专题04：长方体和正方体表面积和体积的实际应用（情景题专练）（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（人教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的情景应用，以公式为基础，通过场景分类、等积变形、组合体技巧构建系统方法体系，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积实际应用|填空题2（正方体贴商标）|按面数分类计算（无盖/侧面积等）|公式→场景应用（生活情景）| |体积（容积）应用|填空题5（3D打印体积）|内部测量计算容积|公式→实际测量→容积计算| |等积变形|解答题23（熔铸问题）|变形前后体积相等|体积不变原理→四大应用场景| |组合体|填空题6（3个正方体拼长方体）|表面积减重叠/体积求和|基本图形→组合拆分→综合计算|

五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题04：长方体和正方体表面积和体积的实际应用（情景题专练） 知识点01：长方体表面积的实际应用 1.公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 2.长方体表面积的实际应用 （1）6个面全算：如完整的长方体盒子、包装箱。 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）无盖长方体：如制作无盖的鱼缸、水槽、抽屉、水池等，计算表面积时要少算一个顶面的面积。 表面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2 （3）少底面：如通风管、烟囱、柱子涂漆，就是求这个长方体4个面的面积。 表面积＝（长×高+宽×高）×2 （4）贴四周：饼干盒贴商标、房间贴墙纸（只算侧面） 侧面积＝（长×高+宽×高）×2 知识点02：正方体表面积的实际应用 1.公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6。 用字母表示：S＝6a2 2.正方体表面积的实际应用 （1）6个面全算：如完整的正方体礼品盒、包装箱。 表面积＝棱长×棱长×6 （2）无盖正方体（5个面）：如正方体鱼缸、水槽，计算时要少算一个面的面积。 表面积＝棱长×棱长×5 （3）只贴四周（4个面）：如正方体灯笼、柱子。 表面积＝棱长×棱长×4 知识点03：长方体体积（容积）的实际应用 1.公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2.体积应用：计算长方体的体积，可根据长方体的的长、宽、高，利用公式求出体积，从而确定所需材料的量。 3.容积应用：计算长方体容器或物体的容积，需从长方体内部测量长、宽、高后，用容积公式计算。 知识点04：正方体体积（容积）的实际应用 1.公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 2.体积应用：计算正方体的体积，可根据正方体的棱长，利用公式求出体积。 3.容积应用：计算正方体容器或物体的容积，需从正方体内部测量棱长后，用容积公式计算。 知识点05：长方体、正方体体积的等积变形的实际应用 1.解题关键：形状变了，体积不变。 2.常考四大实际应用 （1）铁块/钢坯熔铸（熔化再铸）：把正方体铁块熔铸成长方体或把长方体钢坯熔铸成正方体。 思路：熔前体积=熔后体积。 （2）土/沙子/碎石运输与铺垫：把一堆土铺成长方体路面、地基、沙坑。 思路：土堆体积=铺完后长方体体积。 （3）往容器里倒水：把甲容器的水倒入乙容器 思路：甲容器里水的体积=乙容器里水的体积。 （4）橡皮泥/面团捏形状：正方体捏成长方体或长方体捏成正方体。 思路：变形前体积=变形后体积。 知识点06：组合体的表面积和体积 1、核心技巧 （1）表面积计算： ①方法：整体表面积－重叠面面积×2（拼接时重叠的面会被遮住，两个物体各少1个面）； ②分层计算：把组合体拆分成几个长方体/正方体，计算各部分表面积，再减去重叠面面积。 （2）体积计算： ①核心方法：各部分体积相加（组合体体积=长方体体积+正方体体积）； ②切割后体积：总体积=各部分体积之和（体积不变）。 2、解题步骤 （1）表面积 ①拆分组合体为基本图形（长方体/正方体）； ②计算各基本图形的表面积之和； ③数出重叠面的个数，用总和－重叠面面积×2。 （2）体积 ①拆分组合体为基本图形； ②分别计算各基本图形的体积； ③求和得到组合体体积。 一、填空题 1．小明用一些小棒和橡皮泥搭建长方体框架，下图是小明已经搭建好的部分。 （1）小明要搭建这个长方体框架，还需要（ ）根长5cm、（ ）根长2cm、（ ）根长3cm的小棒。 （2）长方体框架的上面长（ ）cm，宽（ ）cm。 （3）把长方体框架的所有棱粘上胶带，至少需要（ ）cm长的胶带。 （4）给小明搭建的这个长方体框架贴上包装纸，至少需要（ ）的包装纸（接头处忽略不计）。 （5）小明搭建的这个长方体的体积是（ ）。 2．给一个棱长2厘米的正方体包装盒四周都贴上商标，贴商标的面积是（ ）平方厘米。 3．一个长方体框架，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，做这个框架共要（ ）厘米的铁丝；它的表面贴上塑料板，至少需要（ ）平方厘米塑料板；如果把它做成一个纸盒，它的体积是（ ）。 4．笑笑用纸板做了一个长方体纸盒，如图是这个长方体纸盒的表面展开图。 （1）这个长方体纸盒的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 （2）这个长方体纸盒的占地面积是（ ）。 （3）若将纸盒折叠后在每条棱上都贴上花边，至少需要（ ）cm花边。 5．3D打印就像一台能“长出”物体的机器。先在电脑里建一个3D模型，然后打印机把它切成成百上千个薄片，再从最底层开始，像挤牙膏一样把材料一层一层往上堆叠，最终变成一个立体实物。小明打印一个长、宽、高长方体模型。打印机每打印一层，厚度只有，一共需要打印（ ）层；如果只打印完成了高度的一半，那么已打印部分的体积是（ ）。 6．琪琪正在拼接木块，她把3个棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，此时表面积减少（ ），拼成的长方体体积是（ ）。 7．如图所示，在一个长方体容器中紧靠着盒子的棱摆放了若干个体积为1立方厘米的小正方体，这个盒子一共可以装（ ）个体积为1立方厘米的小正方体。 8．一种益生菌固体饮料的外包装盒是一个长10厘米、宽6厘米、高15厘米的长方体。在外包装盒的侧面贴有一圈标签纸（不包含上、下底面），这圈标签纸的面积至少是（ ）平方厘米。 9．中国灯笼历史悠久，每逢元宵、中秋等佳节，人们常挂起红灯笼祈求团圆与吉祥。下图是一种经典的“四方灯笼”，其骨架是一个长方体。李师傅准备制作一些这样的灯笼，他手头有40厘米长竹条24根、25厘米长竹条38根、固定环扣（用于连接顶点）50个。他最多能制作（ ）个完整的灯笼框架。 10．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 11．用一根长48cm的铁丝围成一个最大的正方体框架，每条棱的长度是这根铁丝的，每条棱长（     ）cm。如果给这个正方体框架表面包上硬纸板，做成一个无盖的纸盒，至少需要（     ），这个纸盒的体积是（     ）。 12．小明用60cm长的铁条刚好做成一个长是5cm，宽是3cm的长方体框架，这个框架的高是（ ）cm；如果用这根铁条做一个最大的正方体框架，并在周围围上纸板，那么这个正方体的体积是（ ）。 13．将一个棱长4cm的正方体木料锯成两个一样的长方体，每个长方体体积是（ ）cm3，表面积是（ ）cm2。 14．王爷爷是一位手工艺人，他用240cm长的木条做了一个正方体灯笼框架，然后在它的各个面（除上面外）粘贴彩纸。至少需要准备（ ）的彩纸，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 15．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个右面的面积是的长方体，捏成的长方体的长是（ ）cm。 16．现有以下几种规格的长方形和正方形铁皮若干张。 （1）李师傅用6张①号规格的铁皮。可以焊接成一个（ ）体油箱，这个油箱的表面积是（ ）dm2。（焊接处忽略不计） （2）如果李师傅还想焊接一个长方体油箱，可以怎样选择？（注意：在方案中写明所选择的铁皮规格编号和所需的张数） 李师傅的方案：（ ）。 17．乐乐的房间长3米，宽2.5米，高2.8米，现在要在四周墙壁贴壁纸。已知壁纸每平方米售价80元，除去门窗面积4.5平方米，购买壁纸至少需要花费（ ）元。 二、选择题 18．一个长方体冷藏柜的容积是150L，这个冷藏柜的底面是一个边长为5dm的正方形，冷藏柜的高是（     ）dm。（冷藏柜厚度忽略不计） A．6 B．7.5 C．10 D．30 19．张叔叔家有一个体积为720立方分米的长方体木箱，这个木箱的底面是一个边长为12分米的正方形，该木箱的高是（     ）分米。 A．0.5 B．5 C．50 D．500 20．一个正方体礼盒的棱长总和是48厘米，包装这个礼盒至少需要（     ）平方厘米的彩纸。 A．144 B．96 C．64 D．48 21．龙岩长汀素有“豆腐王国”的美称，108道全豆腐宴，切法、做法各不相同。一个长12cm、宽5cm、高6cm的长方体豆腐，下面四种切法中，（     ）切法增加的表面积最大。 A． B． C． D． 22．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长4分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重（     ）千克。 A．40 B．60 C．64 D．160 三、解答题 23．将一个棱长为5分米的正方体容器盛满水，然后将该正方体容器中的水倒入一个长10分米、宽5分米、高6分米的长方体容器中（水未溢出），请问长方体容器中水的高度是多少分米？ 24．挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ （3）若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 25．班级要评选红领巾文明小先锋，如图，班主任做了一个正方体投票箱，并在投票箱上挖了一个投票口。现要在投票箱的上面、下面及四周贴上红纸，至少需要多少平方分米的红纸？（单位：分米） 26．小梦家要做一个靠墙的长方体玻璃浴房，无盖无底，如图所示，做这个浴房至少需要多少平方米的玻璃？若每平方米玻璃为250元，总安装费为260元。做这个浴房共要花多少元？（单位：米） 27．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 28．造纸术是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为"千年寿纸”。 （1）在“入帘”环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ （2）宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板（木板的厚度不计）？ 29．四名同学观察同一个空心冰雕“数字0”，得到以下信息，并在图中标出了部分数据。 信息①：从外面量，它的长是6分米，宽是2分米。 信息②：从外面量，这个冰雕左、右两个面的面积之和是40平方分米。 信息③：从前面看这个冰雕，上、下、左、右均厚1分米。 信息④：从里面量，它的长是4分米，高是8分米。 请你选择上面的三个信息______（填序号），并计算出这个冰雕的体积。 30．空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 31．李阿姨把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。 （1）这个收纳盒所用纸板的面积是多少平方厘米？ （2）她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 32．学校想在教室空闲区域设计一个长方体收纳柜放置图书，收纳柜长1.2m，宽5dm，高1m。已知材料与预算如下： 材料 单价（元/平方米） 环保特性 再生木板 120 可回收 复合板材 90 部分可回收 竹板材 150 可再生、坚固耐用 （1）计算出柜子的表面积。 （2）请你选择材料并计算总成本，说明选择的理由。（环保性、成本等）预算限制：总费用≤600元（总费用小于或等于600元） 33．将4个长20厘米、宽8厘米、高6厘米的印泥盒子用彩色纸包在一起。 A．    B．    C．  D． （1）上面四种包装方式，最省包装纸的是（ ）。（填序号） （2）请用喜欢的方法说明理由。（提示：可以是说理，也可以是计算） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题04：长方体和正方体表面积和体积的实际应用（情景题专练） 知识点01：长方体表面积的实际应用 1.公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 2.长方体表面积的实际应用 （1）6个面全算：如完整的长方体盒子、包装箱。 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）无盖长方体：如制作无盖的鱼缸、水槽、抽屉、水池等，计算表面积时要少算一个顶面的面积。 表面积＝长×宽+（长×高+宽×高）×2 （3）少底面：如通风管、烟囱、柱子涂漆，就是求这个长方体4个面的面积。 表面积＝（长×高+宽×高）×2 （4）贴四周：饼干盒贴商标、房间贴墙纸（只算侧面） 侧面积＝（长×高+宽×高）×2 知识点02：正方体表面积的实际应用 1.公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6。 用字母表示：S＝6a2 2.正方体表面积的实际应用 （1）6个面全算：如完整的正方体礼品盒、包装箱。 表面积＝棱长×棱长×6 （2）无盖正方体（5个面）：如正方体鱼缸、水槽，计算时要少算一个面的面积。 表面积＝棱长×棱长×5 （3）只贴四周（4个面）：如正方体灯笼、柱子。 表面积＝棱长×棱长×4 知识点03：长方体体积（容积）的实际应用 1.公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2.体积应用：计算长方体的体积，可根据长方体的的长、宽、高，利用公式求出体积，从而确定所需材料的量。 3.容积应用：计算长方体容器或物体的容积，需从长方体内部测量长、宽、高后，用容积公式计算。 知识点04：正方体体积（容积）的实际应用 1.公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 2.体积应用：计算正方体的体积，可根据正方体的棱长，利用公式求出体积。 3.容积应用：计算正方体容器或物体的容积，需从正方体内部测量棱长后，用容积公式计算。 知识点05：长方体、正方体体积的等积变形的实际应用 1.解题关键：形状变了，体积不变。 2.常考四大实际应用 （1）铁块/钢坯熔铸（熔化再铸）：把正方体铁块熔铸成长方体或把长方体钢坯熔铸成正方体。 思路：熔前体积=熔后体积。 （2）土/沙子/碎石运输与铺垫：把一堆土铺成长方体路面、地基、沙坑。 思路：土堆体积=铺完后长方体体积。 （3）往容器里倒水：把甲容器的水倒入乙容器 思路：甲容器里水的体积=乙容器里水的体积。 （4）橡皮泥/面团捏形状：正方体捏成长方体或长方体捏成正方体。 思路：变形前体积=变形后体积。 知识点06：组合体的表面积和体积 1、核心技巧 （1）表面积计算： ①方法：整体表面积－重叠面面积×2（拼接时重叠的面会被遮住，两个物体各少1个面）； ②分层计算：把组合体拆分成几个长方体/正方体，计算各部分表面积，再减去重叠面面积。 （2）体积计算： ①核心方法：各部分体积相加（组合体体积=长方体体积+正方体体积）； ②切割后体积：总体积=各部分体积之和（体积不变）。 2、解题步骤 （1）表面积 ①拆分组合体为基本图形（长方体/正方体）； ②计算各基本图形的表面积之和； ③数出重叠面的个数，用总和－重叠面面积×2。 （2）体积 ①拆分组合体为基本图形； ②分别计算各基本图形的体积； ③求和得到组合体体积。 一、填空题 1．小明用一些小棒和橡皮泥搭建长方体框架，下图是小明已经搭建好的部分。 （1）小明要搭建这个长方体框架，还需要（ ）根长5cm、（ ）根长2cm、（ ）根长3cm的小棒。 （2）长方体框架的上面长（ ）cm，宽（ ）cm。 （3）把长方体框架的所有棱粘上胶带，至少需要（ ）cm长的胶带。 （4）给小明搭建的这个长方体框架贴上包装纸，至少需要（ ）的包装纸（接头处忽略不计）。 （5）小明搭建的这个长方体的体积是（ ）。 【答案】（1） 2 3 2 （2） 5 3 （3）40 （4）62 （5）30 【分析】（1）长方体有12条棱，按长度可分为4条长、4条宽、4条高。从图中能看到已经搭好了2根5cm、1根2cm、2根3cm的小棒，所以每种长度的小棒还需要的数量就是用4减去已有的根数，即可解答。 （2）长方体的上面和底面是完全相同的长方形，底面的长是5cm、宽是3cm，所以上面的长和宽和底面保持一致，也就是长5cm、宽3cm。 （3）胶带的长度就是长方体的棱长总和，长方体棱长总和的计算公式是：（长＋宽＋高）×4。把长5cm、宽3cm、高2cm代入公式，即可求出需要的胶带长度。 （4）包装纸的面积就是长方体的表面积，长方体表面积的计算公式是：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。把长、宽、高的数值代入公式，即可求出需要的包装纸面积。 （5）长方体的体积计算公式是：长×宽×高，将长5cm、宽3cm、高2cm代入公式，即可求出这个长方体的体积。 【详解】（1）5cm：4－2＝2（根） 2cm：4－1＝3（根） 3cm：4－2＝2（根） （2）长方体框架的上面长5cm，宽3cm。 （3）（5＋3＋2）×4 ＝10×4 ＝40（cm） （4）（5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（cm2） （5）5×3×2 ＝15×2 ＝30（cm3） 2．给一个棱长2厘米的正方体包装盒四周都贴上商标，贴商标的面积是（ ）平方厘米。 【答案】16 【分析】给一个棱长2厘米的正方体包装盒四周都贴上商标，也就是求正方体的4个侧面的面积，侧面积＝棱长×棱长×4，据此解答。 【详解】2×2×4 ＝4×4 ＝16（平方厘米） 3．一个长方体框架，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，做这个框架共要（ ）厘米的铁丝；它的表面贴上塑料板，至少需要（ ）平方厘米塑料板；如果把它做成一个纸盒，它的体积是（ ）。 【答案】 48 94 60 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高解答即可。 【详解】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 5×4×3＝60（立方厘米） 4．笑笑用纸板做了一个长方体纸盒，如图是这个长方体纸盒的表面展开图。 （1）这个长方体纸盒的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 （2）这个长方体纸盒的占地面积是（ ）。 （3）若将纸盒折叠后在每条棱上都贴上花边，至少需要（ ）cm花边。 【答案】（1） 14 6 5 （2）84 （3）100 【分析】（1）由图可知，长方体展开后，长方体的宽为6cm，两个长和两个高的总长度为38cm，且长方体的长为14cm，可以先利用两个长和两个高的总长度除以2求出一个长和一个高的总长度，再用一个长和一个高的总长度减去长方体的长求出长方体的高。 （2）长方体的占地面积是指长宽面的面积，利用长方体的长×宽进行计算。 （3）若将纸盒折叠后在每条棱上都贴上花边，求花边的长度，就是求长方体的棱长总和，利用长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4进行计算。 【详解】（1）长方体的长：14cm 长方体的宽：6cm 长方体的高： （2）长方体的底面积： （3）花边的长度： 5．3D打印就像一台能“长出”物体的机器。先在电脑里建一个3D模型，然后打印机把它切成成百上千个薄片，再从最底层开始，像挤牙膏一样把材料一层一层往上堆叠，最终变成一个立体实物。小明打印一个长、宽、高长方体模型。打印机每打印一层，厚度只有，一共需要打印（ ）层；如果只打印完成了高度的一半，那么已打印部分的体积是（ ）。 【答案】 400 80 【分析】先统一单位，将长方体的高从厘米转换为毫米，再用总高度除以每层厚度得到层数；然后计算打印一半高度时的体积，利用长方体体积公式求解。 【详解】因为长方体模型的高为4cm，而1cm＝10mm，所以4cm＝40mm。打印机每打印一层厚度为0.1mm，则总层数为40÷0.1＝400（层）。 打印完成高度的一半，即高度为4÷2＝2（cm）。根据长方体体积公式V＝长×宽×高，代入长8cm、宽5cm、高2cm，可得体积为8×5×2＝80（cm³）。 6．琪琪正在拼接木块，她把3个棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，此时表面积减少（ ），拼成的长方体体积是（ ）。 【答案】 64 192 【分析】把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为4×3＝12cm，宽和高都是4cm。3个棱长为4cm的正方体拼成长方体时，每两个正方体拼接一次，就会减少2个正方形的面，3个正方体需要拼接2次，一共减少了2×2＝4个面。根据正方体面积＝棱长×棱长，求出一个面的面积，再乘4即可求出减少的表面积。长方体体积用V＝abh计算。 【详解】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 减少表面积：4×4×4＝64（cm2） 长方体体积：12×4×4＝192（cm3） 7．如图所示，在一个长方体容器中紧靠着盒子的棱摆放了若干个体积为1立方厘米的小正方体，这个盒子一共可以装（ ）个体积为1立方厘米的小正方体。 【答案】60 【分析】体积为1立方厘米的小正方体棱长就是1厘米，观察摆放方式，实际上就是摆出了这个长方体的长、宽、高：长5厘米、宽4厘米、高3厘米。能装多少个小正方体，就是求这个长方体的体积。 【详解】5×4×3＝60（立方厘米），60÷1＝60（个） 这个盒子一共可以装60个体积为1立方厘米的小正方体。 8．一种益生菌固体饮料的外包装盒是一个长10厘米、宽6厘米、高15厘米的长方体。在外包装盒的侧面贴有一圈标签纸（不包含上、下底面），这圈标签纸的面积至少是（ ）平方厘米。 【答案】480 【分析】求这圈标签纸的面积就是求长方体前、后、左、右，4个面的面积和，这圈标签纸的面积＝长×高×2＋宽×高×2。 【详解】10×15×2＋6×15×2 ＝300＋180 ＝480（平方厘米） 9．中国灯笼历史悠久，每逢元宵、中秋等佳节，人们常挂起红灯笼祈求团圆与吉祥。下图是一种经典的“四方灯笼”，其骨架是一个长方体。李师傅准备制作一些这样的灯笼，他手头有40厘米长竹条24根、25厘米长竹条38根、固定环扣（用于连接顶点）50个。他最多能制作（ ）个完整的灯笼框架。 【答案】4 【分析】制作灯笼框架的竹条就是长方体灯笼的棱长和，灯笼的棱长分别是4个40厘米、4个25厘米、4个25厘米，则每个灯笼需要4条40厘米的竹条、8条25厘米的竹条。长方体有8个顶点，则每个灯笼需要8个固定环扣。 【详解】24÷4＝6（个），24根40厘米长的竹条可以装6个长方体灯笼的长； 38÷8＝4（个）……6（根），38根25厘米长的竹条可以装4个长方体灯笼的宽和高，还余下6根竹条； 50÷8＝6（个）……2（个），50个固定环扣可以装6个长方体灯笼的顶点，还余下2个固定环扣。 因为38根25厘米长的竹条可以装4个长方体灯笼的宽和高，则他最多能制作4个完整的灯笼框架。 10．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 【答案】 22 // 【分析】①求沙坑的占地面积，也就是求这个长方体的底面积，即求这个沙坑的长和宽所围成的长方形的面积，长方形的面积＝长×宽。 ②求需要填充细沙的体积，就是求这个长方体的占地面积和细沙填充的高度的乘积，长方体的体积公式：，细沙填充的厚度是，需要统一单位。，低级单位转化成高级单位要除以进率。 【详解】①长：，宽： ② 高：dm 11．用一根长48cm的铁丝围成一个最大的正方体框架，每条棱的长度是这根铁丝的，每条棱长（     ）cm。如果给这个正方体框架表面包上硬纸板，做成一个无盖的纸盒，至少需要（     ），这个纸盒的体积是（     ）。 【答案】；4；80；64 【分析】正方体有12条棱，将铁丝全长看作单位“1”，则平均分成12段，用，就得到一条棱占全长的几分之几。 长的铁丝平均分成12段，用，就得到一条棱的长度； 给这个正方体框架表面包上硬纸板，做成一个无盖的纸盒，就是求5个正方形面的面积，用即可； 求这个纸盒的体积，根据，代入数据计算即可。 【详解】每条棱的长度是这根铁丝的： 每条棱长： 无盖纸板面积： 纸盒体积： 12．小明用60cm长的铁条刚好做成一个长是5cm，宽是3cm的长方体框架，这个框架的高是（ ）cm；如果用这根铁条做一个最大的正方体框架，并在周围围上纸板，那么这个正方体的体积是（ ）。 【答案】 7 125 【分析】60厘米就是长方体的棱长总和，因长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4得：高＝长方体棱长总和÷4（长宽）； 因为正方体的12条棱的长度都相等，所以用棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：；把数据代入公式解答。 【详解】 （cm） （cm） （） 13．将一个棱长4cm的正方体木料锯成两个一样的长方体，每个长方体体积是（ ）cm3，表面积是（ ）cm2。 【答案】 32 64 【分析】根据题意，把正方体木料锯成两个一样的长方体，长方体的长、宽、高分别是4cm、2cm、4cm。根据长方体的体积V＝abh，长方体的表面积＝（ab＋ah＋bh）×2，代入计算即可。 【详解】4×2×4 ＝8×4 ＝32（cm3） （4×2＋4×2＋4×4）×2 ＝（8＋8＋16）×2 ＝（16＋16）×2 ＝32×2 ＝64（cm2） 所以，每个长方体的体积是32cm3，表面积是64cm2。 14．王爷爷是一位手工艺人，他用240cm长的木条做了一个正方体灯笼框架，然后在它的各个面（除上面外）粘贴彩纸。至少需要准备（ ）的彩纸，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 2000 8000 【分析】用240cm长的木条做了一个正方体灯笼框架，则240cm是正方体的棱长之和，根据正方体的棱长＝棱长之和÷12求出一条棱的长度。在它的各个面（除上面外）粘贴彩纸，求彩纸的面积，就是求正方体的表面积，此时上面不贴，则需要的彩纸面积＝棱长×棱长×5。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。将正方体棱长代入公式进行计算。 【详解】 彩纸面积： 正方体体积： 15．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个右面的面积是的长方体，捏成的长方体的长是（ ）cm。 【答案】6.4 【分析】彩泥合并前后，体积不变，即两个棱长4cm的正方体的体积之和＝长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出两个正方体的体积之和，也就是长方体的体积。根据长方体的体积＝底面积×高，以右面为底面，则高为长方体的长，长方体的长＝体积÷右面面积。 【详解】4×4×4＝64（cm3） 64＋64＝128（cm3） 128÷20＝6.4（cm） 16．现有以下几种规格的长方形和正方形铁皮若干张。 （1）李师傅用6张①号规格的铁皮。可以焊接成一个（ ）体油箱，这个油箱的表面积是（ ）dm2。（焊接处忽略不计） （2）如果李师傅还想焊接一个长方体油箱，可以怎样选择？（注意：在方案中写明所选择的铁皮规格编号和所需的张数） 李师傅的方案：（ ）。 【答案】（1） 正方 384 （2）选择②号规格的铁皮2张，③号规格的铁皮2张，④号规格的铁皮2张。 【分析】（1）规格①是边长8dm的正方形铁皮，正方体的6个面全部是大小相等的正方形，因此6张①号铁皮恰好能拼接成正方体油箱，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长8dm即可求出油箱表面积。 （2）长方体拥有三组完全相同的相对面，结合四种铁皮的长宽数据，规格②（6dm、8dm）、规格③（6dm、10dm）、规格④（8dm、10dm）的边长刚好对应长方体长10dm、宽8dm、高6dm的三组面，每种规格各选取2张，就能凑齐长方体6个面，据此解答。 【详解】（1）李师傅用6张①号规格的铁皮。可以焊接成一个正方体油箱。 表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（dm2） （2）略 17．乐乐的房间长3米，宽2.5米，高2.8米，现在要在四周墙壁贴壁纸。已知壁纸每平方米售价80元，除去门窗面积4.5平方米，购买壁纸至少需要花费（ ）元。 【答案】2104 【分析】要计算购买壁纸至少需要多少钱需要先求出购买壁纸的面积，也就是长方体的表面积，因为只贴四周墙壁，所以只需计算长方体四个侧面的面积，并且减去门窗的面积，最后根据“总价＝单价×数量”求出需要的钱数。 【详解】（3×2.8＋2.5×2.8）×2－4.5 ＝（8.4＋7）×2－4.5 ＝15.4×2－4.5 ＝30.8－4.5 ＝26.3（平方米） 26.3×80＝2104（元） 二、选择题 18．一个长方体冷藏柜的容积是150L，这个冷藏柜的底面是一个边长为5dm的正方形，冷藏柜的高是（     ）dm。（冷藏柜厚度忽略不计） A．6 B．7.5 C．10 D．30 【答案】A 【分析】由公式“长方体的体积＝长×宽×高”可得，高＝体积÷长÷宽。长方体的长和宽都是5dm，先将150L换算成150，再代入数据计算。 【详解】150L＝150 150÷5÷5＝6（dm） 因此，冷藏柜的高是6dm。 19．张叔叔家有一个体积为720立方分米的长方体木箱，这个木箱的底面是一个边长为12分米的正方形，该木箱的高是（     ）分米。 A．0.5 B．5 C．50 D．500 【答案】B 【分析】长方体体积等于底面积乘高。底面是正方形，边长12分米，底面积就是（12×12）平方分米；体积720立方分米，高等于体积除以底面积。 【详解】底面积：12×12＝144（平方分米） 高：720÷144＝5（分米） 20．一个正方体礼盒的棱长总和是48厘米，包装这个礼盒至少需要（     ）平方厘米的彩纸。 A．144 B．96 C．64 D．48 【答案】B 【分析】正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体礼盒的棱长，求包装这个礼盒需要多少彩纸就是求这个正方体礼盒的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 包装这个礼盒至少需要96平方厘米的彩纸。 21．龙岩长汀素有“豆腐王国”的美称，108道全豆腐宴，切法、做法各不相同。一个长12cm、宽5cm、高6cm的长方体豆腐，下面四种切法中，（     ）切法增加的表面积最大。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体不同的切法，增加的表面积是两个切面的面积，切面为长方形，已知长方形的长12cm，宽是5cm，高是6cm，据此求出四个切面的大小，比较即可。 【详解】A．这种切法平行于长×宽的面切割，切面长是12cm，宽是5cm，增加的表面积为2个长×宽的面积，即2×12×5＝120（cm2）。 B．这种切法以长方体正面长方形对角切，切面的长比原来长方体的长大，宽是6cm，增加的表面积大于长12cm，宽6cm的切法； C．这种切法平行于长×高的面切割，切面是长12cm，高是6cm，增加的表面积为2个长×高的面积，即2×12×6＝144（cm2）。 D．这种切法平行于宽×高的面切割，切面的长是6cm，宽是5cm，增加的编辑为2个宽×高的面积，即2×6×5＝60（cm2） 增加的表面积＞144＞120＞60。所以四种切法中，切法增加的表面积最大。 22．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长4分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重（     ）千克。 A．40 B．60 C．64 D．160 【答案】D 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出石料体积，石料体积×1立方分米的重量＝这块石料的重量。 【详解】4×4×4×2.5 ＝64×2.5 ＝160（千克） 这块石料重160千克。 三、解答题 23．将一个棱长为5分米的正方体容器盛满水，然后将该正方体容器中的水倒入一个长10分米、宽5分米、高6分米的长方体容器中（水未溢出），请问长方体容器中水的高度是多少分米？ 【答案】2.5分米 【分析】先根据正方体的体积公式算出正方体里水的体积，倒水后水的体积不变，根据长方体的体积公式可知，即用水的体积除以长方体容器底面积就能得到水深。 【详解】5×5×5÷（10×5） ＝125÷50 ＝2.5（分米） 答：长方体容器中水的高度是2.5分米。 24．挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ （3）若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 【答案】（1）48平方米 （2）104平方米 （3）96吨 【分析】（1）蓄水池的占地面积就是它的底面积，底面积＝长×宽； （2）抹水泥只需要抹底部和四周，一共5个面（不需要抹顶面），总面积＝底面积＋四个侧面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （3）求蓄水的质量，先算蓄水池的容积（体积），将长、宽、高（深）代入体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，用水的体积乘每立方米水的质量得到蓄水总质量。 【详解】（1）8×6＝48（平方米） 答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。 （2）6×8＋（6×2＋8×2）×2 ＝48＋（12＋16）×2 ＝48＋28×2 ＝48＋56 ＝104（平方米） 答：抹水泥部分面积是104平方米。 （3）8×6×2＝96（立方米） 96×1＝96（吨） 答：最多能蓄水96吨。 25．班级要评选红领巾文明小先锋，如图，班主任做了一个正方体投票箱，并在投票箱上挖了一个投票口。现要在投票箱的上面、下面及四周贴上红纸，至少需要多少平方分米的红纸？（单位：分米） 【答案】94.5平方分米 【分析】根据题意，在投票箱的上面、下面及四周贴上红纸，用正方体的表面积减去开口处长方形的面积就是需要红纸的面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，分别把数据代入公式计算，再相减即可。 【详解】4×4×6－3×0.5 ＝16×6－1.5 ＝96－1.5 ＝94.5（平方分米） 答：至少需要94.5平方分米的红纸。 26．小梦家要做一个靠墙的长方体玻璃浴房，无盖无底，如图所示，做这个浴房至少需要多少平方米的玻璃？若每平方米玻璃为250元，总安装费为260元。做这个浴房共要花多少元？（单位：米） 【答案】9.24平方米；2570元 【分析】浴房是靠墙的，说明后面是不需要安装玻璃；无盖无底，说明上面和下面也不需要安装玻璃；需要安装玻璃的有三个面：正面、左面与右面；计算出三个面的面积总和后再乘250求得玻璃的价钱，最后加上安装费即可。 【详解】玻璃总面积：1.2×2.2＋1.5×2.2×2 ＝2.64＋6.6 ＝9.24（平方米） 9.24×250＋260 ＝2310＋260 ＝2570（元） 答：做这个浴房至少需要9.24平方米玻璃；做这个浴房共要花2570元。 27．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 28．造纸术是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为"千年寿纸”。 （1）在“入帘”环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ （2）宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板（木板的厚度不计）？ 【答案】（1）600升 （2）214平方分米 【分析】（1）求纸槽容纳浆的体积就是求长方体容积，将长12分米，宽10分米，高5分米代入长方体的体积公式算出体积，再根据1立方分米＝1升将立方分米转为升即可得到这个长方体纸槽的容积。 （2）求木箱用料是求有盖长方体的表面积，将长6分米，宽5分米，高7分米代入长方体的表面积公式即可计算。 【详解】（1）12×10×5 ＝120×5 ＝600（立方分米） 600立方分米＝600升 答：最多能容纳600升竹木浆。 （2）（6×5＋6×7＋5×7）×2 ＝（30＋42＋35）×2 ＝107×2 ＝214（平方分米） 答：至少需要214平方分米木板。 29．四名同学观察同一个空心冰雕“数字0”，得到以下信息，并在图中标出了部分数据。 信息①：从外面量，它的长是6分米，宽是2分米。 信息②：从外面量，这个冰雕左、右两个面的面积之和是40平方分米。 信息③：从前面看这个冰雕，上、下、左、右均厚1分米。 信息④：从里面量，它的长是4分米，高是8分米。 请你选择上面的三个信息______（填序号），并计算出这个冰雕的体积。 【答案】第一种：选①②③；56立方分米 第二种：选①③④；56立方分米 第三种：选①②④；56立方分米 【分析】冰雕是由一个长方体中间挖去了一个小长方体形成的，体积＝大长方体体积−小长方体体积，小长方体的宽和大长方体的宽相等；第一种可选择①②③，根据②可得到长方体的高，再根据③得到空着部分的体积，进而得出答案；第二种可选择①③④，可计算得出答案；第三种可选择①②④，长方体体积＝长×宽×高，计算得出答案。 【详解】第一种方法：选择三个信息①②③，左右两面面积之和40立方分米，则高为：40÷2÷2＝10（分米），长为6分米，宽为2分米；从前面看”厚度分布，可推导宽度方向无厚度变化，因此内部宽度等于外部宽度；里面的长方体长是4分米，高8分米，宽2分米，则冰雕体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 第二种方法：选择三个信息①③④，大长方体的高为：8＋1＋1＝10（分米）；则体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 第三种方法：选用①②④，高为：40÷2÷2＝10（分米），则体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 答：冰雕体积为56立方分米。 30．空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 【答案】千克 【分析】先根据长乘宽乘高算出没有孔洞的空心砖的体积，正方体的棱长就是长方体的高，再用棱长乘棱长乘棱长算出一个孔洞的体积，再乘算出个孔洞的体积，用没有孔洞的空心砖的体积减去个孔洞的体积算出空心砖的体积，注意换算单位，进率是，再乘算出质量，最后换算单位，进率是，保留两位小数。 【详解】 （立方毫米） 立方毫米立方厘米 （千克） 答：制作一块空心砖需要陶土千克。 31．李阿姨把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。 （1）这个收纳盒所用纸板的面积是多少平方厘米？ （2）她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 【答案】（1）656平方厘米 （2）28个 【分析】（1）求收纳盒所用纸板的面积＝长方形面积－4个小正方形面积，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 （2）收纳盒的长为（30－4×2）厘米，宽为（24－4×2）厘米，高为4厘米，由于茶叶不能超过收纳盒的上沿，放2层的话，高度大于收纳盒的高度，所以只能放一层，要想最多，则把茶叶盒侧着放，即3厘米的高度放收纳盒的长一面，用长除以3求出能放几个，再用收纳盒的宽除以4求出能放几行，再把两个结果相乘即可。 【详解】（1）30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） 答：这个收纳盒所用纸板的面积是656平方厘米。 （2）收纳盒的长：30－4×2 ＝30－8 ＝22（厘米） 收纳盒的宽：24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 22÷3＝7（个）……1（厘米） 16÷4＝4（个） 7×4×1 ＝28×1 ＝28（个） 答：收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 32．学校想在教室空闲区域设计一个长方体收纳柜放置图书，收纳柜长1.2m，宽5dm，高1m。已知材料与预算如下： 材料 单价（元/平方米） 环保特性 再生木板 120 可回收 复合板材 90 部分可回收 竹板材 150 可再生、坚固耐用 （1）计算出柜子的表面积。 （2）请你选择材料并计算总成本，说明选择的理由。（环保性、成本等）预算限制：总费用≤600元（总费用小于或等于600元） 【答案】（1）4.6平方米 （2）再生木板，552元，因为再生木板可回收，环保性更好，且总费用在预算范围内。 【分析】（1）柜子是长方体，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算即可，注意单位一致； （2）用柜子表面积乘再生木板每平方米的钱数求出各材料总成本，再根据环保性、成本、预算限制选择合适的材料并说明原因。 【详解】（1）5分米＝0.5米 （1.2×0.5＋1.2×1＋0.5×1）×2 ＝（0.6＋1.2＋0.5）×2 ＝2.3×2 ＝4.6（平方米） 答：柜子的表面积是4.6平方米。 （2）竹板材：4.6×150＝690元，690＞600，超出预算，排除。 复合板材：4.6×90＝414元，414＜600，符合预算，但仅部分可回收，环保性一般。 再生木板：4.6×120＝552元，552＜600，符合预算，且是可回收材料，环保性更好。 答：选择再生木板，总成本是552元，因为再生木板可回收，环保性更好，且总费用在预算范围内。 33．将4个长20厘米、宽8厘米、高6厘米的印泥盒子用彩色纸包在一起。 A．    B．    C．  D． （1）上面四种包装方式，最省包装纸的是（ ）。（填序号） （2）请用喜欢的方法说明理由。（提示：可以是说理，也可以是计算） 【答案】（1）D （2）D种包装方式表面积最小，所以最省包装纸。 【分析】（1）要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。据此解答即可。（2）根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，先算出一个长方体的表面积，再用4个长方体的表面积之和减去减少的面的面积，分别计算每一种包装方式所需包装纸的面积。据此解答。 【详解】（1）A表面积减少了： 20×6×4＋8×6×4 ＝480＋192 ＝672（平方厘米） B表面积减少了：20×8×6＝960（平方厘米） C表面积减少了： 20×8×4＋8×6×4 ＝640＋192 ＝832（平方厘米） D表面积减少了： 20×8×4＋20×6×4 ＝640＋480 ＝1120（平方厘米） D种包装方式，减少的面积最大，最节省包装纸。 （2）20×8×2＋20×6×2＋8×6×2 ＝320＋240＋96 ＝656（平方厘米） 656×4＝2624（平方厘米） 2624－672＝1952（平方厘米） 2624－960＝1664（平方厘米） 2624－832＝1792（平方厘米） 2624－1120＝1504（平方厘米） 1504＜1664＜1792＜1952 答：D种包装方式表面积最小，所以最省包装纸。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $