专题5.3 图形的轴对称易错必刷题型专训（28题7个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 聚焦图形轴对称7大核心考点，以28道易错题型构建从概念特征到性质应用的递进训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特征应用|4题|成轴对称图形性质辨析与计算|从轴对称基本特征切入，奠定认知基础| |折叠问题|4题|图形折叠后角度与线段关系探究|动态应用轴对称性质，培养空间观念| |作图|4题|轴对称图形作图与对称轴判断|连接性质与操作，强化几何直观| |实际应用|4题|生活情境中的对称设计与问题解决|体现数学与现实联系，发展应用意识| |线段垂直平分线|4题|性质应用与尺规作图|轴对称性质延伸，构建知识网络| |角平分线|4题|性质辨析与距离计算|深化轴对称性质应用，提升推理能力| |等腰三角形综合|4题|等边对等角与三线合一应用|综合轴对称与三角形知识，培养综合思维|

专题5.3 图形的轴对称易错必刷题型专训（28题7个考点） 【易错必刷一 根据成轴对称图形的特征解决问题】 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【易错必刷二 折叠问题】 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图1是一张长方形纸条，把这一纸条先沿折叠并压平得到图2，再沿折叠并压平得到图3，若图3中，则的度数为______． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践【回归课本】下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动《你有多少种画平行线的方法》的部分内容：王芳是通过折纸画的，方法如图所示： 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)如图（4），___________，则直线．（填角的度数） 【联系拓展】 (3)将正方形纸片按以图（3）方式折叠后展开如图（4），标记字母如图（5），若，求的度数． 【迁移探究】 (4)将长方形纸带按如图（6）折叠，和分别为折痕，若，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【易错必刷三 画轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 4．（2026·七年级下 河北张家口）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【易错必刷四 实际生活中的对称问题】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2023七年级下·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 4．（25-26七年级下·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【易错必刷五 线段垂直平分线的性质】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 4．（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【易错必刷六 角平分线的性质】 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·月考）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【易错必刷七 等边对等角和三线合一的综合应用】 1．（2026·七年级下 安徽蚌埠）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023·七年级下浙江湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）    A．20° B．35° C．40° D．70° 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 图形的轴对称易错必刷题型专训（28题7个考点） 【易错必刷一 根据成轴对称图形的特征解决问题】 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，不一定成立， 故选项A、C、D判断错误，不符合题意，选项B判断正确，符合题意， 故选：B． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 【易错必刷二 折叠问题】 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和为180度，求出的度数，平行线的性质求出的度数，平角的定义结合三角形的内角和为180度，求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图1是一张长方形纸条，把这一纸条先沿折叠并压平得到图2，再沿折叠并压平得到图3，若图3中，则的度数为______． 【答案】/109度 【分析】补全折叠前的图形，由折叠得，设，表示出，然后根据平角的定义求出，然后由折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，补全折叠前的图形 由折叠得，设， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴由折叠得，． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践【回归课本】下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动《你有多少种画平行线的方法》的部分内容：王芳是通过折纸画的，方法如图所示： 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)如图（4），___________，则直线．（填角的度数） 【联系拓展】 (3)将正方形纸片按以图（3）方式折叠后展开如图（4），标记字母如图（5），若，求的度数． 【迁移探究】 (4)将长方形纸带按如图（6）折叠，和分别为折痕，若，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)垂直 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据折叠的性质即可判断折痕与直线a的位置关系是垂直； （2）由折叠的性质可得，再由内错角相等，两直线平行可得； （3）过点E作，根据两直线平行，同位角相等得到，，结合，即可得到答案； （4）根据折叠的性质得到，，然后再根据平行线的性质得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直； （2）解：由折叠的性质可得， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解：过点E作，如图所示， 由（1）可知，， ， ，， ， ， ； （4）解：根据折叠的性质可知，，, ，， ，， ， ， ， ，即． 【易错必刷三 画轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 4．（2026·七年级下 河北张家口）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 【易错必刷四 实际生活中的对称问题】 1．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的特征是解题的关键．根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 【详解】解：移动后的轴对称图形如图所示，共有种方法． 故选：D． 2．（2023七年级下·江苏·专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 4．（25-26七年级下·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【易错必刷五 线段垂直平分线的性质】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图画线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质；由三角形内角和定理可得，由题意得：是的垂直平分线，可得，，根据即可求解. 【详解】解：∵在中，，， ∴, 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线平分线段是解题的关键． 先由垂直平分线的性质求出的长度，再利用角平分线的性质，得到点到直线的距离等于． 【详解】解：过点作 于点 ∵是 的垂直平分线，且 ∴是的中点， ∵，即 ∴点到直线的距离为 ∵平分 ∴点到直线 的距离等于点到直线的距离 ∴点到直线的距离为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 【易错必刷六 角平分线的性质】 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 2．（25-26七年级下·福建泉州·月考）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． ①证明与全等，即可得；②由角平分线的性质即可得；③证明与全等，即可得；④证明与全等，即可得． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，且，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ④在与中， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的是①②③④． 故选：D ． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：∵平分，于A，且， ∴ 点P到的距离为6（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 点Q在射线上运动，当Q为点P到的垂足时，取最小值6； 当Q远离垂足时，无限增大， ∴的取值范围是． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 【易错必刷七 等边对等角和三线合一的综合应用】 1．（2026·七年级下 安徽蚌埠）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 2．（2023·七年级下浙江湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）    A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $