小升初奥数培优讲义：高斯求和-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦高斯求和专题，旨在帮助学生掌握等差数列求和的核心公式、解题技巧及实际应用。通过知识梳理构建首项、末项、项数等基础概念，典型例题突破连续自然数、奇偶数列、残缺数列等核心题型，配合跟踪训练巩固四步解题法，高频真题强化实战能力，形成系统复习体系。 亮点在于融合数学抽象与模型意识，如通过高斯童年巧算故事导入配对思想，设计“中项秒杀”专项训练培养运算能力，利用原木堆叠等生活应用题构建数列模型。设置易错点警示卡规避项数漏加1、求和漏除2等问题，不同梯度题型适配分层教学，助力学生高效突破计算模块，教师可依托真题精准把握考情，提升复习针对性。

小升初奥数培优讲义：高斯求和 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 高斯求和是小升初奥数计算体系的基石专题，是所有数列巧算、规律计算、复杂简便运算的核心基础。相比于机械计算，高斯求和的本质是观察规律、转化思维、化繁为简，从高斯童年的巧算故事中，我们学到的不仅是一套计算公式，更是奥数核心的配对思维、整体思维、逆向思维。 本节课我们系统吃透了高斯求和全维度知识：熟练掌握基础配对原理、三大核心公式，攻克了自然数、奇偶数列、残缺数列、递减数列、应用题、分段综合压轴等全梯度题型，精准规避项数漏加1、求和漏除2、奇偶项混用公式等高频陷阱，掌握了常规计算、中项秒杀、整体作差等多种解题技巧，适配小升初所有考情。 高斯求和题型看似简单，却是区分普通计算和奥数思维的分水岭。学好本专题，不仅能快速秒杀各类数列计算题，稳稳拿下计算模块满分，更能为后续等差数列进阶、数论运算、图形规律、复杂应用题学习筑牢根基。希望同学们牢记解题口诀，活用四步解题法，摒弃死板的逐项累加，养成观察规律、巧用方法的奥数思维，在小升初培优冲刺中稳中求进、突破高分，从容应对各类名校考题！ 知识梳理 一、专题定义与考情分析 高斯求和是小升初奥数计算模块核心基础、必考高频专题，也是小学阶段最经典的巧算方法。该专题源自数学家高斯的童年巧算故事，核心是利用首尾配对、和值相等的思维，快速计算有规律的等差数列总和，规避逐项累加的繁琐计算。 校内数学仅简单涉及少量连续自然数求和，奥数中高斯求和题型灵活、覆盖面广，是简便计算、数列求值、规律探究、应用题压轴的基础工具，同时是衔接初高中等差数列求和的前置核心知识，在小升初分班考、择校考、奥数竞赛中必考，属于必须满分的基础培优考点。 本专题核心本质：所有均匀递增/递减的有规律数列，首尾依次配对，每一组的和都相等，通过组数×每组和，快速求出数列总和。 小升初高频考查题型：连续自然数求和、连续奇偶数列求和、残缺截断数列求和、指定区间数列求和、奇数项中项秒杀求和、高斯求和生活应用题、多段混合数列综合求和。 二、高斯求和核心由来 数学家高斯小时候，老师布置计算题：，全班同学逐项累加计算，唯独高斯快速算出答案。他发现：首尾两两配对，，，……整列100个数，可配成50组相等的和，最终快速算出结果：，由此诞生经典的高斯求和法。 核心思维：配对思想，化繁为简、以组代项，是奥数核心巧算思维之一。 三、核心基础概念 1. 适用数列：所有等差数列（均匀增减、相邻两数差值恒定），小学阶段主要包含：连续自然数、连续奇数、连续偶数、固定公差的递增/递减数列。 2.四大核心要素 首项：数列的第一个数；末项：数列的最后一个数； 项数：数列中所有数字的总个数；每组和：首尾配对的固定和值。 四、三大万能核心公式（必背、直接套用） 结合高斯配对原理，总结小学奥数专属三大公式，覆盖所有题型： 1. 高斯求和万能公式（通用所有等差数列） 口诀：首尾相加乘个数，最后除以二 2. 项数求解公式（高频必考） 口诀：差值除以公差，结果再加一 备注：连续自然数公差为1，连续奇偶数列公差为2。 3. 奇数项专属秒杀公式（中项求和） 当数列项数为奇数时，无法全部两两配对，中间剩余1个单独数（中间项） 核心规律：奇数项等差数列，中间项=数列平均数，首尾配对和=2×中间项。 五、四类常见经典高斯求和模型 1. 连续自然数求和：1、2、3、4……n，公差d=1； 2. 连续偶数求和：2、4、6、8……，公差d=2； 3. 连续奇数求和：1、3、5、7……，公差d=2； 4. 固定公差数列求和：3、6、9、12……（公差3）、5、10、15……（公差5）等。 六、高频易错点汇总（避错必看） 1. 忘记求和公式除以2，导致结果翻倍，为最高频错误； 2. 项数计算忘记加1，少算数列首尾项，是易错重灾区； 3. 偶数项、奇数项混淆，盲目使用中项秒杀公式； 4. 非从1开始的残缺数列，错误默认首项为1，直接套用基础公式； 5. 递减数列不会识别，无法找准首项、末项、公差； 6. 混合数列无法拆分，不会分段使用高斯求和计算。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判规律：判断数列是否均匀增减，确定为等差数列，找准公差； 第二步：找四量：确定首项、末项，未知项数先套公式求出总项数； 第三步：选公式：偶数项用通用求和公式，奇数项优先中项秒杀公式； 第四步：算结果：规范计算，记得除以2，简单验算规避错误。 八、专题解题口诀 高斯求和巧配对，首尾相加恒相等； 先求项数勿忘一，求和乘半记心中； 奇数项数找中间，中项乘数速通关； 残段数列分开算，细心稳算得满分。 例题讲解 【典型例题1】基础高斯求和（从1开始连续自然数） 题目：计算 【分析】 基础入门题型，数列是从1开始的连续自然数，公差为1，已知首项、末项、项数，直接套用高斯通用求和公式即可快速计算，无需逐项累加。 【详解】 由题意得：首项=1，末项=50，项数=50 总和 【答案】 1275 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 标准连续自然数求和，直接套用高斯求和公式，规范计算即可。 【详解】 总和 【答案】 820 【跟踪训练2】 题目：计算 【分析】 高斯经典原题，熟练运用配对求和公式，巩固基础方法。 【详解】 总和 【答案】 5050 【典型例题2】残缺数列求和（非从1开始，高频易错） 题目：计算 【分析】 小升初高频易错题型，数列不是从1开始，无法直接默认项数，需要先通过项数公式求出总项数，再代入高斯求和公式计算，核心规避项数估算错误。 【详解】 第一步：求项数，首项=12，末项=60，公差=1 项数 第二步：求和 总和 【答案】 1764 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 残缺自然数数列，先求项数再求和，牢记项数公式加1。 【详解】 项数 总和 【答案】 1330 【跟踪训练2】 题目：计算 【分析】 熟练运用两步解题法，先定项数、再算总和，规避计算失误。 【详解】 项数 总和 【答案】 2610 【典型例题3】连续奇数、偶数专项求和 题目：计算 【分析】 连续偶数等差数列，公差为2，需先通过公差求出总项数，再套用高斯求和公式，区别于自然数公差为1的题型。 【详解】 首项=2，末项=48，公差=2 项数 总和 【答案】 600 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 连续奇数数列，公差为2，先求项数，再用高斯公式求和。 【详解】 项数 总和 【答案】 400 【跟踪训练2】 题目：计算 【分析】 固定公差为6的等差数列，严格套用项数、求和双公式计算。 【详解】 项数 总和 【答案】 468 【典型例题4】奇数项中项秒杀求和（奥数速算技巧） 题目：计算 【分析】 本题数列共7项，为奇数项等差数列，无需通用公式，可使用中项定理秒杀：总和=中间项×项数，大幅简化计算，是奥数快速解题核心技巧。 【详解】 数列共7项，奇数项，中间项为第4项：9 总和 【答案】 63 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 9项奇数数列，找准中间项，套用中项秒杀公式快速求和。 【详解】 中间项为第5项：14 总和 【答案】 126 【跟踪训练2】 题目：已知7个连续偶数的中间数为22，求这7个数的总和。 【分析】 无需知晓首尾项，直接利用奇数项高斯求和规律，中项×项数即可求解。 【详解】 总和 【答案】 154 【典型例题5】递减数列高斯求和（进阶题型） 题目：计算 【分析】 递减偶数数列，依旧属于等差数列，公差为-2，求和公式不变，只需找准最大数为首项、最小数为末项，先求项数再求和。 【详解】 首项=90，末项=2，公差=2 项数 总和 【答案】 2070 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 递减自然数数列，规律与递增数列一致，直接套用高斯求和公式。 【详解】 总和 【答案】 1275 【跟踪训练2】 题目：计算 【分析】 公差为5的递减数列，先求项数，再代入通用公式求和。 【详解】 项数 总和 【答案】 600 【典型例题6】高斯求和生活应用题（分班考高频） 题目：一堆原木堆叠，最上层放4根，每往下一层多放1根，最底层放28根，这堆原木一共有多少根？ 【分析】 经典高斯求和应用题，原木每层数量构成等差数列，首项4、末项28、公差1，先求层数（项数），再用高斯公式求总数量。 【详解】 第一步：求层数（项数）： 第二步：求总根数： 【答案】 400根 【跟踪训练1】 题目：小明练习口算，第一天做15道题，之后每天比前一天多做3道，最后一天做36道，小明一共做了多少道题？ 【分析】 每日做题数为等差数列，先求做题天数，再用高斯求和计算总题量。 【详解】 天数 总题数 【答案】 204道 【跟踪训练2】 题目：礼堂座位排布，第一排20个座位，每一排比前一排多2个，最后一排48个，求礼堂总座位数。 【分析】 等差数列实际应用，找准首项、末项、公差，分步计算求解。 【详解】 排数 总座位数 【答案】 510个 【典型例题7】综合压轴：分段高斯求和（名校择校考） 题目：计算 【分析】 小升初压轴题型，考察高斯求和综合运用，可分别求出两个数列的和，再做差；也可转化为残缺数列求和，两种方法均可。 【详解】 方法：转化为残缺数列求和，计算 项数 总和 【答案】 4230 【跟踪训练1】 题目：计算 【分析】 奇偶数列混合综合计算，分别用高斯公式求出奇数、偶数数列和，再求差值。 【详解】 奇数和：项数，和 偶数和：项数，和 原式 【答案】 25 【跟踪训练2】 题目：计算 【分析】 大数残缺数列求和，可利用整体作差法（1-200和减去1-100和）快速求解。 【详解】 和： 和： 原式 【答案】 15050 高频真题 1．从1至2020这2020个自然数中去掉5个相邻的偶数，剩下的数的平均数是1012，则所去掉的5个数的和是（     ）。 A．2020 B．2030 C．2040 D．2050 【答案】B 【分析】去掉的数的和＝原来所有数的总和－剩下的数的总和。首先求出1至2020这2020个自然数的总和，然后根据剩下的数的平均数和个数求出剩下的数的总和，最后相减即可得到去掉的5个数的和。 【详解】求1至2020这2020个自然数的总和。 根据等差数列求和公式：总和＝（首项＋末项）项数2，即 剩下的数的个数：（个） 剩下的数的总和＝ 去掉的5个数的和： 2．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是（    ）。 A．24 B．25 C．28 D．29 【答案】B 【分析】从1开始，按自然数的顺序做连加就是公差为1的等差数列求和，根据 等差数列的求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2。即1＋2＋3＋……＋n＝n（1＋n）÷2，由于少加了一个数，最后的和应该大于1991，根据尝试计算，得出n＝63，则连加到了63，其中漏加的数＝加到63的和－1991。 【详解】1＋2＋3＋……＋n＝n（1＋n）÷2＞1991 当n＝62时， 62×（62＋1）÷2 ＝62×63÷2 ＝31×63 ＝1953 当n＝63时， 63×（63＋1）÷2 ＝63×64÷2 ＝63×32 ＝2016 1953＜1991＜2016 2016－1991＝25 则漏加的那个数是25。 故答案为：B 3．用表示数的小数部分，表示的整数部分。如，。若，，则（    ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，a＋b的整数部分＝15.3，所以a的小数部分是0.3；a的小数部分＋b＝7.8，其中a的小数部分是0.3，得出b的值，则b的整数部分是7，在得出a的值。 【详解】7.8－0.3＝7.5 15.3－7＝8.3 则a＝8.3，b＝7.5 故答案为：B 4．小明练习珠算，用，当加到某个数时，和是1300，验算时发现重复加了一个数，则重复加的数是（    ）。 A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】因为重复加了一个数，所以实际的和没有到1300，采用尝试的方法，找到从1到多少的和接近1300，而和与1300的差就是重复加的那个数，由此解答即可。 【详解】（1＋50）×50÷2 ＝51×50÷2 ＝1275； 1300－1275＝25； 故答案为：B。 【点睛】本题有一定的难度，在计算这个算式时，可利用高斯求和公式完成（1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2），尝试找到1到多少的和接近1300是解答本题的关键。 5．德国数学家高斯在计算“1＋2＋3＋…＋98＋99＋100”时，他这样算：“1＋100、2＋99、3＋98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。他这样算（    ）。 A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．加法交换律和结合律都用了 D．用了加法和减法的关系 【答案】C 【分析】加法交换律是指两个加数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律三个加数无论谁和谁先相加，结果都一样，据此解答。 【详解】“1＋100、2＋99、3＋98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。用了加法交换律与加法结合律使得计算简便， 故答案为：C 【点睛】本题考查加法结合律与加法交换律的认识，关键掌握加法运算律进行简便计算。 6．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（　　）杯子． A．100 B．500 C．1000 D．5050 【答案】D 【分析】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以又100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个 盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解决问题． 【详解】需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100， =（1+100）×（100÷2）， =101×50， =5050（个） 7．小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（　　）只老鼠． A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】C 【分析】本题其实是一个计算从1加到10的求和问题，小猫咪咪十天中的捕鼠量是一个等差数列：1、2、3…10．将它们相加就 是：1+2+…+5+6+…+9+10．从中不难看出一个规律：1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11，5对得数是11的加数相加，加法就转换 为乘法问题，即11×5的问题．从而1到10相加的和可以速算为：11×5=55．由此得解，咪咪前后十天一共逮了55只老鼠． 【详解】咪咪十天的捕鼠量是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6） =11×5 =55； 答：咪咪前后十天一共逮了55只老鼠． 二、填空题 8．计算： ( )。 【答案】79 【分析】依据和的除法运算性质：若干个数分别除以同一个数，等于所有被除数相加后再除以这个除数。先把全部被除数求和，再用总和除以除数40。 通过观察，这些被除数相加，正好是一个首项为1，末项为79，公差是1的等差数列。用等差数列求和公式，求出被除数的总和。 【详解】1÷40＋2÷40＋⋯＋78÷40＋79÷40 ＝（1＋2＋3＋…＋79）÷40 ＝（1＋79）×79÷2÷40 ＝80×79÷2÷40 ＝6320÷2÷40 ＝3160÷40 ＝79 9．有一列数：，每个数都写了次，当写到30时，数字“1”出现了( )次。 【答案】178 【分析】先找出1~30中所有带有“1”的数，然后根据“写了次”计算每个带“1”的数出现了多少次并将它们求和，对于“11”这种含有2个1的数要单独计算。 【详解】1~30中带有“1”的数有：1、10~19、21。 计算10~19中“1”出现的次数： 因为“写了次”，所以10写了10次，11写了11次，……，19写了19次。 根据高斯求和公式，这些数写的总次数为： （10＋19）×10÷2 ＝29×10÷2 ＝290÷2 ＝145（次） 其中11每出现一次有2个“1”，所以还要再加上11次： 145＋11＝156（次） 即10~19中“1”出现的次数为156次。 再加上1和21中的“1”出现的次数： 156＋1＋21＝178（次） 数字“1”出现了178次。 10． ( )。 【答案】2040200 【分析】式子中每两个相邻的乘积项，都可以提取公因数，提取公因数后，式子会变成一个有规律的等差数列乘2，用等差数列求和公式求和，然后乘2即可。 【详解】 括号里是从1到2019的奇数等差数列，公差为 求这个等差数列的和： 11．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4…然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了( )个数，擦去的两个质数的和最大是( )。 【答案】 39 60 【分析】剩下数的平均数是，是分母为9的分数，说明剩下的个数一定是9的倍数。从1开始的连续自然数，平均数接近这些数中间的那个数，所以数的个数大概在20×2＝40左右。先确定一共写了多少个数，再算出擦掉3个数的总和。再在范围内找两个质数，让其和尽可能大。 【详解】＝ 平均数＝总和÷个数，所以剩下数的个数一定是9的倍数。 连续自然数1、2…n，平均数是，因为接近20，可以令，那么算出n＝39 n＝39时，与它最接近的9的倍数是36，正好是39擦去3个得到的，且1～39的平均数是20，与非常接近，所以王老师在黑板上共写了39个数。 1~39的总和为： 剩下36个数的总和为：×36＝179×4＝716 擦去的3个数的和为：780－716＝64 找出1~39中所有的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37 在其中找出两个和最大且不超过64的质数为：23、37或29、31，两组数加起来都是60。 64－60＝4，4不是质数，符合要求，所以擦去的两个质数的和最大是60。 【点睛】本题综合性极强，考察了多个知识点，如：平均数性质、分数整除、连续自然数求和、质数合数定义、最值思想等。关键在于弄明白“剩余数的个数一定是9的倍数”这一隐含条件，用平均数估值计算出总个数。 12．从1到40的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于40，共有( )种取法。 【答案】400 【分析】先分析每次取出来的两个数中的较小数，当较小数取1时，另一个数必须取40，只有1种取法；当较小数取2时，另一个数可以取39、40，有2种取法；当较小数取3时，另一个数可以取38、39、40，有3种取法；以此类推，当取20时，另一个数可以取21、22、…、40，有20种取法；当较小数取21时，因为21是较小数，另一个数要比21大，所以另一个数可以取22、23、…、40，有19种取法；当较小数取22时，另一个数可以取23、24、…、40，有18种取法；以此类推，当取39时，另一个数只能取40，有1种取法；将这些取法相加，发现前半部分是首项1、末项20的等差数列，后半部分是首项1、末项19的等差数列，那么分别求出两个和，和＝（首项＋末项）×项数÷2，再将两个和相加。 【详解】1＋2＋3＋4＋……＋19＋20＋19＋18＋17＋……＋1 ＝（1＋2＋3＋4＋……＋19＋20）＋（19＋18＋17＋……＋1） ＝（1＋20）×20÷2＋（19＋1）×19÷2 ＝21×20÷2＋20×19÷2 ＝420÷2＋380÷2 ＝210＋190 ＝400 所以共有400种取法。 13．数学家高斯小时候在学习时发现一个有趣的数列：1，3，6，10，15，21，28，……，这个数列中的第20个数是( )。 【答案】210 【分析】先看这个数列，第1个数是1，第2个数是1＋2＝3，第3个数是1＋2＋3＝6，第4个数是1＋2＋3＋4＝10，以此类推，得到的规律是这个数列的第几个数，就是从1连续加到这个“几”的和，因此这个数列中的第20个数就是1＋2＋3＋4＋……＋19＋20的和，根据等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”即可解决。 【详解】1＋2＋3＋4＋……＋19＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 这个数列中的第20个数是210。 14．190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是( )。 【答案】28 【分析】连续10个偶数是公差为2的一个等差数列，最大数和最小数相差2×（10－1）＝18，设最小的数为x，则最大的数为（x＋18），已知10个连续偶数的和，根据等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2，把对应量代入公式解方程即可求解。 【详解】（10－1）×2＝18 设10个连续偶数中最小的数为x，则最大数为（x＋18） ［x＋（x＋18）］×10÷2＝190 ［2x＋18］×10÷2＝190 2x＋18＝190×2÷10 2x＋18＝38 2x＝20 x＝10 10＋18＝28 其中最大的偶数为28 【点睛】本题重点考查等差数列求和的应用，通过项数找到最大值与最小值的关系，结合方程思想求解。 15．用20个盒子装乒乓球，要求每个盒子里的乒乓球数目都不相同，且每个盒子都不能为空，那么至少需要________个乒乓球。 【答案】 210 【分析】要满足每个盒子里的乒乓球数目不同且不为空，最少的总数应为从1开始的连续自然数之和。即第1个盒子放1个，第2个放2个，依此类推，直到第20个盒子放20个。然后再利用等差数列求和公式计算即可解决。 【详解】 因此至少需要210个乒乓球。 16．从12开始的10个连续整数的和加上2010后所得的数恰好等于另外10个连续整数的和，另外10个连续整数中最大的数是_________。 【答案】222 【分析】先计算出从12开始的10个连续整数的和：12＋13＋14＋…＋21＝165；再计算165＋2010＝2175；而2175÷10＝217.5，所以10个连续自然数中间的两个数分别是217，218；由此求出另外10个连续自然数中最大的数。 【详解】12＋13＋14＋…＋21 ＝（12＋21）×10÷2 ＝33×10÷2 ＝165 165＋2010＝2175 2175÷10＝217.5 则10个连续自然数中间的两个数分别是217，218； 据此可知，这10个连续自然数为：213，214，215，216，217，218，219，220，221，222；最大的是222。 即，从12开始的10个连续整数的和加上2010后所得的数恰好等于另外10个连续整数的和，另外10个连续整数中最大的数是222。 17．妈妈选择两家超市上班。甲超市每月工资450元，乙超市工资头个月200元，以后每个月增加50元，如果都签工作一年的合同，妈妈选择_________超市一年得到的工资多。 【答案】乙 【分析】甲超市一年得到的工资直接是450乘12，乙超市一年得到的工资是200＋250＋300＋…相当于是等差数列求和，分别求出具体的数值，再进行比较。 【详解】 5700＞5400，选择乙超市一年得到的工资多。 【点睛】本题考查的是等差数列的求和，等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。 18．套娃是俄罗斯的一种民间工艺品。大套娃里面有小套娃，小套娃里面还有更小的套娃。现在有一个特产商店里出售这种六重套娃，一整套套娃的价格是8700元，当然也可以单卖，而且相邻大、小套娃的差价是300元。那么，在这六重套娃之中，最小的套娃要卖_______元钱。 【答案】700 【分析】六重套娃差价是300元，构成公差是300的等差数列，且这6个数之和是8700，可以设最小的价钱是未知数，表示出各个套娃的价钱，列方程求解。 【详解】解：设最小的套娃要卖x元钱； 【点睛】只要理解了各个套娃的价钱构成等差数列，这个问题就比较容易解决了。 19．用2016个盒子装纸杯，要求这些盒子都不是空盒，且每个盒子装的纸杯只数都是偶数并互不相同．那么至少有( )个纸杯． 【答案】4066272 【解析】略 20．雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号． 【答案】11   【分析】根据题意，雅雅家所在的平安街所有各家门牌号之和应大于10000，找出连续自然数相加大于10000的最小和，再减去10000即可解答． 【详解】140家门牌号码之和为：1+2+3+…+140=（1+140）×140÷2=9870，这个数小于10000，不符合题意； 141家门牌号数之和为10011，雅雅家门牌号数是10011﹣10000=11（号）； 142家的门牌号之和为10153，雅雅家的门牌号是10153﹣10000=153（号），这里我们设定是142家，而由题意可知：142家不会有一家的门牌号是153，即这是不可能的； 当设定有142家以上时，也会出现这种矛盾，所以平安街只能有141家，雅雅家门牌号一定是11号． 答：雅雅家门牌号是11号． 三、计算题 21．计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 【答案】 【分析】去掉括号后，利用加法交换律，将10个1相加，剩下的项相加，而剩下的10项分别是的1倍，2倍，3倍，……，10倍，所以提取，利用乘法分配律进行巧算，最后将这两组的和相加得到原式的结果。 【详解】 22．计算：1 【答案】2021055 【分析】通过观察，把分母相同的分数加起来，得数分别是1，2，3，…，2010，然后利用高斯求和公式计算结果。 【详解】原式 ＝1＋2＋3＋…＋2010 ＝（1＋2010）×2010÷2 ＝2011×2010÷2 ＝2021055 23．计算。 1＋＋＋…＋20 【答案】214.2 【分析】观察数据发现这是一个等差数列求和，因此可以利用等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”进行简便计算。 【详解】1＋＋＋…＋20 24．计算。 ＋＋＋…＋－－－…－ 【答案】0 【分析】根据加法结合律和减法的性质，可以将原式转换为：，然后再利用等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”分别计算出结果再作差即可完成计算。 【详解】＋＋＋…＋－－－…－ 25．计算。 【答案】4950 【分析】通过观察可以发现，这里是连续的99个数相加，即构成一个公差为“1”的等差数列，这个等差数列首项为1，末项为99，项数为99，然后根据等差数列求和公式来进行计算即可。等差数列求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋95＋96＋97＋98＋99 ＝（1＋99）×99÷2 ＝100×99÷2 ＝9900÷2 ＝4950 26．简便计算。 【答案】10000 【分析】通过首尾相加，可得、…、50，一共有49个100和1个50，也就是99个50，据此化为99个50相加，用乘法即可求解；原式相当于2个相加再加上100，据此代入计算即可。 【详解】 【点睛】本题考查了整数加法的巧算，仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 四、解答题 27．一个盒子里放有8个球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1个球，将它变成5个球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2个球，将每个球变成5个球后放回盒子里，……，第九次从盒子里拿出9个球，将每个球变成5个球后放回盒子里，这时盒子里一共有多少个球？ 【答案】 188个 【分析】由题意可知，魔术师如果每次从盒子里拿出n个球，则会将它变成5n个球后放回盒子里，相当于每次净增加4n个球。然后根据第一次从盒子里拿出1个球，第二次又从盒子里拿出2个球，……，第九次从盒子里拿出9个球，因此可以先求出一共拿出的球的总数为：（个），即增加的球得个数为：（个）。最后再加上盒子里面原来的球的个数，据此即可求出这时盒子里一共有多少个球。 【详解】 （个） 答：这时盒子里一共有188个球。 28．aΩb为a与b之间（包含a，b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7Ω14＝（7＋9＋11＋13）÷4＝10，18Ω10＝（18＋16＋14＋12＋10）÷5＝14。 (1)计算：10Ω19； (2)在算式□Ω（19Ω99）＝80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：□所填的数是什么？ 【答案】(1) 14 (2) □＝101或□＝100。 【分析】（1）根据aΩb为a与b之间（包含a，b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，可知计算10Ω19先找出10到19之间的所有偶数，再利用平均数公式（总和÷个数）进行计算即可。 （2）根据定义先计算括号内的19Ω99。确定19为奇数，找出19到99之间的奇数平均数。得到结果后，原式转化为。由于的奇偶性未知，且决定了参与运算的数列构成，需分类讨论为奇数和为偶数两种情况。利用平均数性质列方程求解，并验证解是否符合奇偶性假设。 【详解】（1）（10＋12＋14＋16＋18）÷5 ＝70÷5 ＝14 所以, 。 （2）从1999中所有奇数的个数为：（99－19）÷2＋1 ＝80÷2＋1 ＝40＋1 ＝41 19Ω99＝（19＋21＋23＋25＋＋97＋99）÷41 ＝（19＋99）×41÷2÷41 ＝118÷2 ＝59 设方框中填入的自然数为 x，即 。 ① 当为奇数时： 与 59 奇偶性相同，参与运算的数为到59之间（包含 ）的所有奇数。 总和为等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2，平均数＝总和÷项数＝（首项＋末项）×项数÷2÷项数＝（首项＋末项）÷2 101 是奇数，符合假设。 ② 当x为偶数时：59＜80，则x＞80， x与 59 奇偶性不同，参与运算的数为x到59之间（包含x）的所有偶数。 与 59 最接近且大于59的偶数是60，所以参与运算的偶数序列为60到x。 100是偶数，符合假设。 综上所述，所填的数是100或101。 29．我校举行联欢会，会场第一排摆了5把椅子，从第二排起，每一排都比前一排多2把椅子，一共6排。准备50把椅子，够吗？ 第一排 5把 【答案】 不够 【分析】根据从第二排起，每一排都比前一排多2把椅子，一共6排，先把每排的椅子数量求出来，然后进行求和，最后与50比较大小，即可知道50把椅子够不够。 【详解】如图： 第一排 5把 第二排 7把 第三排 9把 第四排 11把 第五排 13把 第六排 15把 （把） 答：准备50把椅子，不够。 30．优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 【答案】90个 【分析】根据第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，则学的单词的个数分别为6、7、8、…、14，然后将这些单词的个数相加即可。单词的个数是一串等差数列，利用等差数列求和公式Sn＝（首项＋末项）×项数÷2计算总共学的单词。 【详解】6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14 ＝（6＋14）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝10×9 ＝90 答：优优这些天一共学会了90个单词。 31．从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？ 【答案】擦去的奇数是17 【详解】试题分析：从1开始的若干个连续的奇数为等差数列，因为擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为2008，则此等差数列的和为奇数，奇数数列从1加到2n﹣1的和据高斯求和公式可表示为：（1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008，又因为442=1936＜2008，452=2025＞2008；所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17． 解答：解：奇数数列从1加到2n﹣1的和为： （1+2n﹣1）×n÷2=n2＞2008， 又因为442=1936＜1998，452=2025＞2008； 所以n=45，擦去的奇数是2025﹣2008=17． 答：擦去的奇数是17． 点评：考查了数字和问题，本题要在了解高斯求和公式的基础分析完成． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：高斯求和 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 高斯求和是小升初奥数计算体系的基石专题，是所有数列巧算、规律计算、复杂简便运算的核心基础。相比于机械计算，高斯求和的本质是观察规律、转化思维、化繁为简，从高斯童年的巧算故事中，我们学到的不仅是一套计算公式，更是奥数核心的配对思维、整体思维、逆向思维。 本节课我们系统吃透了高斯求和全维度知识：熟练掌握基础配对原理、三大核心公式，攻克了自然数、奇偶数列、残缺数列、递减数列、应用题、分段综合压轴等全梯度题型，精准规避项数漏加1、求和漏除2、奇偶项混用公式等高频陷阱，掌握了常规计算、中项秒杀、整体作差等多种解题技巧，适配小升初所有考情。 高斯求和题型看似简单，却是区分普通计算和奥数思维的分水岭。学好本专题，不仅能快速秒杀各类数列计算题，稳稳拿下计算模块满分，更能为后续等差数列进阶、数论运算、图形规律、复杂应用题学习筑牢根基。希望同学们牢记解题口诀，活用四步解题法，摒弃死板的逐项累加，养成观察规律、巧用方法的奥数思维，在小升初培优冲刺中稳中求进、突破高分，从容应对各类名校考题！ 知识梳理 一、专题定义与考情分析 高斯求和是小升初奥数计算模块核心基础、必考高频专题，也是小学阶段最经典的巧算方法。该专题源自数学家高斯的童年巧算故事，核心是利用首尾配对、和值相等的思维，快速计算有规律的等差数列总和，规避逐项累加的繁琐计算。 校内数学仅简单涉及少量连续自然数求和，奥数中高斯求和题型灵活、覆盖面广，是简便计算、数列求值、规律探究、应用题压轴的基础工具，同时是衔接初高中等差数列求和的前置核心知识，在小升初分班考、择校考、奥数竞赛中必考，属于必须满分的基础培优考点。 本专题核心本质：所有均匀递增/递减的有规律数列，首尾依次配对，每一组的和都相等，通过组数×每组和，快速求出数列总和。 小升初高频考查题型：连续自然数求和、连续奇偶数列求和、残缺截断数列求和、指定区间数列求和、奇数项中项秒杀求和、高斯求和生活应用题、多段混合数列综合求和。 二、高斯求和核心由来 数学家高斯小时候，老师布置计算题：，全班同学逐项累加计算，唯独高斯快速算出答案。他发现：首尾两两配对，，，……整列100个数，可配成50组相等的和，最终快速算出结果：，由此诞生经典的高斯求和法。 核心思维：配对思想，化繁为简、以组代项，是奥数核心巧算思维之一。 三、核心基础概念 1. 适用数列：所有等差数列（均匀增减、相邻两数差值恒定），小学阶段主要包含：连续自然数、连续奇数、连续偶数、固定公差的递增/递减数列。 2.四大核心要素 首项：数列的第一个数；末项：数列的最后一个数； 项数：数列中所有数字的总个数；每组和：首尾配对的固定和值。 四、三大万能核心公式（必背、直接套用） 结合高斯配对原理，总结小学奥数专属三大公式，覆盖所有题型： 1. 高斯求和万能公式（通用所有等差数列） 口诀：首尾相加乘个数，最后除以二 2. 项数求解公式（高频必考） 口诀：差值除以公差，结果再加一 备注：连续自然数公差为1，连续奇偶数列公差为2。 3. 奇数项专属秒杀公式（中项求和） 当数列项数为奇数时，无法全部两两配对，中间剩余1个单独数（中间项） 核心规律：奇数项等差数列，中间项=数列平均数，首尾配对和=2×中间项。 五、四类常见经典高斯求和模型 1. 连续自然数求和：1、2、3、4……n，公差d=1； 2. 连续偶数求和：2、4、6、8……，公差d=2； 3. 连续奇数求和：1、3、5、7……，公差d=2； 4. 固定公差数列求和：3、6、9、12……（公差3）、5、10、15……（公差5）等。 六、高频易错点汇总（避错必看） 1. 忘记求和公式除以2，导致结果翻倍，为最高频错误； 2. 项数计算忘记加1，少算数列首尾项，是易错重灾区； 3. 偶数项、奇数项混淆，盲目使用中项秒杀公式； 4. 非从1开始的残缺数列，错误默认首项为1，直接套用基础公式； 5. 递减数列不会识别，无法找准首项、末项、公差； 6. 混合数列无法拆分，不会分段使用高斯求和计算。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判规律：判断数列是否均匀增减，确定为等差数列，找准公差； 第二步：找四量：确定首项、末项，未知项数先套公式求出总项数； 第三步：选公式：偶数项用通用求和公式，奇数项优先中项秒杀公式； 第四步：算结果：规范计算，记得除以2，简单验算规避错误。 八、专题解题口诀 高斯求和巧配对，首尾相加恒相等； 先求项数勿忘一，求和乘半记心中； 奇数项数找中间，中项乘数速通关； 残段数列分开算，细心稳算得满分。 例题讲解 【典型例题1】基础高斯求和（从1开始连续自然数） 题目：计算 【分析】 基础入门题型，数列是从1开始的连续自然数，公差为1，已知首项、末项、项数，直接套用高斯通用求和公式即可快速计算，无需逐项累加。 【详解】 由题意得：首项=1，末项=50，项数=50 总和 【答案】 1275 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：计算 【典型例题2】残缺数列求和（非从1开始，高频易错） 题目：计算 【分析】 小升初高频易错题型，数列不是从1开始，无法直接默认项数，需要先通过项数公式求出总项数，再代入高斯求和公式计算，核心规避项数估算错误。 【详解】 第一步：求项数，首项=12，末项=60，公差=1 项数 第二步：求和 总和 【答案】 1764 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：计算 【典型例题3】连续奇数、偶数专项求和 题目：计算 【分析】 连续偶数等差数列，公差为2，需先通过公差求出总项数，再套用高斯求和公式，区别于自然数公差为1的题型。 【详解】 首项=2，末项=48，公差=2 项数 总和 【答案】 600 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：计算 【典型例题4】奇数项中项秒杀求和（奥数速算技巧） 题目：计算 【分析】 本题数列共7项，为奇数项等差数列，无需通用公式，可使用中项定理秒杀：总和=中间项×项数，大幅简化计算，是奥数快速解题核心技巧。 【详解】 数列共7项，奇数项，中间项为第4项：9 总和 【答案】 63 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：已知7个连续偶数的中间数为22，求这7个数的总和。 【典型例题5】递减数列高斯求和（进阶题型） 题目：计算 【分析】 递减偶数数列，依旧属于等差数列，公差为-2，求和公式不变，只需找准最大数为首项、最小数为末项，先求项数再求和。 【详解】 首项=90，末项=2，公差=2 项数 总和 【答案】 2070 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：计算 【典型例题6】高斯求和生活应用题（分班考高频） 题目：一堆原木堆叠，最上层放4根，每往下一层多放1根，最底层放28根，这堆原木一共有多少根？ 【分析】 经典高斯求和应用题，原木每层数量构成等差数列，首项4、末项28、公差1，先求层数（项数），再用高斯公式求总数量。 【详解】 第一步：求层数（项数）： 第二步：求总根数： 【答案】 400根 【跟踪训练1】 题目：小明练习口算，第一天做15道题，之后每天比前一天多做3道，最后一天做36道，小明一共做了多少道题？ 【跟踪训练2】 题目：礼堂座位排布，第一排20个座位，每一排比前一排多2个，最后一排48个，求礼堂总座位数。 【典型例题7】综合压轴：分段高斯求和（名校择校考） 题目：计算 【分析】 小升初压轴题型，考察高斯求和综合运用，可分别求出两个数列的和，再做差；也可转化为残缺数列求和，两种方法均可。 【详解】 方法：转化为残缺数列求和，计算 项数 总和 【答案】 4230 【跟踪训练1】 题目：计算 【跟踪训练2】 题目：计算 高频真题 1．从1至2020这2020个自然数中去掉5个相邻的偶数，剩下的数的平均数是1012，则所去掉的5个数的和是（     ）。 A．2020 B．2030 C．2040 D．2050 2．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是（    ）。 A．24 B．25 C．28 D．29 3．用表示数的小数部分，表示的整数部分。如，。若，，则（    ）。 A．， B．， C．， D．， 4．小明练习珠算，用，当加到某个数时，和是1300，验算时发现重复加了一个数，则重复加的数是（    ）。 A．15 B．25 C．35 D．45 5．德国数学家高斯在计算“1＋2＋3＋…＋98＋99＋100”时，他这样算：“1＋100、2＋99、3＋98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。他这样算（    ）。 A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．加法交换律和结合律都用了 D．用了加法和减法的关系 6．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（　　）杯子． A．100 B．500 C．1000 D．5050 7．小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（　　）只老鼠． A．45 B．50 C．55 D．60 二、填空题 8．计算： ( )。 9．有一列数：，每个数都写了次，当写到30时，数字“1”出现了( )次。 10． ( )。 11．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4…然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了( )个数，擦去的两个质数的和最大是( )。 12．从1到40的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于40，共有( )种取法。 13．数学家高斯小时候在学习时发现一个有趣的数列：1，3，6，10，15，21，28，……，这个数列中的第20个数是( )。 14．190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是( )。 15．用20个盒子装乒乓球，要求每个盒子里的乒乓球数目都不相同，且每个盒子都不能为空，那么至少需要________个乒乓球。 16．从12开始的10个连续整数的和加上2010后所得的数恰好等于另外10个连续整数的和，另外10个连续整数中最大的数是_________。 17．妈妈选择两家超市上班。甲超市每月工资450元，乙超市工资头个月200元，以后每个月增加50元，如果都签工作一年的合同，妈妈选择_________超市一年得到的工资多。 18．套娃是俄罗斯的一种民间工艺品。大套娃里面有小套娃，小套娃里面还有更小的套娃。现在有一个特产商店里出售这种六重套娃，一整套套娃的价格是8700元，当然也可以单卖，而且相邻大、小套娃的差价是300元。那么，在这六重套娃之中，最小的套娃要卖_______元钱。 19．用2016个盒子装纸杯，要求这些盒子都不是空盒，且每个盒子装的纸杯只数都是偶数并互不相同．那么至少有( )个纸杯． 20．雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号． 三、计算题 21．计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 22．计算：1 23．计算。 1＋＋＋…＋20 24．计算。 ＋＋＋…＋－－－…－ 25．计算。 26．简便计算。 四、解答题 27．一个盒子里放有8个球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1个球，将它变成5个球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2个球，将每个球变成5个球后放回盒子里，……，第九次从盒子里拿出9个球，将每个球变成5个球后放回盒子里，这时盒子里一共有多少个球？ 28．aΩb为a与b之间（包含a，b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7Ω14＝（7＋9＋11＋13）÷4＝10，18Ω10＝（18＋16＋14＋12＋10）÷5＝14。 (1)计算：10Ω19； (2)在算式□Ω（19Ω99）＝80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：□所填的数是什么？ 29．我校举行联欢会，会场第一排摆了5把椅子，从第二排起，每一排都比前一排多2把椅子，一共6排。准备50把椅子，够吗？ 第一排 5把 30．优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 31．从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $