湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷3

**基本信息** 融入《九章算术》刍甍文化情境与学生阅读时间、身高统计等现实问题，覆盖立体几何、向量、统计等必修2核心内容，题型梯度适配高一下期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、棱柱概念、异面直线与平面关系|如第2题辨析棱柱定义，强化空间观念| |多选题|3/18|数据变换的均值方差、向量模与夹角|如第9题结合数据变换考查统计素养| |填空题|3/15|复数模最小值、向量数量积|如第13题等边三角形中向量数量积最小值，体现数学思维| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明与体积、分层抽样均值方差|如第19题刍甍模型，融合文化传承与空间想象，训练逻辑推理能力|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷3 时间：2026-6-16 18:30-20:30范围：人教版必修2 第5.4—第9章 一.单选题（5分/8题，共40分） 1．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则（  ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 8．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． （第6题图） （第11题图） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知甲组数据的平均数为8，方差为2，由这组数据得到乙组数据，其中，则（    ） A．数据的平均数为 B．乙组数据的方差为11 C．数据的方差小于2 D．甲组数据的第25百分位数是乙组数据的第25百分位数的2倍 10．已知平面向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 11．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 13．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是____． 14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知，，，为坐标原点． (1)若，求的值； (2)若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 16．已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 17．如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值． 18.随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的75％分位数． (3)由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 19．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷3答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D D C D D C AC BCD ACD 12. 4 13. 14. / 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，，，所以，  ， 又，所以，则，即． （2）因为，，所以， 因为，所以，即，． 又是第二象限角，所以，   因为，，所以， 所以． 16．(1) (2) 【详解】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以，得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立；故的最小值为. 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由平面，平面ABC，故． 又，平面，且，平面， 又平面，．又，平面，且， 平面． （2）证明：由（1）得，平面，又平面， 又，平面，且，平面， 在平面内的射影为，在平面成角为，又， 根据面积可得，,即，解得， 在中，根据勾股定理可得，,故 与平面所成角的正切值为. 18．2．(1)60 (2) (3)该样本的均值为，方差为 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为，则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． （3）由题得：该样本的均值为 该样本的方差为 19．（1）；（2）；（3）存在，或． 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，，所以，， 由已知得，所以． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，，所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以． 因为，，平面，所以平面，所以为三棱锥的高，．因为，所以． （3）方法一： 假设存在点．①当点在线段上时，连接交于， 则，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以． ②当点在延长线上时，连接交于， 则，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点， 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时,过点作交于，连接，过点作交于． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在上存在点使得平面，此时或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $