第11讲 函数的图像·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图像核心考点，涵盖基本初等函数图像、图像变换及应用（交点个数、方程根等），按考情分析、知识清单、典题精练（分识辨、变换、应用三考点）、高考真题的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“先定性后定量”识辨策略和分步变换教学法，如通过导数分析单调性识辨图像培养数学思维，利用翻折变换实例强化几何直观，设置典题精练分层练习配合方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第11讲 函数的图像 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 一、掌握基本初等函数的图像 2 二、函数图像作法 2 三、典题精练 3 考点一：函数图象的识辨 3 考点二：函数图象的变换 5 考点三：函数图象的应用 7 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 第7题 单选题 5分 直接 函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数） 2025 第8题 单选题 5分 间接 函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小） 2026 - 0分 - - 近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小. 2. 命题角度与特色 核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函数图象的走势与性质. 命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中. 试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征及作图方法. · 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，优先考虑画出图象辅助分析. · 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复杂函数的草图. 二、知识清单 一、掌握基本初等函数的图像 · （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5） 对数函数；（6） 三角函数. 二、函数图像作法 1. 直接画 · ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等). 2. 图像的变换 （1） 平移变换 · ①函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的. · ②函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的. · ③函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的. · ④函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的. （2） 对称变换 · ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称. · ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或 (实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数). · 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有或. · ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示. · ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数 (如图 (c) 所示). · ⑤函数与的图像关于对称. 【易错提醒】的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. （3） 伸缩变换 · ① () 的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到. · ② () 的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到. 三、典题精练 考点一：函数图象的识辨 考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象 例1.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　） A. B. C. D. 考法2：利用导数与单调性识辨图象 例2.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　） A. B. C. D. 考法3：含参基本初等函数图象的识辨 例3.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 · 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点. · 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键. · 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项. 考点二：函数图象的变换 考法1：平移、伸缩与对称变换的综合 例4.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　） A. B. C. D. 考法2：含有绝对值的翻折变换 例5.已知函数则下列图象错误的是（ 　　） A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 · 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰. · 熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）. · 处理对称性问题时，若恒成立，则图象关于直线对称；若恒成立，则图象关于直线对称. 考点三：函数图象的应用 考法1：由函数图象求解析式中的参数 例6.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. C. D. 考法2：利用函数图象解决方程零点问题 例7.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿. 考法3：利用函数图象解决不等式问题 例8.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法4：实际情境中的函数图象问题 例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 · 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数. · 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论. · 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围. · 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的图像 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 一、掌握基本初等函数的图像 2 二、函数图像作法 2 三、典题精讲 3 考点一：函数图象的识辨 3 考点二：函数图象的变换 6 考点三：函数图象的应用 8 四、高考真题 13 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 第7题 单选题 5分 直接 函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数） 2025 第8题 单选题 5分 间接 函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小） 2026 - 0分 - - 近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小. 2. 命题角度与特色 核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函数图象的走势与性质. 命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中. 试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征及作图方法. · 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，优先考虑画出图象辅助分析. · 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复杂函数的草图. 二、知识清单 一、掌握基本初等函数的图像 · （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5） 对数函数；（6） 三角函数. 二、函数图像作法 1. 直接画 · ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等). 2. 图像的变换 （1） 平移变换 · ①函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的. · ②函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的. · ③函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的. · ④函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的. （2） 对称变换 · ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称. · ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或 (实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数). · 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有或. · ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示. · ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数 (如图 (c) 所示). · ⑤函数与的图像关于对称. 【易错提醒】的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. （3） 伸缩变换 · ① () 的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到. · ② () 的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到. 三、典题精讲 考点一：函数图象的识辨 考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象 例1.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察给定图象，可以从特殊点的函数值、图象的对称性以及极值点的个数入手.通过代入特殊点的值排除部分选项，再结合导数分析极值点个数，最后验证符合图象特征的解析式. 【解析】对于 A 选项，，A 选项错误；对于 C 选项，，C 选项错误；对于 D 选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D 选项错误.对于 B 选项，，；当，时，，，此时，当，时，，，此时，当，时，，，此时，依次类推可知函数值有正有负；显然不单调；∵当时，∴有多个零点；∵，∴，∴既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故 B 正确.故选：B. 【规律】识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.通过排除法逐步缩小范围，最终确定正确选项. 考法2：利用导数与单调性识辨图象 例2.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】面对结构较为复杂的函数，常规的奇偶性有时无法直接判断，此时需借助导数工具.通过求导分析导函数的符号变化，进而确定原函数的单调区间与极值情况，对比各选项图象的升降趋势即可锁定答案. 【解析】∵，∴，排除选项 BD，∵，∴，设，，当时，即，，则在范围内是单调递增函数；当时，即，，则在范围内是单调递减函数；当时，∵，∴，∴在范围内是单调递增函数；当时，在范围内是单调递增函数，∵，，∴，使得，∴当时，，，则在是单调递减函数；∴当时，，，则在是单调递增函数；则选项 A 符合.故选：A. 【规律】当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键. 考法3：含参基本初等函数图象的识辨 例3.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】题目涉及指数函数与对数函数，且底数未知，需对底数进行分类讨论.分别探讨和两种情况下，两个函数的单调性及所过定点，寻找能够同时满足这两种图象特征的选项. 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【规律】解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项. 【考点一 方法总结】 · 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点. · 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键. · 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项. 考点二：函数图象的变换 考法1：平移、伸缩与对称变换的综合 例4.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】对比原图象与目标图象，观察关键点的位置变化.可以发现目标图象发生了翻转、平移以及宽度的缩放.依据“左加右减、上加下减”的平移法则以及对称、伸缩变换规则，逆向或正向推导解析式的变化过程. 【解析】，①关于轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C. 【规律】复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰. 考法2：含有绝对值的翻折变换 例5.已知函数则下列图象错误的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】题干给出了分段函数，可先画出原函数的准确图象.随后，分别根据绝对值在函数外和绝对值在自变量上的翻折规律，逐一验证各选项图象的正确性. 【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点.当时，，表示一段曲线.函数的图象如图所示. 的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确.故选：D. 【规律】熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.结合原图象特征即可迅速作答. 【考点二 方法总结】 · 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰. · 熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）. · 处理对称性问题时，若恒成立，则图象关于直线对称；若恒成立，则图象关于直线对称. 考点三：函数图象的应用 考法1：由函数图象求解析式中的参数 例6.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】观察图象中的垂直渐近线，这通常对应分母为零的点.结合图象经过的明确坐标点，代入解析式构建关于参数的方程组，解出参数后即可得到完整解析式并求值. 【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点，∴，解得，∴，∴，故选：A. 【规律】由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数. 考法2：利用函数图象解决方程零点问题 例7.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】处理复合函数方程时，采用换元法是突破口.令内层函数，先求解外层方程，再将求得的根作为常数，结合的图象，分析内层方程的交点个数.由于含有参数，需对其正负及大小进行分类讨论. 【解析】，当时，，此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下， 则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下， 则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， ∴与函数的图象只有1个交点，则，∴，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，∴与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， ∴与函数的图象只有1个交点，则，∴，解得；综上，的取值集合为. 【规律】解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象（数形结合）讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论. 考法3：利用函数图象解决不等式问题 例8.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】题目给出了函数在一个周期（或基础区间）内的解析式及递推关系，要求解不等式恒成立问题.可利用递推关系逐步推导出相邻区间上的解析式，进而画出函数在更广范围内的图象.借助图象直观找出满足的临界点. 【解析】∵当时，，∴，∵，当时，即时，由，∴，同理可得，依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则，对任意，都有，则，故的取值范围为. 【规律】遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围. 考法4：实际情境中的函数图象问题 例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】这是一个经典的实际应用模型.水匀速注入意味着体积与时间成正比.由于容器是圆锥形，截面积随高度增加而增大，因此相同体积的水带来的高度变化会越来越小.可以通过建立体积与高度的几何关系，推导出高度关于时间的函数表达式，利用导数分析其增长趋势. 【解析】设圆锥PO底面圆半径，高H，注水时间为时水面与轴PO交于点O'，水面半径AO'=，此时水面高度PO'=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，令水匀速注入的速度为，则注水时间为时的水的体积为，于是得，∵都是常数，即是常数，∴盛水的高度与注水时间的函数关系式是，，函数图象是曲线且是上升的，随值的增加，函数值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.故选：A. 【规律】解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率（如截面积变大导致上升速度变慢，即图象变缓）快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性. 【考点三 方法总结】 · 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数. · 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论. · 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围. · 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， ∴在上函数有三个周期的图象. 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有个交点. 故选：C. 2.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设， ∴. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根. 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，. 故选：B. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $