专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、在一直线中找线段和最小值的点 1 题型二、在三角形中找线段和最小值问题 3 题型三、在某一角中线段和最小值的问题 6 题型四、在全等三角形中线段和最小值的问题 12 题型五、实际应用问题中的最短路径问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、在一直线中找线段和最小值的点 1．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 2.如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点） （3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图①，点P即为所求    此时； （2）如图②，点P即为所求    此时的值最小； （3）如图③，点P即为所求    此时最大． 题型二、在三角形中找线段和最小值问题 3.如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 4.如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解：如图，连接， ∵正的边长为 3，与关于直线l对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时， 故选B 5.如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， 则在中，， 即的最小值为4， 故答案为：4． 6.如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及将军饮马的最值模型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 连接，由题意易得是的垂直平分线，，要求的最小值即为的最小值，然后根据点到直线的距离垂线段最短即可进行求解． 【详解】解：连接，过点A作，垂足为G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当C、P、D、H共线时取等号， ∵， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 题型三、在某一角中线段和最小值的问题 7.如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 8.如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，证明是等边三角形，；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长， ∴的最小值为4， 故答案为：4．        9.点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    10.（1）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 题型四、在全等三角形中线段和最小值的问题 11. 直观感知和操作确认是几何学习中发现问题的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P； （3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可． 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 12.如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 题型五、实际应用问题中的最短路径问题 13.如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可； （2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以为斜边的直角， 由（1）可知：， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为． 14．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 15．问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 【答案】(1) (2)最少的铺设水管的费用是225000元 【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交于P，此时的值最小，连接先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； (2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，连接． 因为等腰的直角边长为4，E是斜边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以． （2）如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所选择的位置，过点作交的延长线于点． 在中，千米，千米， 所以（千米）， 所以最短路线（千米）， 最少的铺设水管的费用为（元）． 答：最少的铺设水管的费用是 元． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 4．（2025·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： (1)画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； (2)求出的面积； (3)在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小值为 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． （2）解：△的面积为． （3）解：如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最小值为． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 11．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 12.【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用轴对称的性质解决将军饮马问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、在一直线中找线段和最小值的点 1 题型二、在三角形中找线段和最小值问题 3 题型三、在某一角中线段和最小值的问题 6 题型四、在全等三角形中线段和最小值的问题 12 题型五、实际应用问题中的最短路径问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、在一直线中找线段和最小值的点 1．（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 2.如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 题型二、在三角形中找线段和最小值问题 3.如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 4.如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 5.如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 6.如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 题型三、在某一角中线段和最小值的问题 7.如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    9.点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 10.（1）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 题型四、在全等三角形中线段和最小值的问题 11. 直观感知和操作确认是几何学习中发现问题的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 12.如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 题型五、实际应用问题中的最短路径问题 13.如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 14．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 15．问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2025·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 7．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： (1)画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； (2)求出的面积； (3)在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 12.【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $