精品解析：四川省绵阳东辰国际学校2022年八年级上册数学专题练习：专题一_专题二：三角形的三边、高、中线、角平分线

1. 已知a>b>c>0，则以a、b、c为三边组成三角形的条件是（ ） A. b+c>a B. a+c>b C. a+b>c D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的三条边应满足任意两边之和大于第三边，即只要两个较小的数的和大于最大的数就行． 【详解】解：已知a＞b＞c＞0，则以a，b，c为三边组成三角形的条件是b+c＞a． 故选：A． 【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理的正确理解，掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 2. 长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】解：四根木条的所有组合：，，和，，和，，和，，； ∵；；；； ∴能组成三角形的有，，和，，和，，，共3种． 3. 一根长为的绳子围成一个三边不相等的三角形，则三角形的最长边x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论． 【详解】解：设三角形的其他两边为：y，z， ∵x+y+z=，y+z＞x ∴可得x＜，又因为x为最长边大于， ∴； 故选A 【点睛】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于． 4. （1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求解即可； （2）同（1）求出a的取值范围，再化简绝对值计算； （3）根据等腰三角形及三角形三边长的关系，分情况讨论得到周长即可． 【详解】解：（1）根据题意，， 解得：； （2），解得， ， ； （3）①，解得， ②如果是等腰三角形， 当时，，不符合题意； 当时，此时的周长是． 5. （1）已知a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足等式，边长c为奇数，则c的值为________． （2）已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 【答案】 ①. 9 ②. 7 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角形的三边关系求解即可； （2）先求出，，根据三角形的三边关系求出，当时，2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去，当时，2，2，3能组成三角形，则的周长是，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴， 即， ∵c为奇数， ∴； （2）∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得或2， 当时，， ∴2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去， 当时，， ∴2，2，3能组成三角形， ∴的周长是． 6. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的3倍少． （1）若围成的三角形是一个等腰三角形，则此三角形的三边长为________； （2）若第一条边长最短，则x的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先表示出三边，再根据等腰三角形的定义分类讨论，注意结合三角形的三边关系求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）第一条边长为，第二条边长比第一条边长的3倍少，则第二条边长为， 第三边长为， ①当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ②当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ③当， 解得，则底边长为，两腰的长分别为， 综上所述，若能围成一个等腰三角形，则这个三角形的三边长分别为； （2）依题意， 解得． 7. 如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 8. 如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【答案】4，6，8，10 【解析】 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 【详解】解：∵M为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 9. 已知的三边长分别为a，b，c，且，求c的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出，，可得，然后根据和三角形的三边关系，据此计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系得，即， ∴， ∴c的取值范围是． 10. 如图，在中，，是的高． （1）若，则________； （2）若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； （2）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； 【详解】解：（1）∵，是的高， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； （2）由（1）可得， ∵是的外角， ∴． 11. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交的延长线于点E．若，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先求出，，得到，推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，于点D． （1）若，则的度数为________； （2）若，则的度数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据垂线定义得出，求出结果即可； （2）根据解析（1）的方法，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，于点D，于点E，与交于点H，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】设，则，，根据三角形内角和列方程求解，结合垂直的性质和三角形外角求解即可． 【详解】解：，设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】用表示，再利用，求出，再表示出，发现其等于，进而在直角三角形中求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，于点D，平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再由角平分线定义求出，然后在直角三角形$ABD$中求出，最后通过角的差求出． （2）用表示，按照与第(1)问相同的思路推导，可发现． 【小问1详解】 解：在中，， 平分， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 平分， ， ， ， ． 16. 如图，在中，平分，，且，则的度数是_________． 【答案】##60度 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17. 如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，则∠F=______． 【答案】9.5°##9°30´ 【解析】 【详解】∵AB//CD，∠CDE=119°， ∴∠CDE=∠DEB=119°，∠AED=180°—119°=61°； ∵EF平分∠DEB ∴∠DEF=∠DEB=59.5°， ∴∠GEF=∠DEF+∠AED=59.5°+61°=120.5° ∴∠F=∠AGF-∠GEF=130°-120.5°=9.5° 故答案为9.5° 【点睛】平行线的性质；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 18. 如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，则的度数是__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，求出，的度数，平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质求出的度数，最后再利用三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在中，，，是的平分线，于点E，交于，则的度数是______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用角平分线的性质结合垂直的定义以及平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出， ，得到，， 再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵分别平分 ∴，， ∴． 21. 如图，在中，是角平分线，平分，交于点E，则与的数量关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，得到，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是角平分线，平分， ∴， ∴ ． 22. 如图，平分的外角交的延长线于点D． （1）若，，求的度数是 ； （2）若，求的度数(用含的式子表示)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 【小问1详解】 解：，， ， ， 平分的外角， ， ； 【小问2详解】 解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，中，，平分．若交于F，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】由三角形内角和定理、角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明． 【详解】∵∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C ∴∠BAC=180°－3∠C ∵AE平分∠BAC ∴ ∵AE⊥EF ∴∠AEF=90° ∴ ∴ ∴∠C=2∠FEC． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，灵活运用这些知识是关键． 24. 在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F． （1）如图1，点M为边上一点，则的位置关系是___________，并证明； （2）如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是___________，并证明； 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，首先证明，得到，然后根据角平分线的概念和平行线的判定求解即可； （2）延长交于点，首先根据三角形的内角和定理得到，然后根据角平分线的概念及垂直的判定求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 过点作， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，理由如下： 延长交于点， ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 已知a>b>c>0，则以a、b、c为三边组成三角形的条件是（ ） A. b+c>a B. a+c>b C. a+b>c D. 以上都不对 2. 长为，，，的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 3. 一根长为的绳子围成一个三边不相等的三角形，则三角形的最长边x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. （1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 5. （1）已知a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足等式，边长c为奇数，则c的值为________． （2）已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 6. 用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的3倍少． （1）若围成的三角形是一个等腰三角形，则此三角形的三边长为________； （2）若第一条边长最短，则x的取值范围是_______． 7. 如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 8. 如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 9. 已知的三边长分别为a，b，c，且，求c的取值范围． 10. 如图，在中，，是的高． （1）若，则________； （2）若，则________． 11. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交的延长线于点E．若，，则的度数是________． 12. 如图，在中，，于点D． （1）若，则的度数为________； （2）若，则的度数为________． 13. 如图，在中，，于点D，于点E，与交于点H，求的度数． 14. 如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 15. 如图，在中，于点D，平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 16. 如图，在中，平分，，且，则的度数是_________． 17. 如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，则∠F=______． 18. 如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，则的度数是__________． 19. 如图，在中，，，是的平分线，于点E，交于，则的度数是______． 20. 如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 21. 如图，在中，是角平分线，平分，交于点E，则与的数量关系为________． 22. 如图，平分的外角交的延长线于点D． （1）若，，求的度数是 ； （2）若，求的度数(用含的式子表示)． 23. 如图，中，，平分．若交于F，求证：． 24. 在中，，平分，M为直线上一动点，，E为垂足，的平分线交直线于点F． （1）如图1，点M为边上一点，则的位置关系是___________，并证明； （2）如图2，点M为边延长线上一点，则的位置关系是___________，并证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $