精品解析：2026年6月福建省漳州市龙海区港尾中学初中毕业班九年级 学业水平考前热身训练数学试卷

2026年初中毕业班学业水平考前热身训练 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分．每小题所给选项中，仅一项符合题目要求． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项中的数，再根据实数大小比较规则判断即可． 【详解】解：， ， 则最大的数是． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应法则逐一计算每个选项即可判断对错. 【详解】解：选项A： 合并同类项时，系数相加，字母与指数不变， ，A错误. 选项B： ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，B正确. 选项C： 积的乘方等于各因式分别乘方，， ，C错误. 选项D： ，， ，D错误. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；故不符合题意； B．选项中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形；故符合题意； C．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形；故不符合题意； D．选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故不符合题意． 4. 如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 5. 如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得，平分，再根据等腰三角形三线合一性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， 又∵， ∴是的中线， ∴． 6. 某新能源汽车厂商为了解其新车型在不同气温下的真实续航表现，在某城市随机抽取了部分车主冬季（气温）的实际续航里程数据，记为，分为“A组：；B组：；C组：；D组：”，并绘制成如下两幅统计图．已知该城市共有名该车型车主，根据样本数据估计冬季续航里程不低于的车主人数为（ ） A. 480 B. 540 C. 600 D. 660 【答案】C 【解析】 【分析】先根据B组的人数和所占百分比求出样本容量，再求出A组所占百分比，进而求出C组和D组的总百分比，最后利用样本估计总体即可求解． 【详解】解：由条形统计图可知B组有36人，由扇形统计图可知B组占，  ∴ 样本总容量为（人）． ∵ A组有24人，  ∴ A组所占百分比为 ．  ∵ 续航里程不低于对应C组和D组，  ∴ C组和D组所占百分比为．  ∴ 估计冬季续航里程不低于的车主人数为 （人）． 7. 如图，在等腰中，，点D为的中点，连接，点E与点 C关于对称，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出 ，，即可求出答案． 【详解】解：设，  ∵是等腰直角三角形，  ∴  在中， ∵点E与点C关于对称  ∴垂直平分， 设与交于点F，则，  ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 8. 《周礼·考工记》中记载了古代水利营建智慧，古人通过精准计算工时与工程长度的比例，保障了水渠灌溉系统的高效修建．古代水利工程队修复水渠，已知修复1米长的石渠比修复1米长的木渠所用工时多1天．若同样用30天工时，修复石渠的长度比木渠的长度少5米，设修复1米木渠需要x天工时，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为分式方程应用题，先根据所设未知数表示出修复1米石渠的工时，再分别求出30天工时内可修复的木渠和石渠的长度，最后根据长度关系列出方程即可． 【详解】解：设修复1米木渠需要天工时，修复1米长的石渠比修复1米长的木渠多用1天工时，则修复1米石渠需要天工时． ∵总工时为30天，总长度等于总工时除以修复1米所需工时， ∴30天可修复木渠长度为米，可修复石渠长度为米． 又∵相同30天工时下，修复石渠的长度比木渠的长度少5米， ∴． 9. 如图，的直径，点 C 是的中点，的平分线交于点 D．过点 D 作的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明 ，得到，故A选项正确；求出，，得到，故B选项正确； 求出，得到，故C选项正确；过点作 于点 H ， ，得到，故D选项错误． 【详解】解：连接， ∵点 C 是的中点，的直径， ∴， ， ∴， ∵的平分线交于点 D． ∴，  ∵， ∴， ， ∴，  ∵是的切线，  ∴，即 ， ∵，  ∴， 故A选项正确； ∵， 在中，，， ∴，， ， 故B选项正确； 在中，，， ∴是等腰直角三角形 ， ∵， ∴， ∴， 故 C 选项正确； 过点作于点 H ， 在中，， ∴ ， ∴， 故 D 选项错误． 10. 已知抛物线经过不同的两点，，当时，，若，则d的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线对称轴为y轴，先根据给定的范围的不等式判断开口方向，再利用点在抛物线上推导和d的关系，验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， 若，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，不满足时， ∴，抛物线开口向上，开口向上时，，随增大而减小，最小值在处， ∴， 将代入抛物线得， ，得， ∵ ∴， ∴，且当时，取得最小值． 由①式得， ∴抛物线为， 将代入抛物线得， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故排除选项A（）和D（）， 对，满足，但此时，得到，不存在a的值．故排除选项C． 综上所述，d的值可能为，B选项符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在中， ，是线段的垂直平分线，交于点 D，交于点 E．若，则的长度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求，，根据即可求出答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，  ∴，  ∵， ∴，  ∵，  ∴， 在中，，  ∴是等腰直角三角形，  ∴ ∴． 13. 如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先求出，再根据菱形的性质得到，则，最后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 14. 某社区为选拔暑期社会实践优秀志愿者，对报名学生进行服务时长、群众评价、活动策划、团队协作四项考核（百分制），四项成绩按m：n：p：q（m,n,p,q均为正数）的比例计算最终综合成绩．两位学生甲、乙的各项成绩及最终成绩如表： 学生 服务时长 群众评价 活动策划 团队协作 最终成绩 甲 a 75 85 90 82 乙 b 95 85 95 82 由以上信息，判断a与b的大小关系：a_____b（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别列出甲、乙两人最终成绩的等式，结合已知可得，即可得与的大小关系． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式，结合题意可得， 整理得 ． 同理对乙可得：， 整理得 ． 由可知两式右边相等，因此左边相等， 即． 移项合并同类项得． ∵均为正数， ∴，， ∴， ∴． 15. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（）与运动时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为时，运动速度为_______． 运动时间t（s） 1 2 3 …… 运动速度v/（） 11 10 9 …… 【答案】6 【解析】 【分析】求出函数解析式，代入即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当运动时间每增加，则运动速度降低，则速度v（）与运动时间t（s）之间的函数关系式为, 当时，， 即当运动时间为时，运动速度为． 16. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，连接，．若，且满足，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，根据反比例函数比例系数的几何意义，得，，证明得到，再结合反比例函数图象在第四象限即可求出k的值． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第四象限， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 如图，四边形为平行四边形，，．求证：． 【答案】证明： 四边形是平行四边形， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和直角三角形全等的判定．由平行四边形对边相等可得，结合已知条件和，可利用定理证明，从而证得对应角相等． 【详解】略 19. 先化简，再求值： 其中 【答案】 【解析】 【详解】解： 当时， 原式 20. 某热播电视剧的主创人员参加电视游戏节目，宣传该剧的同时参加游戏节目所获得的奖金将用于资助贫困山区学生．游戏节目规则如下：现有四扇关闭的门（外观均相同），其中一扇门后有该电视剧的海报，另外三扇门后则没有任何物品，每位主创人员选择其中的一扇门，若选中的门后有该电视剧的海报，则可获得奖金． （1）求每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率； （2）为了提高主创人员的游戏参与度，游戏节目组将规则进行了调整，新的规则如下：现有四扇关闭的门，其中两扇门后面有该电视剧的海报，另外两扇门后面则没有任何物品，每位主创人员可先选择其中的一扇门，之后关闭这扇门并由主持人移动门的位置（此时主创人员背对门），最后由这名主创人员再重新选择一扇门打开，若两次选中的门后均有该电视剧的海报，则可获得奖金．请你判断调整规则后获得奖金的概率有没有提高，若有提高请说明理由，若没有提高，请说明理由并给出一个修改方案使得在调整后的游戏规则下获得奖金的概率比原始规则有所提高（新提出的修改方案不用说明理由）． 【答案】（1） （2）调整规则后获得奖金的概率没有提高．修改方案示例：若两次选门中至少有一次选中有海报的门则获得奖金．（其他符合要求的方案均可） 解：调整规则后，共有4扇门，其中2扇门后有海报，两次选择相互独立， 第一次选门时，选中有海报门的概率为， 主持人移动门位置后，第二次选门时，选中有海报的门的概率仍为， 设两扇有海报的门为，两扇没有有海报的门为，画树状图如下： 所有等可能的情况为16种，两次都选中情况共有4种，两次都选中才能获奖，因此调整规则后的获奖概率为， 与原规则获奖概率相等，因此调整规则后获得奖金的概率没有提高． 修改方案：若两次选门中至少有一次选中有海报的门，则可获得奖金． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意设计方案即可． 【小问1详解】 解：已知共有4扇门，只有1扇门后有海报，选择是等可能的， 总共有4种等可能的选择结果，其中获奖的结果有1种， 因此每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率为． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）记与交于点G，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及平行线的性质证明即可； （2）连接，过点分别作，垂足为点，先证明，则，，设，则在等腰中，，则，可得是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，则，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点分别作，垂足为点， ∵ ∴ 由旋转可得， ∵ ∴ ∴，， 设， 则在等腰中， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22. 如图，矩形中，，为对角线． （1）求作 ，使得点E 与点A在同侧，且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）如图，即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，在线段的垂直平分线上；且点在以为直径的圆上．因此作的垂直平分线，再以中点为圆心、为半径画圆，两线交点即为． （2）过点作于点，直线于点．由为等腰直角三角形得．通过角度代换可证，从而证明，得到．再结合矩形的性质推出其为正方形，设，在中用勾股定理列方程求解，最后求． 【小问1详解】 解：作图步骤如下： 分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线即为线段的垂直平分线，与交于点； 以点为圆心，长为半径画圆，该圆与的垂直平分线交于两点，取其中与点在同侧的点即为点； 连接、，则即为所求． 由作图可知，点E在线段的垂直平分线上，，以点为圆心，长为半径画圆， 【小问2详解】 解：过点作于点，直线于点， 四边形是矩形，，， ，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， 设，则， 在中，， ， 解得或， 当时，，此时点与点在异侧，舍去， ，， 在中， ． 23. 抛物线经过点． （1）求c的值； （2）已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 【答案】（1） （2）①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． （1）请把①②③④所缺的内容补充完整； （2）请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； （3）利用排序不等式解决问题2． 【答案】（1）①，②，③<，④将10辆轿车按照充电时间从小到大的顺序安排充电 （2）证明：设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序）， ∴第k辆轿车的等候时间为， 当时，总等候时间为， 由排序不等式可知，反序和乱序和顺序和， ∵是递减序列， 要使S最小，则为递增序列，即为反序和， ∴按充电时间从小到大安排充电，总等候时间最短． （3）解：能安排，可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩： 【解析】 【分析】（1）先明确两辆车的等候时间构成，据此计算出总时间，再将两种顺序的总时间作差，从而求出结果，根据即可判断出大小关系，最终通过上述结论推导猜想出问题1的求解方案； （2）设10辆轿车充满电的时间按从小到大的排序为：（均为正实数），充电顺序为（到的排序），通过反序和最小的性质证明出结论； （3）根据（2）证明的结论先将10辆车的充电时间进行排序，计算出充电时间的总和，根据题意得出每台充电桩的总充电的理想时间为，通过枚举法进行对比计算得出最短时间即为优选方案． 【小问1详解】 解：由题意知，若充电时间为的轿车先充电，则第一辆车完成充电的等候时间为， 第二辆车完成充电的时刻为分钟，两辆车等候的总时间为分钟， ∴， ∵， ∴，则，即， 要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电， 可猜想出问题1的解决方案为：按充满电所需时间从小到大的顺序安排充电即可． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：先将10辆车的充电时间从小到大排列为：， ∴10辆轿车的充电时间总和为：， ∵充电桩的充电效率均相同，总时间为各充电桩时间之和， ∴同时完成则各桩时间相等， 要使3台充电桩同时完成充电，则每台充电桩的总充电的理想时间为：， 由问题1的结论可知，每台桩内的轿车需按充电时间的从短到长的顺序充电， ∴P，Q，R桩存在以下情况（先后顺序不计）： ①P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：， R桩的顺序为：； ②P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：； ③P桩的顺序为：，Q桩的顺序为：，R桩的顺序为：， 对于①：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于②：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：； 对于③：P桩等待时间为：，Q桩等待时间为：，R桩等待时间为：， 总等待时间为：， ∵， ∴可选择方案为：P桩：，Q桩：，R桩：或P桩：，Q桩：，R桩：． 25. 如图， 是等腰 的外接圆，其中，点D为上一点，连接，，与交于点E，延长交的延长线于点 F，点G是延长线上一点，连接并延长交于点H，且． （1）求证：点H在的垂直平分线上； （2）求证： （3）若 求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点H在的垂直平分线上． （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即． （3）5 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，进而可得，则，即可证明结论； （2）连接，先证明，可得，再证明，即可证明结论； （3）连接，，，连接，延长交于点，可得垂直平分，由（1）可知，，则，可得，设，，圆的半径，则，，，在中，可得，由（2）可知，，证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，，连接，延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， 设，，圆的半径，则，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 由（2）可知，， ∵， ∴， 由圆周角定理得，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的半径为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班学业水平考前热身训练 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分．每小题所给选项中，仅一项符合题目要求． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某新能源汽车厂商为了解其新车型在不同气温下的真实续航表现，在某城市随机抽取了部分车主冬季（气温）的实际续航里程数据，记为，分为“A组：；B组：；C组：；D组：”，并绘制成如下两幅统计图．已知该城市共有名该车型车主，根据样本数据估计冬季续航里程不低于的车主人数为（ ） A. 480 B. 540 C. 600 D. 660 7. 如图，在等腰中，，点D为的中点，连接，点E与点 C关于对称，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 《周礼·考工记》中记载了古代水利营建智慧，古人通过精准计算工时与工程长度的比例，保障了水渠灌溉系统的高效修建．古代水利工程队修复水渠，已知修复1米长的石渠比修复1米长的木渠所用工时多1天．若同样用30天工时，修复石渠的长度比木渠的长度少5米，设修复1米木渠需要x天工时，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的直径，点 C 是的中点，的平分线交于点 D．过点 D 作的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过不同的两点，，当时，，若，则d的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_____． 12. 如图，在中， ，是线段的垂直平分线，交于点 D，交于点 E．若，则的长度是_______． 13. 如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 14. 某社区为选拔暑期社会实践优秀志愿者，对报名学生进行服务时长、群众评价、活动策划、团队协作四项考核（百分制），四项成绩按m：n：p：q（m,n,p,q均为正数）的比例计算最终综合成绩．两位学生甲、乙的各项成绩及最终成绩如表： 学生 服务时长 群众评价 活动策划 团队协作 最终成绩 甲 a 75 85 90 82 乙 b 95 85 95 82 由以上信息，判断a与b的大小关系：a_____b（填“>”“=”或“<”） 15. 阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（）与运动时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为时，运动速度为_______． 运动时间t（s） 1 2 3 …… 运动速度v/（） 11 10 9 …… 16. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，连接，．若，且满足，则k的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，四边形为平行四边形，，．求证：． 19. 先化简，再求值： 其中 20. 某热播电视剧的主创人员参加电视游戏节目，宣传该剧的同时参加游戏节目所获得的奖金将用于资助贫困山区学生．游戏节目规则如下：现有四扇关闭的门（外观均相同），其中一扇门后有该电视剧的海报，另外三扇门后则没有任何物品，每位主创人员选择其中的一扇门，若选中的门后有该电视剧的海报，则可获得奖金． （1）求每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率； （2）为了提高主创人员的游戏参与度，游戏节目组将规则进行了调整，新的规则如下：现有四扇关闭的门，其中两扇门后面有该电视剧的海报，另外两扇门后面则没有任何物品，每位主创人员可先选择其中的一扇门，之后关闭这扇门并由主持人移动门的位置（此时主创人员背对门），最后由这名主创人员再重新选择一扇门打开，若两次选中的门后均有该电视剧的海报，则可获得奖金．请你判断调整规则后获得奖金的概率有没有提高，若有提高请说明理由，若没有提高，请说明理由并给出一个修改方案使得在调整后的游戏规则下获得奖金的概率比原始规则有所提高（新提出的修改方案不用说明理由）． 21. 如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）记与交于点G，若，求的值． 22. 如图，矩形中，，为对角线． （1）求作 ，使得点E 与点A在同侧，且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 23. 抛物线经过点． （1）求c的值； （2）已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 探“排序不等式”，寻资源匹配最优解 问题背景 排序不等式：若，为两组正实数组，为 的任意一种排列，分别称，，为反序和，乱序和，正序和，则． 利用排序不等式，我们合理安排工作顺序，可以提高某项工作的完成效率，实现资源匹配最优解，请看下面问题． 问题1：随着新能源汽车的普及，充电轿车走进了千家万户．某电车快速充电站同时有10辆轿车要充电，设第i辆轿车充满电需时间分钟 ，且这 10 辆轿车充满电量所需时间均不相同，如果充电站仅提供一台充电桩，应如何安排这10辆轿车的充电顺序，使所有轿车等候的总时间最短? 验证猜想证明 假设只有两辆充电轿车，且两辆车充满电量所需时间分别为，分钟，不妨设 ，若充电时间为的轿车先充电，则等候分钟，接着的轿车充电等候了分钟，两辆车等候的总时间分钟； 若充电时间为的轿车先充电，则两辆车等候的总时间 分钟． 所以 ，故③ （填“>”， “<”或“=”）． 所以要使两辆轿车等候的总时间最短，则充满电量所需时间短的轿车先充电． 据此，猜测问题1求解方案为： ④ ． 拓展迁移 如果充电站有三台编号分别为P，Q，R的充电桩（充电效率相同）可供充电，且充电站管理员了解到这10辆轿车的充电时间如下表所示， 轿车编号 A B C D E F G H I J 充电时间 （单位：分钟） 30 80 100 70 45 90 50 60 40 65 问题2 如果你是充电站管理员，能否安排这10辆轿车分别在哪台充电桩充电和相应的充电顺序，使得这三台充电桩同时完成充电且这10辆轿车等候的总时间最短?若能，直接写出安排方案；若不能，请说明理由． （1）请把①②③④所缺的内容补充完整； （2）请利用排序不等式证明：问题1的求解方案能使这10辆轿车等候的总时间最短； （3）利用排序不等式解决问题2． 25. 如图， 是等腰 的外接圆，其中，点D为上一点，连接，，与交于点E，延长交的延长线于点 F，点G是延长线上一点，连接并延长交于点H，且． （1）求证：点H在的垂直平分线上； （2）求证： （3）若 求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $