小升初奥数培优讲义：等差数列-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦等差数列专题，旨在帮助学生掌握定义、四大核心要素及末项、项数、首项、求和公式，通过知识梳理搭建完整体系，例题讲解覆盖基础求值、公式逆向、应用压轴等全梯度题型，配合跟踪训练与高频真题巩固，系统提升解题能力。 亮点在于“四步解题法”与中项定理秒杀技巧，如用口诀强化公式记忆，通过奇数项数列求和实例展示中项定理简化运算，培养学生抽象能力与推理意识。设置生活应用题如“木材堆叠”“座位排列”，提升数学语言表达与应用意识，助力学生攻克项数漏加1等易错点，教师可依此精准教学，高效备战小升初。

小升初奥数培优讲义：等差数列 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 等差数列是小升初奥数体系中性价比最高、套路最清晰、必考满分的核心专题，既是规律探究类题型的基础，也是复杂数列、数论计算、应用题压轴的重要工具。相比于其他奥数难点，等差数列题型固定、公式通用、方法简单，只要掌握核心公式、规避易错陷阱，即可轻松拿下全部分数。 本节课我们系统搭建了等差数列完整知识体系：吃透定义与四大核心要素，熟练掌握末项、项数、首项、求和四大万能公式，精通奇数项专属中项定理，攻克了基础求值、公式逆向、简便运算、生活应用、综合压轴等全梯度题型，梳理了标准化解题步骤与高频避错技巧，彻底解决项数漏加1、公式混用、求和漏除2等经典问题。 等差数列的学习核心不在于死记公式，而在于理解逻辑、灵活变形、精准匹配。所有复杂压轴题，本质都是基础公式的组合与逆向运用。希望同学们牢记专题口诀，熟练运用四步解题法，养成规范解题、细心验算的习惯，跳出机械套公式的误区，真正掌握数列的底层规律。扎实吃透本专题，不仅能稳稳拿下小升初计算与应用题满分，更能为初高中数列、函数学习筑牢坚实基础，助力小升初培优冲刺，稳夺高分、领跑名校！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 等差数列是小升初奥数计算、规律探究、应用题压轴的核心必考专题，属于小学奥数数列板块的基础核心，也是初高中数列知识的前置铺垫。校内数学仅简单认识规律数列，奥数重点考查等差数列四大公式灵活运用、中项定理、复杂项数求解、数列求和、实际应用题、规律压轴等高频题型。 本专题核心本质：一组有序排列的数，相邻两个数的差值恒定不变，通过固定公式快速求解数列的项数、首项、末项、总和，摆脱逐项枚举的繁琐计算，实现大数、长数列的快速求值。该知识点题型固定、套路性强、得分率高，是小升初培优必须吃透的满分考点。 小升初高频考查题型：判断等差数列、求数列末项、求数列项数、求数列首项、基础数列求和、奇数/偶数特殊数列求和、中项定理应用、等差数列应用题、复杂综合压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1. 数列定义：按照一定顺序依次排列的一列数，叫做数列，数列中的每一个数称为一项。 2. 等差数列定义：从数列的第二项开始，每一项与它前一项的差始终相等，这样的数列叫做等差数列，固定的差值叫做公差，用字母表示。 3. 四大核心要素 首项：数列的第一个数； 末项：数列的最后一个数； 项数：数列中所有数的总个数； 公差：相邻两项的固定差值（后项-前项）。 4. 等差数列判定方法：任意相邻两项的差相等，与顺序、数值大小无关，差值恒定即为等差数列。 三、四大万能核心公式（小升初必考、直接套用） 所有公式适用于所有正整数项等差数列，是解题核心工具，必须熟练背诵、灵活变形。 1. 末项公式（通项公式）：已知首项、公差、项数，求最后一项 口诀：末项等于首项加（项数-1）个公差 2. 项数公式：已知首项、末项、公差，求总项数（最高频易错） 口诀：项数等于首尾差值除以公差再加1 3. 首项公式：已知末项、公差、项数，求第一项 4. 求和公式：已知首项、末项、项数，求数列所有数的总和 口诀：和等于首尾相加乘项数除以二 四、拔高核心定理：中项定理（压轴必考） 1. 适用条件：等差数列项数为奇数时可直接使用； 2. 核心结论：数列总和 = 中间项 × 项数； 3. 拓展规律：奇数项等差数列中，平均数 = 中间项，首尾两项的平均数等于中间项； 4. 优势：无需计算首尾和，大幅简化奇数项数列求和运算，是小升初快速秒杀技巧。 五、常见特殊等差数列规律 1. 自然数列：1,2,3,4,5…… 公差； 2. 偶数数列：2,4,6,8,10…… 公差； 3. 奇数数列：1,3,5,7,9…… 公差； 4. 恒定数列：5,5,5,5…… 公差（特殊等差数列）。 六、高频易错点汇总（避错必看） 1. 项数公式忘记加1，是全专题最高频错误； 2. 混淆公差计算，误用前项减后项，导致公差为负数计算失误； 3. 末项公式错用，忘记使用； 4. 偶数项数列误用中项定理，定理仅适用于奇数项； 5. 求和计算忘记除以2，导致结果翻倍； 6. 复杂题目中，无法精准识别首项、末项、公差、项数四个要素。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判数列：验证相邻差值，确定为等差数列，找准公差； 第二步：找四量：梳理已知的首项、末项、项数、公差四个核心量； 第三步：套公式：根据所求量，匹配对应公式，代入数值； 第四步：验结果：结合数列规律简单验证，规避计算漏洞。 八、专题解题口诀 等差数列差值恒，四量齐全公式通； 末项首项加差积，项数求差再加一； 求和首尾乘项半，奇数项数中项乘； 细心避错牢记一，等差难题轻松赢。 例题讲解 【典型例题1】求等差数列末项（入门必考） 题目：已知等差数列 2、5、8、11……，求这个数列的第20项是多少？ 【分析】 基础入门题型，考查末项公式应用。先梳理已知条件：首项、公差、项数，直接代入末项公式求解即可。 【详解】 由题意得：首项，公差，项数； 代入末项公式： 。 【答案】 第20项为59 【跟踪训练1】 题目：等差数列 3、7、11、15……，求它的第15项。 【分析】 识别数列四要素，套用末项公式，重点注意使用个公差。 【详解】 【答案】 59 【跟踪训练2】 题目：等差数列 10、14、18……，求它的第30项。 【分析】 常规末项求解，熟练运用通项公式，规范代入计算。 【详解】 【答案】 126 【典型例题2】求等差数列项数（高频易错） 题目：求等差数列 4、7、10、13……61 的总项数。 【分析】 小升初最高频易错题型，考查项数公式。已知首项、末项、公差，代入，务必记住最后加1，避免漏算首项。 【详解】 项数 【答案】 总项数为20项 【跟踪训练1】 题目：求等差数列 5、9、13……85 的项数。 【分析】 严格套用项数公式，计算首尾差值除以公差后，必须加1。 【详解】 【答案】 21项 【跟踪训练2】 题目：求等差数列 2、6、10……42 的项数。 【分析】 基础项数求解，规避忘加1的高频错误，规范步骤计算。 【详解】 【答案】 11项 【典型例题3】求等差数列首项（进阶基础） 题目：一个等差数列共有18项，公差为2，最后一项为45，求这个数列的首项。 【分析】 考查首项公式逆向应用，已知末项、项数、公差，套用，逆向推导首项，锻炼公式变形能力。 【详解】 【答案】 首项为11 【跟踪训练1】 题目：等差数列共25项，公差为3，末项为80，求首项。 【分析】 逆向运用首项公式，准确计算个公差，再用末项相减。 【详解】 【答案】 8 【跟踪训练2】 题目：等差数列共12项，公差为5，末项为60，求首项。 【分析】 熟练公式变形，规范步骤，准确求解首项。 【详解】 【答案】 5 【典型例题4】等差数列基础求和（核心必考） 题目：计算等差数列 3、5、7、9……41 的总和。 【分析】 标准求和题型，求和必须已知首项、末项、项数，本题未直接给出项数，需先通过项数公式求出总项数，再代入求和公式计算。 【详解】 第一步：求项数， 第二步：求和， 【答案】 总和为440 【跟踪训练1】 题目：计算数列 4、6、8……50 的和。 【分析】 先求项数，再套用求和公式，两步解题，规避直接求和的繁琐计算。 【详解】 项数： 总和： 【答案】 648 【跟踪训练2】 题目：计算 1+3+5+7+……+39 的和。 【分析】 奇数等差数列求和，先求项数，再用首尾求和公式计算。 【详解】 项数： 总和： 【答案】 400 【典型例题5】中项定理拔高应用（奇数项秒杀） 题目：计算5项等差数列：11、13、15、17、19 的总和。 【分析】 本题数列项数为奇数，可使用中项定理秒杀，无需首尾求和，直接用中间项×项数，简化运算，是奥数快速解题技巧。 【详解】 该数列共5项，奇数项，中间项为第3项：15 总和 【答案】 75 【跟踪训练1】 题目：计算7项等差数列：2、4、6、8、10、12、14 的和。 【分析】 奇数项数列，找准中间项，套用中项定理快速求和。 【详解】 共7项，中间项为第4项：8 总和 【答案】 56 【跟踪训练2】 题目：9个连续自然数构成等差数列，中间数为20，求数列总和。 【分析】 直接利用中项定理核心规律，奇数项数列和=中间项×项数，无需知晓首尾项。 【详解】 总和 【答案】 180 【典型例题6】等差数列应用题（分班考高频） 题目：小明第一天背诵5个单词，之后每天比前一天多背2个单词，连续背诵了12天，请问小明一共背了多少个单词？ 【分析】 经典等差数列应用题，每日背诵单词数构成等差数列：首项为5，公差为2，项数为12。先求最后一天背诵数量，再整体求和。 【详解】 第一步：求第12天（末项）单词数： 第二步：求12天总单词数： 【答案】 192个 【跟踪训练1】 题目：一堆木材堆叠，第一层放10根，每往上一层少放1根，最顶层放3根，求这堆木材总根数。 【分析】 递减等差数列，公差为-1，先求层数（项数），再套用求和公式。 【详解】 项数： 总和： 【答案】 52根 【跟踪训练2】 题目：礼堂座位排列，第一排有15个座位，每一排比前一排多2个座位，共20排，求总座位数。 【分析】 递增等差数列应用，先求最后一排座位数，再整体求和。 【详解】 末项： 总和： 【答案】 680个 【典型例题7】综合压轴题型（名校择校考） 题目：已知一个等差数列共有25项，总和为1250，首项为30，求数列的公差和最后一项。 【分析】 小升初综合压轴题，公式逆向综合应用。已知和、项数、首项，先通过求和公式反求末项，再通过末项公式反求公差，层层推导。 【详解】 第一步：由求和公式反求末项： ，代入得 ， 第二步：由末项公式反求公差： 【答案】 末项为70，公差为 【跟踪训练1】 题目：等差数列共20项，和为900，首项为15，求末项。 【分析】 逆向运用求和公式，已知和、项数、首项，反推末项。 【详解】 ， 【答案】 75 【跟踪训练2】 题目：等差数列10项和为550，末项为85，求首项。 【分析】 综合逆向计算，通过求和公式反求首项，锻炼公式灵活变形能力。 【详解】 ， 【答案】 25 高频真题 1． ( )。 【答案】2040200 【分析】式子中每两个相邻的乘积项，都可以提取公因数，提取公因数后，式子会变成一个有规律的等差数列乘2，用等差数列求和公式求和，然后乘2即可。 【详解】 括号里是从1到2019的奇数等差数列，公差为 求这个等差数列的和： 2．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，第20行左起第4个数是( )。 【答案】194 【分析】观察数表，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数……以此类推，第n行就有n个数。先计算前19行一共有多少个数，此数量就是第19行的最后一个数。 第20行左起第4个数，就是“前19行的总个数＋4”。 【详解】计算前19行的数的总个数： 这是一个首项为1、末项为19、项数为19的等差数列。 根据高斯求和公式： 1＋2＋3＋……＋19 ＝（1＋19）×19÷2 ＝20×19÷2 ＝190 190＋4＝194 第20行左起第4个数是194。 3．下表中是三行各按一定规律排列的数列，那么当这一行的数是30时，同一列中行和行的数之和是( )。 2 4 6 8 10 1 5 9 13 17 2 5 10 17 26 【答案】283 【分析】观察表格可知，A行是2、4、6、8、10…是一个偶数数列，第N个数就是2N，30这个数就在第15列；B行是1、5、9、13、17…是一个等差数列，第N个数就是4N－3，则可求出第15列的数；C行是2、5、10、17、26…，规律是3、5、7、9…递增，递增的差为2N－1，则根据规律可求出第15列的数，将B行第15列的数加上C行第15列的数，就是所求结果。 【详解】30÷2＝15 4×15－3 ＝60－3 ＝57 2×15－1 ＝30－1 ＝29 2＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29＝226 57＋226＝283 4．在1到800这800个自然数中，去掉所有的平方数和立方数，得到一个新数列 799、800，这个新数列的和是( )。 【答案】311455 【分析】先计算1到800所有自然数的总和，用等差数列求和公式。 计算1到800中所有平方数的和，先确定最大平方数的底数，再用平方和公式。 计算1到800中所有立方数的和，先确定最大立方数的底数，再用立方和公式。 找出1到800中既是平方数又是立方数的数，即六次方数，计算它们的和，避免重复减去。 根据容斥原理，用总和减去平方数和与立方数和，再加回重复减去的六次方数和，即可得到新数列的和。 【详解】1到800的总和： 1~800中所有平方数的和：因为，，共28个平方数，根据平方和公式： 1~800中所有立方数的和：因为，，共9个立方数，根据立方和公式： 既是平方数又是立方数的数是六次方数：、、），这些数被减了2次，多减了1次，需要补回，它们的和是。 计算新数列的和 。 5．计算： ( )。 【答案】1488 【分析】我们把这列数按照3个一组进行分组，可以得到一组公差为3的等差数列，然后用等差数列求和公式进行求和即可。等差数列求和公式： 【详解】 ＝（1＋2－3）＋（4＋5－6）＋（7＋8－9）＋…＋（94＋95－96） ＝0＋3＋6＋…＋93 原数列是1到96的自然数列，共96项，3个一组分组，共有96÷3＝32（组），即新的数列项数为32 相邻两项的差为3－0＝3，即公差为3 首项为0，末项为93 代入等差数列求和公式： ＝ ＝16×93 ＝1488 6．从1开始的连续奇数按一定规律排成下表，问第21行第5个数是( )。 【答案】809 【分析】观察这个数阵：这是从1开始的连续奇数排列而成的数阵，1，3，5，7，9，11，13，…，第k个数为2k－1；而且每一行的数的个数，也是按照1，3，5，7，9，11，13，…排列的，也就是说第n行有2n－1个数，第n行的数字个数＝2×行数－1，且从第1行开始，每一行比上一行多2个数； 前n行的数字总个数，就是一个等差数列求和：1＋3＋5＋⋯＋（2n－1）＝n2即：前n行一共有n2个奇数。先求出前20行的总个数，判断第21行第5个数对于这个数阵来说是第几个数，就能直接通过2k－1计算这个数具体是多少。 【详解】计算前20行的总个数：1＋3＋5＋⋯＋（2n−1）＝n2 前20行总个数：202＝400 第21行第5个数，是第400＋5＝405个奇数。 2×405－1 ＝810－1 ＝809 因此，第21行第5个数是809。 7．某年级所有学生恰好可以排成一个每边为15人的三角阵，请问：这个年级共有( )人。 【答案】120 【分析】实心三角阵，从顶点开始，后一行比前一行多1人，总人数为“1＋2＋3＋…＋14＋15”的和。等差数列的和可以用“（第一个数＋最后一个数）×数的个数÷2”求出。 【详解】1＋2＋3＋…＋14＋15 ＝（1＋15）×15÷2 ＝16×15÷2 ＝240÷2 ＝120（人） 8．小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成__________本。 【答案】26 【分析】题目要求每一本的报纸张数都不相同，求最多可以分成多少本，即必须分成的薄本中报纸张数应尽可能少。因此可以考虑每本的张数依次是1张、2张，3张……，然后利用等差数列求和来估算出当和最接近365时，是由多少个数相加所得。即可知道可以分为多少本。 【详解】1＋2＋3＋……＋26 ＝（1＋26）×26÷2 ＝27×26÷2 ＝702÷2 ＝351（页） 1＋2＋3＋……＋27 ＝（1＋27）×27÷2 ＝28×27÷2 ＝756÷2 ＝378（页） 378＞365＞351，因此小军最多可以将这些报纸分成26本。 9．一列数a1，a2，a3，…，an，…中相邻两数的差（后一个数减前一个数）相等，若a2＝13，a6＝49，那么这列数有_________项在500~1000之间。 【答案】55 【分析】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 若a2＝13，a6＝49，这两个数之间相差4个这样公差，则相邻的两个数之间的差是9，则该数列的则根据通项公式得出： an＝4＋（n－1）×9，化简后得出an＝9n－5 则可以先算出当n是多少时值分别是500和1000。即当n为56时，an＝499，不在500~1000之间，则n为57；同理当n为112时，an＝1003也不在500~1000之间，则n为111。再将两个n相减最后要加1，即可得出之间有几项。 【详解】（49－13）÷（6－2） ＝36÷4 ＝9 13－9＝4 an＝4＋（n－1）×9 an＝4＋9n－9 an＝9n－5 假设an＝500，即 9n－5＝500 9n＝500＋5 9n＝505 n＝505÷9 n＝56……1 则当n＝57时，an＝508； 假设an＝1000，即 9n－5＝1000 9n＝1000＋5 9n＝1005 n＝1005÷9 n＝111……6 则当n＝111时，an＝994； 111－57＋1＝55 则那么这列数有55项在500~1000之间。 【点睛】（1）学会观察和归纳，找出相连两个数之间的关系； （2）熟练掌握并灵活运用等差数列的通项公式、项数公式及求和公式。 10．桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上放的棋子总数最多是_______颗。 【答案】408 【分析】任意三堆棋子可以平均分成3份，也就是能被3整除，其中有一堆有9颗棋子，9能被3整除，所以每堆也能被3整除，才能保证任意的堆都能被3整除。 同样任意四堆棋子也可以平均分成四份，也就是任意的四堆能被4整除，其中有一堆有9颗棋子，9除以4余1，则每堆除以4余数也是1。 100以内的数中能被3整除，且能被4除余1的最小的数是9，下一个数是21，再下一个数是33，通过观察发现这些数的特征是12N＋9。 桌上棋子最多的情况就是将符合条件的所有的数相加即可。且当N为7时，这堆棋子最多是93，即从9开始，后一个数都是前一个数加12，一直加到最多的93即可。 【详解】9÷3＝3 9÷4＝2……1 符合条件的数：9、21、33、45、57、69、81、93 9＋21＋33＋45＋57＋69＋81＋93 ＝（9＋93）×8÷2 ＝102×8÷2 ＝102×4 ＝408（颗） 则桌上放的棋子总数最多是408颗。 【点睛】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示． 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数-1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项-首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 11．有一堆整齐叠放的圆木，一共有10层，第1层有2根，第二层有3根，第3层有4根……这样每多一层增加一根圆木，这堆圆木共有_____根。 【答案】65 【分析】每多一层增加一根圆木，第一层有2根，第二层有3根，上面的8层分别是4根、5根、6根、7根、8根、9根、10根、11根，将这10层的根数相加即可。根据等差数列的求和公式计算出原木的根数。 【详解】2＋3＋4＋…＋11 ＝（2＋11）×10÷2 ＝65（根） 则这堆圆木共有65根。 【点睛】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示． 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数-1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项-首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 12．从1，2，3，…，2018这2018个自然数中选出n个数，使这n个数的乘积个位是7，当n取最大值时，这n个数的和最大是__________。 【答案】814054 【分析】两个数的乘积的末尾上的数等于这两个数的末尾上的数乘积的末尾的数。个位上的数是7，则个位上的数不能是偶数，因为个位上是偶数的就是2、4、6、8、0这5个数每两个数乘积的，末尾都不会是7。即个位上的数是2、4、6、8、0的数是偶数，即这个数本身是偶数，则偶数不能选，2018个数中有一半是偶数，有一半是奇数，则奇数有1009个。同理个位是5的数不能选，从规律可以，相邻的两个有个位数是5的数相差10，与2018最近的数中2015末尾上是5，根据等差数列的求项数的公式：（末项－首项）÷公差＋1，得出个位上是5的数有202个。个位是1、3、7、9的数有807个，且乘积个位是9，将这4个数看成一个整体，807÷4＝201……3，即前面的201个数相乘末尾是9，剩下的三个数分别是2011、2013、2017。要想使乘积n最大，选择个位上是9的数，9×2011×2013×2017的个位是9，至少还要再去掉一个个位是7的数，n最大是806，去掉7和最大，最后的和＝所有奇数的和（1到2017所有数的和）－末尾是5的所有数的和－7。 【详解】去掉所有的偶数剩下：2018÷2＝1009（个） 再去掉末尾是5的数，从规律可以，相邻的两个有个位数是5的数相差10，与2018最近的数中2015末尾上是5。则： （2015－5）÷10＋1 ＝2010÷10＋1 ＝201＋1 ＝202，则末尾上有5的数有202个； 剩下的数有：1009－202＝807（个） 807－1＝806 （1＋2017）×1009÷2－（5＋2015）×202÷2－7 ＝2018×1009÷2－2020×202÷2－7 ＝1018081－204020－7 ＝814054。 这n个数的和最小是814054。 【点睛】等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2 13．有一类自然数，被8除余1，被7除余5，被6除余3。将这类数从小到大排列，第13个数是______。 【答案】2049 【分析】①被8除余1的数：9、17、25、33、…… ②被7除余5的数：12、19、26、33、…… ③被6除余3的数：9、15、21、27、33、…… 则最小满足条件的数是33，则这类数是以8，7，6最小公倍数为公差，首项是33的等差数列，即an＝首项＋（项数－1）×公差＝33＋168（n－1），其中n表示第几个数。根据等差数列的公式求出第13个数。 【详解】[8，7，6]＝168 33＋168×（13－1） ＝33＋168×12 ＝33＋2016 ＝2049 第13个数是2049。 【点睛】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：an＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：n＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2 14．将1一9这九个数字填入到如图所示的3×3方格后，求出其三行、三列以及一条对角线上三个数字之和，分别记为A～G，如果这七个数能构成一个等差数列，则其中对角线上三个数之和G=________ ． 【答案】15   【分析】根据A～G这七个数构成一个等差数列，设它们的公差是d，则A+B+C=1+2+3+…+9=45，D+E+F=1+2+3+…+9=45，据此推得A=15，d=0，所以A=B=C=D=E=F=G=15，所以对角线上三个数之和是15，据此解答即可． 【详解】因为A～G这七个数构成一个等差数列，所以设它们的公差是d， 因为A+B+C=1+2+3+…+9=（1+9）×9÷2=45，所以A+（A+d）+（A+2d）=45， 整理，可得A+d=15…（1）； 因为D+E+F=1+2+3+…+9=（1+9）×9÷2=45，所以（A+3d）+（A+4d）+（A+5d）=45， 整理，可得A+4d=15…（2）； 由（1）（2），解得 A=15，d=0， 所以A=B=C=D=E=F=G=15， 所以对角线上三个数之和G=15． 二、计算题 15．计算。 202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 【答案】100 【分析】通过观察，从前往后每两个数分为一组，每组的差为10，共有（200÷10÷2）组，因此，结果为：10×10＝100。 【详解】202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 ＝（202－192）＋（182－172）＋（162－152）＋……＋（22－12） ＝10＋10＋10＋……＋10 ＝10×10 ＝100 16．计算。 99－97＋95－93＋91－89＋……＋3－1 【答案】50 【分析】通过观察，从前往后每两个数分为一组，每组的差为2，共有（50÷2）组，因此，结果为2×25＝50。 【详解】99－97＋95－93＋91－89＋……＋3－1 ＝（99－97）＋（95－93）＋（91－89）＋……＋（3－1） ＝2＋2＋2＋……＋2 ＝2×25 ＝50 17．计算。 100－99＋98－97＋96－95＋……＋2－1 【答案】50 【分析】通过观察，相邻两个数字相差1，因此原式变为（100－99）＋（98－97）＋（96－95）＋…＋（2－1），共有50个1，据此解题即可。 【详解】100－99＋98－97＋96－95＋……＋2－1 ＝（100－99）＋（98－97）＋（96－95）＋……＋（2－1） ＝1＋1＋1＋……＋1 ＝50 三、解答题 18．等差数列72，68，64，60，…中，从第N项开始小于0，则N的值是多少？ 【答案】20 【分析】根据题意可知数列中的数都是4的倍数，则0一定是数列中的一项，计算出0是数列中的第几项之后加1即是所求。 即就是求首项是72，末项是0，公差是4，一共的项数＝（首项－末项）÷公差。 【详解】（72－0）÷4＋1 ＝72÷4＋1 ＝18＋1 ＝19 即第19项是0，则小于0的项数从第20项开始，即N＝20。 答：N的值是20。 19．在等差数列6，13，20，27，…，1987，1994中，从左向右数第283个数是多少？ 【答案】1980 【分析】观察得出等差数列的公差是7，即前后数相差7。根据公式：首项＋（项数－1）÷公差即可求解。 【详解】6＋（283－1）×7 ＝6＋282×7 ＝6＋1974 ＝1980 答：从左向右数第283个数是1980。 20．有一个数列：1，3，3，3，5，5，5，5，5，7，7，7，7，7，7，7，…按此规律第2008个数是多少？ 【答案】89 【分析】观察数列发现：这个数列是由1个1，3个3，5个5，7个7，……组成，数列中数字是从1开始的奇数，每个数字出现的个数就是就是这个数字表示的数量。 这组数列出现的个数和＝1＋3＋5＋……＋（2n－1），根据等差数列的求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2，化简得出得出总和n2。要找出第2008个数，就找出2008最接近的两个完全平方，分别为1936和2025，其中2025＝452，即第2025个数是第45个奇数：2×45－1＝89，所以第2008个数是89。 【详解】1＋3＋5＋……＋（2n－1） ＝（1＋2n－1）×n÷2 ＝2n×n÷2 ＝n2 442＝44×44＝1936 452＝45×45＝2025 1936＜2008＜2025 所以第2008个数与第2025个数一样，是89。 答：第2008个数是89。 21．优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 【答案】90个 【分析】根据第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，则学的单词的个数分别为6、7、8、…、14，然后将这些单词的个数相加即可。单词的个数是一串等差数列，利用等差数列求和公式Sn＝（首项＋末项）×项数÷2计算总共学的单词。 【详解】6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14 ＝（6＋14）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝10×9 ＝90 答：优优这些天一共学会了90个单词。 22．数学课上，王老师出了一道计算题： ？ 乐乐要用计算器算，天天直接说出得数是14000，你知道天天是怎么算的吗？ 【答案】见解析 【分析】考查了加法中的巧算方法。方法一：可以按照等差数列求和的计算方法“（首项 尾项） 项数 ”计算。方法二：本题是7个连续的自然数相加，直接用中间数乘7即可。 【详解】 ＝（1997＋2003）×7÷2 ＝4000×7÷2 ＝14000 或者： ＝2000×7 ＝14000 答：我知道，天天是这样算的：直接用中间数乘7。 23．如图所示，在正六边形A周围画6个同样的正六边形（涂色部分），围成第1圈；在第1圈外面再画12个同样的正六边形，围成第2圈……当画完第9圈时，图中（除A外）一共有多少个与A相同的正六边形？ 【答案】270个 【分析】根据题意：第1圈有6个，1×6＝6（个）； 第2圈有12个，2×6＝12（个）； 第3圈有18个，3×6＝18（个）； 则第n圈时，有6n个与A相同的正六边形。 显然，每圈的六边形个数组成了以6位首项，6为公差的等差数列。得出第9圈有54个正六边形，将9圈的数量相加，最后根据等差数列的求和公式＝（首项＋末项）×项数÷2得出正六边形的个数。 【详解】6×9＝54（个） 6＋12＋18＋…＋54 ＝（6＋54）×9÷2 ＝60×9÷2 ＝270（个） 答：画完第9圈时，图中（除A外）一共有270个与A相同的正六边形。 24．下面有一种特殊数列的求和方法 要求数列1，2，4，8，16，，512，1024的和，设和为，方法如下： 用下面的式子减去上面的式子就得到： 即：数列1，2，4，8，16，，512，1024的和是2047。 仔细阅读上面的求和方法，然后利用这种方法求下面数列的和：1，3，9，27，，729，2187。 【答案】3280 【分析】通过观察，数列本身是一个等差数列： 原来数列的第二个数，是后一个数列的第一个数，原来数列的第三个数，是后一个数列的第二个数，依此类推，那么后来数列的和减去原来数列的和就是后来数列的末项减去原来数列的首项； 1，3，9，27，，729，2187，这些都是3的倍数，则可以将这个数列的整个算式乘3，再错位相减后再计算。 【详解】设S＝1＋3＋9＋27＋…＋729＋2187 3S＝3＋9＋27＋81＋…＋2187＋6561 3S－S＝（3＋9＋27＋…2187＋6561）－（1＋3＋9＋27＋…＋729＋2187） 2S＝6561－1 3S＝6560 S＝6560÷2 S＝3280 25．陈老师在黑板上写了一个等差数列，它的第一项是4，公差是3，等差数列中124是它的第几项，这几项的和是多少？ 【答案】41项；2624 【分析】用末项124减首项4，所得的差再除以公差3，所得的商再加1即得到一共的项数；再根据（首项＋末项）×项数÷2＝和，列式计算出结果。据此解答。 【详解】（124－4）÷3＋1 ＝120÷3＋1 ＝40＋1 ＝41（项） （4＋124）×41÷2 ＝128÷2×41 ＝64×41 ＝2624 答：等差数列中124是它的第41项，这几项的和是2624。 26．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问： （1）数列中有多少个1？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 【答案】（1）10；（2）220 【分析】（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有（39－3）÷4＋1＝10项，所以奇数项也有10项，有几项就是几个1； （2）分别算出奇数项和偶数项之和，相加即可。 【详解】（1）奇数项有：（39－3）÷4＋1 ＝36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10 答：数列中有10个1。 （2）奇数项之和：10×1＝10 偶数项之和：（39＋3）×10÷2 ＝42×10÷2 ＝210 10＋210＝220 答：数列中所有数的总和是220。 【点睛】找到数列的规律，即“奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列”是解答此题的关键。 27．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？ 【答案】3090个 【分析】每后面一排都比前一排多2个座位，即这30排每排座位数构成一个公差为2的等差数列．由此据高斯求和公式计算即可：首项=末项﹣（项数﹣1）×公差，等差数列和=（末项+首项）×项数÷2． 【详解】132﹣（30﹣1）×2=132﹣29×2=132﹣58=74（个）； （132+74）×30÷2=3090（个）． 答：体育场南看台共有3090个座位． 28．某森林公园计划将园林中的150棵松树栽在它附近的一条公路旁．第一棵栽在离园林300米的地方，以后每隔50米栽一棵．公园有一辆汽车，每次能运送9棵松树，用这辆汽车将这150棵松树从园林运到目的地，然后返回园林，最少要行驶多少米? 【答案】141100 【详解】由题意知我们需将种树的地点按离园林的距离由远至近每9个分成一组，但是其中的最后一组只有6个地点．(注意，为什么是由远至近来分组，而不是由近至远来分组) 汽车依次将树运到各组，需要走的路程最少是该组离园林最远的地点到园林距离的2倍．最远点离园林的距离为300+(150－1)×50＝7750，下一组最远点离园林的距离为7750－9×50＝7300，再下一组为7300－9×50＝6850，…，恰好构成一个公差为450的等差数列． 又由于150÷9＝16……6，故应共有17组，最后一项为：7750－(17－1)×450＝550． 于是汽车需要走的最少路程为：(7750＋550)×17÷2×2＝141100米． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：等差数列 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 等差数列是小升初奥数体系中性价比最高、套路最清晰、必考满分的核心专题，既是规律探究类题型的基础，也是复杂数列、数论计算、应用题压轴的重要工具。相比于其他奥数难点，等差数列题型固定、公式通用、方法简单，只要掌握核心公式、规避易错陷阱，即可轻松拿下全部分数。 本节课我们系统搭建了等差数列完整知识体系：吃透定义与四大核心要素，熟练掌握末项、项数、首项、求和四大万能公式，精通奇数项专属中项定理，攻克了基础求值、公式逆向、简便运算、生活应用、综合压轴等全梯度题型，梳理了标准化解题步骤与高频避错技巧，彻底解决项数漏加1、公式混用、求和漏除2等经典问题。 等差数列的学习核心不在于死记公式，而在于理解逻辑、灵活变形、精准匹配。所有复杂压轴题，本质都是基础公式的组合与逆向运用。希望同学们牢记专题口诀，熟练运用四步解题法，养成规范解题、细心验算的习惯，跳出机械套公式的误区，真正掌握数列的底层规律。扎实吃透本专题，不仅能稳稳拿下小升初计算与应用题满分，更能为初高中数列、函数学习筑牢坚实基础，助力小升初培优冲刺，稳夺高分、领跑名校！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 等差数列是小升初奥数计算、规律探究、应用题压轴的核心必考专题，属于小学奥数数列板块的基础核心，也是初高中数列知识的前置铺垫。校内数学仅简单认识规律数列，奥数重点考查等差数列四大公式灵活运用、中项定理、复杂项数求解、数列求和、实际应用题、规律压轴等高频题型。 本专题核心本质：一组有序排列的数，相邻两个数的差值恒定不变，通过固定公式快速求解数列的项数、首项、末项、总和，摆脱逐项枚举的繁琐计算，实现大数、长数列的快速求值。该知识点题型固定、套路性强、得分率高，是小升初培优必须吃透的满分考点。 小升初高频考查题型：判断等差数列、求数列末项、求数列项数、求数列首项、基础数列求和、奇数/偶数特殊数列求和、中项定理应用、等差数列应用题、复杂综合压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1. 数列定义：按照一定顺序依次排列的一列数，叫做数列，数列中的每一个数称为一项。 2. 等差数列定义：从数列的第二项开始，每一项与它前一项的差始终相等，这样的数列叫做等差数列，固定的差值叫做公差，用字母表示。 3. 四大核心要素 首项：数列的第一个数； 末项：数列的最后一个数； 项数：数列中所有数的总个数； 公差：相邻两项的固定差值（后项-前项）。 4. 等差数列判定方法：任意相邻两项的差相等，与顺序、数值大小无关，差值恒定即为等差数列。 三、四大万能核心公式（小升初必考、直接套用） 所有公式适用于所有正整数项等差数列，是解题核心工具，必须熟练背诵、灵活变形。 1. 末项公式（通项公式）：已知首项、公差、项数，求最后一项 口诀：末项等于首项加（项数-1）个公差 2. 项数公式：已知首项、末项、公差，求总项数（最高频易错） 口诀：项数等于首尾差值除以公差再加1 3. 首项公式：已知末项、公差、项数，求第一项 4. 求和公式：已知首项、末项、项数，求数列所有数的总和 口诀：和等于首尾相加乘项数除以二 四、拔高核心定理：中项定理（压轴必考） 1. 适用条件：等差数列项数为奇数时可直接使用； 2. 核心结论：数列总和 = 中间项 × 项数； 3. 拓展规律：奇数项等差数列中，平均数 = 中间项，首尾两项的平均数等于中间项； 4. 优势：无需计算首尾和，大幅简化奇数项数列求和运算，是小升初快速秒杀技巧。 五、常见特殊等差数列规律 1. 自然数列：1,2,3,4,5…… 公差； 2. 偶数数列：2,4,6,8,10…… 公差； 3. 奇数数列：1,3,5,7,9…… 公差； 4. 恒定数列：5,5,5,5…… 公差（特殊等差数列）。 六、高频易错点汇总（避错必看） 1. 项数公式忘记加1，是全专题最高频错误； 2. 混淆公差计算，误用前项减后项，导致公差为负数计算失误； 3. 末项公式错用，忘记使用； 4. 偶数项数列误用中项定理，定理仅适用于奇数项； 5. 求和计算忘记除以2，导致结果翻倍； 6. 复杂题目中，无法精准识别首项、末项、公差、项数四个要素。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判数列：验证相邻差值，确定为等差数列，找准公差； 第二步：找四量：梳理已知的首项、末项、项数、公差四个核心量； 第三步：套公式：根据所求量，匹配对应公式，代入数值； 第四步：验结果：结合数列规律简单验证，规避计算漏洞。 八、专题解题口诀 等差数列差值恒，四量齐全公式通； 末项首项加差积，项数求差再加一； 求和首尾乘项半，奇数项数中项乘； 细心避错牢记一，等差难题轻松赢。 例题讲解 【典型例题1】求等差数列末项（入门必考） 题目：已知等差数列 2、5、8、11……，求这个数列的第20项是多少？ 【分析】 基础入门题型，考查末项公式应用。先梳理已知条件：首项、公差、项数，直接代入末项公式求解即可。 【详解】 由题意得：首项，公差，项数； 代入末项公式： 。 【答案】 第20项为59 【跟踪训练1】 题目：等差数列 3、7、11、15……，求它的第15项。 【跟踪训练2】 题目：等差数列 10、14、18……，求它的第30项。 【典型例题2】求等差数列项数（高频易错） 题目：求等差数列 4、7、10、13……61 的总项数。 【分析】 小升初最高频易错题型，考查项数公式。已知首项、末项、公差，代入，务必记住最后加1，避免漏算首项。 【详解】 项数 【答案】 总项数为20项 【跟踪训练1】 题目：求等差数列 5、9、13……85 的项数。 【跟踪训练2】 题目：求等差数列 2、6、10……42 的项数。 【典型例题3】求等差数列首项（进阶基础） 题目：一个等差数列共有18项，公差为2，最后一项为45，求这个数列的首项。 【分析】 考查首项公式逆向应用，已知末项、项数、公差，套用，逆向推导首项，锻炼公式变形能力。 【详解】 【答案】 首项为11 【跟踪训练1】 题目：等差数列共25项，公差为3，末项为80，求首项。 【跟踪训练2】 题目：等差数列共12项，公差为5，末项为60，求首项。 【典型例题4】等差数列基础求和（核心必考） 题目：计算等差数列 3、5、7、9……41 的总和。 【分析】 标准求和题型，求和必须已知首项、末项、项数，本题未直接给出项数，需先通过项数公式求出总项数，再代入求和公式计算。 【详解】 第一步：求项数， 第二步：求和， 【答案】 总和为440 【跟踪训练1】 题目：计算数列 4、6、8……50 的和。 【跟踪训练2】 题目：计算 1+3+5+7+……+39 的和。 【典型例题5】中项定理拔高应用（奇数项秒杀） 题目：计算5项等差数列：11、13、15、17、19 的总和。 【分析】 本题数列项数为奇数，可使用中项定理秒杀，无需首尾求和，直接用中间项×项数，简化运算，是奥数快速解题技巧。 【详解】 该数列共5项，奇数项，中间项为第3项：15 总和 【答案】 75 【跟踪训练1】 题目：计算7项等差数列：2、4、6、8、10、12、14 的和。 【跟踪训练2】 题目：9个连续自然数构成等差数列，中间数为20，求数列总和。 【典型例题6】等差数列应用题（分班考高频） 题目：小明第一天背诵5个单词，之后每天比前一天多背2个单词，连续背诵了12天，请问小明一共背了多少个单词？ 【分析】 经典等差数列应用题，每日背诵单词数构成等差数列：首项为5，公差为2，项数为12。先求最后一天背诵数量，再整体求和。 【详解】 第一步：求第12天（末项）单词数： 第二步：求12天总单词数： 【答案】 192个 【跟踪训练1】 题目：一堆木材堆叠，第一层放10根，每往上一层少放1根，最顶层放3根，求这堆木材总根数。 【跟踪训练2】 题目：礼堂座位排列，第一排有15个座位，每一排比前一排多2个座位，共20排，求总座位数。 【典型例题7】综合压轴题型（名校择校考） 题目：已知一个等差数列共有25项，总和为1250，首项为30，求数列的公差和最后一项。 【分析】 小升初综合压轴题，公式逆向综合应用。已知和、项数、首项，先通过求和公式反求末项，再通过末项公式反求公差，层层推导。 【详解】 第一步：由求和公式反求末项： ，代入得 ， 第二步：由末项公式反求公差： 【答案】 末项为70，公差为 【跟踪训练1】 题目：等差数列共20项，和为900，首项为15，求末项。 【跟踪训练2】 题目：等差数列10项和为550，末项为85，求首项。 高频真题 1． ( )。 2．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，第20行左起第4个数是( )。 3．下表中是三行各按一定规律排列的数列，那么当这一行的数是30时，同一列中行和行的数之和是( )。 2 4 6 8 10 1 5 9 13 17 2 5 10 17 26 4．在1到800这800个自然数中，去掉所有的平方数和立方数，得到一个新数列 799、800，这个新数列的和是( )。 5．计算： ( )。 6．从1开始的连续奇数按一定规律排成下表，问第21行第5个数是( )。 7．某年级所有学生恰好可以排成一个每边为15人的三角阵，请问：这个年级共有( )人。 8．小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成__________本。 9．一列数a1，a2，a3，…，an，…中相邻两数的差（后一个数减前一个数）相等，若a2＝13，a6＝49，那么这列数有_________项在500~1000之间。 10．桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上放的棋子总数最多是_______颗。 11．有一堆整齐叠放的圆木，一共有10层，第1层有2根，第二层有3根，第3层有4根……这样每多一层增加一根圆木，这堆圆木共有_____根。 12．从1，2，3，…，2018这2018个自然数中选出n个数，使这n个数的乘积个位是7，当n取最大值时，这n个数的和最大是__________。 13．有一类自然数，被8除余1，被7除余5，被6除余3。将这类数从小到大排列，第13个数是______。 14．将1一9这九个数字填入到如图所示的3×3方格后，求出其三行、三列以及一条对角线上三个数字之和，分别记为A～G，如果这七个数能构成一个等差数列，则其中对角线上三个数之和G=________ ． 二、计算题 15．计算。 202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 16．计算。 99－97＋95－93＋91－89＋……＋3－1 17．计算。 100－99＋98－97＋96－95＋……＋2－1 三、解答题 18．等差数列72，68，64，60，…中，从第N项开始小于0，则N的值是多少？ 19．在等差数列6，13，20，27，…，1987，1994中，从左向右数第283个数是多少？ 20．有一个数列：1，3，3，3，5，5，5，5，5，7，7，7，7，7，7，7，…按此规律第2008个数是多少？ 21．优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 22．数学课上，王老师出了一道计算题： ？ 乐乐要用计算器算，天天直接说出得数是14000，你知道天天是怎么算的吗？ 23．如图所示，在正六边形A周围画6个同样的正六边形（涂色部分），围成第1圈；在第1圈外面再画12个同样的正六边形，围成第2圈……当画完第9圈时，图中（除A外）一共有多少个与A相同的正六边形？ 24．下面有一种特殊数列的求和方法 要求数列1，2，4，8，16，，512，1024的和，设和为，方法如下： 用下面的式子减去上面的式子就得到： 即：数列1，2，4，8，16，，512，1024的和是2047。 仔细阅读上面的求和方法，然后利用这种方法求下面数列的和：1，3，9，27，，729，2187。 25．陈老师在黑板上写了一个等差数列，它的第一项是4，公差是3，等差数列中124是它的第几项，这几项的和是多少？ 26．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问： （1）数列中有多少个1？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 27．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？ 28．某森林公园计划将园林中的150棵松树栽在它附近的一条公路旁．第一棵栽在离园林300米的地方，以后每隔50米栽一棵．公园有一辆汽车，每次能运送9棵松树，用这辆汽车将这150棵松树从园林运到目的地，然后返回园林，最少要行驶多少米? 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $