上海市宝山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025~2026学年宝山区高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸 相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分)· 1.直线y=1的斜率为 2.已知{an}为等差数列，a=1,a=5,则公差d= 3.已知向量a=(ml,2)平行于向量i=(2,n,l),则mn= 4,已知方程，心十广=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 3-mm-1 5.平行直线l:ax+2y+3a=0与12：3x+4y+5=0之间的距离为_ 6已知双曲线y2 。=1(a>0,6>0)的一条渐近线平行于直线：y=2x-10,双曲线的一个焦点在直 线1上，则双曲线的方程为 7已知数列{a,}满足a,=3,a1=1- ,则a1= an 8.已知直线：(m+2)x-(m+1)y-m-1=0,若直线1与连接A(-1,0)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则 直线1的倾斜角范围是」 9.数列{an}的通项公式为an=2n+1,则a+4+a+…+a2m1= 10.圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经 过另一个焦点：从双曲线的·个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一 个焦点.某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭 圆T和双曲线Ω构成，其中T与Ω的离心率之比为3：4.一束激光从焦点E发出，依次经Ω与厂反射 后返回F,历时t秒；若将装置中的2去掉，激光从E发出经T两次反射后返 回耳，历时52秒则三= 11.已知实数a、b、c、d满足√a2+b2-4a+c-d+2=0,则(a-c?+(b-d}的最小值 为 第1页共5页 12.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）： 其中的曲线段AOB是顶点为O、开口向上的抛物线弧，且AO=BO,渠宽AB为2米，渠深(O到直线AB 的距离)为1米.现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底 面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为 米时，所挖的土方量最 少.（精确到0.01米） 挖去 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出 四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 相应满分，否则一律得零分)· 13.已知空间向量ā=i-2j+2k,则向量ā的模为() A.1 B.3 C.9 D.(1,-2,2) 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a+ag<0,S,>0,则Sn的最大值为() A.Ss B.S C.S D.Ss (3-a)x-3,x≤7 15.设函数f(x)= a-6,x>7 ，数列{an}满足an=f(n),且数列{an}是严格数列，则实数a的取值范 围是( A.(2,3] B.(1,3) C.(2,3) D.0,3 16.已知A(-m,0,B(m,Om>0,连接动点P与A、B形成的直线斜率记为kAP、飞P,且满足 k4P+k即=2.设点P的轨迹为曲线C.有以下命题： ①曲线C关于原点中心对称： ②曲线C与直线y=x+1恒有交点； ③曲线C上的点到原点的距离的最小值为2m; ④存在直线1与曲线C有且仅有一个交点， 其中正确的命题序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 第2页共5页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写 出必要的步骤)· 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知直线l:（(m+2)x+my-6=0和直线I2:mx+y-3=0,其中m为实数. (1)若l⊥L2,求m的值； (2)若点P(1,2)在直线12上，直线1过P点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线1的方程。 18、(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第2小题满分4分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC,中，AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,F为BC,的中点，点 D、E分别在棱AA和棱CC上，且AD=1,CE=2. A (1)求证：AF∥平面BDE; B (2)求平面ACC,A,与平而BDE所成二面角的大小； (3)求点A到平面BDE的距离. B 第3页共5页 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分) 1 已知数列a,}满足：4=24=，且a2+4a,=5a,对任意正整数n都成立. (1)证明：数列{an+1-an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式： (3)设么，=10g,(3a,-),数列{，人的前n项和为S.若对任意正整数n,不等式S,<元恒成立， bb 求实数入的最小值. 20(本题满分16分，第1小题满分8分，第2①满分4分，第2②满分4分) 在平面上有如下命题：“若O为直线AB外一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数2、4， 满足OP=1OA+uOB,且元+4=1.” (1)请将该命题类比到空间中，并证明. (2)在四面体OABC中，已知OA=OB=OC=2,OAOB=OB.OC=2,OA.OC=1.点P在平面 ABC内肉，且满起O丽=2A01+号0B+}0C. ①求OP.OA的值： ②求OP的值. 第4页共5页 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知抛物线C:y2=4x,焦点为F. (1)若抛物线上一点P到y轴的距离是其到焦点F距离的一半，求PF的长度； (2)已知M、N为C上两点，且FM.F=0.求△MFN面积的最小值； (3)抛物线C的准线与x轴的交点为P,过点P的直线l与抛物线C交于A、B两点（点A在点P、B之 间)，点2满足OA=3AF.记△ABF、△APQ的面积分别为S1、S2,求S1+S2的最小值. 第5页共5页 2025~2026学年宝山区高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸 相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分)· 1.直线y=1的斜率为 【答案】0 2.己知{an}为等差数列，a=1,a=5,则公差d= 【答案】2 3.已知向量a=(ml,2)平行于向量i=(2,n,,则m:n=_ 【答案】-2 4已方程问+二1表示煮点在x轴上的圆，则实数n的收值范日是 【答案】(1,2) 5.平行直线1：ax+2y+3a=0与12：3x+4y+5=0之间的距离为 【客1号 6.已知双曲线xy2 F行京=1Ka>0,b>0)的-条潮近线平行于直线1：y=2x-10,双曲线的一个焦点在直 线1上，则双曲线的方程为 【答案】父-=1 520 7.已知数列{a,}满足a,=3,a1=1-，则4=一 a 【客号 8.已知直线1：(m+2)x-(m+1)y-m-1=0,若直线1与连接A(-1,0)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则 直线1的倾斜角范围是 【答案】 π3π 44 9.数列{an}的通项公式为an=2n+1,则a+a+a+…+a2m1=】 第1页共11页 【答案】2n2+5n+3 10.圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经 过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一 个焦点.某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭 圆「和双曲线2构成，其中「与2的离心率之比为3：4.一束激光从焦点F发出，依次经2与「反射 后返回E,历时1秒；若将装置中的2去掉，激光从F发出经厂两次反射后返回F,历时t,秒.则 2= t 【答案】8 【解析】由椭圆定义得BF+BF=2a①，AF-A=2a②，①-②得， BF+AF+BF引-AE=BF+AF+BA=2a-2a2,即△ABF的周长为2a-2a, 由椭圆定义知△CDF,的周长为4a, 因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点， =4g-22-2-8 所以72a-2a1-41-51- 3 a e2 11.已知实数a、b、c、d满足√a2+b2-4a+c-d+2=0,则(a-c}+(b-d}的最小值 为 【答案】12-8√2 【解析】由√a2+b2-4a+c-d+2=0可得：a2+b2-4a=0和c-d+2=0, 即(a-2)2+b2-4和d=c+2, 则M(2,0)到直线d=c+2的距离为：12-0+2-2N2, √2 故(a-c}+(6-d}≥(2w2-2=12-82. 12.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）： 其中的曲线段AOB是顶点为O、开口向上的抛物线弧，且AO=BO,渠宽AB为2米，渠深(O到直线AB 的距离)为1米.现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底 第2页共11页 面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为 米时，所挖的土方量最 少.（精确到0.01米） B 挖去 【答案】0.71 【解析】如图所示，以O为坐标原点建立直角坐标系， 设抛物线方程为y=ax2,把(1,1)代入可得a=1,即y=x2, 为使所挖土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切， 设切点为P(1,t2),(0<t≤1)是抛物线OB上的一点， 挖去 设经过点P的切线CD的方程为y-=k(x-), 联立可得 y-子=k(x-),消去y可得2-c+-=0, [y=x2 由△=k2-4(kt-t2)=0→k=2t, 所以切线方程为y-r=24-小.所以c00分 所以格形的积为：牛引2风习-店，当且仅当2空时款等号 2 所以改挖后水沟的底部宽为1=2≈0.71米 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出 四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 相应满分，否则-一律得零分)· 13.已知空间向量ā=i-2j+2k,则向量ā的模为( A.1 B.3 C.9 D.(1,-2,2) 【答案】B 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a+a<0,S,>0,则Sn的最大值为() A.Ss B.S C.S D.Ss 【答案】B 第3页共11页 (3-a)x-3,x≤7 15.设函数f(x)= a-6,x>7 ，数列{a,}满足a,=fm,且数列{a,}是严格数列，则实数a的取值范 围是( A.(2,3] B.(1,3) C.(2,3) 【答案】C 【解析】因为a,=fm,fx)= (3-a)n-3,n≤7 3-ax-3,x7,所以a,306>7 a-6,x>7 因为数列{an}是严格递增数列， 3-a>0 [a<3 所以a>1 ,解得{a>1 ,即2<a<3.故选：C. a2>18-7a a>2或a<-9 16.已知A(-m,0,B(m,0)m>0,连接动点P与A、B形成的直线斜率记为k4P、kp,且满足 k4p+k即=2.设点P的轨迹为曲线C.有以下命题： ①曲线C关于原点中心对称；②曲线C与直线y=x+I恒有交点： ③曲线C上的点到原点的距离的最小值为2m; ④存在直线1与曲线C有且仅有一个交点. 其中正确的命题序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 【答案】C 【解折】设P心则k心+如十m+'m2,即-y-m0,≠土m, 对于①，取(-x,-y),带入得(-x)2-(-x)(-y)-m2=0,即x2-y-m2=0成立，故①正确； 对于②，联立 -ym=0,得x=-m,又x≠士m,故m=1时，没有交点，故②错误： y=x+1 对于③，由-y-m2=0可得，y=x-m 放--2r-2m≥2w-20-66-小当且收当0特9t立 第4页共11页 即d≥V2√2-2m≠2m,故③错误； 对于④，取x=n,n≠士m且n≠0，则y=n-m m2 故直线x=n与曲线C只有一个交点n,n- n 故④正确： 综上，①④正确，故选C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写 出必要的步骤)· 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知直线l:(m+2)x+my-6=0和直线l2:mx+y-3=0,其中m为实数. (1)若L⊥12，求m的值： (2)若点P(1,2m)在直线L2上，直线1过P点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线I的方程. 【答案】(1)m=-3或0；(2)2x-y=0或x-y+1=0 【解析】(1)由题意得m(m+2)+m=0,解得m=-3或0： (2)由P(1,2m)在直线l2上，得m+2m-3=0,解得m=1,可得P(1,2), 显然直线1的斜率一定存在且不为0，设直线1的方程为y-2=k(x-1), 令x=0,可得)y=2-k,再令y=0,可得x=k-2 k 所以-2=-(2-k),解得k=2或k=1, 所以直线1的方程为y-2=2(x-1)或y-2=x-1, 即2x-y=0或x-y+1=0. 18、(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第2小题满分4分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,F为BC的中点，点 D、E分别在棱AA和棱CC上，且AD=1,CE=2. (1)求证：AF∥平面BDE: 第5页共11页 C (2)求平面ACC,A,与平面BDE所成二面角的大小： (3)求点A,到平面BDE的距离. 2 2 【解析】(1)直三棱柱ABC-AB,C1中，AC⊥BC 以C为原点，以CACB.CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B0,2,0八D(2,0,1E0,0,2), 所以BE=(0,-2,2)BD=(2,-2,1), 设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),则 n.BD=2x-2y+z=0 n.BE=-2y+2z=0 令y=2,则z=2,x=1得到平面BDE的一个法向量n=(1,2,2) 又A(2,03F(0,13)4F=（2,1,0) 因为AF.n=0所以AF⊥n,又AF在平面BDE外， 所以AF∥平面BDE, (2)易知平面ACC,4的-·个法向量为m=(0,1,0): m.n 2 则c0s<m,n> 2 一 m n V1+4+413 2 2 所以平面ACCA与平面BDE所成二面角是arccos二或π-arccos 3 3 (3)因为4(2,0,3，AD=(0,0,-2, AD·n 所以点A到平面BDE的距离d= 4 n V1+4+43 第6页共11页 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分) 1 已知数列a,}满足：4=24=l,且a,?+4a,=5a对任意正整数m都成立. (1)证明：数列{an+1-an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式： (3)设，=1og,(Ba,-1,数列（的前n项和为S,.若对任意正整数n,不等式S,<元恒成立， bba 求实数的最小值. 【答案】1)见解折：2)a,=223+:(3)-月 【解析】(1)因为an+2+4a,=5a+1,对一切正整数n成立， 所以a2-a1=4(a1-a,b,即8±2-01=4， an+i-an 因为4=24=1，所以4，-a=2 所以数列和一4}是以号为首项。4为公比的等比数列 （2)由1)得a1-a=2×4=23, 所以通过累加得an=(an-an-)+(an-1-an-2)+…+(a2-a)+a =22m-5+22m-7+22m-9+…+2+2 4+-2+10,(n≥2) 1 6 33 1 1 当n=1时，4=32'+0=2 综上所述，0，=（203+0. (3)b,=log2(3an-1)=l1og222m-3=2n-3 k-可g】 u8式1*) 第7页共11页 当n无限增大， -1 的值越来越趋近于0，S,的值越来越趋近于-】，从而1mS,=- 2n-1 2 所以对任意正整数m,不等式S,<2恒成立时，实数元的最小值为2 1 20(本题满分16分，第1小题满分8分，第2①满分4分，第2②满分4分) 在平面上有如下命题：“若O为直线AB外一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数九、4， 满足OP=OA+uOB,且2+u=1.” (1)请将该命题类比到空间中，并证明 (2)在四面体OABC中，已知OA=OB=OC=2,OA.OB=OB.OC=2,OA.OC=1.点P在平面 ABC内，且满足OP=20A+OB+0C ①求OP.OA的值： ②求OP的值. 【答案】(1)见解析；(2)@}：②匝 4 【解析】(1)类比到空间中，该命题为： 若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是：存在实数2、、V,满足 OP=OA+uOB+vOC,且元+4+v=1. 证明：①若点P∈平面ABC, 由向量共面的充要条件知存在实数S、t使得AP=sAB+tAC 由向量加减法得OP-OA=sOB-OA+OC-OA 整理得OP=(1-s-t)OA+sOB+1OC 令元=1-S-t,4=S,v=t,则OP=OA+uOB+vOC,其中元+4+v=1. ②反之，若已知OP=OA+uOB+yOC,且九+u+v=1. OP=(1-u-v)04+u0B+vOC 整理得oP-OA=uOB-OA+vOC-OA 即AP=uAB+yAC, 根据向量共面的充要条件知APABAC共面，即A、B、C、P共面， 第8页共11页 所以点P在平面ABC内. 综上所述，若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是：存在实数九、4、V,满足 Op=OA+uOB+vOC,且元+μ+v=1. (2)①由（①)的结论知22++=l,从而1= 24 8 从而0P=0A+10B+10c 由已知OA=OB=OC=2,OA.OB=OB.OC=2,OA.OC=1得 om.0-a+}丽o+0cam-4+*2+1} 4 4 @因为op-om-(4o+o+ocj -6oi+丽+6oc+goi.丽+6oic+i0 1 1 1 4+4x4+16x4+2 Γ16 网要 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 己知抛物线C:y2=4x,焦点为F. (1)若抛物线上一点P到y轴的距离是其到焦点F距离的一半，求PF的长度； (2)已知M、N为C上两点，且FM.FN=0.求△MFN面积的最小值； (3)抛物线C的准线与x轴的交点为P,过点P的直线l与抛物线C交于A、B两点（点A在点P、B之 间)，点2满足QA=3AF.记△ABF、△APQ的面积分别为S、S2,求S,+S2的最小值. 【答案】(1)2；(2)12-82；(3)4√2 【解析】(1)由题知焦点F(1,0).准线方程为1：x=-1, 第9页共11页 根据抛物线的定义知，PF=dn-=dp抽+l 由已知d,=)P时，所以PF=2。 (2)思路一：显然，直线MN的斜率不可能为零，设直线MN的方程为x=my+n,与y2=4x联立，得 y2-4m-4n=0,所以△=16m2+16n>0,化简得m2+n>0. 设M(x,),N(x2,y2),则+2=4m,hy2=-4n. 因为FM.FN=0,所以(x-1)(:2-1)+y2=0,即(my+n-1)(my2+n-1)+y2=0, 于是(m2+1)2+m(n-10(4+2)+(n-1)2=0. 将+2=4m,=-4n代入，化简得4m2=n2-6n+1. 由m2+n>0,得4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1. 由4m2≥0，得n2-6n+1≥0，解得m≥3+2V2或n≤3-2V2, 由FM·F=0得FM⊥FN.所以△MFN的面积 S=2FM-FN=(s+100s+)=m+n+00m2+n+l =[m2-6m+1+n+2]=(m-12, 于是，当n=3-22时，S有最小值为(2-222=12-82， 故△MFN面积的最小值为12-8V2· 思路二： 设年小停小则网网年-年- 所以(42)2+164y2+16=4(+).① 因为+2y2l.所以0y2)2+16y2+16>8y2l.② 当2≥0时，不等式②化简得(2+4)}2≥0，所以≥0时不等式②成立： 当2<0时，不等式②化简得()2+24y2+16≥0，解得2≤-8V2-12或82-12≤y2<0. 综上，2的取值集合是（-0，-8V2-12]U[8W2-12,+∞ 由FM.FN=0得FM⊥FN,所以△MFN的面积 第10页共11页 s=FMN=年+享+4听+)可] 将@代入，得S=2[2(广+16+32]=0+4. 所以，当=82-12时，s有最小值为(8万-8到=12-85. 故△MFW面积的最小值为12-8√2. (3)如图，由已知得P(-1,0),F(1,0),设A(,3),B(x4,y4),直线AB的方程为x=y-1,与y2=4x 联立，得y2-4y+4=0. 则y3+y4=4t,3y4=4,△=162-16>0，解得1<-1或t>1. 因为0A=3AF,所以-y0=3(-),即0=4%： 于是S1+S2=S△PrO+S△PFB-2S△PFA =yo+y4-2=2+y4>≥22yy4=42,当且仅当y4=2%, 即s=2或%=-5。 时等号成立 y4=22by4=-22 故S,+S2的最小值为42. 第11页共11页