2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷（人教A版必修第一、二册）

**基本信息** 高一下学期期末模拟卷覆盖必修一、二核心内容，解答题融合统计（歌咏比赛频率分布直方图）、立体几何（四棱锥体积与点面距离）及创新情境（鉴宝“差异量”），体现数学眼光的空间观念与数学思维的推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数、向量、解三角形|基础巩固，考查抽象能力| |多选题|3/18|向量夹角、立体几何判定|能力提升，强化推理意识| |填空题|3/15|函数单调性、球表面积|聚焦关键能力，体现几何直观| |解答题|5/77|统计与概率（方差计算）、立体几何（点面距离）、新定义“差异量”|创新应用，融合数据意识与模型观念，贴合真题命题趋势|

26年高一下学期期末模拟卷 数学试卷 考试范围：必修一、必修二 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则(    ) A. B. C. D. 或 5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.某中学高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，若高二年级被抽取的人数为，则(    ) A. B. C. D. 7.袋内有大小相同的个白球和个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是(    ) A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件 C. 与非相互独立事件 D. 与为相互独立事件 8.在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面向量，，则 A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10.，，表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，，，则 D. 若，，，则 11.已知是定义在上的函数，函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则下列说法正确的是(    ) A. B. 对，恒成立 C. 函数关于点中心对称 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则的值为          ． 13.设函数，若在上单调递增，则的取值范围是          ． 14.已知球的球面面积为，四面体的四个顶点均在球面上，且平面，，，则该四面体的体积的最大值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知中，，，是三角形的三个内角，，，是三内角对应的三条边，已知 A. 求． 若，且边的中线，求的面积． 16.本小题分 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． 求证：平面 求点到平面的距离． 17.本小题分 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示． 求直方图中的值，并估计复赛选手年龄的平均值同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数； 根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第百分位数； 决赛由名专业评审、名媒体评审和名大众评审分别打分，打分均采用分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差结果保留三位小数．附：方差． 18.本小题分 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”． 鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为号，第二值钱的古董记为号，以此类推，则古董价值的真实排序为现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，，，，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． 当时，求的所有可能取值 当时，求的概率 现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为请说明理由． 19.本小题分 如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且， 求正四棱锥的表面积 求点到平面的距离 侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值若不存在，试说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26年高一下学期期末模拟卷 数学答案 考试范围：必修一、必修二 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题． 解出集合，利用交集的定义即可求解． 【解答】 解：由不等式，解得， 所以， 所以， 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的运算，属于基础题． 利用复数的运算法则即可求解． 【解答】 解：由题意，． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：设，则 由，解得 即． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由于，所以是锐角， 由正弦定理得，即，解得，所以． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题． 正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积． 【解答】 解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径， 所以， 所以，． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同， 得，解得． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念，属于基础题． 根据相互独立事件、互斥事件与对立事件的概念逐项分析判断即可． 【解答】 解：由题意． 若发生了即不发生，； 若不发生即发生，， 发生的结果对发生的结果有影响， 与不是互斥事件，且非相互独立事件，A错误，C正确； 分析可知与是对立事件，与不是对立事件，即B错误， 与不是相互独立事件，D错误， 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平面向量基本定理的运用，向量的加减数乘运算，基本不等式求最值，考查了分析和运用能力，属于中档题． 用向量 表示出向量 ，再根据，，三点共线，得到和的关系，然后用基本不等式求解即可． 【解答】 解：连接， ，  ，  ，  ，，  ， 、、三点共线，   故 当且仅当时，即等号成立； 所以最小值为。 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的坐标运算、向量平行、垂直和夹角，属于基础题． 利用向量相关知识对选项逐个判断即可． 【解答】 解：对于、当时，，则，故A正确； 对于、若，则，则，故B错误； 对于、若，则，则，故C正确； 对于、若与的夹角为钝角，则，解得， 又由选项B可知，，故，故D正确． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系，属于基础题． 【解答】 解：选项A，因为，，，所以，故A正确 选项B，因为，，，，所以或与相交，故B不正确 选项C，，，，，，，此时点不一定在平面内，所以不正确，故C不正确 选项D，由，，，则与可能平行，也可能异面，故D不正确． 11.【答案】  【解析】因为函数的图象关于轴对称，所以函数的图象关于直线对称，所以，则因为函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点中心对称，，所以，则，故C正确因为，所以，故，故B正确，故D正确没有条件能确定，故A错误故选BCD． 12.【答案】  【解析】因为，所以，所以． 13.【答案】  【解析】【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得， 在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得， 综上得：， 所以的取值范围是． 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了棱锥体积的计算，解三角形和基本不等式，考查计算能力，属于较难题． 由球的面积为，得到球的半径，由平面，满足侧棱底面，求出外接圆的半径，利用基本不等式，求出面积的最大值即可． 【解答】 解：如图，设球的半径为，球面面积为，即，， 平面，，满足侧棱底面，可转化为直棱柱外接球计算， 设外接球的半径为，锥高， 由题可知，，即，解得， 由正弦定理可知，，， 由余弦定理可知，， 即，当且仅当时取等号， 当面积最大时，四面体的体积取最大值， ， 四面体的体积的最大值为． 故答案为：． 15.【答案】解：由正弦定理， ， ，， ，． 由得， ，即， 或舍去． ．  【解析】本题考查了利用正弦定理解三角形、向量的数量积和三角恒等变换，是基础题． 由正弦定理，再由三角恒等变换得，可得的大小； 易得，两边平方得，再由三角形面积公式可得结果． 16.【答案】解：证明：取的中点，连接，， 因为、分别为、的中点，所以，， 又，，则，， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，则平面； 因为平面，，平面，所以，， 因为，，所以， 又，，平面，则平面， 因为，所以点到平面的距离等于到平面的距离， 过作交于，又平面，平面， ， 又，，平面， 平面，即为所求点到面的距离， 又且，， 即点到平面的距离为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：由频率分布直方图知，， 解得， 因此复赛选手年龄的平均值为岁． 因为， ， 所以第百分位数落在区间内，设为， 则， 解得， 即第百分位数为岁． 设该名选手最终的平均分为，最终方差为， 则分， ． 估计该选手最终得分为分，其得分方差为．  【解析】本题考查了频率分布直方图的应用，考查平均数和方差以及百分位数的计算，属于中档题． 利用频率分布直方图频率之和为求得，再利用频率分布直方图，计算平均值得结论； 利用频率分布直方图，结合第百分位数的概念，计算得结论； 利用平均数和方差的计算公式，计算得结论． 18.【答案】解：若时，则，，，，，，且， 可得，，，，，， 所以的所有可能取值为，，． 所有的情况总数为， 首先需要注意到若对调两个位置得序号之差大于，则， 可知只能调整两次两个连续序号或者连续三个序号之间的顺序， 若调整两次两个连续序号，则有 也就是三种 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有： 例如时有 所以连续调整三个序号共有种情况， 共有种情况， 综上，当时，的概率为． 不可能． 不妨设专家，的排序结果分别为与， 由题意可知： 由绝对值三角不等式知对任意的均有 累加得到“， 故B与的差异量不可能为．  【解析】本题考查新定义，考查概率的计算，属于难题． 利用列表法得出结论； 所有的情况总数为，要注意到对调两个位置得序号之差大于缩小讨论范围，求概率得出结论； 利用绝对值三角不等式及累加方法得出结论． 19.【答案】解：取中点为，连接， 因为，， 则， 且， 所以正四棱锥的表面积为 ， 即正四棱锥的表面积为； 连接交于点，连接、，如下图所示， 因为四边形是边长为的正方形， 则， 故是边长为的等边三角形， 因为， 则为、的中点，所以， 且， ， 因为，则， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以， 因为四边形为正方形， 则， 因为，为的中点， 则， 因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，、平面， 所以平面， 因此点到平面的距离为； 在侧棱上存在一点， 使平面，， 理由如下： 取的中点为， 因为，则， 过作的平行线交于， 连接，，， 即， 因为平面，平面， 所以平面， 在中， 因为、分别为、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 而，、平面， 故平面平面， 又平面， 则平面， 因为， 所以， 所以当时，平面． 【解析】本题主要考查棱锥的侧面积和表面积，点线、点面、线面、面面距离几何法，线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的结构特征，利用余弦定理解三角形，属于较难题． 先得到，， 然后利用正四棱锥的表面积为即可求解； 先证明得到平面，然后得到点到平面的距离为，即可得解； 先证明得到面面，然后利用面，得到平面即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $