范围， 再结合二次函数的性质即可得解， t=sinx+cosx=2 sinx+ 【详解】令 4 第16页/供29页 学科网命组卷网 (sinx+cosx)=1+2sinxcosx2sin xcosx=2-1, 所以t∈[l,V2], 今g)=1+r-1(+-吾e],则g0在1E[L2]中调递。 则当8(0)mm=8()=l,g()）x=g(V2)=1+v2. 所以f(x)的值域为[，1+] 故答案为： [l,1+2] 14.1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即 1,l,2,3,5,8,13,21,34,55,… 该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用 若此数列各项被3除后的余数枸成一新数列a,},则数列{a,}的前2022项的和为 【答案】2276 【解析】 【分析】根据思意分析可得数列a,}是周期为8的数列，结合周期性分析运算 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以3的余数， 可得数列{a}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1， 所以数列a,}是周期为8的数列， 一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9， 又因为2022=252×8+6， 第17页/共29页 6学科网 组卷网 所以数列a,}的前2022项的和Sm=252×9+8=2276 故答案为：2276. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15,如图，在楼长为2的正方体1BCD-4BCD中，：，F分别是楼4D,B的中点. D BBE (1)证明：CF⊥平面 D与平面 BB E (2)求直线 所成角的正弦值， 【答案】(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1,02B(2,2,2),B(2,2,0),C(02,0),F(21,0) 所以BE=（l-2,2),BB=(00,2).CF=(2,-1,0) 设平面BB,E的法向量为”=(，y2), BE.n=0 「-x-2y+2z=0 则BB:方=0：即{2z=0 取x=2,可得n=(2,-l,0) 所以CF=方，所以CFL平面BB,E 第18页/供29页 6学科网6组卷网 B AI (2) 5 A B 5 【解析】 BB E 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，判断其与CT共线，从而得证 (2)求出FD,与平面BB,E 的法向量的夹角的余弦值，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由1)知D0,02),所以FD=(-2,-1,2), 所以Cos FD,n FD:n_-3_5 FDM3×√5 5 √5 所以直线FD与平面BBE所成角的正弦值为5， 16.已知函数f)=2V5 sin xcosx-2cos2x 1)求函数y=log2f) 的定义域和值域： (2)已知锐角△4BC的三个内角分别为4，B,C,若八2 =0 +c ,求a 的最大值 (2)2 第19页/供29页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】(1)先化简f),然后利用真数大于0可得si 2 2,即可求出定义域，继而求出值 域： A= <B< (2)先利用(1)可得3，结合锐角三角形可得6 2,然后利用正弦定理进行边变角即可求出 答案 【小问1详解】 )25sinxcosx-2cosim2x-cos2x-1-2sin 以医我-e,-e,22x君-有在义 只青22着}1>0，m2x引2 +2版<2r-<+2akeZ.解阳名+a<x<+keZ 所以6 66 ,解得6 匹+k元，号+kπk∈ 所以函数y=log2f(x)的定义域为6 由子0<2s 2+-1s1, 所以log2f(x)≤log21=0, 所以函数y=log2f四的值域为(o,0], 【小问2详解】 于分2m4-1=0,所um(4副. 第20页/共29页 6学科网命组卷网 T<A-元<π A-元=πA=元 因 0<A<π ,所以663，所以66即3， 0<B<π 2 由锐角 可得 0<C=2红-B<,所以<B< △ABC 3 2 6 b+csin B+sinC2 sin B+sin 由正弦定理可得a sin B+3 23 5 -cos B =5s如B+oB=2sn(B+周 I<B<T <B+<2 b+C≤2 3< 因为62，所以363’所以 a b+c 所以a的最大值为2. 17.某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解 该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下 表： 销售量 销售周期个数 3吨 4吨 5吨 市场 甲 3 4 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率，设X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总销售量， 求随机变量X概率分布列； (3)在(2)的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售， 第21页/共29页 命学科网命组卷网 已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元.以销售利润的期望作为决 策的依据，判断n=T与n=8应选用哪一个. 【答案】(1)0.4： (2) X的分布列如下表： X 6 个 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 (3)应选n=8.【解析】 【分析】(1)利用古典概率求得结果， (2)求出X的可能及各个值对应的概率，列出分布列 (3)分别求出n=7与n=8时销售利润的期望，再比较大小即得结果 【小问1详解】 设甲市场销售量为4吨的事件为A, 则P0=0.4 【小问2详解】 设甲市场销售录为x吨的概率为P(),乙市场销告量为'吨的概率为P() 则由题意得P(x=3)=0.3.P(x=4)=0.4P(x=5)=0.3 P(y=3)=0.2P(y=4)=0.5P(y=5)=0.3 设两个市场总需求量为X的概率为P（X),X所有可能的取值为6,7,8,9,10， P(X=6)=P(x=3,y=3)=P(x=3)P(y=3)=0.3×0.2=0.06 P(X=7)=P(x=3,y=4)+P(x=4y=3)=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23 第22页/供29页 学科网命组卷网 P(X=8)=P(x=3,y=5)+P(x=4,y=4)+P(x=5,y=3)=0.3×0.3+0,4x0.5+0.3x0.2=0.35, P(X=9)=P(x=4,y=5)+P(x=5,y=4)=0.4×0.3+0.3×0.5=0.27 P(X=10)=P(x=5,y=5)=0.3×0.3=0.09 所以X的分布列如下表： X 6 7 8 9 10 P 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 【小问3详解】由(2)知， P(X=6)=0.06P(X≥7）=0.94 当n=7时，销告利润7，当X=6时，了=100x6-(7-6)x20=5800.当X≥7时， T3=1000×7=7000 T 因此1的分布列为： X X=6 X≥7 T 5800 7000 0.06 0.94 则E(Z)=5800x0.06+7000x0.94=692 元 当n=8时，P(X=6)=0.06.P(X=7)=0.23P(X≥8)=0.71 销售利润乃，当X=6时，乃=1000×6-(8-6)×200=5600 当X=7时，7=1000×7-(8-7）×200=6800，当X≥8时，万=1000x8=800 T 因此2的分布列为： X X=6 X=7 X≥8 第23页/共29页 6学科网命组卷网 3 5600 6800 8000 D 0.06 0.23 0.71 则E(3)=5600×0.06+6800x0.23+8000x×0.71=7850元 因为7850>6928，所以应选n=8. 18.抛物 C:r=2p(p>0)的焦点为F,0为坐标原点，抛物线C上的一点M(2,m）到焦点F的距离 为2. (1)求抛物线C的标准方程； (②)已知直线交锁物线C于么，B两点，百线40交超物线的作线于点P,且BPL结 ()证明：直线l过定点； (点P为抛物线C的准线与'轴的交点，若△M1B 的面积与4B 的面积相等，求直线的方程. 【答案】(1)2=4 (2)(山证明：由愿可设：y=x+b,A(,片)，B(x,) [x2=4y 由y=+b,消y得到x-4k-4b=0,则△=162+16b>0'+=4k,x=-4b, -经专年8w=音令 4 y=1'得到xs、4 4 =为，得到x52=4: 第24页/共29页 学科网命组卷网 所以46=-4，解得b=1,则：y=c+1,所以直线l过定点(0，) (i)y=x+1y=-x+1 或 【解析】 [4=2pm 【分析】(1)根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组 m+卫=2，即可求解： 2 (2)①设直线I:y=c+b,A(名，H),B(x) 联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系 M,O 数间的关系，得b=1,即可求解；()根据条件，将问题转化成M 1:y=kx+1 到直线 的距离相等， 再利用点到直线的距离公式，即可求解 【小问1详解】 因为抛物线C上的一点M(2,m)到焦点F的距离为2， [4=2pm 则m+P=2,消得到， ，解得。，所以抛物线的标准方程 2 mp2-4p+4=0' p=2 C x2=4y 【小问2详解】 (i)略 (i因为M(2,m)在抛物线上，则4=4m,解得m=1,所以M(2,1）,由①知1：y=c+1, 又点P为抛物线C的准线与y轴的交点，则(0，-），又△M1B的面积与△4B的面积相等， 12.2 则M,Q到直线1：y=x+1的距离相等，所以+k2+2,即风=1，解得k=±1' 所以直线的方程为》=+1成y=-x+1 或1 第25页/供29页 6学科网丽组卷网 B M f(x)=a(x+1)Inx-x+1 19.已知函数 ()若曲线'=f四在点0.0)》处的切线与直线 -3y+1=0 垂直，求实数a的值； (2)若函数f)有三个零点，，七，且<< (i)求实数a的取值范围； (ii)求证： (3a-1)(x+x3+2)<2 【答案】(1)-1 (2)(i 面明：8)=r-+.由8日） 可4-8)-0=8).则5飞= 要证(3a-1x+x+2)<2,代入名= 得，只器证蜀3如发+4钙+打 气ma 因此只看要证明当x>1时，血x>3-》 x2+4x+1, 令p(y=lnr- 3(x2-1 2+4x+7x∈l,+o), 第26页/共29页 命学科网命组卷网 可得(y)=、 (x-1)4 ++明之0 ，故)在L,切)上单调递增， 在 此当x>1时，p(x)>p(①)=0，即当x>1时，nx>3x-1 x2+4x+1, 即证得3a-+5+2)<2 成立 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率结合题设即可求得答案； (2)(i)先将问题转化成函数 g(x)=alnx-x-1 x+1除1之外的两个零点问题，由 g6)=r+(2a-2x+a x(x+l)2，令h(x)=ax2+(2a-2)x+a(x>0),根据a的取值分类讨论依题推得 0<<2,再利用函数单调性与极值验证零点情况即得；(i山依题意证得~为引，将待证命题转化 为当x>1时，hnx>3r-) 3(x2-1 2产+4x+1,构造西数)）=血r一产十4中xeL,+o)通过求导判断西数单调 性即可得证. 【小问1详解】 由/=ads+h-x+1,8f)=aar+生1 质uf0=a+21-2a-1 因为曲线'=f(田在0，f0 在点 处的切线与直线 x-3y+1=0 垂直， 第27页/共29页 命学科网命组卷网 ×(2a-1)=-1 所以3 ,得a=-1,所以a的值为-1. 【小问2详解】 f)=0x>0等价于ar-=0ex>0) x+1 令8(w=alnx-t-l x+1,又8()=0，可知8(x)除了1之外还有两个零点， 又8')=+2a-2x+a x(x+102，令h(x)=ar2+(2a-2)x+a(x>0), 当a≤0时，<0恒成立，救3在Q,+切）上单调适藏，不合题： 当a>0时，若函数(x)有三个零点，则其等价函数8()必有除1外的两个零点， 因此h(x)=0在0，+∞)上有两个不相等的实数根， 故△=(2a-2)2-4a2>0,解得0 得0<a<2, 四的两个零点为X,x.月X<.有+为=2>0.520 a 故5均大于0， 由此可得8在(0，)单调递增，(，)单调递减，(：，+0)单调递增。 而1∈（￥），即8()>0，g0=0,g()<0. 8e月 故8四在0，》内恰有一个零点，在 (1,+0) 内恰有一个零点， 第28页/供29页 6学科网 命组卷网 8(x) f(x) 所以 恰有3个零点，亦即 恰有3个零点， 故实数a的取值范围是 (i)略 第29页/共29页