精品解析：湖南长沙市岳麓实验中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

2026届高三全真模拟适应性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 87 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念即可求解. 【详解】数据共12个（偶数个），中位数取第6、第7个数的平均数． 第6个数：85，第7个数：88， 所以中位数为. 2. 如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到与之比，根据平面向量的基底与三角形法则即可表示. 【详解】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点， 则，所以，则， 所以，则. 故选：B. 3. 已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数． 【详解】当时，有，6个元素； 当时，有，5个元素； 当时，有，4个元素； 当时，有，3个元素； 当时，有，2个元素； 当时，有，1个元素， 综上，一共有21个元素． 故选：B． 4. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可. 【详解】对进行求导，可得， 将代入整理，① 将 代入可得，即， 将其代入① ，解得：，故得. 于是，由可得或，因， 故当时，，当时， ， 即是函数的极小值点，函数没有极大值. 故选：D. 5. 若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 6. 已知函数，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，由，得，两边平方后化简即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数在上单调递增， 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 两边平方得，即， 又，所以，即. 故选：B. 7. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得，，再结合的正负性以及等差数列性质运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且， 即，整理可得，解得或（舍去）， 可得， 令，解得， 所以数列的前6项和为. 8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛： （1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题. （2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值. 10. 如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（ ） A. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B. 存在这样的点使EP⊥平面 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为原点，求得点位于上底面内，过点作，得到，结合抛物线的定义，可判定A正确；设，求得平面的法向量，结合，求得的值，可判定B不正确；设三棱锥的外接球的球心为，根据，列出方程求得球心的坐标，可判定C正确；求得点在以为圆心的圆弧上，结合对称性，求得，转化为，可判定D错误. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，可得点位于上底面上， 对于A，连接，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即点到距离即为， 过点作，可得点到的距离即为， 所以，即点到定点的距离等于到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线在上底面内的一部分，所以A正确； 对于B，设，其中，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 若平面，则，即，解得， 因为，所以不存在这样的点 使EP⊥平面，所以B不正确； 对于C，当点与点重合时，则三棱锥即为三棱锥， 因为点是的中点，所以,且， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 由，可得， 整理得，即， 由，可得， 整理得，所以， 由，可得， 代入，可得，即， 再将代入，可得，所以，所以， 所以外接球的半径为，所以C正确； 对于D，由，其中，且， 可得， 因为与的夹角为，可得， 所以，即，其中， 所以点在以为圆心，半径为的圆弧上， 连接，由对称性知，当点位于上时，取得最小值， 过点作于点，在直角中，， 所以，所以， 在平面中，过点作于点，则， 所以D错误. 11. 已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A. 的对称中心为 B. 上的点到原点距离的取值范围是 C. 当点在上时， D. 的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性定义计算可判断A；令，由代入化简可得，计算可判断B；将曲线看作关于的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可. 【详解】对于A，设是二次曲线上任意一点， 将代入二次曲线， 化简可得，所以在二次曲线上， 则二次曲线的对称中心为，故A正确； 对于B，令，则， 因为，得， 所以，解得，即， 所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误； 对于C，将曲线方程视为关于的方程， 因为为实数，所以， 解得，当点在二次曲线上时， 可得，故C正确； 对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则， 而绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为， 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， 为， 又， 所以，即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得， 而，解得，设， 代入曲线，化简可得， 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆中， 故二次曲线的离心率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 13. 已知，，则的值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】令， 则，故， 因为，所以，所以， 令，则在单调递增， 则当， 所以的值域为. 故答案为：. 14. 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得数列是周期为的数列，结合周期性分析运算. 【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数， 可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，， 所以数列是周期为的数列， 一个周期中八项和为， 又因为， 所以数列的前项的和. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点． （1）证明：CF⊥平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，判断其与共线，从而得证； （2）求出与平面的法向量的夹角的余弦值，进而求解. 【小问1详解】 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即， 取，可得． 所以，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域； （2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案 【小问1详解】 ， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 17. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】（1）0.4； （2）分布列见解析； （3）应选. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【小问1详解】 设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. 【小问2详解】 设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 【小问3详解】 由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 18. 抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解； （2）（i）设直线，，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系，得，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成到直线的距离相等，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. 【小问2详解】 （i）由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率结合题设即可求得答案； （2）（ⅰ）先将问题转化成函数除1之外的两个零点问题，由，令，根据的取值分类讨论依题推得，再利用函数单调性与极值验证零点情况即得；（ii）依题意证得，将待证命题转化为当时，，构造函数通过求导判断函数单调性即可得证. 【小问1详解】 由，得， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得，所以a的值为． 【小问2详解】 （ⅰ）等价于， 令，又，可知除了1之外还有两个零点， 又，令， 当时，恒成立，故在上单调递减，不合题意； 当时，若函数有三个零点，则其等价函数必有除1外的两个零点， 因此在上有两个不相等的实数根, 故，解得， 设的两个零点为，且，有，， 故均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为，，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 故实数a的取值范围是． （ii），由， 可得，则有， 要证，代入得，只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 即证得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 87 2. 如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 4. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知函数，若且，则（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 8. 已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 10. 如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（ ） A. 若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B. 存在这样的点使EP⊥平面 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 11. 已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A. 的对称中心为 B. 上的点到原点距离的取值范围是 C. 当点在上时， D. 的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 13. 已知，，则的值域为___________. 14. 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点． （1）证明：CF⊥平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 17. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 18. 抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $