精品解析：广东中山市广东博文学校2025-2026学年高二下学期4月考数学试卷

2026年广东省中山市广东博文学校高二下学期数学4月考 一、单选题 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 4. 已知数列满足（，），则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 的对称中心为 D. 方程有3个不同的解 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 11. 已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（         ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列的前10项和为30 D. 数列的前项和为 三、填空题 12. 已知数列是等差数列，，是方程的两实数根，则数列的前20项和为________． 13. 函数的极大值为__________. 14. 设函数（为自然对数的底数）．若，则实数的取值范围是______ 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 给定函数. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； （3）求出方程的解的个数. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省中山市广东博文学校高二下学期数学4月考 一、单选题 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列下标的性质求解. 【详解】等差数列中，，则. 故选：B. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 4. 已知数列满足（，），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式进行求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故选：C 5. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由函数单增得在上恒成立，即,所以有，从而得解． 详解：函数，求导得：． 由函数是上的增函数，可得在上恒成立． 即,所以有：． 解得．故选C． 点睛：函数单调性的应用： (1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0． (2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 8. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和性质可知，也为等差数列，根据等差数列定义求解即可. 【详解】是等差数列，也为等差数列， ，， 设等差数列的公差为，则， ， . 故选：A. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 的对称中心为 D. 方程有3个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数考察函数的单调性及极值画出函数的大致图象，逐项判断，可判断A,B,D,对于C，利用中心对称定义进行判断即可. 【详解】对于A：，令或，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可画出函数的大致图象如图所示，故A正确； 对于B：此函数无最小值，故B错误； 对于C：根据解析式易知，故C正确； 对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误， 故选:AC． 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假. 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 11. 已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（         ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列的前10项和为30 D. 数列的前项和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先构造数列 ，知其前 项和求通项 ，进而再求出 ，选项A，由定义证明为等差数列；选项 B，利用等差数列前 项和公式求解即可; 选项 C ，两项并一项，并项为常数列求和; 选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由题意， A项，， 设，则， 所以当 时， ， 两式相减得， ， 当 时， 也适合上式. 则 ， 解得：， 所以 ， 故数列 是以 9 为首项， 6 为公差的等差数列，， 故A正确； B项，，故B正确； 选项C，数列 的前10项和为： ，故C正确； 选项D, 则前20项和为： 故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造数列，等差数列的通项公式和前项和，考查并项求和，考查学生的分类讨论能力，具有很强的综合性. 三、填空题 12. 已知数列是等差数列，，是方程的两实数根，则数列的前20项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的求和公式求值即可. 【详解】因为，是方程的两实数根， 所以. 又数列是等差数列，所以， 所以数列的前20项和为. 故答案为： 13. 函数的极大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对求导，分析该函数在各区间上的单调性，从而获得极大值点，代入即得. 【详解】由求导得，， 则当时，；时，；时,. 即函数在和上单调递减，在上单调递增. 故函数在处取得极大值，为 故答案为：. 14. 设函数（为自然对数的底数）．若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，则是奇函数，且在上是增函数. ，由的奇偶性和单调性可得出结果. 【详解】令，则是奇函数，且在上是增函数. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 【答案】（1）时有极大值为，时有极小值为 （2）时有最大值为4，时有最小值为 【解析】 【分析】（1）对求导，得出的单调性，即可求出函数的极值； （2）根据（1）知在的单调性，即可求出函数的最大值与最小值； 【小问1详解】 根据题意可得，令，则，． 和上，，在、上单调递增． 上，，在上单调递减． 当时，有极大值，极大值为． 当时，有极小值，极小值为． 【小问2详解】 由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，， 故在上最大值为，最小值为． 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义，结合条件确定相邻项的比值为非零常数，（2）先根据分组求和法求和，再解不等式，最后取最大值. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，数列为等比数列，首项，公比. （2）， 所以， . 方法一 因为， 所以，， 所以， 故满足条件的最大整数. 方法二 令 ， 因为， 所以， 所以数列是单调递增数列， 又因为，， 故满足条件的最大整数. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可； （2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可. 【小问1详解】 证明： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所有， ， ， 作差可得， 所以. 18. 给定函数. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； （3）求出方程的解的个数. 【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值； （2）具体见解析； （3）具体见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值； （2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象； （3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案. 【小问1详解】 ，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值. 【小问2详解】 作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0. 【小问3详解】 结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $