精品解析：陕西省西安中学2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试题

西安中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部. 【详解】， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 2. 已知，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】对两边平方结合可得，结合数量积夹角公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：A. 3. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解. 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 4. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A. EF与GH互相平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D. EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 5. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为求，根据圆锥体积公式计算即可. 【详解】如图， 依题意可知， ，所以，1小时小时． 故选：B． 6. 在中，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的代数表示和运算，判断的形状. 【详解】， ，（点是的中点）， 是等腰三角形， 又 ，即， ，， 是等腰非等边三角形. 故选：D 7. 如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求，最后由共圆、三角形面积公式求面积. 【详解】由，即， 所以题图圆的直径，故，又， 所以，， 由四边形四点共圆，故， 所以. 故选：B 8. 如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件等式及外接圆圆心性质可得直线是线段的垂直平分线，进而求解. 【详解】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以. 二、多选题：本题共4小题，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以 ，故D正确. 10. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据垂直和平行满足的坐标关系即可求解AB，根据模长公式即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时 ，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确. 故选：AD 11. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断； C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值. 【详解】，A错误； 由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确. 由知，，设，则解得故，C正确. ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确. 故选：BCD. 12. 若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成的角为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的内切球的体积为 D. 该圆锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意求得圆锥的母线、高以及底面半径，并作出图象，对于A，根据圆锥的几何性质，结合线面角的定义，可得答案；对于B，根据圆锥的体积公式，可得答案；对于C、D，根据圆锥的轴截面，利用等边三角形的性质，结合球的体积与表面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长为，圆锥侧面展开图的弧长为， 设圆锥的底面半径为，则，解得，则圆锥的高， 如下图： 对于A，设圆锥的母线与底面所成的角为，则，解得，故A错误； 对于B，圆锥的体积，故B正确； 对于C，设圆锥的内切球的球心为，半径为，可得此时圆锥的轴截面，如下图所示： 由，则在等边中，内切圆半经，即， 所以圆锥的内切球的体积，故C错误； 对于D，设圆锥的外接球的球心为，半径为，可得此时圆锥的轴截面，如下图所示： 在等边中，外接圆半径，即， 所以圆锥的外接球的表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且，不反向共线. 由，得，所以； 由，不反向共线，得，所以； 所以，的夹角为钝角，可得x的取值范围是. 14. 若复数满足，则复数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，（），结合条件得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义求解即可． 【详解】解：设，（）则由, 得，即． 复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图： 表示复数在复平面内对应点到点的距离 所以最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 15. 已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 16. 在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，利用余弦定理得到，再利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形的面积求解. 【详解】解：因为， 所以， 由余弦定理得， 因为， 所以， 由余弦定理得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设虚数（a，，i是虚数单位），是实数. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1 （2）0 【解析】 【小问1详解】 由题意可得， 则，即，故. 【小问2详解】 由题可得，再将代入得 ，因为，， 所以，故. 18. 已知中，、、分别为角、、的对边，且满足． （1）求角； （2）若点为边上一点，满足，求的外接圆的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理求出的值，可得出的值，即可求得角的值，求出角的值，利用正弦定理结合圆的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，，故； （2）如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得，， 故，则， ，，则为等边三角形，则， 所以，的外接圆半径为，因此，. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. （1）证明：平面PCD； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 20. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值． （2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值． 【详解】（1）在中，由， 得，又，∴． ∵ ∴ 由得：，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且 ∴ 在中， ， 解得： （2）由（1）得：， ，此时，，且 当时，四边形的面积最大，即，此时， ∴，即 答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 21. 的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；(2)结合已知条件利用正弦定理表示出，再利用三角恒等变换求值即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 在中，， 故， ∴， ∴，， 从而，， ∵，∴； 【小问2详解】 由正弦定理得，，，其中为的外接圆半径， 故 ， 因为是锐角三角形，，， 即且， 故，， 所以， 从而，故， 故三角形周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A. EF与GH互相平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D. EF与GH的交点M一定在直线AC上 5. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 6. 在中，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 7. 如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为锐角 11. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 12. 若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成的角为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的内切球的体积为 D. 该圆锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________ 14. 若复数满足，则复数的最大值为______. 15. 已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________． 16. 在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设虚数（a，，i是虚数单位），是实数. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 已知中，、、分别为角、、的对边，且满足． （1）求角； （2）若点为边上一点，满足，求的外接圆的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. （1）证明：平面PCD； （2）求四棱锥的体积. 20. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 21. 的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $