小升初奥数培优讲义：分数裂项-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦分数裂项专题，涵盖基础裂差、公差裂差等五大核心公式及四大解题模型，通过知识梳理、例题精讲、真题演练环节，借助标准化四步解题法，帮助学生掌握裂项技巧，攻克小升初计算压轴题。 亮点在于“观察结构-匹配模型-灵活修正”思维训练，结合解题口诀与典型例题，如三项叠乘裂项通过公式拆分抵消中间项，培养学生抽象能力与推理意识。高频易错点汇总及跟踪训练，助力学生突破难点，教师可依此实施精准教学，提升复习效率。

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小升初奥数培优讲义：分数裂项 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 分数裂项是小学奥数计算板块的天花板技巧、小升初必考核心得分点，彻底打破了 常规分数通分硬算的固化思维，是区分普通计算与奥数巧算的标志性专题。在择校 考、分班考中，超长串分数求和题目几乎全部依托裂项技巧求解，掌握裂项，就能 轻松拿下整张试卷的计算压轴分值。 本节课我们系统吃透了分数裂项全维度考点：熟练掌握基础裂差、公差裂差、倍数 裂项、三项叠乘裂项、裂和五大核心公式，精准识别各类裂项题型结构，掌握标准 化四步解题法，规避了修正系数遗漏、抵消项判断错误、公式混淆等高频易错点， 实现了从基础入门到压轴拔高的全覆盖。 分数裂项的核心不在于死记公式，而在于观察结构、匹配模型、灵活修正。所有复 杂的分数求和难题，本质都是基础裂项公式的变形与叠加。希望同学们牢记解题口 诀，多练多悟，养成先观察、再巧算的奥数思维，摒弃机械硬算的习惯。扎实掌握 本专题内容，不仅能秒杀所有小升初分数计算难题、稳拿满分，更能培养规律探 索、归纳推理的数学素养，为初中分式运算、数列求和等重难点知识筑牢坚实基 础，助力小升初高效备考、轻松冲刺名校！ 知识流理 第1页共52页 一、问题定义与考情分析 分数裂项是小升初奥数计算板块核心必考、分班考与择校考高频拉分考点，属于分数巧算的 终极技巧。校内数学仅要求常规通分计算分数加减法，计算量大、耗时久，而奥数分数裂项 通过“拆分分数、抵消中间项”的核心逻辑，将复杂超长分数求和算式化繁为简，实现秒算 结果。 本专题核心本质：将一个复杂分数拆分为两个或多个简单分数的和或差，利用算式中间项两 两抵消，仅保留首尾项，快速算出最终结果。绝大多数长串分数求和、连加简便运算，底层 逻辑均为分数裂项，是小学计算板块最高频、最实用的解题模型。 小升初高频考查题型：基础两项裂差、公差不为1裂差、分子不为1倍数裂项、三项连续乘 积裂项、正负交替裂项、裂和公式应用、混合裂项综合压轴题，常以大题、递等式简便计算 形式考查。 二、核心基础概念（必背) 1.分数裂项定义：把分母为连续自然数乘积、分子为定值的分数，拆成两个分数相减或相加 的形式，通过抵消中间项简化运算的方法，分为裂差和裂和两大类，小学奥数以裂差为主、 裂和为辅。 第2页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.裂差核心特征(90%考题适用)：分子统一为定值，分母为两个或多个连续/等差自然数乘 积，算式为连加形式，拆分后中间项可全部抵消。 3.裂和核心特征：分母为两个互质自然数乘积，分子为分母两数之和，拆分后为两个分数相 加，多用于正负混合抵消题型。 三、全网通用核心公式（全覆盖题型） 1.基础裂差公式（公差为1，必考) 1 -11 n(n+1)nn+1 适用：分母是两个连续自然数乘积，分子为1，是所有裂项题型的基础。 2.通用裂差公式（公差为k,拔高必考） 1 1x1-1 n(n+k)kn n+k 适用：分母两个因数差值为固定数k,分子为1，需提取公差倒数修正。 3.分子倍数裂差公式 m 适用：分子为固定整数m,分母为等差两数乘积，是小升初高频变式题型。 4.三项连续裂项公式（压轴题型) ×[1 1 n(n+1)n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) 适用：分母为三个连续自然数乘积，多用于小升初压轴计算题。 第3页共52页 5.基础裂和公式（小众拔高) n+k=1+1 n×knk 适用：分子为分母两个因数之和，分母两数互质，多用于正负交替求和。 四、四大经典解题模型 1.基础连续裂差模型 分母为连续自然数乘积、分子为1，直接套用基础裂差公式，中间项全部抵消，仅剩首项和 末项。 2.等差修正裂差模型 分母因数差值不为1(2、3、4等)，先找公差，提取}修正，再常规裂项抵消。 3.倍数分子裂项模型 分子不为1且为固定倍数，先提取分子倍数，转化为标准裂项公式，再计算抵消。 4.三项叠乘裂项模型 分母为三个连续数乘积，套用三项裂项公式，两两分组抵消，剩余首尾两组项。 五、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判结构：观察分母是否为乘积形式、分子是否统一，判断裂项类型： 第二步：找参数：确定因数公差k、分子倍数、项数范围： 第三步：套公式：拆分分数，统一提取修正系数，展开算式； 第4页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第四步：消项计算：抵消中间重复项，仅保留首尾项，化简最终结果。 六、高频易错点汇总 1.公差不为1时，忘记提取二修正系数，导致结果错误： 2.分子不为1时，漏提分子倍数，公式套用不完整： 3.抵消项判断错误，多消、漏消首尾项： 4.三项裂项忘记提取二修正系数： 5. 混淆裂差、裂和公式，加减符号用反； 6.最终结果未约分为最简分数，丢失步骤分。 七、专题解题口诀 分数裂项巧求和，分母乘积是关键： 连续乘积差为一，拆分相消首尾留： 公差有变先修正，倍数分子提前抽： 三项叠乘二分一，消尽中间最简求。 十例题讲解 【典型例题1】基础连续裂差（入门必考） 题目：计算 ,1t1+1+…+1 1×22×33×49×10 【分析】 第5页共52页 最基础的裂差题型，分母均为连续自然数乘积，分子统一为1，完全适配基础裂差公式。拆 分后中间项可全部两两抵消，仅保留第一项首数和最后一项尾数，快速化简求解。 【详解】 根起公式n中片古拆分照式 原式12分+（兮++哈0 中间项全部抵消，剩余首尾项： 原式19 1010 【答案】 9 10 【跟踪训练1】 题目：计算，1+1+…+1 1×22×319×20 【分析】 标准基础裂差题型，分母为连续自然数乘积，套用基础公式拆分抵消，保留首尾项计算。 【详解】 原式1-+哈++云 1茹品 【答案】 第6页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19 20 【跟踪训练2】 题目：计算1。+。1++，1 5×66×714×15 【分析】 无首项截断式基础裂差，依旧套用公式拆分，抵消后保留开头第一项和末尾最后一项。 【详解】 原式兮名+日++4 1-1-3-1-2 5151515 【答案】 2 15 【典型例题2】公差不为1裂差（高频拔高) 题目：计算 1+1+1 1 十…十 1×33×55×717×19 【分析】 公差为2的裂差题型，分母两因数差值为2，不能直接套用基础公式，需使用通用裂差公式， 先提取二修正系数，再拆分抵消计算。 【详解】 分母公激=2，根据公式中片k 第7页共52页 原武-号1+号君++（品61 *1-*8品 【答案】 9 19 【跟踪训练1】 题目：计算，++…+ 1 2×4'4×6 18×20 【分析】 分母因数公差为2，提取修正系数拆分后抵消中间项，化简结果。 【详解】 原式×兮+号吉+品动 *分*品品 【答案】 9 40 【跟踪训练2】 题目：计算 1+1 +、1 1×44×77×10 【分析】 分母公差为3，提取修正系数号，套用通用裂差公式求解。 第8页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 原式含×1-+片+号0 1品 【答案】 3 10 【典型例题3】分子倍数裂项（名校常考） 题目：计算 2 2 2 1×33×55×7 【分析】 分子为固定倍数2，分母公差为2，可直接匹配倍数裂项公式，拆分后无需额外修正，直接抵 消中间项快速计算。 【详解】 原武1-+片+号身》 19 【答案】 6 【跟踪训练1】 题目：计算，3+3+3 2×55×8'8×11 第9页共52页 【分析】 分母公差为3，分子恰好为3，完美匹配倍数裂项公式，直接拆分抵消。 【详解】 原式名日 品2品 【答案】 22 【跟踪训练2】 题目：计算，4 +4+ 4 1×55×99×13 【分析】 分母公差为4，分子为4，直接拆分裂项，抵消中间项后化简结果。 【详解】 原式=(1-君+号日+g3 1 【答案】 是 第10页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题4】三项连续裂项（小升初压轴） 题目：计算 1 1 1 1×2×32×3×43×4×5 【分析】 小升初压轴题型，分母为三个连续自然数乘积，需套用三项裂项公式，先提取二修正，再拆 分抵消中间项求解。 【详解】 根据三项裂项公式拆分： 原试-12232033443445 动-易品 【答案】 9 【跟踪训练1】 题目：计算 .1 +1 1 2×3×43×4×54×5×6 【分析】 标准三项裂项题型，提取二修正，拆分抵消中间项，保留首尾两组项计算。 【详解】 原式-2356*日动 第11页共52页 41 【答案】 1 【跟踪训练2】 题目：计算 1+1 +…+1 1×2×32×3×48×9×10 【分析】 长串三项裂项求和，统一套用公式拆分，中间项全部抵消，仅保留首尾两组项化简。 【详解】 原式=}x,1-1)=1x1-1 21×29×10-2290 始品 【答案】 4 【典型例题5】裂和公式应用（拔高拓展） 7 题目：计算 3 5 1×22×33×4 【分析】 裂和经典题型，分子为分母两因数之和，可拆分为两个分数加减形式，分组抵消简化运算， 区别于常规裂差。 第12页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 都分各分微：品1安高甘品4付+号 1×2 原武(1+分-号+号 【答案】 4 【跟踪训练1】 题目：计算5+7-9 2×33×44×5 【分析】 分子为分母两因数之和，套用裂和公式拆分，分组抵消中间分数，快速化简。 【详解】 原式=号+(}+》-(4*号 11.11_15+10+10-6_29 233-5 30 30 【答案】 30 【跟踪训练2】 题目：计算，4+8 +12 1×33×5'5×7 第13页共52页 【分析】 综合裂项题型，结合倍数裂差规律，拆分后抵消中间项，化简最终结果。 【详解】 原式21品*+=21 =2×9号 【答案】 号 【典型例题6】分数裂项综合压轴（分班考真题） 题目：计算，1+1 1 1×55×99×13 2017×2021 【分析】 小升初分班考高频压轴题，超长数列裂项求和，分母公差为4，先提取修正系数二，拆分后全 部抵消中间项，仅保留首尾项计算。 【详解】 分公k=4、原式子1吉号台70 1 【答案】 505 2021 第14页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【跟踪训练1】 题目：计算，2 +2 2 ×66×11 96×101 【分析】 公差为5的倍数裂项，分子为2，先提取修正系数，拆分抵消中间项求解。 【详解】 原式名×11三子 2.100_40 1015101101 【答案】 40 101 【跟踪训练2】 题目：计算，1+。1+1 .1 2×66×1010×1414×18 【分析】 分母公差为4，套用通用裂差公式，提取修正系数，抵消中间项后化简。 【详解】 原式=x(}-1)=1×8-1 42184189 【答案】 1 高频题 第15页共52页 1.计算。 11,1,11 1,1,1,1,1,1,1, (1)6×77x88×99x1010x11(2)2483162124248496 5 15 【答案】(1)66；(2)16 【分析】(1)观察算式，算式中的每个分数都是n×(n+)形式，可利用裂项相消 11 11,11,11,11,11 n×(n+1)nn+1,将原式拆分为6778899101011，再计算即可 解答。 111 1,111,11 (2)算式的前3个分数2、4、8的分母依次呈2倍关系，有884、442、 1,1 1=1 1 111 1 1 22，可在8后面加上8，再减去8，同理，31、62、124、248、496的分母也 1 1 依次呈2倍关系，在496后面加496，再减去496即可解答。 11,11,1 【详解】6×77×88×99×1010×11 第16页共52页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11,11,11,11,11 =6778899101011 11 =611 116 =6666 5 =66 1,1,1,1,1,11,1 2483162124248496 1+111_1+1+1+1+1+1+1-1 =2'4888"3162124248496496496 1.1.11.1,1,1,1,11 =24483162124248248496 1,11,1,1,1,11 =2283162'124124496 711111 8316262496 7111 =83131496 721 =831496 7.321 =8496496 第17页共52页 731 =8496 71 =816 15 =16 2.怎么简便怎么算。 2524 8+30+3÷8-34 (1)28+39 9 1 1 +1 … 1 (2)1×2×32×3×4'3×4×5 48×49×50 【答案】(1)3 306 (2)1225 3 【分析】(1)先根据分数与除法的关系得出3÷8=8，再将算式中的同分母分数相加或者相 减即可简便计算； 1 11 1 (2) 根据公式nx(n+1)×(n+2)2nx(n+1)(n+1)(n+2) 将算式转化为 第18页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1. 1 1,11 1 1 1 1 十一X 十一X 十…·十一X 21×22×32(2×33×4'2(3×44×5 2 48×4949×50 1 再根据乘法的分配律提出2，将一些分数抵消后再计算即可简便。 2+3。+3÷8-34 5 4 【详解】(1)89 9 =2+34+ 34 43 8989 25+3+34-34 一十一 889 9 =3+0 =3 1 。1,1 1 +…+ (2)1×2×32×3×4'3×4×5 48×49×50 284归4…82 1 248×4949×50 xL-1+1-1+1-1++1 1 =2×1x22×3+2x33×43×44x5 48×4949×50 11 1 =2×1x249×50 111 =2×(22450 1.1224 =2×2450 第19页共52页 306 1225 11,1 1 3.计算：2×33×44×52023×2024。 1011 【答案】2024 111111 【分析】2×323、3×434…依次把每个乘法算式拆成减法，算式中间的数全 部抵消，据此解答。 111 十…十 【详解】2×33×44×5 2023×2024 11.11.11, 1 1 23344520232024 11 22024 1011 2024 4.列式计算，写出推导过程。 6了 65 五了。了 3.1123.39759 十…十 (2)261220380 第20页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22+1,42+1,62+1,,20142+1 (3)1×33×55×7 十十 2013×2015(4) 6.9×0.2+6.8×0.2+6.7×0.2+…+6.1×0.2 2 3 9 (5)1-1x0+20+2)01+2+3) (1+2+…+8)1+2+…+9） 5 【答案】(1) 756;(2) 371 '20 (310072014 2015;(4)11.7 1 (5)45 【分析】(1)先分解带分数，再运用分数乘法分配律去括号，再进行简便运算：(2)经过 数据分析，可用2减去一个分数表示每个分数，去括号后提取公因数2，再进行简便运算： (3)将分母的两个因数化为一个数减去1或者加上1，根据和差公式化简，进而简便计算得 出答案；(4)提取公因数02，括号里面的小数相加，进而简便运算得出答案；(5)先计算 分母相乘，提取公因数4，进而依次计算得出答案。 第21页共52页 7 5 5-1 5 5 ×6 ×6 【详解】(1)28272728 +6++6+ 42+ 5 =42+39+30+5x5-42-35305x5 一十 -X 2728'2827 28272827 55 2728 5×28 5×27 27×2827×28 5 756 3.11.23.39,.759 十 (2)261220 380 (22-220+2 ，1 =子+g动】 =38--0）-8-1+动 231 0 第22页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22+1,42+1,62+1 20142+1 (3) 1×33×55×7 2013×2015 22+1 42+1 62+1 20142+1 (2-)x2+04-×(4+1(6-)×(6+可*…+(2014-)x(2014+可 22+1,42+1,62+1,,20142+1 22-142-162-120142-1 _2-1+2+4-1+2+6-1+2+…+2014-1+2 22-142-162-1 20142-1 =1+2+1+2+1+2++1+ 2 1×313×55×7 2013×2015 =1×1007+ 222 +…十 1×33×55×7 2013×2015 =107+1- =100 2014 2015; (4)6.9×0.2+6.8×0.2+6.7×0.2+…+6.1×0.2 =0.2×(6.9+6.8+6.7+…+6.1) =0.2 6.9+6.1×9 2 =11.7 第23页共52页 2 3 9 5)1-1x1+2)0+21+2+3) (1+2+…+8)1+2+…+9) 1、4 4 × 1×2×32×3×48×9×10 =1-4× 11tt1 1×2×32×3×48×9×10 =1-4× 1-1+1-1+1-1x 1×22x32x33x4+8x99×10X2 =1-2× 11 1×29×10 1 44 45 1 45 5.计算。 (1,1,1 1 1 1 十 ×14 22+42+4+62+4+6+82+4+6+8+102+4+6+8+10+12) 【答案】12 1.11 【分析】分数部分先计算分母，然后分数裂差：n(n+1Dnn+1即可简算。 第24页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 /1111 1 1 2+2+4+2+4+62+4+6+82+4+6+8+102+4+6+8+10+12 ×14 =传6品动 =+5+6》4 行+号》4 =-4 -9x14 =12 111 1 十…十 6.计算：2×33×4”4×5 2023×2024。 1011 【答案】2024 第25页共52页 【分析】观察式子中每一项的形式，如n×(n+1),可利用裂项相消法进行计算，即 11 n×(n+1）nn+1,通过这种方法将原式中的各项拆分后，相互抵消一些项，从而简化 计算。 111 【详解】根据裂项公式nx(n+1)nn+l,则： 111111111 1 1 1 2×323'3×434'4×5452023×202420232024 故： 1,1,1 1+2+(++上+片 2×33×44×5…2023×2024233445 20232024233 1111111 7.计算：(8+24+48+80+120+168+224)×64= 【答案】14 1-1(1_1 【分析】根据分数的拆分公式：n(n+d)dnn+d即可求解。 第26页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1111111 【详解】(8+24+48+80+120+168+224)×64 1111111） ×64 (2×44×66×88×1010×1212×1414×16 好6+68日0*0立* ×64 -064 1x7x64 =216 =14 8.计算， 179 111315 13-12+20-30+42-56 7 【答案】8 179 111315 【详解】13-12+20-30+42-56 111111111 11 =(1+3)·(3+4)+(4+5)~(5+6)+(6+7)·(7+8) 11111111111 =1+3-3~4+4+556+6+7-7~8 第27页共52页 1 =1-8 > =8 9.计算。 12 2 2 2×4+4×6+6×8+…+48×50 71 【答案】200 122 2 【详解】2×4+4×6+6×8+…+48×50 1111111 =8+4-6+6-8+..+48-50 111 =8+4-50 71 =200 10.计算. 2 2 2 2 2 1×3+3×5+5×7+…+97×99+99×101 第28页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 100 【答案】101 222 2 2 【详解】1×3+3×5+5×7+…+97×99+99×101 11111 11 =1-3+3-5+5-7+..+99101 1 =1-101 100 =101 11.计算. 111111 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7 6 【答案】7 111111 【详解】1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7 1,1111111111 =1-2+23+3-4+45+56+67 第29页共52页 1 =1-7 6 =7 12.简便计算. 12 456 1×2+2×4+4×7+7×11+11x16+16×22 21 【答案】22 11111111111 【详解】原式=1-2+2~4+4-7+7-11+11-16+16-22 1 =1-22 21 =22 13.计算 11111 1 4×5×65×6×76×7×87×8×9 98×99×100 第30页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 247 【答案】9900 【详解】略 14.计算 1+1+1 1 1 十.十 1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+...+50 9 【答案】 15 【详解】略 15.计算 2 2 2 2 1 12×1414×1616×1818×2020 1 【答案】12 【详解】略 第31页共52页 16.计算 1+1+1+1+1 1×55x99×1313×1717×21 5 【答案】21 【详解】略 17.计算. 1 1 1 1 1988×19891989×19901990×19911991 1 【答案】1988 【详解】略 1 1 1 十··十 18.1×3×53×5×75×x7×9 2001×2003×2005= 第32页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1004003 【答案】12048045 【分析】这道题目关键是考察对公式 11 1 n(n+k)(n+2k)2 k n(n+k)(n+k)(n+2k) 的应用：要注意的是，分母中1与 1 3,3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘4· 111111 1 1 【详解】解：原式=221×33×53×55×72001×20032003×2005 1 2003×2005 1 4016015-3 =43×2003×2005 1004003 =12048045 (54+4)×(94+4)×(13+4)×…×(494+4） 19.(34+4)×(7+4)×(11+4)×…x(47+4)= 【答案】 500 第33页共52页 54+462937 【详解】看到题目很容易想到裂项.分析、尝试可得：34+485 5 94+46565101 74+4240537 (这两个利用辗转相除法)，能够约掉37.以此类推完成其他项. 又观察到5,37,101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后 494+4 502+1 2501=500 的474+4约分后等于462+1，原式等于5 · 【点睛】这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出 来.但是，如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的.本题解题的关键在于 “试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用. 1,1,1 1 十·十 20.11+21+2+31+2+3+…+100 200 【答案】101 【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律： 1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+100 同时很容易发现1+2+3+·+n是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得 第34页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 1+2+3+…+n= n(n+1) 进而可得： n(n+1 2 2 【f1原式-2×}2》…+2日 -2x1-0i 200 =101 【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同 学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。 21.计算： 14g*5*7 1 212 【答案】81.4. 第35页共52页 原式=(1+3+5+7+9+1+13+15+17)+（后+2 .11 1,1.1111 + + 一十 203042567290 81+6 1+1+ 1 11 2×33×44×55×66×77×8 11 【详解】 8×99×10 -81+喝+写++写 +g+++写司 11 =81+210 =814 +2+2+3 182+192,192+202 22.1×2 2×3 18×1919×20 38 19 【答案】3°20 【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分 +2-1+4；-2+2+3-499 1 与裂项。 1×222 T1×2’2×366 =2+2x3' 32+4_9+16_25 ,118+19-2 1 19+20=2+ 1 3x4=12=12=2+3x4 18×19 18×19’19×20 19×20 第36页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 111111 111 11 。1×2=1-2,2×3=2-3,3×4=3-4…18×19=18-19,19×20=19- 1 20。 12+22,22+32, ,182+192,192+202 【详解】1×22×3 +.+ 18×1919×20 1 1 1 1 1 =2+1×2+2+2×3+2+3×4+…+2+18×19+2+19×20 111 11 =2×19+(1×2+2×3+3×4+…+18×19+19×20) 111111111 =38+(1-2+2-3+3-4+…18-19+19-20) 1 =38+(1-20) 19 =38+20 3819 20 23.简便计算。 1,1,1,1,1 13,7,15,31 26122030 2481632 第37页共52页 5 41 【答案】6；32 【分析】通过观察，此算式中的每个分数都拆成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互 抵消，得出结果。 1,1,111 【详解】26122030 --++{++ 23344556 -1-+)++1111 223344556 1 6 5 =6 1.3,715,31 2481632 =1-宁+0-分+1-日+1-6+a-立 4 16 32 1 6+11 +1-4+1-8+1-1632 1+1+1+1+D-(+++是+ 2481632 第38页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5-11111111- 224488161632 =5-1-1) 32 5.1+1 32 4 =32 【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最 佳途径，运用运算技巧灵活解答。 24.脱式计算。（能简算的要简算） 8x[39 (1)12.45+3.78+7.55+6.22 一 11131211 111 (3)79×25+79×25 (4)1×44×77×10 61×64 7 【答案】 (1)30(2)18 11 21 (3)79(4)64 第39页共52页 【分析】(1)运用加法交换律和加法结合律进行简算： (2)小括号前面是减号，去掉括号，括号里面的减号变成加号。先把中括号里面的小括号去 329 掉，然后把分数带符号搬家，把式子写成5十5一16，然后计算加法，再算减法，最后算乘 法： 1113 1113 (3)把79×25的两个分母79和25调换位置变成25×79，积不变，然后运用乘法分配律 进行简算； 11111111 (4)用裂项法把原式可以写成(1-4)×3+(4一7)×3+(7一10)×3+…+( 111 61一64)×3，再运用乘法分配律简算。 【详解】(1)12.45+3.78+7.55+6.22 =(12.45+7.55)+(3.78+6.22) =20+10 =30 8392 =9×[5-16+5] 第40页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8329 =9×[5+5-16] 87 =9×16 7 =18 11131211 (3)79×25+79×25 11131211 =79×25+25×79 111312 =79×(25+25) 11 =79×1 11 =79 、1+1t1++1 (4)1×44×77×10 61×64 11111111 111 =(1-4)×3+(4-7)×3+(7-10)×3+…+(61-64)×3 11111111 =(1-4+4-7+7-10++61-64)×3 11 =(1-64)×3 第41页共52页 631 =64×3 21 =64 25.神机妙算。 人 1 (1)8×37÷[1÷(35-2.95)] 1 3 3 (2)4×39+4×25+2×4 2016 201620162016 2016 (3)1×2+2×3+3×4+4×5+5×6 20181 (4)2018÷20182019+2020 19111315 (5)14-20+30-42+56 44 9 【答案】7；30：1680：1；8 【分析】(1)根据乘法交换律简算； (2)(4)根据乘法分配律简算； 第42页共52页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)(5)根据分数裂项法简算。 1 1 【详解】(1)8x37÷[1÷(35-2.95)] 22 =8×7×(3.2-2.95) 22 =8×7×0.25 22 =8×0.25×7 22 =2×7 44 =7 1 3 3 (2)4×39+4×25+2×4 3 3 3 =(1-4)×39+4×25+2×4 3 3 3 =39-4×39+4×25+2×4 3 =39-4×(39-25-2) 3 =39-4×12 =39-9 第43页共52页 丝s并道比熊 00Z+8I0Z×0z0z×8I0z= 6107 0Z0z+ 610 ÷8I0元= I 0Z0Z×8I0Z 0z0z+ 610 ÷8I07= L(1+6I0Z)×8I0z 0z0z+ 6107 ÷8I0忆= 8I0Z+6I0Z×8I0Z 0z0z,6I0Z810z÷8I0元(h) 089I= 9×9[0z= (9-S,S-b,b-￡，￡-Z,Z-I)x9I0a= I IIIIII II (9×S-9×S,Sxb-S×b,b×E-b×E,E×Z-￡×Z,Z×I-Z×I)x9I0z= s9+bs+￡b+乙￡+I乙 (9×S,S×b,b×￡，E×Z,Z×I)x9I0= s-9Tb-SE-bZ-￡I-乙 (9×S,S×b,b×E,E×Z,Z×I)x9I0z= IIIII 9×S+S×b,b×E,E×Z,Z×I(ε) 910 910910 9107 9107 0E= 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20191 =2020+2020 =1 1 9111315 (5)14-20+30-42+56 1 4+55+6 6+77+8 =1+4-4×5+5×6-6×7+7×8 145566778 =1+4-4×5-4×5+5×6+5×6-6×7-6×7+7×8+7×8 111111111 =1+4-5-4+6+5-7-6+8+7 =1+8 9 = 【点睛】在四则混合运算中，要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算。 26.计算。 3)33 0.125+ 5) 87 (1) 1 12.1× 11 485÷8-36-615*3}-55-1751） (2)41 18 11,1 1 +…+ (3)2×44×6'6×848×50 第45页共52页 (657.6x8+288×184-14.4×80+125 8 5 5 (22+42+62+…+1002）-(12+32+52+…+992） 1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1 6 25 101 【答案】(1)4：(2)10：(3)25；(4)2；(5) 2。 【分析】(1)先算分子上小括号的加法，再乘法，再算分母的除法，最后化简即可解答： (2)第一个小括号里面根据乘法分配律进行简算，第二个小括号先算乘法再算减法，然后再 算括号外面的乘法，最后算加法： (3)使用分数裂项的方法进行计算： 8 8 (4)57.6×5=28.8×2×5,14.4×80=14.4×(2×40)=28.8×40,再根据乘法分配律进行计算： (5)分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a一b=(a一b)(a+b)进行巧 算。 333 0.125+ 587 【详解】(1) 1 12.1× 11 第46页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +3x3 X 85 7 1211 1011 52433 404087 11 10 2933 =4087 11 10 11 40 11 10 11.11 4010 1110 4011 1 4 34485-36+615x号}55-15×9 .1 4 〔486155*》 x485-1+615到+65-4) 第47页共52页 =二×36+1 4 =9+1 =10 1+1+1++ 1 (3)2×44×66×8 48×50 =般日活…动 发动》 1.48 =2X100 6 25: 576288x-14480+12时 8 5 8 =28.8×2×+28.8 184-14.4×2×40+ 5 2 第48页共52页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +28.8 16 184-28.8×40+ 25 =28.8× 2 =28.8× 16.184-40 25 55 2 =28.8×(40-40)+ 25 2 25 =0+ 2 25 = 2; (22+42+62+…+1002）-(12+32+52+…+992 (5) 1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1 (22-12)+(42-32)+(62-52)++(1002-992) (1+2+3+…+9)×2+10 (2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(100+99)100-99) (1+9)×9÷2×2+10 3+7+11+…+199 90+10 (3+199)×[(199-3)÷4+1]÷2 100 202×50÷2 100 101×50 100 101 2 第49页共52页 【点睛】此题为计算题，难度较大，但只需认真分析，化繁为简。灵活运用乘法分配律、分 数裂项，高斯求和等一些方法达到更加简便的运算。 2.1+3+5+70+9+1+13+15+17+19 612203042567290110 2209 【答案】22 【详解】将算式中的整数与整数相加，分数与分数相加，分母裂项进行相加： 4++10+分号+d品，m号罗 【点睛】有理数加法、分数的拆分、分母裂项 28.计算下面各题. (1)2.89×6.37+0.137×28.9+289×0.0226: -+6 64 2011+2012×2010 (3)2011×2012-1 5号-18片[s+8 第50页共52页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1， 3 8 十·十 (5)1×21×2×31×2×3×41×2×3×…×9(答案写成最简形式即可) 2163 6 362879 【答案】(1)28.9 (2) 64 (3)1(4)5 (5)362880 【详解】(1)2.89×6.37+0.137×28.9+289×0.0226 =2.89×6.37+1.37×2.89+2.89×2.26 =2.89×(6.37+1.37+2.26) =2.89×10 =28.9 31 (21+22 651 ×61 248163264 =0+2+3+4+5+6)+2+4+8i6324 11,1,1,1,1 1+1+1+1+1+1+1-1 =21+2+4+8i6+32646464 64 63 =21+ 64 =21 63 64 第51页共52页 (3) 2011+2012×2010 2011×2012-1 2012-1+2012×2010 2011×2012-1 2012×(1+2010)-1 2011×2012-1 2012×2011-1 2011×2012-1 =1 18 ÷3 5 6 25 5),1+ 2 3 8 1×21×2×31×2×3×4 1×2×3×…×9 1 71 1 1 1 1×2(1×21×2×3 +……十 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×…×81×2×3×..×9 1 1 1 1×21×21×2×3×...×9 1 =1- 362880 362879 362880 【点睛】考查了四则混合运算法则、分数裂项及繁分数的计算 第52页共52页学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小升初奥数培优讲义：分数裂项 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 分数裂项是小学奥数计算板块的天花板技巧、小升初必考核心得分点，彻底打破 了常规分数通分硬算的固化思维，是区分普通计算与奥数巧算的标志性专题。在 择校考、分班考中，超长串分数求和题目几乎全部依托裂项技巧求解，掌握裂项， 就能轻松拿下整张试卷的计算压轴分值。 本节课我们系统吃透了分数裂项全维度考点：熟练掌握基础裂差、公差裂差、倍 数裂项、三项叠乘裂项、裂和五大核心公式，精准识别各类裂项题型结构，掌握 标准化四步解题法，规避了修正系数遗漏、抵消项判断错误、公式混淆等高频易 错点，实现了从基础入门到压轴拔高的全覆盖。 分数裂项的核心不在于死记公式，而在于观察结构、匹配模型、灵活修正。所有 复杂的分数求和难题，本质都是基础裂项公式的变形与叠加。希望同学们牢记解 题口诀，多练多悟，养成先观察、再巧算的奥数思维，摒弃机械硬算的习惯。扎 实掌握本专题内容，不仅能秒杀所有小升初分数计算难题、稳拿满分，更能培养 规律探索、归纳推理的数学素养，为初中分式运算、数列求和等重难点知识筑牢 坚实基础，助力小升初高效备考、轻松冲刺名校！ 知识流理 第1页共18页 一、问题定义与考情分析 分数裂项是小升初奥数计算板块核心必考、分班考与择校考高频拉分考点，属于分数巧算的终 极技巧。校内数学仅要求常规通分计算分数加减法，计算量大、耗时久，而奥数分数裂项通过 “拆分分数、抵消中间项”的核心逻辑，将复杂超长分数求和算式化繁为简，实现秒算结果。 本专题核心本质：将一个复杂分数拆分为两个或多个简单分数的和或差，利用算式中间项两两 抵消，仅保留首尾项，快速算出最终结果。绝大多数长串分数求和、连加简便运算，底层逻辑 均为分数裂项，是小学计算板块最高频、最实用的解题模型。 小升初高频考查题型：基础两项裂差、公差不为1裂差、分子不为1倍数裂项、三项连续乘积 裂项、正负交替裂项、裂和公式应用、混合裂项综合压轴题，常以大题、递等式简便计算形式 考查。 二、核心基础概念（必背） 1.分数裂项定义：把分母为连续自然数乘积、分子为定值的分数，拆成两个分数相减或相加 的形式，通过抵消中间项简化运算的方法，分为裂差和裂和两大类，小学奥数以裂差为主、裂 和为辅。 2.裂差核心特征(90%考题适用)：分子统一为定值，分母为两个或多个连续/等差自然数乘 积，算式为连加形式，拆分后中间项可全部抵消。 3.裂和核心特征：分母为两个互质自然数乘积，分子为分母两数之和，拆分后为两个分数相 加，多用于正负混合抵消题型。 三、全网通用核心公式（全覆盖题型） 1.基础裂差公式（公差为1，必考） =贵一市 适用：分母是两个连续自然数乘积，分子为1，是所有裂项题型的基础。 2.通用裂差公式（公差为k,拔高必考） 内=食×传-本) 适用：分母两个因数差值为固定数k,分子为1，需提取公差倒数修正。 3.分子倍数裂差公式 =畏×信-本) 第2页共18页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 适用：分子为固定整数m,分母为等差两数乘积，是小升初高频变式题型。 4.三项连续裂项公式（压轴题型） +1+2」】 适用：分母为三个连续自然数乘积，多用于小升初压轴计算题。 5.基础裂和公式（小众拔高) 装=贵+片 适用：分子为分母两个因数之和，分母两数互质，多用于正负交替求和。 四、四大经典解题模型 1.基础连续裂差模型 分母为连续自然数乘积、分子为1，直接套用基础裂差公式，中间项全部抵消，仅剩首项和末 项。 2.等差修正裂差模型 分母因数差值不为1(2、3、4等)，先找公差k,提取修正，再常规裂项抵消。 3.倍数分子裂项模型 分子不为1且为固定倍数，先提取分子倍数，转化为标准裂项公式，再计算抵消。 4.三项叠乘裂项模型 分母为三个连续数乘积，套用三项裂项公式，两两分组抵消，剩余首尾两组项。 五、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判结构：观察分母是否为乘积形式、分子是否统一，判断裂项类型： 第二步：找参数：确定因数公差k、分子倍数、项数范围； 第三步：套公式：拆分分数，统一提取修正系数，展开算式： 第四步：消项计算：抵消中间重复项，仅保留首尾项，化简最终结果。 六、高频易错点汇总 1.公差不为1时，忘记提取修正系数，导致结果错误； 2.分子不为1时，漏提分子倍数，公式套用不完整： 3.抵消项判断错误，多消、漏消首尾项； 4.三项裂项忘记提取号修正系数； 第3页共18页 5.混淆裂差、裂和公式，加减符号用反； 6.最终结果未约分为最简分数，丢失步骤分。 七、专题解题口诀 分数裂项巧求和，分母乘积是关键； 连续乘积差为一，拆分相消首尾留； 公差有变先修正，倍数分子提前抽； 三项叠乘二分一，消尽中间最简求。 十例题讲解 【典型例题1】基础连续裂差（入门必考） 题目：计算文2++4+…+x 【分析】 最基础的裂差题型，分母均为连续自然数乘积，分子统一为1，完全适配基础裂差公式。拆分 后中间项可全部两两抵消，仅保留第一项首数和最后一项尾数，快速化简求解。 【详解】 根据公式+=合一本拆分原式： 原式=(1-)+（传-）+（传-）+…+（哈-） 中间项全部抵消，剩余首尾项： 原式=1-六=品 【答案】 品 【跟踪训练1】 题目：计算2+衣+…+19x20 第4页共18页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【跟踪训练2】 题目：计算文++…+14 【典型例题2】公差不为1裂差（高频拔高） 题目：计算++7+…+179 【分析】 公差为2的裂差题型，分母两因数差值为2，不能直接套用基础公式，需使用通用裂差公式， 先提取修正系数，再拆分抵消计算。 【详解】 分母公差k=2根据公式=-本)月 原式=是×[(1-)+（传-）+…+（债-〗 =支×(1-)=×8= 【答案】 是 【跟踪训练1】 题目：计算女十+…+1 【跟踪训练2】 题目：计算++0 第5页共18页 【典型例题3】分子倍数裂项（名校常考） 题目：计算及十忌十及 【分析】 分子为固定倍数2，分母公差为2，可直接匹配倍数裂项公式，拆分后无需额外修正，直接抵 消中间项快速计算。 【详解】 原式=(1-)+（传-）+（侍-） =1-为=号 【答案】 【跟踪训练1】 题目：计算忌十品十忌 【跟踪训练2】 题目：计算十是十 第6页共18页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题4】三项连续裂项（小升初压轴） 题目：计算+34+x4 【分析】 小升初压轴题型，分母为三个连续自然数乘积，需套用三项裂项公式，先提取修正，再拆分 抵消中间项求解。 【详解】 根据三项裂项公式拆分： 原式=支×[（☆-）+(-)+(-】 =支×(-六)=×品=0 【答案】 最 【跟踪训练1】 题目：计算2x4+3x5+5x6 【跟踪训练2】 题目：计算2十+…十x0 1 第7页共18页 【典型例题5】裂和公式应用（拔高拓展） 题目：计算及-及+品 【分析】 裂和经典题型，分子为分母两因数之和，可拆分为两个分数加减形式，分组抵消简化运算，区 别于常规裂差。 【详解】 拆分各分数：灵=1+，及=立+言，4=青+日 原式=(1+)-（传+）+（传+） =1+= 【答案】 【跟踪训练1】 题目：计算及十品- 【跟踪训练2】 题目：计算志+是+品 第8页共18页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题6】分数裂项综合压轴（分班考真题） 题目：计算☆十☆十点3十…+2017202江 【分析】 小升初分班考高频压轴题，超长数列裂项求和，分母公差为4，先提取修正系数子，拆分后全 部抵消中间项，仅保留首尾项计算。 【详解】 分母公差k=4,原式=幸×(1-专+言-合+…十7-0) =×(1-z)=×88=盟 【答案】 505 2021 【跟踪训练1】 题目：计算安十十…十 2 【跟踪训练2】 题目：计算+0十104+1 第9页共18页 逆8I并逆0I熊 °台斯R气‘点1平丝 。z0x0++S×中+XE+8X?:括Hg 0sx6bx8+…+Sxhx8+xx2+8x7X刘 6。 68 市8-8÷8+b8+7(D 熹7恩7乙 9 II×0I,0I×6,6×8,8×L,L×9 十 () 点[ 曙道恩女 连8I并连II熊 zZ,89I,0z1,08,8t,忆，8 =9x(+ I'I +++ )熹1‘L ,0×80+…+S×中+×E+x?:精H9 II I I+01+8+9+b+忆+01+8+9++忆+8+9+b+忆+9+中+忆++乙+ 熹‘S (6+…+乙+I)(8+…+乙+ (e+z+亿+D_亿+x1-1(s) 6 E 乙0×I9+…+乙0×L9+乙0×8^9+Z0×6^9 () SIOZXEIOLxs SxeExI I+zIO I+29 I+zt I+ (E) 08E,.0z,ZI,9.乙 8乙。L7,LZ8乙 6SL 68 EZ II E () S9xSL-59x 游旦鱼右与谁 U03·升XXZ·MMM 创棋右型 证8I并逆乙I患 L×9,9×S,S×b,b×E,￡×ZZxI + 点·I ,L×S,S×E,E×I 01x66+66xL6+…+元 十 乙乙 点10I 0S×8t 8×9.9×b,b×Z 十…十 十 点16 9S乙, 0E0z,乙I g +0 6 +- “熹1“8 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.简便计算. 1+2+3456 1×22×44×77×1111×1616×22 13.计算 1 4×5×65×6×76×7×87×8×9 98×99×100 14.计算 1+1+1 1 1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+...+50 15.计算 第13页共18页 2+2+2+2+1 12×1414×1616×1818×2020 16.计算 1+1+1+1+1 1×55×99×1313×1717×21 17.计算. 1 1 1988×19891989×19901990×19911991 18.1 11 1×3×53×5×75×7×92001×2003×2005 19. (54+4)×94+4×134+4×…×494+4 3+4×74+4×114+4×…×474+4】 第14页共18页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11+1 20. 1 +1+21+2+3+…++2+3+…+100 21.计算： 。1 .1 22.1+2222+32 ,182+192,192+202 1×22×3 .十 18×1919×20 23.简便计算。 1,1,1,1,1 1.3.7.15.31 26122030 2481632 第15页共18页 24.脱式计算。（能简算的要简算） (1)12.45+3.78+7.55+6.22 (3) 1113,1211 (4)1+1 79257925 1×44×77×1061×64 25.神机妙算。 1)83713}-295)1 2)*39+ 4*25+2x3 4 (3) 2016,2016,2016,2016,2016 1×2 2×33×44×55×6 2018,1 (4)2018÷2018 20192020 6片品+0最+号 26.计算。 第16页共18页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 333 0.125+ (1) 587 12.1× 11 e485+-6+615x3-5-175x 111 1 (3) 十·十 2×44×66×848×50 (4)57.6×8+28.8×184-14.4×80+12 5 （5)(2+4+62++100）-+32+5+…+9g） 1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1 27.1+32+5 *71 9+11 2*13 *171 6+151 19、1 612203042567290110 28.计算下面各题. (1)2.89×6.37+0.137×28.9+289×0.0226; 2)+22+3+4+5+6 1 11 481632064 3) 2011+2012×2010 2011×2012-1 第17页共18页 a5号-18片u5+引 1 3 8 (5) 十·……十 1×21×2×31×2×3×41×2×3×…×9 (答案写成最简形式即可) 第18页共18页