第16讲 极值与最值·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦极值与最值核心考点，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破求极值、参数求解、最值计算及综合应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分类讨论与构造辅助函数策略，如含参函数极值点个数问题通过导函数变号零点分析培养数学思维，不等式恒成立问题用分离参数法提升数学语言表达。设置基础到综合的分层练习，配合方法总结与真题演练，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第16讲 极值与最值 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1.极值与最值 2 2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 3 三、典题精练 4 考点一：求函数的极值与极值点 4 考点二：根据极值、极值点求参数 6 考点三：求函数的最值 8 考点四：根据最值求参数及综合应用 9 四、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第6题 单选题 5分 直接 考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分析导数符号 2026 第11题 多选题 6分 间接 解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数后利用导数求最值 2025 第19题 解答题 17分 直接 考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最值求参数的最小值 2024 第10题 多选题 6分 直接 考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定区间上的最值 2024 第18题 解答题 17分 直接 考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最值及取值范围 近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强. 2. 命题角度与特色 · 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最值解决恒成立问题. · 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，将几何最值或代数最值转化为函数最值问题. · 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧. 3. 备考策略 · 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性. · 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏. · 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数工具求解最值. 二、知识清单 1.极值与最值 （1） 函数的极值 · 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作.如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为极值，称为极值点. · 注： ①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点 ；但推不出为的极值点. （2）函数的最值 · 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者. · 导函数为 () ①当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者. ②当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者. 注： ①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值. ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点. ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【易错提醒】 · 可导函数在处取得极值，则，但只是在处取得极值的必要不充分条件. · 闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值. · 函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不一定小于极大值. 2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 （1） 若函数在区间上存在最小值和最大值，则 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 . （2） 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式（或）在区间上恒成立 . 不等式（或）在区间上恒成立 . （3） 若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 . （4） 若函数在区间上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式（或）在区间上有解 . 不等式（或）在区间上有解 . （5） 对于任意的，总存在，使得. （6） 对于任意的，总存在，使得. （7） 若存在，对于任意的，使得. （8） 若存在，对于任意的，使得. （9） 对于任意的，使得. （10） 对于任意的，使得. （11） 若存在，总存在，使得. （12） 若存在，总存在，使得. 三、典题精练 考点一：求函数的极值与极值点 考法1：根据导数图象与概念判断极值点 例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考法2：求具体函数的极值与极值点 例2.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考法3：含参函数的极值点个数问题 例3.（2026·福建福州·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 考法4：含参函数的极值求解与讨论 例4.（2026·广东中山·二模）已知函数. （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性. 考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合 例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　） A. B. 是极小值点 C. D. 考法6：极值与不等式证明及恒成立问题 例6.（2026·山东德州·三模）已知函数. 求的极值； 【考点一 方法总结】 · 根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与 轴的交点及两侧符号变化，正变负为极大值点，负变正为极小值点. · 求具体函数的极值：求导，解 ，列表分析单调性，确定极值. · 含参函数极值点个数：求导后，根据参数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变化，或转化为导函数变号零点个数. · 极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极值点所在区间，再结合单调性分析. · 极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证明不等式. 考点二：根据极值、极值点求参数 考法7：已知极值求参数 例7.已知函数在处取得极大值，则（ 　　） A. 8 B. C. 2 D. 考法8：已知极值点求参数 例8.（2025·江西·五月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　） A. 2 B. C. 1 D. 考法9：根据极值点个数求参数范围 例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数 例10.（2026·山东东营·一模）已知函数， 若函数在处取得极值， （i）求的值； （ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【考点二 方法总结】 · 已知极值或极值点求参数：利用 且 极值，列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点. · 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式 求解. · 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围. 考点三：求函数的最值 考法11：求具体函数的最值 例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考法12：求含参函数的最值 例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 考法13：最值与不等式、方程综合 例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 · 求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值. · 含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位置，进而解出参数. · 最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式. 考点四：根据最值求参数及综合应用 考法14：已知最值求参数 例14.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数 例15.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明 例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数. （1）在处切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【考点四 方法总结】 · 已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论. · 最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对最值函数求导寻找参数的最值或范围. · 极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·全国一卷）设函数，求在的最大值； 给定，设为实数，证明：存在，使得； 若存在使得对任意，都有，求的最小值. 3.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4.（2024·全国一卷）已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，且被截得的弦长分别为，则（ 　　） A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有3条 C. 满足的直线多于3条 D. 当时，的最大值为 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 极值与最值 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1.极值与最值 2 2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 3 三、典题精讲 4 考点一：求函数的极值与极值点 4 考点二：根据极值、极值点求参数 9 考点三：求函数的最值 12 考点四：根据最值求参数及综合应用 14 四、高考真题 18 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第6题 单选题 5分 直接 考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分析导数符号 2026 第11题 多选题 6分 间接 解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数后利用导数求最值 2025 第19题 解答题 17分 直接 考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最值求参数的最小值 2024 第10题 多选题 6分 直接 考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定区间上的最值 2024 第18题 解答题 17分 直接 考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最值及取值范围 近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强. 2. 命题角度与特色 · 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最值解决恒成立问题. · 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，将几何最值或代数最值转化为函数最值问题. · 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧. 3. 备考策略 · 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性. · 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏. · 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数工具求解最值. 二、知识清单 1.极值与最值 （1） 函数的极值 · 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作.如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为极值，称为极值点. · 注： ①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点 ；但推不出为的极值点. （2）函数的最值 · 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者. · 导函数为 () ①当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者. ②当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者. 注： ①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值. ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点. ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【易错提醒】 · 可导函数在处取得极值，则，但只是在处取得极值的必要不充分条件. · 闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值. · 函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不一定小于极大值. 2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 （1） 若函数在区间上存在最小值和最大值，则 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 ； 不等式在区间上恒成立 . （2） 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式（或）在区间上恒成立 . 不等式（或）在区间上恒成立 . （3） 若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 ； 不等式在区间上有解 . （4） 若函数在区间上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式（或）在区间上有解 . 不等式（或）在区间上有解 . （5） 对于任意的，总存在，使得. （6） 对于任意的，总存在，使得. （7） 若存在，对于任意的，使得. （8） 若存在，对于任意的，使得. （9） 对于任意的，使得. （10） 对于任意的，使得. （11） 若存在，总存在，使得. （12） 若存在，总存在，使得. 三、典题精讲 考点一：求函数的极值与极值点 考法1：根据导数图象与概念判断极值点 例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【思路】结合导数图象与 轴的交点，分析导数值的正负变化，进而判断原函数的单调性与极值点. 【解析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数在处取得极大值，在处取得极小值，∴极值点个数为2. 对应选项B. 【规律】第一步，找出导函数图象与轴的交点（变号零点）；第二步，观察零点两侧导数值的符号，由正变负为极大值点，由负变正为极小值点. 考法2：求具体函数的极值与极值点 例2.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【思路】先求出导函数，令导函数为零解出极值点，再通过列表或分析导函数在极值点两侧的符号变化确定极值点个数. 【解析】由函数，可得， 令，即，可得或， ∵，∴可得， 当时，，∴，单调递增； 当时，，∴，单调递减； 当时，，∴，单调递增； 当时，，∴，单调递增； 当时，，∴，单调递减； 当时，，∴，单调递增， ∴在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， ∴在区间的极值点为，共有4个. 对应选项A. 【规律】第一步，对函数求导得；第二步，令求出区间内的所有驻点；第三步，通过列表或分段判断驻点两侧与的符号，进而确定的符号变化，得出极值点个数. 考法3：含参函数的极值点个数问题 例3.（2026·福建福州·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【思路】对含参函数求导，根据参数的大小以及指数的奇偶性分类讨论导数的符号变化，从而确定极值点个数. 【解析】求导得出，令可得或或，对、的大小以及、的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项. 因为函数，该函数的定义域为， （1）当时，， 由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去； （2）当且时， ， 由可得或或， 因为函数有且仅有个极值点、、，且， 则且，符合题意， ①若，则，， 则，所以，，， 若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下： 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下： 单调递增 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时函数有两个极值点，不符合题意； 当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意； 当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时函数有个极值点，符合题意，且，，， 此时，则； ②当时，同理可知、均为偶数，且，，， 此时，则. 故D选项正确. 【规律】第一步，求导并提公因式，令找出可能的极值点；第二步，根据参数的大小关系确定零点的相对位置；第三步，根据指数的奇偶性，判断导函数在各个零点两侧的符号变化，筛选出真正的极值点. 考法4：含参函数的极值求解与讨论 例4.（2026·广东中山·二模）已知函数. （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】求导后，根据参数 的符号分类讨论导函数的单调性，进而分析原函数的极值情况. 【解析】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得极小值. （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，∴即在上单调递增. 当时，由，得，由，得， ∴即在上单调递减，在上单调递增. 【规律】第一步，求出导函数并再次求导得到；第二步，根据参数的符号（和）分类讨论的正负；第三步，由的符号得出导函数的单调区间. 考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合 例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　） A. B. 是极小值点 C. D. 【答案】BD 【思路】极值点满足超越方程，无法直接求解，需利用零点存在性定理确定其所在区间，再结合函数的单调性与周期性逐项分析. 【解析】由题意得的定义域为，则， 而极值点满足，则，结合题意得， 可得方程的根出现在时，即时， 而，，， 结合零点存在性定理得，， 对于A，由已知得，， 则，不满足，故A错误， 对于B，令，且， 令，则， 令，， 当时，，则在上单调递增， 而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 即存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则是的极小值点，故B正确， 对于C，由已知得，， 则，而， ，而，则，得到， 由正弦函数性质得在上单调递减， 则，得到，故C错误， 对于D，由题意得，， 满足，由已知得，则， 可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递增，则， 即，故D正确. 【规律】第一步，求导并令，转化为；第二步，利用零点存在性定理确定各极值点所在的区间；第三步，结合正弦函数的周期性与单调性，逐个分析相邻极值点的距离及极值的大小关系. 考法6：极值与不等式证明及恒成立问题 例6.（2026·山东德州·三模）已知函数. 求的极值； 【答案】极大值为，无极小值 【思路】对含有对数的函数求导，通过分析导函数的符号变化直接得出极值. 【解析】的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【规律】第一步，确定函数定义域为；第二步，求导并令导数为零解出驻点；第三步，判断两侧导数的符号，左正右负，从而确定在处取得极大值. 【考点一 方法总结】 · 根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与 轴的交点及两侧符号变化，正变负为极大值点，负变正为极小值点. · 求具体函数的极值：求导，解 ，列表分析单调性，确定极值. · 含参函数极值点个数：求导后，根据参数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变化，或转化为导函数变号零点个数. · 极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极值点所在区间，再结合单调性分析. · 极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证明不等式. 考点二：根据极值、极值点求参数 考法7：已知极值求参数 例7.已知函数在处取得极大值，则（ 　　） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【思路】利用极值点处导数为零及函数值等于极值列方程组，求出参数后务必进行充分性检验. 【解析】∵，∴， ∴，解得， 经检验，符合题意，∴. 故选：B 【规律】第一步，利用极值点处导数为零列出方程；第二步，利用极值列出方程；第三步，联立解出的值，并代回原函数检验是否确为极大值点. 考法8：已知极值点求参数 例8.（2025·江西·五月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【思路】利用极值点处导数为零求出参数的唯一候选值，再通过分析单调性验证其是否确为极值点. 【解析】由，得.∵是的极值点，∴，得，经检验知当时，满足是的极值点. 【规律】第一步，求导并利用求出的唯一候选值；第二步，将代回导函数，判断两侧的导数符号变化，验证其确实为极值点. 考法9：根据极值点个数求参数范围 例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合确定参数范围. 【解析】∵，∴， ∵函数恰有两个极值点，∴有两个变号零点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根， 令，则， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， ∴在处取得极大值，极大值为，无极小值， 又当时，，当时，， 当时，，当时，， ∴要使方程有两个不相等的实数根， 需满足或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【规律】第一步，求导并将“有两个极值点”转化为“导函数有两个变号零点”；第二步，分离参数得到；第三步，构造新函数并求导分析其单调性与极值，结合图象确定的取值范围. 考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数 例10.（2026·山东东营·一模）已知函数， 若函数在处取得极值， （i）求的值； （ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（i） （ii） 【思路】分离参数后，将恒成立问题转化为求新函数的最小值，通过多次求导分析单调性锁定最值. 【解析】（i）由，得， ∵在处取得极值，∴， 当时，， 当或时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意，故. （ii）由（i）知，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， ，∴在上单调递增， 又，∴存在，使得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，∴当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， ∴，∴. 【规律】第一步，利用极值点条件求出；第二步，将恒成立不等式分离参数得到；第三步，对多次求导分析单调性，求出其最小值，从而得到的范围. 【考点二 方法总结】 · 已知极值或极值点求参数：利用 且 极值，列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点. · 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式 求解. · 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围. 考点三：求函数的最值 考法11：求具体函数的最值 例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】求导确定极值点，比较极值与区间端点处的函数值，即可找出最大值. 【解析】，令，得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴. 【规律】第一步，求导并解出导数为零的点和；第二步，判断给定区间内导数的符号变化，得出单调性；第三步，比较极值与端点值，确定最大值. 考法12：求含参函数的最值 例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）为极小值点，无极大值点 （2） 【思路】求导后，根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最小值所在位置，进而解出参数. 【解析】（1）函数的定义域为， 又， ∴当时，当时， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， ∴在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， ∴，解得； 当，即，此时在上单调递减， ∴，不符合题意； 综上可得. 【规律】第一步，求导确定极小值点为；第二步，根据极小值点与区间的相对位置（在区间左侧、内部、右侧）分类讨论；第三步，分别求出各情况下的最小值并令其等于0，解出符合条件的. 考法13：最值与不等式、方程综合 例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】通过换元将复杂函数化简，利用导数分析新函数的极值情况，从而确定原函数极值存在的参数条件. 【解析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解. 令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， ∴存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， ∴的取值范围为. 故选：A 【规律】第一步，通过换元将原函数转化为；第二步，对求导并提取出核心部分；第三步，对求导分析其单调性与最值，进而确定原函数存在极值的参数条件. 【考点三 方法总结】 · 求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值. · 含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位置，进而解出参数. · 最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式. 考点四：根据最值求参数及综合应用 考法14：已知最值求参数 例14.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数的最小值. 【解析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值. 依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， ∴，解得. 故选：A 【规律】第一步，将最大值问题转化为不等式恒成立；第二步，结合图象发现相切时取最小值；第三步，利用导数求出相切时的临界条件，解出的最小值. 考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数 例15.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】分离参数后，将恒成立问题转化为求右侧函数的最小值，再对最小值函数求导寻找最大值. 【解析】若存在，对任意的，都有， 则对任意的恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， ∴， 设，则， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得最大值， ∴当取到最大值时，的值为. 故选：A. 【规律】第一步，将恒成立问题分离参数得到；第二步，对求导求出其最小值，得到；第三步，对求导分析单调性，求出其最大值对应的值. 考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明 例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数. （1）在处切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【思路】利用极值点满足的方程消去参数，将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题进行证明. 【解析】（1）对求导： ， ∵在处切线斜率为，∴， ∴， 解得； （2）（i）函数的定义域为，极值点满足， 即， 整理得， 该方程在有两个不同正根， ∴判别式，解得， 两根之和，两根之积， 综上； （ii）由（i）知， 先计算： ， 代入， 且， ∴， 要证， 即证， 整理得， 令， 求导， ∵， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当时，单调递增； 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 【规律】第一步，利用两根之和与两根之积将转化为关于参数的表达式；第二步，构造新函数并求导，利用隐零点替换对数项；第三步，结合对勾函数的单调性求出最大值，完成不等式证明. 【考点四 方法总结】 · 已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论. · 最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对最值函数求导寻找参数的最值或范围. · 极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 2.（2025·全国一卷）设函数，求在的最大值； 给定，设为实数，证明：存在，使得； 若存在使得对任意，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）， ∵，∴，∴， 当时，即， 当时，即， ∴在上为增函数，在为减函数， ∴在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为1的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾. ∴存在，使得成立. （3）记， ∵， ∴为周期函数且周期为，∴只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，∴， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， ∴，∴， 综上，可取使得等号成立. 综上，. 3.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】对A，∵函数的定义域为，而， 易知当时，，当或时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，∴， 而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， ∴，即，正确； 对D，当时，， ∴，正确. 4.（2024·全国一卷）已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，其中， 则， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，而成立，∴即， ∴的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，∴， 而， ， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）∵当且仅当，∴为的一个解， ∴即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， ∴恒成立，∴在上为增函数， ∴即在上恒成立. 当时，， ∴恒成立，∴在上为增函数， ∴即在上恒成立. 当，则当时，， ∴在上为减函数，∴，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，∴的解为， 即的解为. 综上，. 5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，且被截得的弦长分别为，则（ 　　） A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有3条 C. 满足的直线多于3条 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】三个圆的圆心分别为，半径均为1.这三个圆心构成一个边长为2的等边三角形. 直线与三个圆均有两个交点，等价于直线到三个圆心的距离均小于1. 对于A，若，直线趋近于垂直轴，其方程形如.要与均相交，需满足且，这显然不可能，∴不能取任意实数，A错误. 对于B，，即直线到三个圆心的距离相等.这样的直线是等边三角形的三条中位线所在的直线.中位线到顶点的距离为高的半，即，满足相交条件，∴共有3条，B正确. 对于C，弦长.当直线为中位线时，，此时，.由柯西不等式可证得的最大值为.∵函数连续，在最大值与最小值之间必定存在无穷多条直线满足和为3，∴满足条件的直线多于3条，C正确. 对于D，当时，直线. . . 令，则要求. 设，求导得. 令，解得，此时取得最大值. 代入得最大值为，D正确. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $