精品解析：福建莆田市秀屿区毓英中学2025-2026学年八年级下期中数学考试卷

2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，11，13 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行 4. 下列二次根式的运算正确的是 A. B. C. D. 5. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 P 处，折痕为．若，，则的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 9. 如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 10. 如图，四边形为矩形，对角线与相交于点O，点E在边上，连接，过D做 ，垂足为F，连接，若，，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 12. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 13. 如图，在中，交对角线于点E，若，则的度数是______． 14. 如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形 是菱形． 15. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点O，于点H，连接，，则 的度数是________． 16. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：①是等腰直角三角形；②面积的最小值是；③四边形 的面积始终不变；④至少存在一个 ，使得 的周长是．所有正确结论的序号是________ ． 三、简答题 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，A，B为射线上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上；（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若 ，，，求的长． 21. 如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米． （1）求梯子顶端与地面的距离OA的长． （2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 22. 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，． 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式是 ；将分母有理化得 ； （2）计算以下式子的值： 23. 如图，在 中，点D是边的中点，点E在 内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 24. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是 中边上的高，且，则称 为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是 中边上的高，已知，，，请通过计算说明 是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知 为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3， 为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为 ．若，求的值． 25. 如图1，已知正方形，，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接，． （1）求 的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点E运动过程中，作的平分线交延长线于H，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知： 解得： 故选B． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0是解决此题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，11，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，是勾股数，故本选项符合题意． D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）． A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． A对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故A符合题意； B对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故B不符合题意； C对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故C不符合题意； D两组对边分别平行是菱形具有而矩形也具有的性质，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键． 4. 下列二次根式的运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算可判断A，B，根据二次根式的乘除运算法则可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； 故B不符合题意； 故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键． 5. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 P 处，折痕为．若，，则的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，， ，设，则，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 由折叠的性质得出，， 设，则， 在 中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 8. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵52+122=169， ∴=13， ∴13+5=18（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 9. 如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米）， （米）， （米， 故选：C． 10. 如图，四边形为矩形，对角线与相交于点O，点E在边上，连接，过D做 ，垂足为F，连接，若，，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先说明的形状固定，点F的位置固定，点O为对角线与的交点，点O在的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，过点F作，延长交于点G，根据垂线段最短，得出此时最短，根据含直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：∵，， ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴的形状固定，点F的位置固定， ∵点O为对角线与的交点， ∴点O在的垂直平分线， 如图，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，过点F作，延长交于点G， ∵垂线段最短， ∴此时最短， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是找出使最小时，点O的位置． 二．填空题（共6小题） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于m的方程，解出即可． 本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：2． 12. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 13. 如图，在中，交对角线于点E，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．由四边形是平行四边形，推出，推出，由，推出，根据计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为． 14. 如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形 是菱形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形 是平行四边形，故当 时，四边形 是菱形，则当时，四边形 是菱形． 【详解】解：∵分别是 的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴当 时，四边形 是菱形， ∴当时，四边形 是菱形， 故答案为：4． 15. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点O， 于点H，连接，，则 的度数是________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，， ，再求出 的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ， ∵ ， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴在中，． 16. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：①是等腰直角三角形；②面积的最小值是；③四边形 的面积始终不变；④至少存在一个 ，使得 的周长是．所有正确结论的序号是________ ． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质． 证明,使得，①正确；当时，最小，此时，面积的最小值是，②错误；根据可得，可得③正确；设，则，根据勾股定理，可得④正确． 【详解】四边形是正方形， ，，， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 故①正确； 当时，最小，此时， 面积的最小值是， 故②错误； ， ， 故③正确； ， ， 的周长， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：，， 当或时，， 存在两个 ，使 的周长是， 故④正确．故正确的有①③④． 三、简答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据零指数幂、绝对值的意义计算并化简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到 ，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的混合运算，得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图，已知，A，B为射线上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上；（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若 ，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作菱形、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握尺规作菱形、菱形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）利用菱形 “四条边相等” 的性质，结合已知条件确定顶点、的位置； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用菱形的面积求出的长． 【小问1详解】 解：如图，菱形ABCD即为所求． 【小问2详解】 如图所示，连接、， ∵ ，，，四边形是菱形， ∴，， ， ， 即 ∴． 21. 如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米． （1）求梯子顶端与地面的距离OA的长． （2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 【答案】（1）4米 （2）1米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理直接求出OA的长度即可； （2）先求出OC的长度，然后根据勾股定理求出OD的长度，用OD-OB即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵∠AOB=90°，米， 米， ∴AO＝＝4（米）， 答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米． 【小问2详解】 解：∵（米），米， ∴OD＝＝4（米）， ∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容，如果一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么． 22. 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，． 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化． 解决问题： （1）的有理化因式是 ；将分母有理化得 ； （2）计算以下式子的值： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义，利用平方差公式确定的有理化因式即可；根据分母有理化的方法，给的分子分母同乘，约分化简即可得到结果； （2）先对括号内的每一项进行分母有理化，转化为两个根式相减的形式，抵消中间项后得到，再与利用平方差公式计算，即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， 的有理化因式是； ； 【小问2详解】 解：∵； ； ； ； ∴ ． 23. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得 ．证明．结合，可得 ，进一步可得结论． 【小问1详解】 证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为 的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴ ． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴ ， ∴， ∴． 24. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为 ．若，求的值． 【答案】（1）是勾股高三角形．证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用，二次根式的运算； （1）先计算，，再结合新定义可得结论； （2）由，可得结论； （3）设 ，则 ，结合（2）得：，，再求解，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵是中边上的高，，，， ∴，， ∴， ∴是勾股高三角形． （2）由可得：， 而， ∴，即； （3）∵， 设 ，则 ， 结合（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 25. 如图1，已知正方形，，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接，． （1）求 的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点E运动过程中，作的平分线交延长线于H，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）证出，设，则， ，由勾股定理得出，则可得出答案； （3）过点H作，交的延长线于点M，作 ，交的延长线于点N，证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点B关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ∵， ∴， 解得， 即； 【小问3详解】 解：过点H作，交的延长线于点M，作 ，交的延长线于点N， ∵点B关于直线的对称点为F， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $