精品解析：江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷

2024－2025学年度第二学期第二次定时练习八年级数学试卷 （时间：120分钟总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列不是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 四条边都相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的函数y＝kx＋k和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 (　　) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y kx 与 y 图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（ ） A. 4 B. 1.5 C. 3 D. 6 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 请写出一个含有，并且化简结果为分式____________． 10. 函数是反比例函数，并且图象在一、三象限，则________． 11. 2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____． 13. 反比例函数y＝﹣的图象与一次函数y＝﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a，b)，则＝_____． 14. 在反比例函数的图象上有两点，，则______．（填“” “”或“”） 15. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 16. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 17. 如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（1，2），B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接AC并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段AD的中点，则n的值为 _____． 18. 如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 21. 已知反比例函数 （1）如果这个函数的图象经过点，求k的值； （2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 22. 如图，在中，是的平分线，，交于于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求菱形的面积． 23. 如图，点，分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求反比例函数与正比例函数的解析式； （2）求四边形的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 24. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 25. 小明家饮水机中原有水温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 26. 对于正数x，规定：．例如：． （1）求值：______；=______；______． （2）猜想：______，并证明你的结论； （3）求：值． 27. 问题提出 某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线，那么夹在这两条平行线间的与的面积相等，该结论容易推导：与都以边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高、相等，从而得到与的面积相等，兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？证明结论． （1）通过证明可以发现上述结论反过来也是成立的，即如果与的面积相等，那么直线．请你结合图1完成该证明， 结论应用 （2）如图2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D判断并证明与的位置关系． 28. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期第二次定时练习八年级数学试卷 （时间：120分钟总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查分式的定义：形如的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可． 【详解】解：在代数式，，，中，分式有，，共3个， 故选：C 2. 下列不是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．或或的函数是反比例函数．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，是反比例函数，故该选项不符合题意； B．，是正比例函数，故该选项符合题意； C．，是反比例函数，故该选项不符合题意； D．，是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 四条边都相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定方法依次分析各选项即可作出判断. 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形， B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形， D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，均为真命题，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故为假命题，本选项符合题意. 故选： 【点睛】特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 4. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得． 【详解】解： 方程两边同时乘得：， 解得：， 方程有增根， ， ， ， ． 故选： D． 5. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子，若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设乙组每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子， ， 故选：A． 6. 关于x的函数y＝kx＋k和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 (　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当k＞0时，函数y=kx+k的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=的图象在第一、三象限，故选项A错误，选项D正确， 当k＜0时，函数y=kx+k的图象在第二、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选项B错误，选项C错误， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积. 【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D， 如图， ∵反比例函数y=-为对称图形， ∴O为AB 的中点， ∴S△AOC=S△COB， ∵由题意得A点在y=-上，C点在y=上， ∴S△AOD=×OD×AD=xy=1； S△COD=×OC×OD=xy=2； S△AOC= S△AOD+ S△COD=3， ∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6. 故答案选C. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算. 8. 如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（ ） A. 4 B. 1.5 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 请写出一个含有，并且化简结果为的分式____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查分式的性质，理解并掌握分式的性质，分式的约分化简是解题的关键． 10. 函数是反比例函数，并且图象在一、三象限，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣10=﹣1，根据函数图象分布在第一、三象限内，可得m﹣2＞0，然后求解即可． 【详解】根据题意得：m2﹣10=﹣1且m﹣2＞0，解得：m1=3，m2=﹣3且m＞2，所以m=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 11. 2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 12. 若分式的值为0，则x的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零是解题的关键．根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 13. 反比例函数y＝﹣图象与一次函数y＝﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a，b)，则＝_____． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征得到ab=﹣3，a+b=5，把原式变形，代入计算即可． 【详解】∵反比例函数的图象与一次函数y=﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a，b)， ∴ab=﹣3，b+a=5， 则， 故答案为：﹣． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 14. 在反比例函数的图象上有两点，，则______．（填“” “”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，因为，所以反比例函数经过第一、三象限，所以在每个象限内，随的增大而较小，然后两点，在该函数上，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵两点，在该函数上，， ∴， 故答案为：． 15. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 16. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 17. 如图，双曲线（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（1，2），B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接AC并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段AD的中点，则n的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出k及m的值得到函数解析式，由点C恰好是线段AD的中点，得到点C的坐标，代入平移后的解析式求出n的值． 【详解】解：将A（1，2）代入得k=2， ∴， 将A（1，2）代入y＝mx得m=2， ∴y=2x， ∵点C恰好是线段AD的中点， ∴点C的纵坐标为1， 将y=1代入，得x=2， ∴C（2，1）， 将直线AB向下平移n个单位，得到y=2x-n， ∵过点C， ∴4-n=1， 解得n=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，线段中点的性质，这是一道基础的综合题，确定点C的坐标是解题的关键． 18. 如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到．延长到K使，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得，即可求出线段的最小值为． 【详解】解：如图，延长到K使，连接，， 为的中点， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得：， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以，得， 去括号得， 解得：， 检验：把代入， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：把代入， ∴是原分式方程的解． 20. 先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 21. 已知反比例函数 （1）如果这个函数的图象经过点，求k的值； （2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【小问1详解】 1）把点（k，—1）代入，得， ∴． 【小问2详解】 ∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 22. 如图，在中，是的平分线，，交于于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求菱形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 23. 如图，点，分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，． （1）求反比例函数与正比例函数的解析式； （2）求四边形的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，平行四边形的面积． （1）利用待定系数法求反比例函数与正比例函数的解析式； （2）由反比例函数及正比例函数性质可知，点的坐标为，再结合平行四边形的性质即可求解； （3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入，可得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，可得：，即 ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由反比例函数及正比例函数的性质可知，点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为， ∵轴于点， 轴于点， ∴且，， ∴四边形为平行四边形，则； 【小问3详解】 解：∵，， 由函数图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 24. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，根据各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶，购进两种玩偶的数量共15个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 即（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 25. 小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】（1）y=10x+20；（2）t=40；（3）小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃． 【解析】 【分析】（1）由函数图像可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式． （2）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值． （3）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可． 【详解】（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y=10x+20； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=， 依据题意，得：100=， 即m=800，故y=， 当y=20时，20=， 解得：t=40； （3）∵45﹣40=5≤8， ∴当x=5时，y=10×5+20=70， 答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃． 【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键，同学们在解答时要读懂题意，才不易出错． 26. 对于正数x，规定：．例如：． （1）求值：______；=______；______． （2）猜想：______，并证明你的结论； （3）求：的值． 【答案】（1），1，1 （2）1，证明见解析 （3）2024 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间项，最后再求和即可． 【小问1详解】 解：；； ； ；； ； 故答案：，1，1； 【小问2详解】 解：， 证明：， ； 故答案为：1； 【小问3详解】 解： ． 27. 问题提出 某数学兴趣小组在课外学习时，发现了这样一个结论：如图1，如果直线，那么夹在这两条平行线间的与的面积相等，该结论容易推导：与都以边为底，根据“两条平行线间的平行线段相等”可知，它们的高、相等，从而得到与的面积相等，兴趣小组在交流时，有成员提出，该结论反过来成立吗？证明结论． （1）通过证明可以发现上述结论反过来也是成立的，即如果与的面积相等，那么直线．请你结合图1完成该证明， 结论应用 （2）如图2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D判断并证明与的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数与几何综合等，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据面积公式，得，结合，，得，即四边形是平行四边形，即可作答． （2）连接，，延长、相交于点E，先求出，，进而求出，，，．根据面积公式可求出，即可作答． 【详解】解：（1）∵，，． ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即． （2） 理由：连接，，延长、相交于点E， ∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴， ∵在的图象上， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵ ，， ∴，，，， ∵， ， ∴， ∴． 28. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】（1），； （2）①8；②符合条件点坐标是和． 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $