专题12：组合体、不规则物体的表面积和体积（专项训练）小升初数学暑假专项提升

**基本信息** 聚焦组合体与不规则物体表面积、体积计算，以“概念-方法-应用”为逻辑链，系统提炼分面计算、分割添补、排水法等核心方法，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |组合体表面积|填空1、选择16|分面计算求和，减重合面积|从概念（各面面积和）到方法（分解-求积-去重）| |组合体体积|填空2、计算19-20|分割为规则体求和，添补为规则体求差|基于体积可加性，建立规则与组合体转化模型| |不规则物体表面积|填空12|近似转化为规则平面图形求和|通过几何直观将不规则表面转化为可计算规则图形| |不规则物体体积|填空3/5/7/8/9/10/13、解答22/24/25|排水法（溢水/水位变化）、割补法|结合实验操作，用体积等量代换建立测量模型|

2026年小升初数学暑假专项提升 专题12：组合体、不规则物体的表面积和体积 知识点01：组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 知识点02：组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 知识点03：不规则物体的表面积 计算方法：一般采用“近似转化”的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 知识点04：不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 一、填空题 1．如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 2．一个密封的瓶子里装着一些水（如图），已知瓶子的底面积为12平方厘米，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）立方厘米。 3．一个内部长6dm，宽4dm的长方体鱼缸内养了9条金鱼，水面高2.5dm，小强把金鱼捞出来准备清洗鱼缸，发现水高降低到2.4dm，这些金鱼的体积约是（ ）dm3。 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。下图是一个沙漏记录时间的情况。（图中单位：cm） （1）沙漏上部沙子的体积是（ ）cm3。 （2）沙漏下部沙子的体积是。如果再过2分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在已经计量了（ ）分钟。 5．亮亮发现了一块和鸡蛋大小差不多的石头，他想比较石头和鸡蛋的体积。亮亮做了一个实验（如下图，单位：厘米），通过实验发现（ ）（填“鸡蛋”或“石头”）的体积更大一些。 6．如下图所示，在容器中放入一个圆柱形铁块和两个与它等底等高的圆锥形铁块溢出了部分水。每个圆锥形铁块的体积是（ ）立方厘米。 7．如图，玻璃密封器皿中有水200mL。按图①放置时，测得水面高10cm；按图②放置，水面高度为16cm。该器皿的容积是（ ）mL。 8．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是20厘米，水面高是5厘米。把一个长10厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体铁块浸没在水中（水未溢出），此时水面高度是（ ）厘米。已知这个长方体铁块的体积是圆柱形容器容积的，圆柱形容器的容积是（ ）毫升。 9．数学实验课上，小明将一个底面半径3厘米，高20厘米的圆锥形铅锤浸没在一个底面内直径20厘米的盛水的圆柱形玻璃容器中。他把铅锤取出后，玻璃容器中的水面下降（ ）厘米。 10．笑笑为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行实验：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将鸡蛋完全浸没在水中，再次量得水面高度是6厘米（未溢出）。如果玻璃的厚度不计，这个鸡蛋的体积大约是（ ）立方厘米。 11．往一个盛有高度水的长方体容器中放入大小不同的两种珠子。放入1颗大珠子、2颗小珠子时，水面上升了容器高度的；放入2颗大珠子、8颗小珠子时，水面离容器口的高度还有。大小两种珠子的体积比是（ ）。 12．如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是（ ）。 13．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器里直立着底面半径为4厘米、高为50厘米的圆柱形玻璃棒，这时容器里的水深30厘米。现在轻轻将玻璃棒向上提起20厘米，那么露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分约为（ ）厘米。 二、选择题 14．在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（     ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 15．妈妈给小红买了一瓶水。小红喝了一些后，进行了一次测量，发现瓶子的底面直径是8cm，水的高度是7cm。她把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高是18cm。这个瓶子的容积是（     ）mL。（瓶子的厚度忽略不计） A．628 B．753.6 C．942 D．1256 16．王叔叔要做如图这样的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点，这个组合体的表面积是（     ）平方分米。 A．108 B．132 C．120 D．126 17．有一个棱长是4厘米的正方体木块，从上面的正中间垂直挖穿一个长方体通孔，这个长方体的底面是边长1厘米的正方形（如图）。这个木块的表面积将（     ）平方厘米。 A．减少16 B．增加16 C．减少14 D．增加14 18．分别以直角梯形的上底和下底所在直线为轴，将直角梯形旋转一周得到两个立体图形甲和乙（如图）。关于这两个立体图形，下列说法正确的是（     ）。 A．甲、乙两个立体图形体积相等。 B．甲体积比乙体积多。 C．甲体积是乙体积的。 D．甲、乙两个立体图形体积比是4∶5。 三、计算题 19．求下面图形的体积。（π取3.14） 20．求下面图形的体积。 四、解答题 21．“雪糕筒”的学名是交通锥，是马路上常见的路障。形状由圆柱形底座和圆锥形柱筒两部分组成，圆柱形底座的底面直径为30厘米，高5厘米，圆锥形柱筒高度为57厘米，底面直径为20厘米。这个“雪糕筒”所占的空间有多大？ 22．一个底面直径是40厘米的圆柱形木桶中装着水，水中浸没着一个底面直径是18厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥体从桶中取出后，桶中的水面下降多少厘米？ 23．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 24．“勇攀科学高峰，实验解锁奥秘。”乐乐进行了一项有趣的实验（如图）：他先取来一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯，倒入适量的水，测得水面高度为15厘米。接着，他将一个底面直径为10厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），此时水面高度上升至16.5厘米。根据以上数据，你能计算出这个圆锥形铅锤的高度是多少厘米吗？ 25．乐乐的爸爸买了一件巴黎奥运会埃菲尔铁塔瓷雕纪念品，乐乐为了测量这个瓷雕的体积，做了以下实验：①用天平称出这个瓷雕的质量是1.2千克；②测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；③用直尺量出容器的高是25厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是15厘米；⑤将瓷雕完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为20厘米。 （1）要求出这个瓷雕的体积，上面记录的信息（ ）是必须的。 （2）请根据选出的信息，求出这个瓷雕的体积。 26．如图，圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它完全浸入一个长方体水槽的水中，量得水面上升了0.4厘米，再把一个底面直径是6厘米的圆锥完全浸入水中，水面又上升了0.6厘米（水未溢出）。求圆锥的高。 27．一个底面直径是12厘米的圆柱形容器里装了一些水，水深4厘米。当放入一个圆柱形铁块时，水深变为8.5厘米，这个圆柱形铁块的刚好露出水面。这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？ 28．陀螺是中国传统的玩具，周末小智和爸爸一起制作了一个木质陀螺。 （1）这个陀螺的上部分是圆柱形，下部分是圆锥形（如图）。它的体积是多少立方厘米？ （2）小智打磨好陀螺后准备涂上橙色，这种橙色可以用红色与黄色按照3∶7的比例调配而成。他在调色盘上挤入了一管约42克黄色颜料，如果要调配出理想的橙色，需要加入多少克的红色颜料？ 29．学习完圆柱和圆锥的体积后，李老师结合测量不规则物体体积的方法探究圆锥体积，进行了如下实验操作，请根据实验解决问题。 实验材料：一个底面半径为4cm的圆柱形玻璃杯，1个小圆锥体教具，1个大圆锥体教具，水。 实验过程：①往玻璃杯里加水，测量水面高度；②放入一个小圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度；③放入一个大圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度。 实验记录： （1）小圆锥体教具的体积是多少立方厘米？（π取3.14） （2）已知两个圆锥体教具底面半径相同，大圆锥体教具的高是小圆锥体教具的2倍，放入大圆锥体教具后，现在水面的高度是多少厘米？ 30．下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学暑假专项提升 专题12：组合体、不规则物体的表面积和体积 知识点01：组合体的表面积 （1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。 （2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。 知识点02：组合体的体积 （1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。 （2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。 ②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。 知识点03：不规则物体的表面积 计算方法：一般采用“近似转化”的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。 知识点04：不规则物体的体积 计算方法： （1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。 （2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。 一、填空题 1．如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（ ）平方厘米。 【答案】1884 【分析】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分所用布的面积； 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布1884平方厘米。 2．一个密封的瓶子里装着一些水（如图），已知瓶子的底面积为12平方厘米，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）立方厘米。 【答案】72 【分析】根据圆柱体积公式圆柱的体积＝底面积×高，计算左边瓶子里水的体积。把瓶子倒过来后水的体积不变，右边瓶子空白部分的体积跟左边瓶子空白部分体积相等，由此可计算出空白部分的体积，最后将水的体积和空白部分的体积加起来就是瓶子的容积。 【详解】水的体积：（立方厘米） 空白部分体积： 12×（7－5） ＝12×2 ＝24（立方厘米） 瓶子容积：（立方厘米） 计算出瓶子容积是72立方厘米。 3．一个内部长6dm，宽4dm的长方体鱼缸内养了9条金鱼，水面高2.5dm，小强把金鱼捞出来准备清洗鱼缸，发现水高降低到2.4dm，这些金鱼的体积约是（ ）dm3。 【答案】2.4 【分析】水面下降对应的水的体积即为金鱼的体积，据此用鱼缸的底面积乘下降的高度即可求得。 【详解】6×4×（2.5－2.4） 24×0.1 2.4（dm3） 这些金鱼的体积约是2.4dm3。 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。下图是一个沙漏记录时间的情况。（图中单位：cm） （1）沙漏上部沙子的体积是（ ）cm3。 （2）沙漏下部沙子的体积是。如果再过2分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在已经计量了（ ）分钟。 【答案】（1）3.14 （2）12 【分析】沙漏上部沙子属于圆锥，圆锥的体积＝（取3.14，r是半径，h是高）。 先求出下部沙子的体积是上部沙子体积的几倍，用除法，上部沙子漏完需2分钟，进而可计算已计量的时间。 【详解】（1）×3.14××3 ＝×3.14×1×3 ＝×（3.14×1×3） ＝×（3.14×3） ＝×9.42 ＝3.14（） （2）18.84÷3.14×2 ＝6×2 ＝12（分钟） 5．亮亮发现了一块和鸡蛋大小差不多的石头，他想比较石头和鸡蛋的体积。亮亮做了一个实验（如下图，单位：厘米），通过实验发现（ ）（填“鸡蛋”或“石头”）的体积更大一些。 【答案】鸡蛋 【分析】不规则物体通过排水法测量体积，上升部分水的体积就等于不规则物体的体积；而上升部分水的体积＝长方体容器的长×长方体容器的宽×水面上升部分的高，结合图形知，都是同一个长方体容器，所以只需要比较放入鸡蛋和放入石头之后水面上升部分的高，水面上升的高度越大，说明放入物体的体积越大，据此分析即可。 【详解】放入鸡蛋，水面上升高度为：6.6－6＝0.6（厘米） 放入不规则石头，水面上升高度为：7.1－6.6＝0.5（厘米） 0.6＞0.5，说明鸡蛋的体积更大一些。 所以亮亮发现了一块和鸡蛋大小差不多的石头，他想比较石头和鸡蛋的体积。亮亮做了一个实验，通过实验发现鸡蛋的体积更大一些。 6．如下图所示，在容器中放入一个圆柱形铁块和两个与它等底等高的圆锥形铁块溢出了部分水。每个圆锥形铁块的体积是（ ）立方厘米。 【答案】120 【分析】观察图形可知，溢出了600毫升水，相当于600立方厘米，溢出水的体积等于一个圆柱形铁块和两个与它等底等高的圆锥形铁块的体积和，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以一个圆柱形铁块和两个与它等底等高的圆锥形铁块的体积和相当于（3＋2）个圆锥形铁块的体积，用溢出水的体积除以（3＋2）就是每个圆锥形铁块的体积。 【详解】600毫升＝600立方厘米 600÷（3＋2） ＝600÷5 ＝120（立方厘米） 7．如图，玻璃密封器皿中有水200mL。按图①放置时，测得水面高10cm；按图②放置，水面高度为16cm。该器皿的容积是（ ）mL。 【答案】280 【分析】根据圆柱的体积V＝Sh，求出圆柱的底面积；该器皿的容积是高是10厘米的圆柱＋高是（20－16）厘米的圆柱的体积之和。 【详解】200毫升＝200立方厘米 200÷10＝20（平方厘米） 200＋20×（20－16） ＝200＋20×4 ＝200＋80 ＝280（立方厘米） 280立方厘米＝280毫升 即该器皿的容积是280毫升。 8．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是20厘米，水面高是5厘米。把一个长10厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体铁块浸没在水中（水未溢出），此时水面高度是（ ）厘米。已知这个长方体铁块的体积是圆柱形容器容积的，圆柱形容器的容积是（ ）毫升。 【答案】 5.8 2009.6 【分析】第一空铁块浸入水中上升水的体积等于铁块体积，先根据长方体的体积公式算出铁块体积，再由圆柱的体积公式可知求出水面上升高度，加上原有水面高度得到现在水面高度；第二空把圆柱容积看作单位“1”，根据求单位“1”的量用除法计算，用铁块体积除以对应分率得到容积，再根据1立方厘米＝1毫升换算单位。 【详解】10×8×3.14＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝314（平方厘米） 251.2÷314＝0.8（厘米） 5＋0.8＝5.8（厘米） 10×8×3.14 ＝10×8×3.14×8 ＝80×3.14×8 ＝251.2×8 ＝2009.6（立方厘米） 2009.6立方厘米＝2009.6毫升 所以此时水面高度是5.8厘米；圆柱形容器的容积是2009.6毫升。 9．数学实验课上，小明将一个底面半径3厘米，高20厘米的圆锥形铅锤浸没在一个底面内直径20厘米的盛水的圆柱形玻璃容器中。他把铅锤取出后，玻璃容器中的水面下降（ ）厘米。 【答案】0.6 【分析】由题意可知：当铅锤取出后，下降的水的体积就等于铅锤的体积，铅锤的体积根据圆锥的体积公式V＝πr2h（r是圆锥形铅锤的底面半径）即可求出，用铅锤的体积除以容器的底面积就是下降的水的高度，容器的底面积S＝πr²（r是圆柱形玻璃容器的底面半径，d＝2r）。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） ×3.14×32×20 ＝×3.14×9×20 ＝×9×3.14×20 ＝3×3.14×20 ＝9.42×20 ＝188.4（立方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 所以玻璃容器中的水面下降0.6厘米。 10．笑笑为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行实验：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将鸡蛋完全浸没在水中，再次量得水面高度是6厘米（未溢出）。如果玻璃的厚度不计，这个鸡蛋的体积大约是（ ）立方厘米。 【答案】50.24 【分析】利用排水法测量不规则物体的体积，水面上升的水的体积就等于鸡蛋的体积，上升的水是底面直径是8厘米的圆柱，高是6厘米减去5厘米，根据圆柱的体积公式，代入数据即可求解。 【详解】底面半径：8÷2＝4（厘米） 水面上升的高度：6－5＝1（厘米） 鸡蛋的体积：3.14×4×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） 11．往一个盛有高度水的长方体容器中放入大小不同的两种珠子。放入1颗大珠子、2颗小珠子时，水面上升了容器高度的；放入2颗大珠子、8颗小珠子时，水面离容器口的高度还有。大小两种珠子的体积比是（ ）。 【答案】3∶1 【分析】根据当放入物体后容器中水没有溢出时，不规则物体体积等于水面上升的体积。长方体容器总体积作为单位“1”，放入1颗大珠子、2颗小珠子时，水面上升容器高度的，则1颗大珠子、2颗小珠子的体积是；放入2颗大珠子、8颗小珠子时，水面离容器口的高度还有，则2颗大珠子、8颗小珠子的体积是1－－。设小珠子的体积是，大珠子的体积是，解方程得到大珠子和小珠子的体积，最后计算大珠子和小珠子的体积比。据此解答。 【详解】解：设小珠子的体积是，大珠子的体积是。 则大小两种珠子的体积比是3∶1。 12．如下图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是（ ）。 【答案】72平方厘米/72cm2 【分析】根据题干分析可得，这个零件的表面积＝棱长3厘米的正方体的表面积＋正方体内部6个长、宽、高分别为1厘米、1厘米、（3－1）÷2厘米的长方体的侧面积的和，再减去6个正方体面上的边长为1厘米的6个面的面积，据此列式计算。 【详解】（3－1）×2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3×3×6＋1×1×4×6－1×1×6 ＝54＋24－6 ＝72（平方厘米） 它的表面积是72平方厘米。 13．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器里直立着底面半径为4厘米、高为50厘米的圆柱形玻璃棒，这时容器里的水深30厘米。现在轻轻将玻璃棒向上提起20厘米，那么露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分约为（ ）厘米。 【答案】23.81 【分析】由题意可知，提起玻璃棒之后水面会下降，下降部分水的体积等于20厘米高圆柱形玻璃棒的体积，下降部分水的底面积＝圆柱形容器的底面积－圆柱形玻璃棒的底面积，由“h＝V÷S”可知，下降部分水的高度＝下降部分水的体积÷下降部分水的底面积，露出水面的玻璃棒上被水浸湿部分的高度＝下降部分水的高度＋提起圆柱形玻璃棒的高度，据此解答。 【详解】提起圆柱形玻璃棒下降部分水的体积： 3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝50.24×20 ＝1004.8（立方厘米） 下降部分水的底面积： 3.14×102－3.14×42 ＝3.14×100－3.14×16 ＝314－50.24 ＝263.76（平方厘米） 下降部分水的高度：1004.8÷263.76≈3.81（厘米） 露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分的高度： 3.81＋20＝23.81（厘米） 二、选择题 14．在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（     ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】已知长方体铁块的底面是边长为8厘米的正方形，露出水面10厘米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出露出水面部分铁块的体积，也就是容器内水面下降5厘米的水的体积；再根据公式S＝V÷h，用下降5厘米水的体积除以水面下降的高度，求出长方体容器的底面积； 若铁块全部放入水中，容器里的水面升高20厘米，根据公式V＝Sh，用长方体容器的底面积乘水面上升的高度，求出水上升部分的体积，也就是整个铁块的体积； 根据公式h＝V÷S，用整个铁块的体积除以铁块的底面积，求出铁块的高度。 【详解】露出水面10厘米的铁块的体积：8×8×10＝640（立方厘米） 容器的底面积：640÷5＝128（平方厘米） 铁块的体积：128×20＝2560（立方厘米） 铁块的高： 2560÷（8×8） ＝2560÷64 ＝40（厘米） 15．妈妈给小红买了一瓶水。小红喝了一些后，进行了一次测量，发现瓶子的底面直径是8cm，水的高度是7cm。她把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高是18cm。这个瓶子的容积是（     ）mL。（瓶子的厚度忽略不计） A．628 B．753.6 C．942 D．1256 【答案】D 【分析】结合图形可知瓶子的容积是高为的圆柱和高为圆柱的体积和。圆柱的体积，，根据公式计算即可。 【详解】 16．王叔叔要做如图这样的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点，这个组合体的表面积是（     ）平方分米。 A．108 B．132 C．120 D．126 【答案】C 【分析】根据题意，正方体与长方体粘在一起，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点，那么正方体的底面积是长方体底面积的一半；因为正方体的6个面完全相同，用正方体的底面积乘6，即可求出正方体的表面积； 所以这个组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体的表面积－正方体底面积的2倍；据此解答。 【详解】正方体的底面积：12÷2＝6（平方分米） 正方体的表面积：6×6＝36（平方分米） 96＋36－6×2 ＝96＋36－12 ＝120（平方分米） 这个组合体的表面积是120平方分米。 故答案为：C 17．有一个棱长是4厘米的正方体木块，从上面的正中间垂直挖穿一个长方体通孔，这个长方体的底面是边长1厘米的正方形（如图）。这个木块的表面积将（     ）平方厘米。 A．减少16 B．增加16 C．减少14 D．增加14 【答案】D 【分析】木块的表面积比原来的正方体表面积少了2个边长是1厘米的正方形的面积，多了4个长4厘米，宽1厘米的长方形的面积，据此求出增加的面积即可。 【详解】1×1×2＝1×2＝2（平方厘米） 4×1×4＝4×4＝16（平方厘米） 16－2＝14（平方厘米） 即这个木块的表面积将（增加14）平方厘米。 所以答案为：D 18．分别以直角梯形的上底和下底所在直线为轴，将直角梯形旋转一周得到两个立体图形甲和乙（如图）。关于这两个立体图形，下列说法正确的是（     ）。 A．甲、乙两个立体图形体积相等。 B．甲体积比乙体积多。 C．甲体积是乙体积的。 D．甲、乙两个立体图形体积比是4∶5。 【答案】C 【分析】观察图形可知，立体图形甲的体积等于高6cm的圆柱的体积减去圆锥的体积，立体图形乙的体积等于高3cm的圆柱体积加上圆锥的体积，圆柱体积V＝πr2h，圆锥体积V＝πr2h，分别把数据代入公式计算两个立体图形的体积，据此解答。 【详解】圆锥的高：6－3＝3（厘米） 甲的体积： （立方厘米） 乙的体积： （立方厘米） A．，甲、乙两个立体图形体积相等，说法错误； B． 甲的体积比乙的体积多，说法错误； C．，说法正确； D．，所以甲、乙两个立体图形体积体积比是5∶4，说法错误。 三、计算题 19．求下面图形的体积。（π取3.14） 【答案】12444.24 【分析】观察图形可知，这个组合图形的体积等于这个长38、宽32、高12的长方体的体积与底面半径是（32－10－10）÷2＝6，高为38的半圆柱的体积之差，据此利用长方体的体积＝长×宽×高，半圆柱的体积＝底面积×高÷2，代入数据计算即可解答问题。 【详解】（32－10－10）÷2＝12÷2＝6 38×32×12－3.14×62×38× ＝14592－3.14×36×38× ＝14592－3.14×36×19 ＝14592－2147.76 ＝12444.24 这个图形的体积是12444.24。 20．求下面图形的体积。 【答案】（1）235.5dm3； （2）5024cm3 【分析】圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h； （1）图形的体积等于底面直径是6dm高是15dm的圆柱的体积减去底面直径是4dm高是15dm的圆柱的体积，据此列式计算； （2）阴影部分的体积等于底面直径是20cm高是（8＋12）cm的圆柱的体积减去底面直径是20cm高是12cm的圆锥的体积，据此列式计算。 【详解】（1）3.14×（6÷2）2×15－3.14×（4÷2）2×15 ＝3.14×32×15－3.14×22×15 ＝3.14×9×15－3.14×4×15 ＝28.26×15－12.56×15 ＝423.9－188.4 ＝235.5（dm3） 图形的体积是235.5dm3。 （2）3.14×（20÷2）2×（12＋8）－3.14×（20÷2）2×12× ＝3.14×102×（12＋8）－3.14×102×12× ＝3.14×100×20－3.14×100×12× ＝314×20－314×12× ＝6280－3768× ＝6280－1256 ＝5024（cm3） 阴影部分的体积是5024cm3。 四、解答题 21．“雪糕筒”的学名是交通锥，是马路上常见的路障。形状由圆柱形底座和圆锥形柱筒两部分组成，圆柱形底座的底面直径为30厘米，高5厘米，圆锥形柱筒高度为57厘米，底面直径为20厘米。这个“雪糕筒”所占的空间有多大？ 【答案】9498.5立方厘米 【分析】“雪糕筒”所占的空间＝圆柱体积＋圆锥体体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3。 【详解】3.14×（30÷2）2×5＋3.14×（20÷2）2×57÷3 ＝3.14×152×5＋3.14×102×57÷3 ＝3.14×225×5＋3.14×100×57÷3 ＝3532.5＋5966 ＝9498.5（立方厘米） 答：这个“雪糕筒”所占的空间有9498.5立方厘米。 22．一个底面直径是40厘米的圆柱形木桶中装着水，水中浸没着一个底面直径是18厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥体从桶中取出后，桶中的水面下降多少厘米？ 【答案】1.35厘米 【分析】当浸没在水中的圆锥体被取出后，水面下降部分的水的体积等于圆锥体的体积。先根据圆锥的体积公式V＝πr2h（π取3.14）求出圆锥体的体积，再根据圆柱的体积公式V＝Sh，用圆锥的体积除以圆柱形木桶的底面积（S＝πr2），即可求出水面下降的高度。 【详解】圆锥的底面半径：18÷2＝9（厘米） 圆锥的体积：×3.14×92×20 ＝×3.14×81×20 ＝3.14×（81×）×20 ＝3.14×27×20 ＝1695.6（立方厘米） 圆柱形木桶的底面半径：40÷2＝20（厘米） 圆柱形木桶的底面积：3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降的高度：1695.6÷1256＝1.35（厘米） 答：桶中的水面下降1.35厘米。 23．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 【答案】57.12dm3 【分析】工具箱的容积＝长方体容积＋圆柱容积的一半。长方体的容积＝长×宽×高，圆柱的容积V＝πr2h计算。 【详解】4÷2＝2（dm） ＝ ＝ ＝57.12（dm3） 答：这个工具箱的容积是57.12dm3。 24．“勇攀科学高峰，实验解锁奥秘。”乐乐进行了一项有趣的实验（如图）：他先取来一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯，倒入适量的水，测得水面高度为15厘米。接着，他将一个底面直径为10厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），此时水面高度上升至16.5厘米。根据以上数据，你能计算出这个圆锥形铅锤的高度是多少厘米吗？ 【答案】18厘米 【分析】把圆锥形铅锤放入有一些水的圆柱形玻璃杯中，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式算出上升部分水的体积，再根据圆锥的体积公式可知，把数据代入公式解答。 【详解】20÷2＝10（厘米） 16.5－15＝1.5（厘米） （立方厘米） 10÷2＝5（厘米） ＝18（厘米） 答：圆锥形铅锤的高度是18厘米。 25．乐乐的爸爸买了一件巴黎奥运会埃菲尔铁塔瓷雕纪念品，乐乐为了测量这个瓷雕的体积，做了以下实验：①用天平称出这个瓷雕的质量是1.2千克；②测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；③用直尺量出容器的高是25厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是15厘米；⑤将瓷雕完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为20厘米。 （1）要求出这个瓷雕的体积，上面记录的信息（ ）是必须的。 （2）请根据选出的信息，求出这个瓷雕的体积。 【答案】（1）②④⑤ （2）1004.8立方厘米 【分析】（1）根据不规则物体体积的计算方法：先要需要测量出圆柱形玻璃容器的底面半径；再要在容器里注入一定的水，测量出水面的高度，最后把要测量的物体放入容器里，测量出水面的高度，据此解答。 （2）瓷雕的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此解答。 【详解】（1）根据分析可知，要求出这个瓷雕的体积，记录的信息②测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是15厘米；⑤将瓷雕完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为20厘米。 要求出这个瓷雕的体积，上面记录的信息②④⑤是必须的。 （2）3.14×82×（20－15） ＝3.14×64×5 ＝200.96×5 ＝1004.8（立方厘米） 答：这个瓷雕的体积是1004.8立方厘米。 26．如图，圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它完全浸入一个长方体水槽的水中，量得水面上升了0.4厘米，再把一个底面直径是6厘米的圆锥完全浸入水中，水面又上升了0.6厘米（水未溢出）。求圆锥的高。 【答案】4厘米 【分析】根据圆柱体积公式V＝，代入半径2厘米和高2厘米，得出圆柱的体积；再用圆柱的体积÷水面上升的高度＝长方体水槽的底面积；圆锥体积等于第二次水面上升体积＝水槽的底面积×0.6； 求圆锥半径＝圆锥底面直径÷2；圆锥的高＝圆锥体积×3÷圆锥的底面积，圆锥的底面积＝。 【详解】圆柱的体积：π××2＝π×4×2＝4π×2＝8π（立方厘米） 水槽的底面积：8π÷0.4＝20π（平方厘米） 圆锥的体积：20π×0.6＝12π（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 圆锥的高：12π×3÷（π×）＝36π÷9π＝4（厘米） 答：圆锥的高是4厘米。 27．一个底面直径是12厘米的圆柱形容器里装了一些水，水深4厘米。当放入一个圆柱形铁块时，水深变为8.5厘米，这个圆柱形铁块的刚好露出水面。这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】678.24立方厘米 【分析】当把圆柱形铁块放入水中后，水面高度从4厘米上升到了8.5厘米，水面上升的那部分水的体积，就等于铁块浸入水中部分的体积。水面上升的高度＝放入铁块后的水深－原来的水深。容器的底面半径＝底面直径÷2。根据圆柱体积，代入数据求出上升的水的体积（即铁块浸入水中部分的体积）。根据“这个圆柱形铁块的刚好露出水面”可知，露出部分占整个铁块体积的，则上升的水的体积占整个铁块体积的；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，则用铁块浸入水中部分的体积除以即可求出这个圆柱形铁块的体积。 【详解】半径：12÷2＝6（厘米） 水面上升的高度：8.5－4＝4.5（厘米） 铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 浸入水中部分占总体的分率： （立方厘米） 答：这个圆柱形铁块的体积是678.24立方厘米。 28．陀螺是中国传统的玩具，周末小智和爸爸一起制作了一个木质陀螺。 （1）这个陀螺的上部分是圆柱形，下部分是圆锥形（如图）。它的体积是多少立方厘米？ （2）小智打磨好陀螺后准备涂上橙色，这种橙色可以用红色与黄色按照3∶7的比例调配而成。他在调色盘上挤入了一管约42克黄色颜料，如果要调配出理想的橙色，需要加入多少克的红色颜料？ 【答案】（1）141.3立方厘米 （2）克 【分析】（1）陀螺是一个圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此解答。 （2）由于红色和黄色的比是3∶7，设需要加入x克的红色颜料，红色颜料的重量∶黄色颜料的重量＝3∶7，列比例，解比例即可解答。 【详解】（1）3.14×（6÷2）2×4＋×3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×4＋×3.14×32×3 ＝3.14×9×4＋×3.14×9×3 ＝113.04＋28.26 ＝141.3（立方厘米） 答：它的体积是141.3立方厘米。 （2）解：设需要加入x克的红色颜料。 x∶42＝3∶7 7x＝42×3 7x＝126 7x÷7＝126÷7 x＝18 答：需要加入18克的红色颜料。 29．学习完圆柱和圆锥的体积后，李老师结合测量不规则物体体积的方法探究圆锥体积，进行了如下实验操作，请根据实验解决问题。 实验材料：一个底面半径为4cm的圆柱形玻璃杯，1个小圆锥体教具，1个大圆锥体教具，水。 实验过程：①往玻璃杯里加水，测量水面高度；②放入一个小圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度；③放入一个大圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度。 实验记录： （1）小圆锥体教具的体积是多少立方厘米？（π取3.14） （2）已知两个圆锥体教具底面半径相同，大圆锥体教具的高是小圆锥体教具的2倍，放入大圆锥体教具后，现在水面的高度是多少厘米？ 【答案】（1）60.288立方厘米 （2）12.4厘米 【分析】（1）通过观察图形可知，原来圆柱形玻璃杯里水面高度是8.8厘米，放入小圆锥后水面高度是10厘米，上升部分水的体积就是这个小圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πh，把数据代入公式解答。 （2）根据圆锥的体积公式：V＝πh，当圆锥的底面半径相等，也就是底面积相等时，大圆锥的高是小圆锥高的2倍，那么大圆锥的体积就是小圆锥体积的2倍。此时水面升高的高度是（10－8.8）的2倍，再加上原来水面的高度，即可求出此时水面的高度。 【详解】（1）3.14××（10－8.8） ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：小圆锥教具的体积是60.288立方厘米。 （2）10＋（10－8.8）×2 ＝10＋1.2×2 ＝10＋2.4 ＝12.4（厘米） 现在水面的高度是12.4厘米。 30．下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【答案】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【分析】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【详解】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $