第05讲 充分条件、必要条件（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第05讲 充分条件、必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：充分条件与必要条件的关系判定 题型 2：数学文化背景下的条件关系问题 题型 3：充分、必要与充要条件的探究 题型 4：根据条件关系求解参数取值范围 题型 5：充要条件的双向论证 题型 6：条件关系与量词命题的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 充分条件 必要条件 充要条件 1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握三类条件的定义与逻辑含义，明确条件与结论的推出关系。 2. 能准确判断两个命题之间的条件关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 3. 掌握充要条件的证明方法，能完成简单的充要条件的双向证明过程。 4. 能根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求解对应参数的取值范围。 5. 能结合集合的包含关系理解条件关系，掌握用集合思想快速判断条件关系的方法。 学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的核心概念，两类条件关系的基础判定方法。 学习难点：充分条件与必要条件的逻辑区分，充要条件的双向严谨证明，根据条件关系求解参数取值范围，用集合思想处理复杂条件关系问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 即时即练已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 即时即练已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 题型 1：充分条件与必要条件的关系判定 【典例1-1】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2026·高一·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026·高一·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 2：数学文化背景下的条件关系问题 【典例2-1】（2026·高一·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2-2】（2026·高三·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2026·高一·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2026·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 3：充分、必要与充要条件的探究 【典例3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 题型 4：根据条件关系求解参数取值范围 【典例4-1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【典例4-2】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式4-2】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式4-3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型 5：充要条件的双向论证 【典例5-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【变式5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【变式5-2】设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 题型 6：条件关系与量词命题的综合应用 【典例6-1】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【典例6-2】（2026·高一·北京·期中）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【变式6-1】（2026·高一·江苏常州·期中）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式6-3】（2026·高一·广东中山·阶段检测）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 3．（2026·高一·福建宁德·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 7．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．是的充分不必要条件 C．集合与集合表示同一集合 D．设全集为，若，则 8．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 9．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 10．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 11．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 13．（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．（2026·高一·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 15．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16．已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·江西九江·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（2026·高一·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 充分条件、必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：充分条件与必要条件的关系判定 题型 2：数学文化背景下的条件关系问题 题型 3：充分、必要与充要条件的探究 题型 4：根据条件关系求解参数取值范围 题型 5：充要条件的双向论证 题型 6：条件关系与量词命题的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 充分条件 必要条件 充要条件 1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握三类条件的定义与逻辑含义，明确条件与结论的推出关系。 2. 能准确判断两个命题之间的条件关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 3. 掌握充要条件的证明方法，能完成简单的充要条件的双向证明过程。 4. 能根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求解对应参数的取值范围。 5. 能结合集合的包含关系理解条件关系，掌握用集合思想快速判断条件关系的方法。 学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的核心概念，两类条件关系的基础判定方法。 学习难点：充分条件与必要条件的逻辑区分，充要条件的双向严谨证明，根据条件关系求解参数取值范围，用集合思想处理复杂条件关系问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 即时即练已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 知识点02 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 即时即练已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【解析】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 题型 1：充分条件与必要条件的关系判定 【典例1-1】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若， 则， 当且仅当时等号成立， 必要性：若，令，显然 所以是充分不必要条件 【典例1-2】（2026·高一·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】（2026·高一·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则由可得， 所以由“”可以推出“”， 由“”不一定有“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型 2：数学文化背景下的条件关系问题 【典例2-1】（2026·高一·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 【典例2-2】（2026·高三·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 【变式2-1】（2026·高一·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 【变式2-2】（2026·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． 题型 3：充分、必要与充要条件的探究 【典例3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 【典例3-2】（2026·高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A 【变式3-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 【变式3-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 题型 4：根据条件关系求解参数取值范围 【典例4-1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【典例4-2】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 【变式4-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 【变式4-2】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 【变式4-3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 5：充要条件的双向论证 【典例5-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解析】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【解析】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 【变式5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【解析】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. （2）当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 【变式5-2】设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 题型 6：条件关系与量词命题的综合应用 【典例6-1】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【典例6-2】（2026·高一·北京·期中）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由对任意，都有可知， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以实数的取值范围． （2）由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为； 【变式6-1】（2026·高一·江苏常州·期中）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，对任意，不等式恒成立， 即当时，， 又由时，，即，解得， 即实数的取值范围. （2）对于命题：当时，函数， 当时，函数， 记， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 可得且“”不能同时成立，解得， 经验证，当时满足题意， 所以实数的取值范围. 【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）已知， 当时，． 因为，所以， （2）选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 【变式6-3】（2026·高一·广东中山·阶段检测）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）由于，所以，， 所以“”是“”的必要不充分条件. （2）由可得， 当时，，解得， 当时，则，无解， 综上所述，的取值范围是. 1．（2026·高一·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 2．（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 3．（2026·高一·福建宁德·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，即或， 即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．设，则“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对于A，命题＂＂的否定是＂＂，故A不正确； 对于B，由，解得且，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故B错误； 对于C ，由，可得或，所以＂是＂＂的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，解得或，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故D错误． 故选：C 5．（2026·高一·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 6．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【解析】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 7．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．是的充分不必要条件 C．集合与集合表示同一集合 D．设全集为，若，则 【答案】AD 【解析】对于A，当时，,故A是真命题； 对于B，若，则或,若，则,所以是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，集合与集合不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C错误； 对于D，由，可得若则，则，故D是真命题. 8．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 9．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 10．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】或，. 又是的必要不充分条件，. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 12．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 13．（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 14．（2026·高一·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【解析】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. 15．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 16．已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 17．（2026·高一·江西九江·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以； 当时，则 ，得到； 当时，需满足，解得， 这三个条件没有交集，因此时无解； 综上所述，的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 实数的取值范围是. 18．（2026·高一·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $