第四章 三角形 期末复习题 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 七年级下册三角形期末复习题，覆盖全等判定与性质、中线高线应用等核心知识，通过实际测量情境与“手拉手”“一线三垂直”模型题，提升推理能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|三边关系、高线识别、全等判定|基础概念辨析，如第5题测量池塘距离用ASA判定| |填空题|6题|全等性质、面积计算、角平分线|综合性质应用，如第17题正方形与平行线距离结合| |解答题|8题|倍长中线、手拉手模型、一线三垂直|模型探究与迁移，如24题手拉手模型证线段关系|

七年级下 第四章 三角形 期末复习题 一．选择题（共12小题） 1．若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 2．下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　） A．AF∥CE B．∠A＝∠C C．AF＝CE D．AB＝CD 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 6．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　） A．cm2 B．cm2 C．1cm2 D．2cm2 7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．请根据小明的方法进行思考，求得AD的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 8．如图，在三角形ABC中，AD、CE分别是这个三角形的两条高，AB＝5，BC＝4，AD+CE＝6.3，则三角形ABC的面积等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地．下列关系正确的是（　　） 甲：A→C→B，路程为S甲； 乙：A→D→E→B，路程为S乙． A．S甲＞S乙 B．S甲＝S乙 C．S甲＜S乙 D．S甲≥S乙 10．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中： ①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF；⑤AB＝AC．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 12．如图，AB＝12cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x（cm/s）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（　　） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 二．填空题（共6小题） 13．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为 　 　 ． 14．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为　 　 ． 16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，根据“SAS”判定方法，需要再添加的一个条件是　 　 ． 17．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条互相平行的直线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3，若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论： ①△ABC≌△EDC； ②∠DHF＝60°； ③若∠A＝60°，则AB∥CE； ④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC． 正确的有 　 　 ．（只填序号） 三．解答题（共8小题） 19．如图，点A，B，C，D在同一直线上，BC＝AD，AE∥DF，∠E＝∠F．求证：BE＝CF． 20．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长． 21．如图，点E在△BCD的边CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠1＝62°，求∠3的度数． 22．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　 　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，延长AD至点E，使DE＝DA，可得△ADC≌△EDB．请你说明理由． 【应用】如图2，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC中点，求证：DE＝2AM． 24．【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE．求证：△ABD≌△ACE； 【变式探究】（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，B、C、D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由． 25．【问题背景】 在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 　 　 ． 【探索延伸】 （2）在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD．上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，∠DAB＝140°，∠D＝50°，∠B＝130°，∠EAF＝70°，AB＝AD，BE＝2，DF＝3，直接写出EF的长度． 26．【模型探究】 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，AD⊥l，垂足为点D，BE⊥l，垂足为点E． （1）如图1，已知AD＝3，CD＝1，连接AE，则△ADE的面积为 　 　 ； （2）如图2，已知AD＝3，CD＝1，连接AE，则△ADE的面积为 　 　 ； 【方法迁移】 （3）如图3，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．又以BC为斜边构造Rt△BCD，其中CD＝3，求△ACD的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．请以AB为边在AB左侧构造等腰直角三角形ABD，连接CD构造△BCD，则△BCD的面积为 　 　 ． 参考答案 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C B C C C A C A D 二．填空题（共6小题） 13．65°． 14．45°． 15．2． 16．AB＝CD． 17．52． 18．①②③④． 三．解答题（共8小题） 19．证明：∵点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF， ∴∠BAE＝∠D， ∵BC＝AD， ∴BC+CA＝AD+CA， 即AB＝DC， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CF． 20．（1）证明：∵AE∥BF（已知）， ∴∠A＝∠B（两直线平行，内错角相等）， 在△ACE和△BDF中 ， ∴△ACE≌△BDF（ASA）； （2）解：∵△ACE≌△BDF， ∴AC＝BD（全等三角形对应边相等）， ∵AB＝8， ∴． 21．解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下： 如图1所示： ∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上， ∴∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+BD＝AD+AE＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC， ∵BD＝12，DE＝7， ∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC， ∴EC＝12﹣7＝5， ∴△ACE的面积为：CE•AE5×12＝30， 故答案为：30； （3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下： 在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝CE，∠ACB＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠3＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°， ∵AC﹣CF＝BC﹣CE， ∴AF＝EB， 在△AFE和△EBD中， ， ∴△AFE≌△EBD（SAS）， ∴∠AFE＝∠EBD＝135°， ∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BD． 22．（1）证明：∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝62°， ∴∠3＝62°． 23．证明：∵在△ABC中，AB＞AC，AD是中线， ∴BD＝CD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； 【应用】如图2，M为BC中点，延长AM到N，使MN＝AM，连接BN． ∴CM＝BM． 在△AMC和△NMB中， ， ∴△AMC≌△NMB（SAS）， ∴∠C＝∠NBM，AC＝NB， ∵AD＝AC，AB⊥AE，AD⊥AC， ∴AD＝NB，∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD+∠BAC＝180°， 又∵∠ABN+∠BAC＝∠ABC+∠NBM+∠BAC＝∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠EAD＝∠ABN． 在△ADE和△NAB中， ， ∴△ADE≌△NAB（SAS）， ∴DE＝AN， ∵AN＝2AM， ∴DE＝2AM． 24．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：BD＝CE，BD⊥CE， ∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC， ∵∠ECD+∠ADB＝∠EAD+∠AEC， ∴∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴BD⊥CE； （3）解：∠A+∠BCD＝180°， 理由：如图，延长DC至P，使DP＝DB，连接PB， ∵∠BDC＝60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD＝BP，∠DBP＝60°， ∴∠ABC＝∠DBP， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠PBD﹣∠DBC，即∠ABD＝∠PBC， 在△ABD和△CBP中， ， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP＝∠A， ∵∠BCD+∠BCP＝180°， ∴∠BCD+∠A＝180°． 25．解：（1）如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴EF＝FG， ∵GF＝GD+DF＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+FD； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG， ∴∠BAD＝∠EAG． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF∠EAG， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵GF＝GD+DF＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF； （3）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠GDA+∠FDA＝180°，∠FDA＝50°，∠B＝130°， ∴∠GDA＝∠B＝130°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG， ∴∠BAD＝∠EAG． ∵∠DAB＝140°，∠EAF＝70°， ∴， ∴， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵GF＝GD+DF＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF， ∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝BE+DF＝2+3＝5． 26．解：（1）如图1所示： ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE， ∵AD＝3，CD＝1， ∴CE＝3， ∴DE＝CD+CE＝1+3＝4， ∴△ADE的面积为：DE•AD4×3＝6， 故答案为：6； （2）如图2所示： ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE， ∵AD＝3，CD＝1， ∴CE＝3， ∴DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2， ∴△ADE的面积为：DE•AD2×3＝3， 故答案为：3； （3）过点A作AH⊥CD于点H，如图3所示： ∴∠AHC＝∠CDB＝90°， ∴∠CAH+∠ACH＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACH+∠BCD＝90°， ∴∠CAH＝∠BCD， 在△CAH和△BCD中， ， ∴△CAH≌△BCD（AAS）， ∴AH＝CD＝3， ∴△ACD的面积为：CD•AH3×3＝4.5； （4）依题意有以下三种情况： ①当∠DAB＝90°，AD＝AB时，过点D作DK⊥AC于点K，过点D作DT⊥BC交BC的延长线于点T，如图4①所示： ∴∠DKA＝∠ACB＝90°， ∴∠ADK+∠KAD＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠KAD+∠BAC＝90°， ∴∠ADK＝∠BAC， 在△DAK和△ABC中， ， ∴△DAK≌△ABC（AAS）， ∴DK＝AC＝3，AK＝BC＝2， ∴CK＝AC﹣AK＝3﹣2＝1， ∵DK⊥AC， ∴∠DKC＝∠ACB＝90°， ∴DK∥BC， ∴DT⊥BC， 根据平行线间的距离相等得：DT＝CK＝1， ∴△BCD的面积为：BC•DT2×1＝1； ②当∠ABD＝90°，BD＝AD时， 过点D作DP⊥BC交BC延长线于点P，如图4②所示： ∴∠P＝∠ACB＝90°， ∴∠PBD+∠PDB＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠PBD+∠CBA＝90°， ∴∠PDB＝∠CBA， 在△PDB和△CBA中， ， ∴△PDB≌△CBA（AAS）， ∴PD＝BC＝2， ∴△BCD的面积为：BC•DP2×2＝2； ③当∠ADB＝90°，DA＝DB时，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，如图4③所示： ∴∠AMD＝∠N＝∠DMC＝∠ACB＝∠ACN＝90°， ∴四边形DMCN是矩形， ∴∠MDN＝∠ADM+∠MDB＝∠MDB+∠BDN＝90°， ∴∠ADM＝∠BDN， 在△ADM和△BDN中， ， ∴△ADM≌△BDN（AAS）， ∴DM＝DN，AM＝BN， ∴矩形DMCN是正方形， 设为CN＝CM＝DN＝DM＝a， ∴AM＝AC﹣CM＝3﹣a，BN＝BC+CN＝2+a， ∴3﹣a＝2+a， 解得：a＝0.5， ∴DN＝a＝0.5， ∴△BCD的面积为：BC•DN2×0.5＝0.5， 综上所述：△BCD的面积为1或2或0.5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $