小升初奥数培优讲义：分解质因数-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦分解质因数专题，作为数论体系基石，通过概念梳理、短除法教学、公式推导、题型分类讲解及跟踪训练，帮助学生掌握标准式书写、因数个数与和的计算，攻克数字拆分、分组配对等高频题型。 亮点在于融合唯一分解与逆向推导思维，设计“标准解题四步法”和专题口诀，如分组乘积相等问题中通过分解质因数均分质因数，培养学生的数学推理能力与模型意识。高频真题覆盖小升初各类题型，助力学生夯实数论基础，教师可据此精准实施分层教学，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：分解质因数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 分解质因数是小学数论体系的基石，是小升初奥数拔高的核心敲门砖，绝大多数数论难题、乘积应用题、因数最值问题，最终都需要通过分解质因数破解。它看似只是简单的数字拆分，实则蕴含唯一分解、数形匹配、逆向推导、最优组合的高阶数学思维，是从基础计算迈向奥数思维的重要转折点。 本节课我们系统吃透了分解质因数全维度考点：熟练掌握短除法彻底分解、标准式规范书写，精通因数个数、因数和两大核心公式，攻克了数字拆分、连续数求解、乘积分组、逆向求数、综合数论压轴全梯度题型，彻底厘清了质数、合数、质因数、最大公因数的关联与区别，规避了分解不彻底、公式误用、分组不均等高频易错点，掌握了完整的解题逻辑与口诀技巧。 所有复杂的数论问题，本质都是质因数的重组与搭配。希望同学们牢记“分解彻底、格式规范、质因匹配、逻辑严谨”的解题原则，摒弃机械计算的惯性思维，养成先拆解、再分析、后计算的解题习惯。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础分与拔高分，更能为初中因式分解、数论进阶、函数最值等知识点筑牢根基，在数学思维进阶的道路上稳步前行，冲刺名校满分！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 分解质因数是小升初奥数核心基础专题、重点中学择校考、分班考必考题型，是数论模块的基石，贯穿小学奥数全程。校内数学仅简单认识质数、合数，初步接触基础分解方法，而奥数中的分解质因数题型灵活、变式极多，是衔接基础计算与高阶数论的关键专题。 本专题核心本质：把一个合数拆分成若干个质数相乘的唯一形式，所有数论拓展题型（因数个数、因数和、自然数拆分、分组配对、乘积最值、连续数问题）均以此为基础。该专题重点考查学生数感、拆分思维、公式运用与逻辑推理能力，题型基础但拔高性强，是尖子生突破奥数瓶颈、冲刺满分的核心模块，同时也是初中因式分解、数论计算的前置必备知识。 小升初高频考查题型：基础合数分解、标准式书写、因数个数计算、因数和计算、乘积分组配对、已知乘积求原数、连续自然数乘积问题、综合压轴应用题型。 二、核心基础概念（必背） 1. 质数（素数）：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。 2.合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。 3. 特殊数字：1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。 4. 质因数：一个合数的因数中，属于质数的数，叫做这个合数的质因数。 5. 分解质因数：把一个合数用若干个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 三、20以内必考质数（熟记） 2、3、5、7、11、13、17、19 补充常用质数：23、29、31、37（小升初计算高频） 四、分解质因数核心方法：短除法 万能步骤： 1. 从最小的质数2开始试除，能整除就一直除，直到不能整除； 2. 依次用3、5、7、11……质数继续试除，直到最后的商也是质数； 3. 把所有除数和最后的商，按从小到大顺序连乘，即为分解结果。 核心规则：分解必须彻底，最终所有因数必须均为质数，不能留有合数。 五、分解质因数标准式（奥数必考格式） 将分解后的质因数，按照从小到大排序，相同质数写成乘方形式，这是奥数唯一标准书写格式。 示例： 六、两大核心奥数公式（拔高必考） 1. 因数个数公式 对合数分解质因数写成标准式： 因数总个数 = 原理：每个质数的指数可以取0到自身最大值，指数个数相乘即为总因数个数。 2. 因数和公式 沿用上述标准式，因数总和 = 七、四大核心解题模型 1. 唯一分解模型 任何一个合数的质因数分解结果唯一，这是所有题型的解题依据。 2. 乘积配对模型 已知几个数的乘积，将乘积分解质因数，再根据质因数的组成，反向拆分出原自然数。 3. 分组均分模型 将若干个数分成乘积相等的几组，核心：每组包含的同类质因数个数完全相同。 4. 连续自然数模型 连续自然数互质，分解质因数后，质因数无重复，可快速锁定连续数范围。 八、标准解题四步法 第一步：彻底分解：用短除法将目标数分解为质因数标准式； 第二步：套用模型：判断题型（求因数个数、拆分、分组、求值）； 第三步：公式计算：对应公式或规律，分步推导计算； 第四步：验证结果：检查质因数完整性、数值合理性，规避漏算、错算。 九、高频易错点汇总 1. 分解不彻底，最终结果残留合数； 2. 书写格式不规范，未按从小到大排序、未写成乘方标准式； 3. 因数个数公式忘记“指数+1”，直接用指数相乘； 4. 忽略1和本身也是因数，导致计数不全； 5. 分组配对时，质因数分配不均，乘积不相等； 6. 混淆质数、合数、质因数概念，误将1当作质因数。 十、专题解题口诀 短除分解质因数，从小试除要彻底； 标准格式次方写，排序整齐是规矩； 因数个数指数加，相乘汇总得总数； 拆分配对看质因，数形结合解难题。 例题讲解 【典型例题1】基础分解质因数（入门必考） 题目：将48、90分别彻底分解质因数，并写成标准式。 【分析】 基础入门题型，采用短除法，从最小质数2开始依次试除，分解彻底后，整理为从小到大排序的乘方标准格式，是本专题最基础的解题技能。 【详解】 1. 分解48： 用短除法依次除2，除不尽再除3， 标准式： 2. 分解90： 依次除2、3、5， 标准式： 【答案】 ， 【跟踪训练1】 题目：分解质因数并写标准式：36、56 【分析】 使用短除法彻底分解，整理为规范乘方格式，保证质因数从小到大排序。 【详解】 【答案】 ， 【跟踪训练2】 题目：分解质因数并写标准式：72、105 【分析】 严格按照短除法步骤分解，去除合数，保留质数，规范书写标准式。 【详解】 【答案】 ， 【典型例题2】因数个数计算（高频拔高） 题目：求36的因数总个数，并列出所有因数。 【分析】 核心拔高题型，先将数字分解为质因数标准式，再套用因数个数公式：各质数指数加1后相乘，最后枚举验证所有因数，避免遗漏。 【详解】 1. 分解标准式： 2. 套用公式：因数个数（个） 3. 枚举所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 【答案】 36的因数共9个，分别是1、2、3、4、6、9、12、18、36。 【跟踪训练1】 题目：求48的因数总个数。 【分析】 先分解标准式，再利用指数加1相乘的公式计算因数总数。 【详解】 因数个数：（个） 【答案】 48的因数共10个。 【跟踪训练2】 题目：求90的因数总个数。 【分析】 规范分解质因数，套用因数个数公式精准计算。 【详解】 因数个数：（个） 【答案】 90的因数共12个。 【典型例题3】乘积拆分求原数（奥数常考） 题目：两个连续自然数的乘积是210，求这两个自然数。 【分析】 典型逆向拆分题型，已知两数乘积，先将乘积彻底分解质因数，再根据连续自然数互质、数值相近的特点，重组质因数，凑出两个连续自然数。 【详解】 1. 分解质因数： 2. 重组质因数： 3. 14和15为连续自然数，符合题意。 【答案】 这两个自然数是14和15。 【跟踪训练1】 题目：两个连续自然数的乘积是132，求这两个数。 【分析】 分解乘积质因数，重新组合拆分出连续自然数。 【详解】 11和12为连续自然数，符合条件。 【答案】 这两个数是11和12。 【跟踪训练2】 题目：三个连续自然数的乘积是336，求这三个数。 【分析】 多连续数拆分，分解质因数后合理分组，凑出三个连续自然数。 【详解】 重组分组：，三数连续，符合题意。 【答案】 这三个数是6、7、8。 【典型例题4】分组乘积相等问题（拔高必考） 题目：把12、18、20、28这四个数分成两组，每组两个数，使两组数的乘积相等。 【分析】 分组核心模型，解题关键：两组乘积相等，则两组包含的各类质因数个数完全相同。先统一分解四个数的质因数，再均分质因数，完成分组。 【详解】 1. 分解各数质因数： ， ， 2. 统计总质因数：2共7个、3共3个、5共1个、7共1个 3. 均分质因数，每组分配：2（3-4个）、3（1-2个）、5、7各一个 4. 最终分组：12×28=18×20=336 【答案】 分组结果：第一组12、28；第二组18、20。 【跟踪训练1】 题目：将8、15、20、21分成两组，使两组乘积相等。 【分析】 分解所有数字质因数，平均分配同类质因数，实现乘积相等。 【详解】 ，，， 均分后分组：8×21=15×20=168 【答案】 分组结果：第一组8、21；第二组15、20。 【跟踪训练2】 题目：把6、10、15、25分成两组，两组乘积相等，如何分？ 【分析】 通过质因数分解与均分，匹配每组质因数数量，完成分组。 【详解】 ，，， 分组：6×25=10×15=150 【答案】 分组结果：第一组6、25；第二组10、15。 【典型例题5】已知因数个数求原数（名校拔高） 题目：一个合数有6个因数，求最小的这个合数。 【分析】 逆向思维拔高题，已知因数个数反推原数。先拆分因数个数的算式，逆推质因数指数，再组合求出最小合数。因数个数6可拆分为或，分两种情况计算，对比取最小值。 【详解】 1. 拆分因数个数公式： 情况1：，对应质因数形式，最小 情况2：，对应质因数形式，最小 2. 对比得最小合数为12。 【答案】 有6个因数的最小合数是12。 【跟踪训练1】 题目：求有8个因数的最小合数。 【分析】 拆分因数个数，分多种情况组合质因数，对比取值最小的合数。 【详解】 分别计算：、、 最小合数为24。 【答案】 有8个因数的最小合数是24。 【跟踪训练2】 题目：求有4个因数的最小两位数合数。 【分析】 逆推因数个数，筛选符合条件的最小两位数。 【详解】 ，对应形式 符合条件的最小两位数：10（因数1、2、5、10） 【答案】 最小两位数合数是10。 【典型例题6】分解质因数综合压轴（分班考真题） 题目：已知自然数a、b（a＜b），满足，且a、b最大公因数为6，求a、b的值。 【分析】 数论综合压轴题，结合分解质因数与最大公因数知识点。先分解乘积质因数，结合最大公因数拆分出公共质因数，剩余质因数均分且互质，最终求出两个自然数。 【详解】 1. 分解质因数： 2. 最大公因数为6=，设，（m、n互质，m＜n） 3. ，得 4. 28拆分为互质两数：4和7，即m=4，n=7 5. 计算得：， 【答案】 a=24，b=42。 【跟踪训练1】 题目：a、b为自然数，a＜b，，最大公因数为6，求a、b。 【分析】 结合最大公因数与分解质因数，拆分互质因子，反向求原数。 【详解】 设，， m、n互质：m=3，n=5，得a=18，b=30 【答案】 a=18，b=30。 【跟踪训练2】 题目：两个数乘积是720，最大公因数为12，求这两个数。 【分析】 利用最大公因数拆分数字，结合质因数分解求解。 【详解】 设两数为12m、12n，， m=1，n=5，两数为12、60 【答案】 这两个数是12和60。 高频真题 1．已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 【答案】39 【分析】将乘积分解为质因数，利用质数37、13、7、5必须在五个连续数中出现，结合估算范围锁定37为其中之一，并推断出13的倍数39与5和7的公倍数35必在列，从而确定这五个数，再通过计算验证，据此解答。 【详解】令。 因为，故这五个连续正整数都小于50，因此质数37为其中一个数，即可判断出这五个连续正整数都小于42。接着考虑质因子5、7、13，可再判断出35、39也会在这五个连续正整数中，故有，所以，且。 答：这五个连续正整数中的最大数是39。 【点睛】本题的关键是将写成，并对10101进行质因数分解，由此得出乘积中必含质因数37、13、7、5。利用“连续五个自然数中必有一个数是某个质数的倍数”这一性质，结合数值范围，锁定这五个数为35、36、37、38、39。解题时要特别注意质数37较大，对确定范围起到决定性作用。 2．萧奶奶家的百草园栽了几行玫瑰，每行玫瑰的棵数和行数都是质数。四个小朋友去萧奶奶家玩，他们数出的玫瑰的总棵数都不相同，其中只有一个人数对了。谁数对了？说说你的想法。 沈卓 陈慎 柳韵 赵琳 48 70 84 77 【答案】赵琳。因为只有77可以写成两个质数的积。 【分析】质数的定义：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。 玫瑰总棵数＝每行棵数×行数，由题意可知每行棵数和行数都是质数，所以对四个小朋友数的结果逐一分析即可。 【详解】沈卓数的棵数：，其中24、16、12、8、6、4都不是质数，所以48不能表示为两个质数的乘积，沈卓数错了； 陈慎数的棵数：，其中35、14、10都不是质数，所以70不能表示为两个质数的乘积，陈慎数错了； 柳韵数的棵数：，其中42、28、21、14、12、6都不是质数，所以84不能表示为两个质数的乘积，柳韵数错了； 赵琳数的棵数：，其中7和11都是质数，所以77能表示为两个质数的乘积，符合题干条件，赵琳数对了。 答：赵琳数对了，因为只有77能写成两个质数的积。 【点睛】解题关键在于利用质数的定义（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除），结合 “总棵数 ＝ 每行棵数 × 行数” 且 “每行棵数和行数都是质数” 这一条件，对四个小朋友数出的总棵数逐一分解因数，判断是否能表示为两个质数的乘积。 3．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 【答案】14位 【分析】题中的数量关系是苹果总数＝人数×人均苹果数，人数变化则导致人均苹果数变化，但是总的苹果数量不会发生变化。因此可以先将苹果总数进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均苹果数；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足人数增加1，人均苹果数则减2的情况即可。 【详解】420＝2×2×3×5×7 420＝14×30，420＝15×28 15－14＝1，30－28＝2，符合人数增加1，人均苹果数减少2的情况。 故原来有14位小朋友，每位小朋友分30个苹果。 答：原来有14位小朋友。 4．自然数151200的因数中有许多两位数，其中最大的是几？ 【答案】96 【分析】把151200进行分解质因数，找出因数中是两位数的最大因数，据此即可解答。 【详解】151200＝25×33×52×7，所以最大的两位因数为：25×3＝96 答：其中两位数最大是96。 5．10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【答案】13 【分析】10个非零不同自然数的和是1001，它们的最大公因数也是1001的因数，先把1001进行分解质因数，再找到10个自然数的最大公因数即可。 【详解】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：，其中 那么根据题意有： 因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13。 【点睛】本题考查最大公因数，解答本题的关键是掌握最大公因数。 6．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。 【答案】24；30 【分析】把这两个自然数表示为最大公因数和互质数的乘积，最小公倍数是最大公因数的倍数，据此表示出这两个数的和以及它们的最小公倍数与最大公约数的差，分析出最大公因数与54和114的关系，进而求得最大公因数，最后把最大公因数的值代入计算出这两个自然数的值即可。 【详解】设这两个自然数分别是和，其中为它们的最大公约数，且与互质（） 由题意可知得，， 则是54和114的公因数。 54＝2×3×9，114＝2×3×19，54和114的最大公因数是6，的值可能是1，2，3，6。 当时，，，则，或，；1＋115≠54，5＋23≠54，所以不符合题意； 当时，，，则，，或，；1＋58≠27，2＋29≠27，所以不符合题意； 当时，，，则，或，；1＋39≠18，3＋13≠18，所以不符合题意； 当时，，，则，，1＋20≠9不符合题意；，，4＋5＝9符合题意。 所以，，， ，，这两个自然数分别是24和30。 答：这两个自然数分别是24和30。 【点睛】根据等量关系计算出这两个数的最大公因数是解答题目的关键。 7．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 【答案】1156 【详解】设这个四位数为①， 由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故 ② 由②①得：③ 将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即． 由于，故，所以； 又，所以，故； 一一检验，只有满足且，所以，，得，原来的四位数为． 8．把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【答案】第一组应有40，99，65，63。 第二组应有44，78，45，105。 【分析】，，，，，，，，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后看7，第一组应有40，99，65，63。 【详解】第一组应有40，99，65，63； 第二组应有44，78，45，105。 【点睛】本题考查了数列分组，分解公因式，把大数字化成质因数，问题就容易看出了。 9．55888与一个自然数a相乘所得的积是一个完全平方数，求a的最小值． 【答案】3493 【分析】完全平方数就是两个相同整数的乘积，即若n为整数，则n²就是完全平方数；虽然55888再乘一个55888，所得的结果是一个完全平方数，但是它不是一个最小的乘数．因为55888本身是4的倍数，而4是一个完全平方数，所以由55888÷4=13972可知，只要乘数是13972，55888×13972=4×13972×13972这个乘积就是一个完全平方数，显然乘数13972要比原先选55888为乘数小，13972是不是要找的最小乘数就要看55888分解质因数的情况了． 【详解】解：因为，又是个完全平方数，7和499都是质数，则a最小是7×499=3493． 答：a的最小值是3493． 10．学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法? 【答案】共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人． 【分析】按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数．为此，先把1430分解质因数：1430=2×5×11×13 从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数． 【详解】解：1430=2×5×11×13 2×5×11=110，13 2×5×13=130，11 11×13=143，2×5=10 所以共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人． 11．小聪的妹妹参加了今年的中学数学竞赛，小聪问妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” 【答案】第2名，97分 【详解】解：既然2910是三个数的乘积，那么就把2910分解质因数：2910=2×3×5×97． 小聪的妹妹是中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不可能是6岁、10岁，因此可以肯定小聪妹妹是（3×5）=15岁，则名次是第2名，成绩是97分． 答：小聪的妹妹名次是第2名，成绩是97分． 12．在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶．现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764．但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？ 【答案】甲：24环，乙：28环 【详解】两人5箭得到的环数的积都是1764．显然，每箭的环数都不是0和10，每箭的环数都是1764的约数，将1764分解质因数：1764=2×2×3×3×7×7．因为7×2=14，7×3=21都大于10，而每箭的环数都是小于10的自然数，所以甲、乙二人5箭中必有两箭射中的环数是7环，其他3箭射中的环数必定是2×2×3×3的约数，且这些约数应小于10．将2×2×3×3写成3个小于10的自然数之积，只有下面五种可能： 2×2×3×3=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4 即这3箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4． 对应这五种情况，5箭射中的环数有下面五种情况： 7，7，1，4，9，总环数=28 7，7，1，6，6，总环数=27 7，7，2，2，9，总环数=27 7，7，2，3，6，总环数=25 7，7，3，3，4，总环数=24 总环数中只有24与28之差是4，根据题意，甲的总环数是24，乙的总环数是28． 13．2004年，一些语文老师、数学老师还有学生一起去表演节目，他们的人数各不相同，而且他们的人数之积等于2004年全年的天数．他们各有多少人？ 【答案】各有2，3，61人 【详解】解：2004年是闰年，所以2004年全年的天数366天， 366=2×3×61 所以各有2、3、61人． 答：他们各有2，3，61人． 通过题目可知：2004年是闰年，所以2004年全年的天数366天，把366分解因数是2×3×61，又根据题意知是一些语文老师，数学老师和一些学生，注意“一些”是汉语的复数，就是2个以上，排除1的可能性，所以各有2，3，61人，据此解答即可． 14．在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数, 至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238？ 【答案】198 【分析】首先分析238的因数，使其中2个因数相乘得238的共4组，利用最不利原则求出结果。 【详解】依题意可知： 将238分解成小于200的数字积有238＝17×14＝7×34＝2×119共有三组。 的两位数相乘的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共6个数约数分为3组。 最不利原则是其他的194选择了，再从三组因数中每组挑选一个共197个，再选择一个就是组成两个因数的积是238了。 共197＋1＝198； 答：至少选出198个才能保证有连个数的乘积是238。 15．我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数．已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少? 【答案】66668 【详解】1111155555＝33333×33335，而33333+33335＝66668，即这两个奇数的和是66668． 16．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 【答案】7岁、8岁、9岁和10岁 【详解】我们先把5040分解质因数：5040＝24×32×5×7. 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10. 所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁． 17．一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．求a的最小值与这个平方数． 【答案】a的最小值为30，这个完全平方数是32400 【分析】因为a与1080的乘积是一个完全平方数．所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数． 【详解】因为，又因为的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5． 所以，1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400 答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400． 18．将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？ 【答案】第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143． 或：第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33． 【分析】要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相同．为此，我们先将八个数分解质因数： 14=2×7 33=3×11 35=5×7 30=2×3×5 75=3×5×5 39=3×13 143=11×13 169=13×13 通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个． 【详解】首先将14=2×7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2×3×5和35=5×7就应分在第二组．这样，在第二组中不仅有2与7，还有两个5，所以另外两个质因数5就应分在第一组，即75=3×5×5归在第一组中．其次，将169=13×13分在第一组，含有13的另外两个数39=3×13和143=11×13就应分在第二组．由于质因数11只有两个，因而含有11的另一个数33=3×11就应分在第一组． 在上述分组过程中没有考虑过质因数3，所以，应核对一下两组中的质因数3，结果是各含有两个，所以分组结果是正确的，即 第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143． 在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，因此，还可得到另外的一种分组方法： 第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33． 【点睛】利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等． 19．如果a，b为正整数，且24a+168b为完全平方数，求a+b的最小值． 【答案】6 【详解】解法一：由于a，b为正整数，要求a+b的最小值．因此我们可以从最小的正整数开始试验．a=1，b=1；a=1，b=2；a=1，b=3……a=2，b=1；a=2，b=2；a=2，b=3……a=3，b=1；a=3，b=2；a=3，b=3……不难得出当a=3，b=3时，24a+168b为24的平方，则a+b的最小值是6． 解法二：24a+168b=2×2×2×3×（a+7b），又a，b为正整数，则a+7b≥8，要使2×2×2×3×（a+7b）是完全平方数，则a+7b必有因数6×K²，K是正整数．要使a+b的值最小，则K应该最小．因此K=2，当K=2时，a+7b=24 即当a=3，b=3时，a+b的值最小是6，此时24a+168b是24的平方． 【点睛】解法一的弊端是：如果a+b的最小值很大，显然这种方法是不太好的． 20．有3张扑克牌，牌面数字都在10以内．把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人．每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23．问：这3张牌的数字分别是多少？ 【答案】3，5和9 【详解】13+15+23=51，51=3×17． 因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种： ①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8 ④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8 ⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8 ⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8 (13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6 只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23． 所以，这3张牌的数字分别是3，5和9． 答：这3张牌的数字分别是3，5和9． 21．小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？ 【答案】红笔：13元 蓝笔：4元 【详解】35＝5×7. 红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元. 对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数. 笔价不能是35-17=18（元）的因数.如果笔价是18的因数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的因数：1，2，3，6，9. 当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16. 综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元. 答：红笔每支13元，蓝笔每支4元. 22．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【答案】 【详解】把420分解质因数420＝2×2×3×5×7. 为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20. 分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是：　　 23．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【答案】最小55，最大59。 【分析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零。由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了。 【详解】5的倍数： ，，，，，… 发现只有25、50、75、100、…这样的数中才会出现多个因数5； 乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55， 如果乘到下一个5的倍数60，将会出现14个0，所以最大是59。 【点睛】对于的末尾0的个数，可以用N分别除以5、除以25、除以125……然后相加即可。 24．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 【答案】12岁、14岁、16岁、18岁 【分析】题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 【详解】，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 【点睛】由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8.又因为，而，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18，也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：分解质因数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 分解质因数是小学数论体系的基石，是小升初奥数拔高的核心敲门砖，绝大多数数论难题、乘积应用题、因数最值问题，最终都需要通过分解质因数破解。它看似只是简单的数字拆分，实则蕴含唯一分解、数形匹配、逆向推导、最优组合的高阶数学思维，是从基础计算迈向奥数思维的重要转折点。 本节课我们系统吃透了分解质因数全维度考点：熟练掌握短除法彻底分解、标准式规范书写，精通因数个数、因数和两大核心公式，攻克了数字拆分、连续数求解、乘积分组、逆向求数、综合数论压轴全梯度题型，彻底厘清了质数、合数、质因数、最大公因数的关联与区别，规避了分解不彻底、公式误用、分组不均等高频易错点，掌握了完整的解题逻辑与口诀技巧。 所有复杂的数论问题，本质都是质因数的重组与搭配。希望同学们牢记“分解彻底、格式规范、质因匹配、逻辑严谨”的解题原则，摒弃机械计算的惯性思维，养成先拆解、再分析、后计算的解题习惯。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础分与拔高分，更能为初中因式分解、数论进阶、函数最值等知识点筑牢根基，在数学思维进阶的道路上稳步前行，冲刺名校满分！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 分解质因数是小升初奥数核心基础专题、重点中学择校考、分班考必考题型，是数论模块的基石，贯穿小学奥数全程。校内数学仅简单认识质数、合数，初步接触基础分解方法，而奥数中的分解质因数题型灵活、变式极多，是衔接基础计算与高阶数论的关键专题。 本专题核心本质：把一个合数拆分成若干个质数相乘的唯一形式，所有数论拓展题型（因数个数、因数和、自然数拆分、分组配对、乘积最值、连续数问题）均以此为基础。该专题重点考查学生数感、拆分思维、公式运用与逻辑推理能力，题型基础但拔高性强，是尖子生突破奥数瓶颈、冲刺满分的核心模块，同时也是初中因式分解、数论计算的前置必备知识。 小升初高频考查题型：基础合数分解、标准式书写、因数个数计算、因数和计算、乘积分组配对、已知乘积求原数、连续自然数乘积问题、综合压轴应用题型。 二、核心基础概念（必背） 1. 质数（素数）：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。 2.合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。 3. 特殊数字：1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。 4. 质因数：一个合数的因数中，属于质数的数，叫做这个合数的质因数。 5. 分解质因数：把一个合数用若干个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 三、20以内必考质数（熟记） 2、3、5、7、11、13、17、19 补充常用质数：23、29、31、37（小升初计算高频） 四、分解质因数核心方法：短除法 万能步骤： 1. 从最小的质数2开始试除，能整除就一直除，直到不能整除； 2. 依次用3、5、7、11……质数继续试除，直到最后的商也是质数； 3. 把所有除数和最后的商，按从小到大顺序连乘，即为分解结果。 核心规则：分解必须彻底，最终所有因数必须均为质数，不能留有合数。 五、分解质因数标准式（奥数必考格式） 将分解后的质因数，按照从小到大排序，相同质数写成乘方形式，这是奥数唯一标准书写格式。 示例： 六、两大核心奥数公式（拔高必考） 1. 因数个数公式 对合数分解质因数写成标准式： 因数总个数 = 原理：每个质数的指数可以取0到自身最大值，指数个数相乘即为总因数个数。 2. 因数和公式 沿用上述标准式，因数总和 = 七、四大核心解题模型 1. 唯一分解模型 任何一个合数的质因数分解结果唯一，这是所有题型的解题依据。 2. 乘积配对模型 已知几个数的乘积，将乘积分解质因数，再根据质因数的组成，反向拆分出原自然数。 3. 分组均分模型 将若干个数分成乘积相等的几组，核心：每组包含的同类质因数个数完全相同。 4. 连续自然数模型 连续自然数互质，分解质因数后，质因数无重复，可快速锁定连续数范围。 八、标准解题四步法 第一步：彻底分解：用短除法将目标数分解为质因数标准式； 第二步：套用模型：判断题型（求因数个数、拆分、分组、求值）； 第三步：公式计算：对应公式或规律，分步推导计算； 第四步：验证结果：检查质因数完整性、数值合理性，规避漏算、错算。 九、高频易错点汇总 1. 分解不彻底，最终结果残留合数； 2. 书写格式不规范，未按从小到大排序、未写成乘方标准式； 3. 因数个数公式忘记“指数+1”，直接用指数相乘； 4. 忽略1和本身也是因数，导致计数不全； 5. 分组配对时，质因数分配不均，乘积不相等； 6. 混淆质数、合数、质因数概念，误将1当作质因数。 十、专题解题口诀 短除分解质因数，从小试除要彻底； 标准格式次方写，排序整齐是规矩； 因数个数指数加，相乘汇总得总数； 拆分配对看质因，数形结合解难题。 例题讲解 【典型例题1】基础分解质因数（入门必考） 题目：将48、90分别彻底分解质因数，并写成标准式。 【分析】 基础入门题型，采用短除法，从最小质数2开始依次试除，分解彻底后，整理为从小到大排序的乘方标准格式，是本专题最基础的解题技能。 【详解】 1. 分解48： 用短除法依次除2，除不尽再除3， 标准式： 2. 分解90： 依次除2、3、5， 标准式： 【答案】 ， 【跟踪训练1】 题目：分解质因数并写标准式：36、56 【跟踪训练2】 题目：分解质因数并写标准式：72、105 【典型例题2】因数个数计算（高频拔高） 题目：求36的因数总个数，并列出所有因数。 【分析】 核心拔高题型，先将数字分解为质因数标准式，再套用因数个数公式：各质数指数加1后相乘，最后枚举验证所有因数，避免遗漏。 【详解】 1. 分解标准式： 2. 套用公式：因数个数（个） 3. 枚举所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 【答案】 36的因数共9个，分别是1、2、3、4、6、9、12、18、36。 【跟踪训练1】 题目：求48的因数总个数。 【跟踪训练2】 题目：求90的因数总个数。 【典型例题3】乘积拆分求原数（奥数常考） 题目：两个连续自然数的乘积是210，求这两个自然数。 【分析】 典型逆向拆分题型，已知两数乘积，先将乘积彻底分解质因数，再根据连续自然数互质、数值相近的特点，重组质因数，凑出两个连续自然数。 【详解】 1. 分解质因数： 2. 重组质因数： 3. 14和15为连续自然数，符合题意。 【答案】 这两个自然数是14和15。 【跟踪训练1】 题目：两个连续自然数的乘积是132，求这两个数。 【跟踪训练2】 题目：三个连续自然数的乘积是336，求这三个数。 【典型例题4】分组乘积相等问题（拔高必考） 题目：把12、18、20、28这四个数分成两组，每组两个数，使两组数的乘积相等。 【分析】 分组核心模型，解题关键：两组乘积相等，则两组包含的各类质因数个数完全相同。先统一分解四个数的质因数，再均分质因数，完成分组。 【详解】 1. 分解各数质因数： ， ， 2. 统计总质因数：2共7个、3共3个、5共1个、7共1个 3. 均分质因数，每组分配：2（3-4个）、3（1-2个）、5、7各一个 4. 最终分组：12×28=18×20=336 【答案】 分组结果：第一组12、28；第二组18、20。 【跟踪训练1】 题目：将8、15、20、21分成两组，使两组乘积相等。 【跟踪训练2】 题目：把6、10、15、25分成两组，两组乘积相等，如何分？ 【典型例题5】已知因数个数求原数（名校拔高） 题目：一个合数有6个因数，求最小的这个合数。 【分析】 逆向思维拔高题，已知因数个数反推原数。先拆分因数个数的算式，逆推质因数指数，再组合求出最小合数。因数个数6可拆分为或，分两种情况计算，对比取最小值。 【详解】 1. 拆分因数个数公式： 情况1：，对应质因数形式，最小 情况2：，对应质因数形式，最小 2. 对比得最小合数为12。 【答案】 有6个因数的最小合数是12。 【跟踪训练1】 题目：求有8个因数的最小合数。 【跟踪训练2】 题目：求有4个因数的最小两位数合数。 【典型例题6】分解质因数综合压轴（分班考真题） 题目：已知自然数a、b（a＜b），满足，且a、b最大公因数为6，求a、b的值。 【分析】 数论综合压轴题，结合分解质因数与最大公因数知识点。先分解乘积质因数，结合最大公因数拆分出公共质因数，剩余质因数均分且互质，最终求出两个自然数。 【详解】 1. 分解质因数： 2. 最大公因数为6=，设，（m、n互质，m＜n） 3. ，得 4. 28拆分为互质两数：4和7，即m=4，n=7 5. 计算得：， 【答案】 a=24，b=42。 【跟踪训练1】 题目：a、b为自然数，a＜b，，最大公因数为6，求a、b。 【跟踪训练2】 题目：两个数乘积是720，最大公因数为12，求这两个数。 高频真题 1．已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 2．萧奶奶家的百草园栽了几行玫瑰，每行玫瑰的棵数和行数都是质数。四个小朋友去萧奶奶家玩，他们数出的玫瑰的总棵数都不相同，其中只有一个人数对了。谁数对了？说说你的想法。 沈卓 陈慎 柳韵 赵琳 48 70 84 77 3．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 4．自然数151200的因数中有许多两位数，其中最大的是几？ 5．10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 6．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。 7．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 8．把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 9．55888与一个自然数a相乘所得的积是一个完全平方数，求a的最小值． 10．学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法? 11．小聪的妹妹参加了今年的中学数学竞赛，小聪问妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” 12．在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶．现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764．但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？ 13．2004年，一些语文老师、数学老师还有学生一起去表演节目，他们的人数各不相同，而且他们的人数之积等于2004年全年的天数．他们各有多少人？ 14．在 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数, 至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的乘积等于 238？ 15．我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数．已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少? 16．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 17．一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．求a的最小值与这个平方数． 18．将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？ 19．如果a，b为正整数，且24a+168b为完全平方数，求a+b的最小值． 20．有3张扑克牌，牌面数字都在10以内．把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人．每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23．问：这3张牌的数字分别是多少？ 21．小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？ 22．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 23．把若干个自然数1、2、3、…连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 24．（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $