精品解析：福建省莆田市秀屿区莆田第二十五中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

莆田第二十五中学2024-2025学年八年级数学下期中试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的对角相等解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 故选：B． 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8. 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形. 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 6. 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ） A. 3a＋2 B. ﹣3a﹣2 C. 4﹣a D. a﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件a＜﹣3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项，即可． 【详解】∵a＜﹣3， ∴2a-1＜0，a+3＜0， ∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 7. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵52+122=169， ∴=13， ∴13+5=18（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 8. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 9. 如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．先根据题意展开得到平面图形，利用根据两点之间线段最短和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：把托盘的隔断和托盘底层展开得到如下图形： 则，，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：D 10. 如图．在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形的面积等于的一半； ②正方形的面积等于的一半； ③． 上述结论中，正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可； ②分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可； ③结合①②进行求解即可． 【详解】解：①，正方形网格的面积为：， ， 故①结论错误； ②，正方形网格的面积为：， ， 故②结论正确； ③由①得：，则， 由②得；，则， 正方形，的面积相等， ， 故③结论正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的应用以及二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式除法运算，直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 14. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由菱形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=24cm2， 即AC•BD=6AC=48， ∴AC=8， 即AC的长为8cm， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键． 15. 如图，在中，，D为线段的中点，则 _______°． 【答案】50 【解析】 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到 ，则等边对等角，即． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是________________ 【答案】5 【解析】 【详解】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小， ∴PN=PE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC， ∵E为AB的中点， ∴N在AD上，且N为AD的中点， ∵AD∥CB， ∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP， ∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点， ∴AN=CF， ∴△ANP≌△CFP（ASA）， ∴AP=CP， 即P为AC中点， ∵O为AC中点， ∴P、O重合， 即NF过O点， ∵AN∥BF，AN=BF， ∴四边形ANFB是平行四边形， ∴NF=AB， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，由勾股定理得：AB=5， 故答案是：5． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算：． 【答案】2 【解析】 分析】先分别化简二次根式，同时计算乘法，再计算加减法． 【详解】解： = =2． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算法则及运算顺序是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 用中点定义得，，再依据平行四边形的性质得到，，进而推出，，，由此判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等得出结论 ． 【详解】证明：点，分别是，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 【答案】3 【解析】 【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再根据2CD2=BD2，得到2CD2=18，即可求出CD． 【详解】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABD=30°， ∴AD=AB=． ∴BD=， ∵BC＝CD，∠C＝90°， ∴CD=CB， ∴2CD2=BD2， ∴2CD2=18， ∴CD=3． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形中30°角的性质，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，依题意补全图形并求，的长． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，， 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，正确掌握各知识点并应用是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的中位线的性质得到，，推出，由此得到结论； （2）由菱形的性质得到，，根据三角形中位线得到， ，即可利用勾股定理求出，． 【小问1详解】 证明：∵，． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 补全图形如下图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 24. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因， 所以． （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （3）计算：． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 且， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； 【小问3详解】 解： ． 25. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到①；过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可求证②； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，根据（1）中的解法同理可得：，，，再利用推导即可． 【小问1详解】 解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ①解：∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴（SAS）， ∴； ②解：∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴（AAS）， ∴， 由①得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∴根据（1）中的解法同理可得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第二十五中学2024-2025学年八年级数学下期中试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长线段，可以组成直角三角形的是（　　） A 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C D. 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 6. 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ） A. 3a＋2 B. ﹣3a﹣2 C. 4﹣a D. a﹣4 7. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 8. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 9. 如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图．在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形的面积等于的一半； ②正方形的面积等于的一半； ③． 上述结论中，正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 14. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 15. 如图，在中，，D为线段的中点，则 _______°． 16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是________________ 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：． 22. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，依题意补全图形并求，的长． 24. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （3）计算：． 25. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$