精品解析：江苏宿迁市沭阳如东实验学校2025-2026学年八年级第二学期数学5月阶段测试

2025-2026学年度第二学期八年级阶段练习数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄．下列说法中正确的是（ ） A. 本次调查采用的是普查 B. 名运动员是总体 C. 每个运动员是个体 D. 名运动员的年龄是总体的一个样本 3. 在分式中，若a、b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大6倍 4. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 从装满白球的袋子中取出红球 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 小明投篮练习时，连续两次投进篮筐 D. 平行四边形对角相等 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 10. 已知在一个样本中，个数据分别落在个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为，则第四组的频率是______． 11. 某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为___________（精确到）； 12. 在四边形中，，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，得到四边形，若对角线，则四边形是________．（填形状） 13. 已知，则代数式的值为___________． 14. 某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得_________________________． 15. 已知实数a满足，那么的值是________． 16. 已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为_________． 17. 若满足关系式 ，则 ____． 18. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． （2）成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 24. 2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 25. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： （1）如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 26. 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ； ，当且仅当时取等号 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，求当______时，有最小值，最小值为______； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为3和12，求四边形的面积的最小值． 27. 形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简： 28. 定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”． （1）如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． （2）如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级阶段练习数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 2. 为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄．下列说法中正确的是（ ） A. 本次调查采用的是普查 B. 名运动员是总体 C. 每个运动员是个体 D. 名运动员的年龄是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了样本、总体、个体，关键是掌握样本、总体、个体的定义．进行分析即可．总体：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本． 【详解】解：A选项：为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄， 本次调查采用的是抽样调查，故A选项不符合题意； B选项：名运动员的年龄情况是总体，故B选项不符合题意； C选项：每个运动员的年龄情况是个体，故C选项不符合题意； D选项：名运动员的年龄是总体的一个样本，故D选项正确． 故选：D． 3. 在分式中，若a、b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大6倍 【答案】C 【解析】 【分析】把分式中的分子，分母中的 都同时变成原来的3倍，就是用分别代替式子中的a ，b，看得到的式子与原式子的关系． 【详解】解：∵将分式中都扩大到原来的3倍，得到， ∴分式的值不变， 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质． 4. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 从装满白球的袋子中取出红球 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 小明投篮练习时，连续两次投进篮筐 D. 平行四边形对角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，据此求解即可． 【详解】解：A、从装满白球的袋子中取出红球是不可能事件，不符合题意； B、任意掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； C、小明投篮练习时，连续两次投进篮筐是随机事件，不符合题意； D、平行四边形对角相等是必然事件，符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需注意算术平方根的非负性，根据平方根和算术平方根定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：，但结果写为，故A错误； 选项B：，等式成立，故B正确； 选项C：，但结果写为，故C错误； 选项D：，但结果写为，故D错误． 故选：B． 6. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴判断与的符号，再结合二次根式和绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 7. 如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．连接，过作，根据，分别是，的中点得到，由平行四边形性质可得，，，可得，得到，即可得到，则根据勾股定理可得的长度，进而可得，即可解答． 【详解】解：连接，过作， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴，，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，掌握被开方数非负数以及分母不为0，是解答本题的关键． 根据被开方数为非负数以及分母不为0，列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：，且， 故答案为：，且． 10. 已知在一个样本中，个数据分别落在个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为，则第四组的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率，先求出第四组数据的个数，根据频率的计算公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第四组数据的个数为， ∴第四组的频率是， 故答案为：． 11. 某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为___________（精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】根据大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值即可解答； 【详解】解：由表格可知水稻种子的发芽频率在左右波动， ∴该种水稻种子发芽的概率的估计值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，理解大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值是解题关键． 12. 在四边形中，，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，得到四边形，若对角线，则四边形是________．（填形状） 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，同理得到，，，得到且，进而得解． 【详解】解：如图： ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形为矩形． 故答案为： 矩形． 13. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．利用整体代入的思想是解题关键． 由已知可得出．再将代数式变形为，最后整体代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则现在平均每天生产万件，由现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天建立方程． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得：， 故答案为：． 15. 已知实数a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 16. 已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为_________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式等知识，首先求出关于x的方程的解，然后根据解是非负数，再解不等式求出的取值范围．． 【详解】解：关于的方程得， ， ， 方程的解是非负数， 且， 解这个不等式得且． 故答案为：且． 17. 若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为1，即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）两边同时乘以x(x+1)，化成整式方程求解即可． （2）两边同时乘以（x-2）(x+2)，化成整式方程求解即可． 【小问1详解】 ∵， 去分母，得 30（x+1）=20x， 去括号，得 30x+30=20x， 移项、合并同类项，得 10x=-30, 系数化为1，得 x=-3, 检验：当时，， 是原方程的根． 【小问2详解】 ∵ ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 4x=-8, 系数化为1，得 x=-2, 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式. 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、“斜中半”等知识点，熟练掌握菱形的性质与判定是本题解题关键． （1）由条件，得到四边形是平行四边形，再根据角平分线的条件通过倒角得到一组邻边相等即可证得； （2）利用菱形的性质可得对角线互相垂直平分，通过勾股定理得线段的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理求得的长度． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又平分， ， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 在菱形中，，，， 三角形是直角三角形， ， ， 且， ， ， ， ． 23. 为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． （2）成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）200，16， （2）估计该校成绩优秀的学生约有940人 【解析】 【分析】（1）根据B组人数和占比求出总数，乘以A组占比求出a的值，乘以D组占比即可求出n； （2）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得B组有40人，占比为， ∴所抽取的学生人数是； ∴频数分布条形图中； ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得，E组人数为：（人） （人）， 答：估计该校成绩优秀的学生约有940人． 24. 2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 （2）故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【解析】 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． 【小问2详解】 解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 25. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： （1）如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形中位线定理作图即可； （2）根据菱形的中心对称性作图即可； （3）连接，交于，作直线交于，连接交于，于点． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问3详解】 解：如图为的垂线，垂足为． 证明：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 26. 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ； ，当且仅当时取等号 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，求当______时，有最小值，最小值为______； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为3和12，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的最小值为2； 【小问2详解】 解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值为． 【小问3详解】 解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为27． 27. 形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简： 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解：， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 原式 ． 28. 定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”． （1）如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． （2）如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】（1）正方形 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【小问1详解】 解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； 【小问2详解】 证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图， ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，灵活运用这些性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $