河南周口市项城市2025-2026学年高二下学期先锋班数学期末综合测试卷（三）

**基本信息** 以宁夏枸杞收益、智能机器人服务等真实情境为载体，融合统计概率、导数应用等知识，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达规律的能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|相关系数比较、正态分布、排列组合、概率期望|通过散点图分析相关系数，结合旅游戴墨镜等生活情境考查独立事件概率| |多选题|3|回归分析、独立性检验、导数性质|辨析线性相关系数与相关性强弱关系，结合残差平方和考查拟合效果| |填空题|3|分段函数、二项式定理、不等式恒成立|以整除问题考查二项式定理应用，通过假命题求参数范围| |解答题|5|回归方程、独立性检验、概率分布、导数证明|宁夏枸杞收益问题融合非线性回归与最值求解，智能机器人服务结合线性回归与概率递推，体现模型观念与应用意识|

2025-2026年度高二下期 先锋班 数学 期末综合测试卷（三） 一、单选题 1．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.21 B．0.22 C．0.28 D．0.32 【答案】B 【详解】随机变量服从正态分布， 则 3．已知，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解. 【详解】由全概率公式，得， 又，，，， 代入得，解得. 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 5．暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算每天既戴帽子又戴墨镜的概率和只戴墨镜不戴帽子的概率，服从二项分布，使用二项分布概率公式求解. 【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，， 因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以， 单日只戴墨镜不戴帽子的概率为， 表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，， . 6．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式求解. 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数不含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 7．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，随机变量可能的取值为. ； . 所以. 所以当时，取得最大值，最大值为. 8．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 二、多选题 9．下列说法正确的是（     ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C．已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BD 【分析】选项A利用相关系数的概念求解即可，选项B利用残差平方和的概念求解即可，选项C利用变量，的均值一定在回归方程的图像上求解即可，选项D利用小概率原理求解即可. 【详解】选项A：在一元线性回归方程中，若线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故错误， 选项B：回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，正确， 选项C：将，代入方程解得：，故错误， 选项D：可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，正确. 10．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用基本不等式，可得判定A不正确，B正确，C正确；由，化简得到，结合二次函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 11．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】由题可得(为常数)，构造，可得，结合导数依次判断选项即可. 【详解】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 三、填空题 12．函数若，则________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 13．已知能够被15整除，其中，则__________． 【答案】14 【分析】由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值 ， 【详解】 . 因为75可以被整除， 所以可以被整除. 由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以. 14．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 四、解答题 15．宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 【答案】(1) (2)35万元． 【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算. （2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧. 【详解】（1）令，则可转化为，由表可知， 得到，， 由最小二乘法公式得， ， 所以 ，所以回归方程为 . （2）设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元， 则投入生产药用枸杞片的资金为万元， 其中，设2026年总收益为万元， 则，， 令，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以.     故年总收益的最大值约为35万元． 16．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为参数调试与产品质量无关联． (2) 0 1 2 ． (3) 【分析】（1）提出假设，根据列联表的数据求出的值，对照参考表检验即可； （2）先根据分层抽样求出合格品和不合格产品的个数，可知的所有可能取值为0，1，2，分别求出各自变量的概率，写出分布列，再按照离散型随机变量的期望公式求解即可； （3）由题可知，变量服从二项分布，要求事件“”的概率最大时的取值，即先求出和时的取值范围，再结合只能取整数，求出最大的值即可. 【详解】（1）解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联． （2）由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中， 合格产品有件，则不合格产品有2件， 的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 故的分布列为： 0 1 2 则. （3）由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则，，，，， 由， 故由可得， 又，则当时，． 由可得，即当时，， 故当事件“”的概率最大时，． 17．为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)求甲答对每道题的概率； (2)已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。 （2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值. 【详解】（1）甲答对题目分为两种互斥情况： ① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ； 因此甲答对每道题的概率为： . （2）设甲答对题数为，乙答对题数为， 则，，， 包含三种互斥情况： ；； ， 分别计算概率：​，， ，，， 因此： ， 根据题意列不等式： ，整理得 ， 结合，解得， 因此的最小值为. 18．某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． (1)下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ (2)机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 【答案】(1)52次． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）先计算样本均值，再通过最小二乘法求出线性回归方程，最后代入预测值，完整呈现了线性回归分析的标准流程，体现了统计中利用样本数据进行预测的基本思想； （2）（i）运用全概率公式，结合首次服务的初始概率与故障切换的条件概率，直接计算出第2次服务的概率，是全概率公式在分步概率问题中的典型应用； （ii）通过定义递推关系，将复杂的概率问题转化为等比数列模型，构造辅助数列求解通项，展现了用递推与数列思想解决动态概率问题的技巧． 【详解】（1），， ，， ， ， 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6天工作7小时，可能服务52次． （2）（ⅰ）设“第n次服务的是甲”为事件，“第n次服务的是乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ∴第2次服务的是机器人甲的概率为． （ⅱ）记，由题知，当时， ，，，， 由全概率公式知， ， ∴， ∴，∵， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， ， 即第n次服务是机器人乙的概率为． 19．已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 【答案】(1)， (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得，结合，求得的值； （2）令，求得，得到，即，得到，即可得证； （3）由（2）中的结论，求得，，，结合对数的运算公式，即可得证. 【详解】（1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高二下期 先锋班 数学 期末综合测试卷（三） 一、单选题 1．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.21 B．0.22 C．0.28 D．0.32 3．已知，，，则为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（     ） A． B． C． D． 6．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 8．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（     ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C．已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10．若，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 三、填空题 12．函数若，则________． 13．已知能够被15整除，其中，则__________． 14．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 四、解答题 15．宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 16．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)求甲答对每道题的概率； (2)已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 18．某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． (1)下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ (2)机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 19．已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $