第04讲 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第04讲 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：命题的真假判断 题型 2：全称量词命题与存在量词命题的识别 题型 3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 题型 4：全称量词命题与存在量词命题的否定 题型 5：根据量词命题的真假求参数（判别式法） 题型 6：根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 题型7：综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 全称量词 存在量词 全称量词命题 存在量词命题 含量词命题的否定 1. 理解命题的定义，能准确判断一个语句是否为命题，并能判断简单命题的真假。 2. 理解全称量词、存在量词的含义，能识别全称量词命题与存在量词命题，掌握两类命题的符号表示方法。 学习重点：命题的概念与真假判断，全称 / 存在量词命题的识别与符号表示，含量词命题的否定规则。学习难点：含量词命题的否定的规范书写，根据量词命题的真假求解参数的取值范围，多量词命题的逻辑处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 定义：可供真假判断的陈述语句就是命题.判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题， 即时即练（多选题）（2026·高一·广东汕尾·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 知识点02 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 即时即练下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 知识点03 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 即时即练已知下列命题：①有些四边形是菱形；②；③有一个实数x，使.其中真命题（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 知识点04 命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 即时即练已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 题型 1：命题的真假判断 【典例1-1】（2026·高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【典例1-2】（2026·高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【变式1-2】下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【变式1-3】下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 题型 2：全称量词命题与存在量词命题的识别 【典例2-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【典例2-2】（2026·高一·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【变式2-1】（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【变式2-2】（2026·高一·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【变式2-3】（2026·高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 题型 3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【典例3-1】（2026·高一·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例3-2】（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【变式3-1】（2026·高一·安徽·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 题型 4：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例4-1】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·福建莆田·期末）命题“， ”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2026·高二·浙江·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·广西河池·期中）命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 题型 5：根据量词命题的真假求参数（判别式法） 【典例5-1】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【典例5-2】（2026·高一·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 【变式5-1】（2026·高一·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【变式5-2】已知命题；命题.若命题，都是真命题，则实数的取值范围为______． 题型 6：根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 【典例6-1】（2026·高一·上海·期中）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 【典例6-2】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【变式6-1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）若命题：，为假命题，则实数a的取值范围是______. 【变式6-2】（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 题型7：综合问题 【典例7-1】（2026·高一·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【典例7-2】（2026·高一·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2026·高一·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【变式7-2】（2026·高一·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 1．（2026·高三·浙江金华·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 4．（2026·高一·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 6．（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·山东聊城·期末）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（多选题）（2026·高一·西藏林芝·期末）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 9．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 11．（2026·高一·江苏南京·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 12．（2026·高一·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 13．（2026·高一·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 14．（2026·高一·重庆合川·阶段检测）已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 15．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 16．若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 17．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 18．（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 20．（2026·高一·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：命题的真假判断 题型 2：全称量词命题与存在量词命题的识别 题型 3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 题型 4：全称量词命题与存在量词命题的否定 题型 5：根据量词命题的真假求参数（判别式法） 题型 6：根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 题型7：综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 全称量词 存在量词 全称量词命题 存在量词命题 含量词命题的否定 1. 理解命题的定义，能准确判断一个语句是否为命题，并能判断简单命题的真假。 2. 理解全称量词、存在量词的含义，能识别全称量词命题与存在量词命题，掌握两类命题的符号表示方法。 学习重点：命题的概念与真假判断，全称 / 存在量词命题的识别与符号表示，含量词命题的否定规则。学习难点：含量词命题的否定的规范书写，根据量词命题的真假求解参数的取值范围，多量词命题的逻辑处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 定义：可供真假判断的陈述语句就是命题.判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题， 即时即练（多选题）（2026·高一·广东汕尾·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 【答案】AD 【解析】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确； 对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误； 对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数， 所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误； 对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确； 故选：AD. 知识点02 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 即时即练下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】C 【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：C. 知识点03 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 即时即练已知下列命题：①有些四边形是菱形；②；③有一个实数x，使.其中真命题（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解析】对于①，四边相等的四边形是菱形，所以①是真命题； 对于②，，即，所以②是真命题； 对于③，，故不存在实数x，使成立，所以③是假命题. 所以真命题的个数是2个. 故选：B. 知识点04 命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 即时即练已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． 题型 1：命题的真假判断 【典例1-1】（2026·高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解析】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 【典例1-2】（2026·高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解析】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A：最小的自然数为0，不可能使，故A错误； 对于B：，解得，故B错误； 对于C：判别式，方程无实数解，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【解析】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 【变式1-3】下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 题型 2：全称量词命题与存在量词命题的识别 【典例2-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【解析】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【典例2-2】（2026·高一·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【解析】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 【变式2-1】（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【变式2-2】（2026·高一·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【解析】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 【变式2-3】（2026·高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 题型 3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【典例3-1】（2026·高一·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 【典例3-2】（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【解析】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 【变式3-1】（2026·高一·安徽·阶段检测）下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 【答案】C 【解析】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 题型 4：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例4-1】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原命题的否定为. 【典例4-2】（2026·高一·福建莆田·期末）命题“， ”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为“， ”. 【变式4-1】（2026·高二·浙江·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为命题为全称量词命题，其否定为． 【变式4-2】（2026·高一·广西河池·期中）命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】A 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 题型 5：根据量词命题的真假求参数（判别式法） 【典例5-1】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【典例5-2】（2026·高一·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 【变式5-1】（2026·高一·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 【变式5-2】已知命题；命题.若命题，都是真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为命题为真，所以； 因为命题为真，所以，解得或． 因为命题，均为真命题，所以． 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型 6：根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 【典例6-1】（2026·高一·上海·期中）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 【典例6-2】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【答案】 【解析】因为，要使“恒成立”， 只需，因为的最小值为，即， 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）若命题：，为假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】，而，则， 由命题为假命题，得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 由题意，总使， 即，总有， 所以是的子集， 所以，解得， 故所求为. 故答案为：. 题型7：综合问题 【典例7-1】（2026·高一·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以或； （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意， 当时，而，， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 【典例7-2】（2026·高一·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 【变式7-1】（2026·高一·陕西宝鸡·期中）已知全集，集合，非空集合，其中. (1)当时，求； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，而，则， 所以或. （2）由命题“，都有”是真命题，得，而 B 为非空集合， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 【变式7-2】（2026·高一·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 1．（2026·高三·浙江金华·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 2．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【解析】，故命题为真． 又，． 4．（2026·高一·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 5．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【解析】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 6．（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 7．（多选题）（2026·高一·山东聊城·期末）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【解析】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 8．（多选题）（2026·高一·西藏林芝·期末）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【解析】由题知，且，所以，，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 9．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，或为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以， 故集合可以是BD选项中的集合. 故选：BD． 10．（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（2026·高一·江苏南京·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】命题“，”为真命题，即恒成立， 又在上单调递减，所以，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2026·高一·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（2026·高一·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】若命题为真命题，则，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得， 又，故，综上可得； 由命题和有且仅有一个是真命题， 则当真假时，； 当假真时，； 故命题和有且仅有一个是真命题时，. 故答案为：；. 14．（2026·高一·重庆合川·阶段检测）已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】为真命题，则， 为真命题，则，， 所以与同时为真命题时，， 从而与不同时为真命题时，的范围是， 故答案为：． 15．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 【答案】或 【解析】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 16．若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由命题p：是假命题， 可得命题是真命题， 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【解析】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 18．（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 19．（2026·高一·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 20．（2026·高一·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $