精品解析：陕西省西安市西安中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

西安中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（ ） A. 每一个四边形的对角线都不互相垂直 B. 存在一个四边形，它的对角线不垂直 C. 所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 存在一个四边形，它的对角线互相垂直 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 7. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9. 已知集合，若，则实数值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若且，则 D. 11. 已知，都为正数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 12. 高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 在上是增函数 三、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在答题卡上相应位置.） 13. 求值：＋ ＝_____________． 14. 函数的图象必经过定点______. 15. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为______． 16. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 四、解答题：（本题共5小题，共40分.应写出文字说明、证明过程演和算步骤.） 17. 解关于的不等式； 18 已知集合，，， （1）求，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式 20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式： （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？ 21. 设幂函数在单调递增， （1）求的解析式； （2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（ ） A. 每一个四边形的对角线都不互相垂直 B. 存在一个四边形，它的对角线不垂直 C. 所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 存在一个四边形，它的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定分析判断即可. 【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题， 所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误. 故选：B. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，． 故选：A． 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 7. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可. 【详解】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9. 已知集合，若，则实数值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将集合中的方程左式分解因式，就参数进行分类考虑，结合题设条件判断计算即得. 【详解】,由可得， ① 当时，，满足，故D正确； ② 当时，，满足，故A正确； ③ 当且时，，要使，须使，解得此时满足，故B正确. 故选：ABD. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及作差法即可求解. 【详解】对于A选项，若，则，则，A正确； 对于B选项，若，则，B错误； 对于C选项，若且，则， 则，故，C正确； 对于D 选项，， 当且仅当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，都为正数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一分析判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 则的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为，故D正确. 故选：ABD． 12. 高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 在上是增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据知错误；利用分式值域的求法可求得，进而根据高斯函数定义可知的值域，知正确；化简得到知正确；根据单调性的性质可推导得到正确. 【详解】对于，，， ，不是偶函数，错误； 对于，， ，，，， 当时，，当时，， 的值域是，正确； 对于，，奇函数，正确； 对于，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，即在上是增函数，正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体，考查函数值域、单调性和奇偶性的知识. 三、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在答题卡上相应位置.） 13. 求值：＋ ＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】＋ ＝ 故答案为： 14. 函数的图象必经过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数的定点的知识求得正确答案. 【详解】当，即时，， 所以定点坐标为. 故答案为： 15. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时即可求出参数的取值范围. 【详解】①当时，成立； ②当时，只需，解得. 综上可得，即实数的取值范围为． 故答案为： 16. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围. 详解】由以及可得； 再由以及可得； 若，使成立可得， 即，解得； 又，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共40分.应写出文字说明、证明过程演和算步骤.） 17. 解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 18. 已知集合，，， （1）求，； （2）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用交并补运算直接求解； （2）由条件转化为真包含于，讨论和两种情况，利用集合包含关系列式求解. 【小问1详解】 ，即 ，， 又或，或. 【小问2详解】 是的充分而不必要条件，故真包含于， 当时，有，即； 当时，有，即， 综上所述，实数m的取值范围为. 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解并验证即可； （2）通过单调性的定义即可求解； （3）通过单调性、奇偶性去求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. 【小问2详解】 设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. 【小问3详解】 ∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式： （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？ 【答案】（1） （2）100千件 【解析】 【分析】（1）分、两种情况分别求出； （2）利用二次函数及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题可知当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 则时有最大值； 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以当时有最大值； 综上，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 21. 设幂函数单调递增， （1）求的解析式； （2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式； （2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得的解析式. 【小问1详解】 ∵是幂函数且在单调递增， ∴，解得，∴. 【小问2详解】 即，解得， ∴的定义域为. 则，当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $