小升初奥数培优讲义：估计与估算-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦估计与估算专题，旨在帮助学生掌握凑整、放缩、基准数等七大核心方法，通过知识梳理、例题精讲、跟踪训练和真题演练四个环节，系统覆盖整数小数估算、分数放缩、生活应用等高频题型。 亮点在于融合数学核心素养，如用基准数批量求和培养数感，分数放缩区间估算发展推理意识，设计“标准解题四步法”和专题口诀辅助理解。通过进一去尾应用题、极端最值估算等实例，提升学生灵活推理与问题解决能力，助力教师精准把握小升初估算考点，提高复习效率。

小升初奥数培优讲义：估计与估算 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 估计与估算是小升初奥数最具思维价值的特色专题，跳出了传统精准计算的固化思维，是从“死板计算”到“灵活推理”的重要转折点。相比于机械加减乘除，估算更考验同学们的数感、观察力和逻辑判断能力，也是名校分班考、奥数竞赛中区分普通学生和培优学生的核心考点。 本节课我们系统掌握了小升初全部估算核心方法：基础凑整、四舍五入、进一去尾、基准数求和、位数判断、分数放缩、极端最值估算，覆盖了基础计算、小数分数、生活应用、压轴推理全梯度题型，吃透了区间锁定、误差控制、极端推理的奥数核心思维，精准规避各类估算易错陷阱。 估算的本质不是“算不准”，而是用最简的方式，锁定最准的范围。在小升初考试中，很多复杂大题无需精准计算，通过估算即可快速秒杀答案、排除错误选项、锁定取值区间。希望同学们牢记估算口诀，灵活运用七大解题方法，摒弃盲目硬算的习惯，培养观察规律、合理推理、化繁为简的奥数思维。扎实掌握本专题，既能快速提升计算速度与准确率，又能为后续数论、最值、综合推理题型筑牢思维根基，助力小升初冲刺高分、稳进名校！ 知识梳理 一、专题定义与考情分析 估计与估算是小升初奥数高频必考、分班考重点、竞赛常考的特色计算专题，区别于精准计算，核心是不求出精确结果，通过合理处理数据，快速锁定算式结果的取值范围、近似值、整数部分、最值区间，是奥数核心巧算思维的重要分支。 校内数学仅简单学习四舍五入取近似值，奥数中的估算题型灵活多变、实用性极强，广泛应用于复杂四则运算、分数比较、结果范围判定、生活实际问题、压轴区间推理等题型。该专题不追求死算硬算，重点考察学生的数感、数据分析能力、逻辑推理能力，是区分普通计算和奥数思维的关键考点。 小升初高频考查题型：整数小数凑整估算、基准数批量估算、乘除结果位数估算、末尾0个数估算、分数放缩区间估算、进一去尾实际应用、复杂混合运算整数部分求解、最值极端估算。 专题核心本质：合理放缩、就近凑整、锁定区间、快速判值，用简单近似运算替代复杂精准运算，实现化繁为简。 二、核心基础概念 1. 估算：根据算式数据特点，采用凑整、取舍、放缩等方法，对计算结果做近似处理，快速得到接近精确值的结果或锁定结果范围。 2. 估计：无需计算，通过观察、对比、规律判断，直接推理结果的大小、范围、位数、整数部分等特征。 3. 核心原则：估算的关键是误差最小、取值合理、范围精准，所有放缩、凑整必须保证不改变结果的核心特征（整数部分、位数、最值）。 三、七大必考估算方法（全覆盖、必掌握） 1. 凑整估算法（最基础、最高频） 将算式中接近整十、整百、整千、整一的数，就近看成整数参与计算，适用于整数、小数加减乘除常规估算。分为：凑大、凑小、就近凑整。 示例：，。 2. 四舍五入估算法 保留指定数位，尾数小于5舍去、大于等于5进1，适用于需要规范近似值的题型，是校内基础方法，奥数中多用于小数、分数近似取值。 3. 进一法与去尾法（应用题专属） 进一法：无论尾数是几，全部向前进1，用于需要完整单位的场景（装桶、租车、装箱）； 去尾法：无论尾数是几，全部舍去，用于无法凑整单位的场景（做衣服、买物品）。 4. 基准数估算法（批量求和秒杀） 多个相近数字求和时，选取一个整数作为基准数，将所有数统一转化为“基准数±差值”，批量估算总和，适用于多个相近大数、小数求和题型，大幅简化计算。 5. 位数估算法（结果特征判断） 无需计算结果，通过因数位数、末尾数字，判断乘积/商的总位数、首位数字、末尾0的个数，是奥数填空、选择秒杀技巧。 6. 放缩估算法（压轴核心） 对算式数据进行适度放大或缩小，求出结果的最大值区间、最小值区间，精准锁定结果范围，多用于分数混合运算、求整数部分、复杂算式估值。 核心逻辑：整体放大结果偏大，整体缩小结果偏小，真实值介于最值之间。 7. 极端估算法（最值题型专属） 通过假设极端情况（最大、最小、最多、最少），推理结果的极限值，适用于最值判断、取值范围、可能性推理题型。 四、核心解题公式与规律 1. 基准数求和估算公式：总和估算值=基准数×个数+总差值 2. 乘积位数规律：m位数×n位数，乘积位数为或位 3. 末尾0个数规律：乘积末尾0的个数由因数中2和5的对数决定，估算时可快速统计配对数量 4. 放缩区间规律：统一放大得上限，统一缩小得下限，真实值∈[下限,上限] 五、高频易错点汇总 1. 凑整估算时随意放大缩小，误差过大，导致结果区间错误； 2. 应用题混淆进一法和去尾法，场景判断失误； 3. 放缩估算时部分放大、部分缩小，区间判定失效； 4. 多个相近数求和，不会使用基准数，强行硬算出错； 5. 位数估算规律记忆混乱，误判乘积、商的位数； 6. 求整数部分时，放缩范围过大，无法锁定唯一整数。 六、标准解题四步法 第一步：判题型：区分常规估算、区间估算、应用题估算、最值估算； 第二步：选方法：根据数据特征匹配凑整、基准、放缩、极端法； 第三步：定区间：合理取舍数据，锁定结果近似值或取值范围； 第四步：验特征：验证结果位数、整数部分、场景合理性，规避误差。 七、专题解题口诀 估算不用硬计算，凑整取舍最简便； 相近数找基准数，批量求和省时间； 放缩上下定区间，位数判断有规沿； 应用题分进脱去，合理估值得满分。 例题讲解 【典型例题1】基础凑整估算（加减混合） 题目：估算 的近似值。 【分析】 基础入门题型，算式中所有数字均接近整千、整百数，采用就近凑整法，将复杂数字转化为整数快速估算，无需精准计算。 【详解】 凑整取值：，，， 原式 【答案】 近似值为2400 【跟踪训练1】 题目：估算 【分析】 数字均为临近整数的数，就近凑整简化运算，快速求近似值。 【详解】 原式 【答案】 1800 【跟踪训练2】 题目：估算 【分析】 运用凑整估算法，简化大数加减运算，保证估算误差最小。 【详解】 原式 【答案】 2600 【典型例题2】乘除凑整估算（小数高频） 题目：估算 的近似值。 【分析】 小数乘除估算核心为就近凑整，将接近整数的小数化为整数计算，规避小数复杂运算，是小升初计算高频题型。 【详解】 凑整取值：，， 原式 【答案】 近似值为12 【跟踪训练1】 题目：估算 【分析】 小数就近凑整为整数，简化乘除混合估算，保证结果精准。 【详解】 原式 【答案】 8 【跟踪训练2】 题目：估算 【分析】 两个小数均接近整数，凑整后快速口算得出近似值。 【详解】 原式 【答案】 20 【典型例题3】基准数估算法（批量求和秒杀） 题目：估算 的总和。 【分析】 本题所有数字均围绕100上下浮动，适合用基准数估算法。选取100为基准数，统一转化为基准数加减差值，批量估算，比逐项计算更高效。 【详解】 选取基准数：100，共6个数 总基准值： 差值汇总： 总和估算值： 【答案】 600 【跟踪训练1】 题目：估算 【分析】 数字均接近200，以200为基准数，快速批量求和估算。 【详解】 基准数200，共5个数，总基准值 差值： 总和 【答案】 1003 【跟踪训练2】 题目：估算 【分析】 围绕500浮动的一组数，用基准数法简化批量求和运算。 【详解】 基准数500，共6个数，总基准值 差值： 总和 【答案】 3000 【典型例题4】位数估算（结果特征判断） 题目：不计算，判断 的乘积是几位数？ 【分析】 考查位数估算法，无需精准计算，通过高位凑整估算结果范围，进而判断乘积位数，是奥数秒杀题型。 【详解】 最小估算：（五位数） 最大估算：（五位数） 结果介于14400~16250之间，为五位数。 【答案】 五位数 【跟踪训练1】 题目：不计算，判断 的乘积位数。 【分析】 通过上下凑整锁定结果区间，快速判定乘积位数。 【详解】 ， 结果介于7200~7920之间，为四位数。 【答案】 四位数 【跟踪训练2】 题目：不计算，判断 的乘积位数。 【分析】 高位凑整估算区间，根据区间范围判定结果位数。 【详解】 ，结果最小值已为五位数，故乘积为五位数。 【答案】 五位数 【典型例题5】分数放缩估算（拔高压轴） 题目：求 的整数部分。 【分析】 小升初拔高压轴题型，采用放缩法。统一放大所有分数得到最大值，统一缩小得到最小值，锁定S的取值范围，进而确定整数部分。算式共10个分数。 【详解】 ① 放大取值（全部看作最大数）： ② 缩小取值（全部看作最小数）： 可得：，因此S的整数部分为0。 【答案】 整数部分为0 【跟踪训练1】 题目：求 的整数部分。 【分析】 共10个分数，用整体放缩法锁定区间，判定整数部分。 【详解】 ， ，整数部分为0。 【答案】 0 【跟踪训练2】 题目：估算 的取值范围。 【分析】 共50个分数，每个分数均小于1、大于0.98，整体放缩锁定区间。 【详解】 最大值：，最小值： 取值范围： 【答案】 结果介于49和50之间 【典型例题6】生活实际估算（进一去尾应用） 题目：一个油桶最多装4.5千克油，现有50千克油，至少需要多少个油桶？ 【分析】 经典进一法估算应用题，油桶必须为完整整数，剩余油无论多少都需要额外1个桶，必须用进一法，不能四舍五入、去尾。 【详解】 根据进一法，需要12个油桶。 【答案】 12个 【跟踪训练1】 题目：每套衣服用布2.2米，30米布最多可以做多少套衣服？ 【分析】 去尾法专属题型，不足一套的布料无法做成完整衣服，直接舍去尾数。 【详解】 根据去尾法，最多做13套。 【答案】 13套 【跟踪训练2】 题目：一辆车最多坐6人，40人至少需要多少辆车？ 【分析】 进一法实际应用，剩余人数必须额外安排车辆，向上取整。 【详解】 进一法取值，需要7辆车。 【答案】 7辆 【典型例题7】综合压轴：极端与区间估算 题目：两个数的和是100，两个数均为大于0的整数，求两个数乘积的最大值和最小值。 【分析】 极端估算法压轴题型，核心规律：和一定时，两数越接近，乘积越大；两数差距越大，乘积越小。通过极端取值估算最值。 【详解】 ① 最大值：两数最接近， ② 最小值：两数差距最大， 【答案】 最大值2500，最小值99 【跟踪训练1】 题目：两个自然数和为80，求乘积的最大、最小值。 【分析】 运用和定积变规律，极端取值估算最值。 【详解】 最大：，最小： 【答案】 最大值1600，最小值79 【跟踪训练2】 题目：估算 的大致范围。 【分析】 通过放缩凑整，锁定大数乘积的取值区间，无需精准计算。 【详解】 下限： 上限： 取值范围：672000~712500 【答案】 结果介于672000和712500之间 高频真题 1．若算式（□＋121×3.125）÷121的值约等于3.38，则□中应填入的自然数是( )。 【答案】31 【分析】先利用乘法分配律将算式计算到最简形式，然后将“□”当做未知数解方程，得出“□”的大约值并取整，再验算这个整数值是否符合题意。 【详解】（□＋121×3.125）÷121 ＝（□＋121×3.125）× ＝□×＋121×3.125× ＝＋3.125 令＋3.125＝3.38 ＝3.38－3.125 ＝0.255 □＝0.255×121 □＝30.855≈31 将31代入“＋3.125”中： ＋3.125≈0.256＋3.125＝3.381≈3.38 符合题意，所以□中应填入的自然数是31。 2．一个整数“四舍五入”为以“万”为单位的数后是2017万，这个整数最大是________。 【答案】 20174999 【分析】四舍五入到万位时，看千位上的数字：如果千位上的数字小于5，则舍去尾数；如果千位上的数字大于或等于5，则向万位进1。 四舍五入后是2017万（即20170000），说明原数在四舍五入前可能被进1或舍去。要找到最大整数，需确保四舍五入后仍为2017万，且原数尽可能大，因此千位上的数字必须小于5（最大为4），后面各位数字最大为9。 【详解】四舍五入后是2017万，即20170000。原数最大时，千位上的数字应小于5，且最大为4，千位及以下各位数字最大为9。则这个整数最大是20174999。 3．希希爸爸2016年的年收入为197605元，大约是________万元。（省略万位后的尾数） 【答案】20 【分析】本题的关键是掌握“省略万位后的尾数求近似数”的规则：找到万位，看其下一位（千位）的数字，若千位数字大于或等于5则向万位进1，若千位数字＜5则舍去万位后的尾数，最后加上“万”字。 【详解】① 确定数位：197605从右往左数，万位是9，千位是7； ② 四舍五入判断：千位数字7＞5，向万位进1，9＋1＝10，满十再向十万位进1，得到20； ③ 添单位：结果为20万。 所以大约是20万元。 4．一次某校组织学生参加“枫叶新希望杯”夏令营。如果先乘车，每个人都要有座位，这样至少需要60座的汽车4辆；而后乘船，至少需要定员为70人的船3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校共有______人参加夏令营。 【答案】196 【分析】每个人都要有座位，这样至少需要60座的汽车4辆，也就是车在3辆到4辆，人数再180人到240人之间； 乘船至少需要定员为70人的船3条，船也就是在2条到3条，人数再140人到210人之间； 则夏令营的人数在180到210之间，最后分的组数跟每组的人数恰好相等，则参加夏令营的人数是一个平方数，这之间的平方数是196。 【详解】设这个学校参加夏令营的人数为x人。 则60×3＜x＜60×4，70×2＜x＜70×3 即180＜x＜210， 由题意可知，参加夏令营的人数是一个平方数 而181～210之间只有196是平方数 则这个学校共有196人参加夏令营。 5．西安是中国四大古都之一，古称长安、镐京，是陕西省会、副省级市、丝绸之路起点城市、“一带一路”核心区，国家重要的科研、教育、工业基地。西安总面积10752平方公里，2017年末户籍人口905.68万。那么西安的平均人口密度为_____人/平方公里。（结果保留整数） 【答案】842 【分析】西安的平均人口密度＝西安户籍人口数量÷西安总面积，先将905.68万人改写成9056800人，然后除以西安总面积即可求解，结果保留整数，我们计算到十分位，然后根据十分位上的数据进行四舍五入。 【详解】905.68万＝9056800 9056800÷10752≈842（人/平方公里） 因此西安的平均人口密度842为人/平方公里。 6．一个人一天节约1粒米，全中国人一天大约可节约25680千克大米。如果按平均每人每月用米16千克计算，这些大米，大约可供15个人用( )年又( )个月。 【答案】 8 11 【分析】根据题意，平均每人每月用米16千克，用乘法得出15人一月用多少粮食，一年＝12个月，则再乘以12可计算出15人一年食用多少大米，最后用25680除以15人一年食用的大米得到的商就是食用的年数，得到的余数就是剩下的大米数，再用剩下的大米除以15人每月用的大米就是又可以用的月数，列式解答即可得到答案。 【详解】（千克） （千克） （年）……2640（千克） （个） 这些大米大约可供15个人用8年又11个月。 7．估算时，可把219看作( )，38看作( )，估算的结果是( )。 【答案】 220 40 8800 【分析】把219四舍五入法保留整十数是220，38四舍五入法整十数是40，再把两个近似数相乘即得到所求的结果。 【详解】219≈220 38≈40 220×40＝8800 估算时，可把219看作220，38看作40，估算的结果是8800。 8．王老师打一份稿件，4分钟打了236个字，她每分钟大约打( )个字。 【答案】60 【分析】根据王老师4分钟打了236个字，用王老师打字的总数÷4分钟，再把236看作240，即可求出王老师每分钟大约打的字数。 【详解】 （个） 则她每分钟大约打60个字。 9．“宝安某工厂有员工13209人，每月人均工资约为10472元”，这段话里，( )是精确数，( )是近似数。 【答案】 13209 10472 【分析】根据题意和生活经验可知，人数是精确的，工资每个人会有所不同，所以是近似数。也可以根据“约”这个字确定近似数。 【详解】“宝安某工厂有员工13209人，每月人均工资约为10472元”， 则这段话里，13209是精确数，10472是近似数。 10．小亮走一步平均长度是米，照这样行走，他从教室门口走到阅览室门口，行了105步。估算一下，这个教室到阅览室大约有( )米。 【答案】58 【分析】小亮从教室门口走到阅览室门口，行了105步，一步的平均长度是米，所以小亮从教室门口走到阅览室的距离用乘法计算，即平均每步的长度×步数＝小亮从教室门口走到阅览室的距离，题中105接近100可以看做100进行估算。 【详解】（米）； 则这个教室到阅览室大约有58米。 11．小张1996年花5000元购得一种股票，这种股票每年可增值。如果小张一直持有这种股票，最早在( )年这些股票得总价值会超过10000元。 【答案】2000 【分析】小张1996年花5000元购得一种股票，这种股票每年可增值，也就是后一年比前一年多，以前一年为单位“1”，则后一年是前一年的，即1997年股票的总价值是，1998年，股票的总价值是，这些股票得总价值会超过10000元。即求解多少个相乘会超过2. 【详解】， ， ， ， ， 1996＋4＝2000（年） 4年后即2000年这些股票得总价值会超过10000元。 二、解答题 12．将自然数按如下顺序排列： 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 … 4 9 13 … 10 12 … 11 … 在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列． 问：数字168排在第几行第几列？ 【答案】第15行第4列 【详解】略 13．学校组织若干人参加夏令营．先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆．而后乘船，需要定员为70人的船至少3条．到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等．这个学校参加夏令营的人有多少？ 【答案】196人 【分析】解答此题的关键是估计人数的范围：从乘车来看，1≤第四辆车人数≤60，从乘船来看，1≤第三条船人数≤70，所以，181≤夏令营的人数≤210． 【详解】由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之间． 由“需要定员为70人的船至少3条”可知，参加夏令营人数在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之间． 这样，参加夏令营的人数在181～210人之间． 又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数．而181～210之间只有196是平方数，所以参加夏令营的人数是196． 14．100粒大米约有2.5克重，照这样计算，1亿粒大米大约有多重？我国有13亿人口，如果每人每天节省1粒米，那么全国一天下来大约能节省多少克大米？如果每人每天吃300克大米，这些节省下来的大米可供一个人吃多少天？大约合多少年呢？ 【答案】2500000克；108333天；297年 【分析】100粒大米约有2.5克重，将100粒米看成一个整体，用除法找出1亿里面有100万个100，则1亿粒大米的重量就是100万个2.5克，也就是将2.5的小数点向右移动6位； 13亿人口，如果每人每天节省1粒米，就是13亿粒，13亿里面有13个1亿，用1亿粒的重量乘13即可； 用前亿米的重量除以300，可求出这些节省下来的大米可供一个人吃多少天，最后根据1年365天，折合成年即可。 【详解】 （克） （克） （天） （年） 答：1亿粒大米大约有2500000克重，我国有13亿人口，如果每人每天节省1粒米，那么全国一天下来大约能节省32500000克大米，如果每人每天吃300克大米，这些节省下来的大米可供一个人吃108333天，大约合297年。 15．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13．从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？ 【答案】21个 【详解】根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是 1×1=1，最大值是13×13=169，并且1与169都不能被6整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被6整除的最小值是1×6=6，最大值是13×12=26×6，而介于1×6与26×6之间的能被6整除的数并非每个都是2张卡片上的数的积，如25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6这五个就不是． 所以，这些积中能被6整除的数共有26-5=21（个）． 【点睛】解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就错误地下结论是26个． 16．下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 【答案】53 【详解】每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中的数字之和最多是18．现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1．这样便可断定，处于百位的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1． 同样理由，处于十位的两个数字之和也是18，而且两个个位数字相加后进1．因此，处于个位的两个数字之和必是17． 所以，6个方框中数字之和为18＋18＋17=53． 17．七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？ 【答案】7 【分析】可以考虑利用估算确定出取值范围再进行讨论．也可由能被11整除的数的特征入手解决． 【详解】因为1750620÷11＝159147……3，1759629÷11＝159966……3，所以这个七位数是11的倍数的最小值是1750628，最大值是1759626． 又因为1001=7×11×13，由数的整除性质，可知1750628加上若干个1001，或1759626减去若干个1001后，其值也是11的倍数．这样1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍数． 由上述讨论可知七位数175□62□的末位数字是7时，不管其千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数． 18．有30个数：，，，…，，如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其和等于多少？ 【答案】49 【分析】通过分别求30个数再求和是不明智的，考虑到这三十个数按从小到大的顺序排列的，而1<1.64<2，，因此这三十个数均介于1与3之间，它们的整数部分只能取1或2，所以只要确定“分界点”． 【详解】因为，所以的整数部分是1，的整数部分是2．这样，前十一个数的整数部分是1，后十九个数的整数部分是2．因此这些整数相加其和是1×11+2×19=11+38=49． 19．下列是经过四舍五入得到的一个式子：，其中A、B、C分别代表三个一位的自然数，求A、B、C代表的三个自然数分别是多少？ 【答案】A：3   B：5   C：8 【详解】由已知，显然有，并且A、B、C中不含2． 因为，所以超出范围． 再由，所以A、B、C中有一个数是3或4，不妨设A=3，则有 经检验此时B=5，C=8． 对A=4，则有 经检验此时无符合题意的自然数． 综上所述，这三个自然数分别是3、5、8． 20．李军读一本书，如果每天读80页，需4天多读完，如果每天读90页，需3天多读完．现在，为使每天读的页数与读完的天数相等，则每天应该读多少页？ 【答案】18页 【详解】若每天应读x页，则读完后的天数也应为x，根据题意得 即 （1） 同时有 （2） 由（1）与（2）可以得到的取值范围 再由，， 只有x=18符合题意，故每天应该读18页． 21．有一个算式，，其中A、B、C均为自然数，左式四舍五入得到右边的近似值1.16．那么A、B、C分别代表哪几个自然数？ 【答案】A=1    B=2    C=3 【分析】本题可以采用估值的方法先确定左边算式的精确值所在范围，并且1.16是四舍五入得到的，因此左边的值一定介于1.155与1.164之间．从而可以确定一个与A、B、C有关的等式，再分析讨论A、B、C的具体数值，这一步骤则通过A、B、C是自然数来求得． 【详解】解法一：由已知得 由于A、B、C是整数，所以35A+21B+15C也是整数，因此35A+21B+15C=122． 首先确定A的取值范围，容易看出A最大只能取3．否则若A=4，则35×4=140>122．这说明A=1，2，3． （1）当A=1时，21B+15C=122-35=87， 解得B=2，C=3． （2）当A=2或3时，经试验此时方程无自然数解． 从而A=1，B=2，C=3 解法二：因为 所以 又0.676<1.16<1.352，所以至少包括一个． 1.16-0.676=0.484，而，，，所以0.484中至少包含一个． 如果用，，则误差较大，应舍去．可由组成，从而A、B、C这三个数依次为1、2、3． 【点睛】易错点在于使用“放大缩小法”过程中，不能做到“放缩”适度．如果取的位数少了，范围太大，无法确定；如果取的位数多了，计算量太大，繁琐且没有必要．要想做到“放缩”适度，我们需在实践中不断积累解题经验．只要逐步试探，逐步缩小范围，才可以得到符合题意的近似值． 22．有7个自然数，其平均值约等于30.27，后来发现这个数小数点最后一位数是错的，问这7个自然数的平均值应该约为多少？ 【答案】30.27 【分析】由于 从而有 已知这7个数均为自然数，可得的结果也应为自然数,据此可求出这7个自然数的平均值． 【详解】解：设这7个自然数的和为M，则据题意有 因为M表示的是7个自然数的和，因此M是整数，所以M=212． 因此这7个数的平均值应为 答：这7个自然数的平均值应该约为30.27． 23．有8个数，是其中的六个，如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是，那么按从大到小排列时，第四个数是哪一个？ 【答案】 【分析】循环小数化分数． (1)分数小数的大小比较首先要统一形式 (2)两个未写出的数要确定它们的位置 【详解】 显然 即 因为8个数由小到大排第4个是 所以未写出的两个数必定小于所以从大到小第4 个是 24．一个停车场2 小时以内（包括2 小时）收费5 元，停车超过2 小时，超过的部分按每小时2 元收费（不满1 小时按1小时计算），小明的爸爸开车离开这个停车场时缴费9 元，小明爸爸的车在这个停车场最多停了几小时？ 【答案】4小时 【详解】9 - 5 = 4（元） 4÷2 = 2（时） 2 + 2 = 4（时） 答：小明爸爸的车在这个停车场最多停了4 小时． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：估计与估算 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 估计与估算是小升初奥数最具思维价值的特色专题，跳出了传统精准计算的固化思维，是从“死板计算”到“灵活推理”的重要转折点。相比于机械加减乘除，估算更考验同学们的数感、观察力和逻辑判断能力，也是名校分班考、奥数竞赛中区分普通学生和培优学生的核心考点。 本节课我们系统掌握了小升初全部估算核心方法：基础凑整、四舍五入、进一去尾、基准数求和、位数判断、分数放缩、极端最值估算，覆盖了基础计算、小数分数、生活应用、压轴推理全梯度题型，吃透了区间锁定、误差控制、极端推理的奥数核心思维，精准规避各类估算易错陷阱。 估算的本质不是“算不准”，而是用最简的方式，锁定最准的范围。在小升初考试中，很多复杂大题无需精准计算，通过估算即可快速秒杀答案、排除错误选项、锁定取值区间。希望同学们牢记估算口诀，灵活运用七大解题方法，摒弃盲目硬算的习惯，培养观察规律、合理推理、化繁为简的奥数思维。扎实掌握本专题，既能快速提升计算速度与准确率，又能为后续数论、最值、综合推理题型筑牢思维根基，助力小升初冲刺高分、稳进名校！ 知识梳理 一、专题定义与考情分析 估计与估算是小升初奥数高频必考、分班考重点、竞赛常考的特色计算专题，区别于精准计算，核心是不求出精确结果，通过合理处理数据，快速锁定算式结果的取值范围、近似值、整数部分、最值区间，是奥数核心巧算思维的重要分支。 校内数学仅简单学习四舍五入取近似值，奥数中的估算题型灵活多变、实用性极强，广泛应用于复杂四则运算、分数比较、结果范围判定、生活实际问题、压轴区间推理等题型。该专题不追求死算硬算，重点考察学生的数感、数据分析能力、逻辑推理能力，是区分普通计算和奥数思维的关键考点。 小升初高频考查题型：整数小数凑整估算、基准数批量估算、乘除结果位数估算、末尾0个数估算、分数放缩区间估算、进一去尾实际应用、复杂混合运算整数部分求解、最值极端估算。 专题核心本质：合理放缩、就近凑整、锁定区间、快速判值，用简单近似运算替代复杂精准运算，实现化繁为简。 二、核心基础概念 1. 估算：根据算式数据特点，采用凑整、取舍、放缩等方法，对计算结果做近似处理，快速得到接近精确值的结果或锁定结果范围。 2. 估计：无需计算，通过观察、对比、规律判断，直接推理结果的大小、范围、位数、整数部分等特征。 3. 核心原则：估算的关键是误差最小、取值合理、范围精准，所有放缩、凑整必须保证不改变结果的核心特征（整数部分、位数、最值）。 三、七大必考估算方法（全覆盖、必掌握） 1. 凑整估算法（最基础、最高频） 将算式中接近整十、整百、整千、整一的数，就近看成整数参与计算，适用于整数、小数加减乘除常规估算。分为：凑大、凑小、就近凑整。 示例：，。 2. 四舍五入估算法 保留指定数位，尾数小于5舍去、大于等于5进1，适用于需要规范近似值的题型，是校内基础方法，奥数中多用于小数、分数近似取值。 3. 进一法与去尾法（应用题专属） 进一法：无论尾数是几，全部向前进1，用于需要完整单位的场景（装桶、租车、装箱）； 去尾法：无论尾数是几，全部舍去，用于无法凑整单位的场景（做衣服、买物品）。 4. 基准数估算法（批量求和秒杀） 多个相近数字求和时，选取一个整数作为基准数，将所有数统一转化为“基准数±差值”，批量估算总和，适用于多个相近大数、小数求和题型，大幅简化计算。 5. 位数估算法（结果特征判断） 无需计算结果，通过因数位数、末尾数字，判断乘积/商的总位数、首位数字、末尾0的个数，是奥数填空、选择秒杀技巧。 6. 放缩估算法（压轴核心） 对算式数据进行适度放大或缩小，求出结果的最大值区间、最小值区间，精准锁定结果范围，多用于分数混合运算、求整数部分、复杂算式估值。 核心逻辑：整体放大结果偏大，整体缩小结果偏小，真实值介于最值之间。 7. 极端估算法（最值题型专属） 通过假设极端情况（最大、最小、最多、最少），推理结果的极限值，适用于最值判断、取值范围、可能性推理题型。 四、核心解题公式与规律 1. 基准数求和估算公式：总和估算值=基准数×个数+总差值 2. 乘积位数规律：m位数×n位数，乘积位数为或位 3. 末尾0个数规律：乘积末尾0的个数由因数中2和5的对数决定，估算时可快速统计配对数量 4. 放缩区间规律：统一放大得上限，统一缩小得下限，真实值∈[下限,上限] 五、高频易错点汇总 1. 凑整估算时随意放大缩小，误差过大，导致结果区间错误； 2. 应用题混淆进一法和去尾法，场景判断失误； 3. 放缩估算时部分放大、部分缩小，区间判定失效； 4. 多个相近数求和，不会使用基准数，强行硬算出错； 5. 位数估算规律记忆混乱，误判乘积、商的位数； 6. 求整数部分时，放缩范围过大，无法锁定唯一整数。 六、标准解题四步法 第一步：判题型：区分常规估算、区间估算、应用题估算、最值估算； 第二步：选方法：根据数据特征匹配凑整、基准、放缩、极端法； 第三步：定区间：合理取舍数据，锁定结果近似值或取值范围； 第四步：验特征：验证结果位数、整数部分、场景合理性，规避误差。 七、专题解题口诀 估算不用硬计算，凑整取舍最简便； 相近数找基准数，批量求和省时间； 放缩上下定区间，位数判断有规沿； 应用题分进脱去，合理估值得满分。 例题讲解 【典型例题1】基础凑整估算（加减混合） 题目：估算 的近似值。 【分析】 基础入门题型，算式中所有数字均接近整千、整百数，采用就近凑整法，将复杂数字转化为整数快速估算，无需精准计算。 【详解】 凑整取值：，，， 原式 【答案】 近似值为2400 【跟踪训练1】 题目：估算 【跟踪训练2】 题目：估算 【典型例题2】乘除凑整估算（小数高频） 题目：估算 的近似值。 【分析】 小数乘除估算核心为就近凑整，将接近整数的小数化为整数计算，规避小数复杂运算，是小升初计算高频题型。 【详解】 凑整取值：，， 原式 【答案】 近似值为12 【跟踪训练1】 题目：估算 【跟踪训练2】 题目：估算 【典型例题3】基准数估算法（批量求和秒杀） 题目：估算 的总和。 【分析】 本题所有数字均围绕100上下浮动，适合用基准数估算法。选取100为基准数，统一转化为基准数加减差值，批量估算，比逐项计算更高效。 【详解】 选取基准数：100，共6个数 总基准值： 差值汇总： 总和估算值： 【答案】 600 【跟踪训练1】 题目：估算 【跟踪训练2】 题目：估算 【典型例题4】位数估算（结果特征判断） 题目：不计算，判断 的乘积是几位数？ 【分析】 考查位数估算法，无需精准计算，通过高位凑整估算结果范围，进而判断乘积位数，是奥数秒杀题型。 【详解】 最小估算：（五位数） 最大估算：（五位数） 结果介于14400~16250之间，为五位数。 【答案】 五位数 【跟踪训练1】 题目：不计算，判断 的乘积位数。 【答案】 四位数 【跟踪训练2】 题目：不计算，判断 的乘积位数。 【典型例题5】分数放缩估算（拔高压轴） 题目：求 的整数部分。 【分析】 小升初拔高压轴题型，采用放缩法。统一放大所有分数得到最大值，统一缩小得到最小值，锁定S的取值范围，进而确定整数部分。算式共10个分数。 【详解】 ① 放大取值（全部看作最大数）： ② 缩小取值（全部看作最小数）： 可得：，因此S的整数部分为0。 【答案】 整数部分为0 【跟踪训练1】 题目：求 的整数部分。 【跟踪训练2】 题目：估算 的取值范围。 【典型例题6】生活实际估算（进一去尾应用） 题目：一个油桶最多装4.5千克油，现有50千克油，至少需要多少个油桶？ 【分析】 经典进一法估算应用题，油桶必须为完整整数，剩余油无论多少都需要额外1个桶，必须用进一法，不能四舍五入、去尾。 【详解】 根据进一法，需要12个油桶。 【答案】 12个 【跟踪训练1】 题目：每套衣服用布2.2米，30米布最多可以做多少套衣服？ 【跟踪训练2】 题目：一辆车最多坐6人，40人至少需要多少辆车？ 【典型例题7】综合压轴：极端与区间估算 题目：两个数的和是100，两个数均为大于0的整数，求两个数乘积的最大值和最小值。 【分析】 极端估算法压轴题型，核心规律：和一定时，两数越接近，乘积越大；两数差距越大，乘积越小。通过极端取值估算最值。 【详解】 ① 最大值：两数最接近， ② 最小值：两数差距最大， 【答案】 最大值2500，最小值99 【跟踪训练1】 题目：两个自然数和为80，求乘积的最大、最小值。 【跟踪训练2】 题目：估算 的大致范围。 高频真题 1．若算式（□＋121×3.125）÷121的值约等于3.38，则□中应填入的自然数是( )。 2．一个整数“四舍五入”为以“万”为单位的数后是2017万，这个整数最大是________。 3．希希爸爸2016年的年收入为197605元，大约是________万元。（省略万位后的尾数） 4．一次某校组织学生参加“枫叶新希望杯”夏令营。如果先乘车，每个人都要有座位，这样至少需要60座的汽车4辆；而后乘船，至少需要定员为70人的船3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校共有______人参加夏令营。 5．西安是中国四大古都之一，古称长安、镐京，是陕西省会、副省级市、丝绸之路起点城市、“一带一路”核心区，国家重要的科研、教育、工业基地。西安总面积10752平方公里，2017年末户籍人口905.68万。那么西安的平均人口密度为_____人/平方公里。（结果保留整数） 6．一个人一天节约1粒米，全中国人一天大约可节约25680千克大米。如果按平均每人每月用米16千克计算，这些大米，大约可供15个人用( )年又( )个月。 7．估算时，可把219看作( )，38看作( )，估算的结果是( )。 8．王老师打一份稿件，4分钟打了236个字，她每分钟大约打( )个字。 9．“宝安某工厂有员工13209人，每月人均工资约为10472元”，这段话里，( )是精确数，( )是近似数。 10．小亮走一步平均长度是米，照这样行走，他从教室门口走到阅览室门口，行了105步。估算一下，这个教室到阅览室大约有( )米。 11．小张1996年花5000元购得一种股票，这种股票每年可增值。如果小张一直持有这种股票，最早在( )年这些股票得总价值会超过10000元。 二、解答题 12．将自然数按如下顺序排列： 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 … 4 9 13 … 10 12 … 11 … 在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列． 问：数字168排在第几行第几列？ 13．学校组织若干人参加夏令营．先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆．而后乘船，需要定员为70人的船至少3条．到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等．这个学校参加夏令营的人有多少？ 14．100粒大米约有2.5克重，照这样计算，1亿粒大米大约有多重？我国有13亿人口，如果每人每天节省1粒米，那么全国一天下来大约能节省多少克大米？如果每人每天吃300克大米，这些节省下来的大米可供一个人吃多少天？大约合多少年呢？ 15．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13．从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？ 16．下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 17．七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？ 18．有30个数：，，，…，，如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其和等于多少？ 19．下列是经过四舍五入得到的一个式子：，其中A、B、C分别代表三个一位的自然数，求A、B、C代表的三个自然数分别是多少？ 20．李军读一本书，如果每天读80页，需4天多读完，如果每天读90页，需3天多读完．现在，为使每天读的页数与读完的天数相等，则每天应该读多少页？ 21．有一个算式，，其中A、B、C均为自然数，左式四舍五入得到右边的近似值1.16．那么A、B、C分别代表哪几个自然数？ 22．有7个自然数，其平均值约等于30.27，后来发现这个数小数点最后一位数是错的，问这7个自然数的平均值应该约为多少？ 23．有8个数，是其中的六个，如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是，那么按从大到小排列时，第四个数是哪一个？ 24．一个停车场2 小时以内（包括2 小时）收费5 元，停车超过2 小时，超过的部分按每小时2 元收费（不满1 小时按1小时计算），小明的爸爸开车离开这个停车场时缴费9 元，小明爸爸的车在这个停车场最多停了几小时？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $