小升初奥数培优讲义：公因数与公倍数-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦公因数与公倍数专题，旨在帮助学生掌握最大公因数、最小公倍数的定义、求解方法及六大经典题型，通过知识梳理构建概念体系，例题讲解突破解题模型，高频真题强化实战应用，系统提升数论知识掌握度。 亮点在于采用模型化教学与规律口诀化策略，如“等分无剩求大公，周期重合求小倍”口诀辅助题型识别，结合短除法、分解质因数法训练，培养学生抽象能力与模型意识。例如用短除法解决长方形裁剪最大正方形问题，用最小公倍数解决周期相遇问题，有效提升学生解题效率，为教师提供精准复习框架，助力小升初备考。

小升初奥数培优讲义：公因数与公倍数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 公因数与公倍数是小学数论体系中实用性最强、小升初分值占比最高的核心专题之一，衔接因数倍数、分解质因数等基础知识点，延伸出海量应用题与压轴题型，是重点中学择校、分班考的必考拉分考点。 本节课我们系统吃透了本专题全维度考点：熟练掌握最大公因数、最小公倍数的核心定义与互质、倍数特殊规律，精通短除法、分解质因数两大万能求解方法，牢记两数因倍乘积核心公式，攻克了等分裁剪、周期重合、同余缺余、逆向求值六大核心题型，厘清了“大公等分、小倍周期”的题型判断逻辑，规避了各类高频易错陷阱，掌握了标准化解题四步法与专题口诀。 本专题的核心不在于机械计算，而在于题型识别、模型匹配、规律活用。很多同学失分的核心原因是分不清该求最大公因数还是最小公倍数，无法快速匹配解题模型。希望同学们牢记题型特征，多练多悟，形成条件反射式的解题思维，熟练运用规律简化复杂问题。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础满分与拔高分值，更能培养严谨的逻辑推理、模型化解题思维，为初中数论、分式运算、函数周期等重难点知识筑牢根基，在小升初备考中稳步突破、冲刺高分！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 公因数与公倍数是小升初奥数数论核心必考专题、重点中学择校考、分班考高频压轴考点，是因数与倍数知识点的拔高延伸，也是分数运算、周期问题、分配问题、几何裁剪问题的解题基础。校内数学仅基础认知最大公因数、最小公倍数，侧重简单计算，而奥数中该专题题型灵活、应用性极强，是衔接基础数学与高阶应用题的关键模块。 本专题核心本质：通过精准寻找多个自然数的公共因数与公共倍数，解决“无剩余等分、周期重合、余数统一、最值求解”四大类实际问题。专题核心考察学生的数感、模型识别能力、逆向思维与实际应用能力，是小升初拉分重点题型，同时为初中因式分解、分式化简、数论综合题筑牢前置基础。 小升初高频考查题型：最大公因数与最小公倍数基础计算、短除法与分解质因数求解、几何裁剪分割问题、物品等分分组问题、周期相遇重合问题、同余缺余修正问题、两数GCD与LCM综合求值、多条件最值压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1. 因数与倍数：若自然数（a、b、c均为整数，无余数），则a是b的倍数，b是a的因数，二者相互依存。一个数因数有限，倍数无限。 2. 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 3. 最大公因数（GCD）：几个数的公因数中，数值最大的数。记作：，多个数记作。 4. 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 5. 最小公倍数（LCM）：几个数的公倍数中，数值最小的数（0除外）。记作：，多个数记作。 6. 互质数：最大公因数为1的两个自然数，叫做互质数。 常见互质情况：相邻自然数互质、1和任意自然数互质、两个不同质数互质、质数与非倍数合数互质。 三、三大求解方法（全覆盖解题） 1. 列举法（入门基础，适合小数） 分别列出多个数的因数/倍数，找出公共部分，筛选最大公因数、最小公倍数。优点：直观易懂；缺点：大数计算繁琐，奥数极少单独使用。 2. 分解质因数法（奥数核心） 先将所有数彻底分解为质因数标准式： 最大公因数：取所有数公共质因数的最低次幂相乘； 最小公倍数：取所有数全部质因数的最高次幂相乘。 3. 短除法（考试通用万能法） 1. 用多个数的公有质因数连续去除，直到所得的商两两互质为止； 2. 最大公因数 = 左侧所有除数的乘积； 3. 最小公倍数 = 左侧所有除数 × 最下方所有商的乘积。 四、核心必考公式（拔高压轴必备） 两数万能核心公式：两个自然数的乘积 = 它们的最大公因数 × 最小公倍数 字母表达式： 重要推论：已知两数乘积、最大公因数、最小公倍数其中任意两个量，可求第三个量，是综合压轴题核心解题依据。 五、特殊数字规律（秒解技巧） 1. 两数互质：，； 2. 两数倍数关系（大数是小数的倍数）：最大公因数为小数，最小公倍数为大数； 3. 1与任意数：最大公因数为1，最小公倍数为这个数本身。 六、六大经典解题模型（全覆盖奥数题型） 1. 等分无剩余模型（求最大公因数） 题干特征：平均分、无剩余、分成最大相同份数、裁最大正方形、分最长小段；解题核心：求对应数值的最大公因数。 2. 周期重合模型（求最小公倍数） 题干特征：再次相遇、下次同时发生、周期重合、最少总数量；解题核心：求对应周期数的最小公倍数。 3. 同余问题模型（余同） 多个数除同一个数，余数相同；解题口诀：余同加余，最小公倍数做周期。 4. 缺数问题模型（缺同） 多个数除同一个数，缺的数量相同；解题口诀：缺同减缺，最小公倍数做周期。 5. 两数求值模型（公式法） 已知两数最大公因数、最小公倍数，反向求原数；核心：拆分最小公倍数，结合最大公因数重组搭配。 6. 最值限定模型 结合取值范围、奇偶性、整数条件，筛选符合要求的最大/最小自然数。 七、标准解题四步法 第一步：判模型：读题识别是等分问题（求GCD）还是周期重合问题（求LCM）； 第二步：选方法：大数用分解质因数法，常规数用短除法； 第三步：套公式：结合核心公式、余同缺同规律计算； 第四步：验取值：验证结果符合题意、取值范围，排除错误答案。 八、高频易错点汇总 1. 混淆题型：等分、无剩余求最大公因数，周期、最少数量求最小公倍数，题型判断颠倒； 2. 短除法计算错误：最小公倍数漏乘商、最大公因数多乘多余数； 3. 忽略互质、倍数特殊规律，强行复杂计算； 4. 多数字求LCM/GCD时，未除到两两互质就停止计算； 5. 忘记两数乘积万能公式，无法解决逆向求值压轴题； 6. 同余、缺余问题不会修正数值，无法快速求解。 九、专题解题口诀 等分无剩求大公，周期重合求小倍； 短除求法记分明，公因乘除公倍全； 互质公因即为一，倍数小倍取大全； 乘积公式通逆向，余同加余缺同减。 例题讲解 【典型例题1】基础求解GCD与LCM（入门必考） 题目：用短除法求24和36的最大公因数和最小公倍数。 【分析】 基础入门题型，考察短除法标准用法。用公有质因数持续试除，直到商两两互质，左侧除数乘积为最大公因数，除数与商的总乘积为最小公倍数。 【详解】 1. 用短除法依次除以公有质因数2、2、3，最终商为2和3（两两互质）； 2. 最大公因数：； 3. 最小公倍数：。 【答案】 最大公因数：12，最小公倍数：72。 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 题目：用分解质因数法求40和60的最大公因数和最小公倍数。 【典型例题2】等分裁剪问题（GCD高频应用题） 题目：一张长方形彩纸长48厘米、宽36厘米，要剪成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以剪出多少个这样的正方形？ 【分析】 典型等分无剩余模型，求最大正方形边长，本质是求长和宽的最大公因数。求出边长后，用总面积÷单个正方形面积，或（长÷边长）×（宽÷边长）计算个数。 【详解】 1. 求48和36的最大公因数：，即最大边长12厘米； 2. 计算个数：（个）。 【答案】 正方形最大边长12厘米，一共可剪12个。 【跟踪训练1】 题目：把一根长64分米的木棒和一根长48分米的木棒截成同样长的小段，无剩余，每段最长多少分米？一共可以截成多少段？ 【跟踪训练2】 题目：有30块橡皮、45支铅笔，平均分给若干名同学，每人分到的橡皮、铅笔数量分别相同，且无剩余，最多可以分给多少名同学？ 【典型例题3】周期重合问题（LCM高频应用题） 题目：甲每6天去一次图书馆，乙每8天去一次图书馆，两人4月1日同时到图书馆，下一次两人同时到图书馆是几月几日？ 【分析】 经典周期重合模型，再次同时相遇的时间间隔，是两人周期天数的最小公倍数，结合日期推算即可。 【详解】 1. 求6和8的最小公倍数：； 2. 4月1日再过24天，为4月25日。 【答案】 下一次同时到图书馆是4月25日。 【跟踪训练1】 题目：路边路灯每12米一盏，广告牌每18米一个，起点处路灯和广告牌重合，下一次重合在多少米处？ 【跟踪训练2】 题目：小明每4天锻炼一次，小红每6天锻炼一次，小刚每8天锻炼一次，三人周一同时锻炼，下次同时锻炼是周几？ 【典型例题4】同余修正问题（奥数拔高） 题目：一堆糖果，分给5人余2颗，分给7人余2颗，这堆糖果最少有多少颗？ 【分析】 典型余同问题，两次分配余数相同，解题口诀：余同加余。糖果总数减去余数后，是5和7的公倍数，求最小值即取最小公倍数加余数。 【详解】 1. 5和7最小公倍数：； 2. 总数最小值：（颗）。 【答案】 这堆糖果最少37颗。 【跟踪训练1】 题目：一个数除以4余1，除以6余1，这个数最小是多少？ 【跟踪训练2】 题目：一批书籍，每包放8本余3本，每包放10本余3本，这批书籍至少多少本？ 【典型例题5】缺同修正问题（名校常考） 题目：一批树苗，栽6行少4棵，栽8行少4棵，这批树苗最少有多少棵？ 【分析】 典型缺同问题，两次分配缺的数量相同，解题口诀：缺同减缺。树苗总数加上缺的数量，是6和8的公倍数，最小值为最小公倍数减缺数。 【详解】 1. ； 2. 最少树苗数：（棵）。 【答案】 这批树苗最少20棵。 【跟踪训练1】 题目：一个数除以5余3，除以7余5，这个数最小是多少？ 【跟踪训练2】 题目：若干玩具，分给9人少2个，分给12人少2个，玩具最少有多少个？ 【典型例题6】公式逆向综合压轴（分班考真题） 题目：已知两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是18，求另一个数。 【分析】 逆向求值压轴题，核心依托两数万能公式：，已知三个量，代入公式即可求出未知量。 【详解】 1. 两数乘积：； 2. 另一个数：。 【答案】 另一个数是24。 【跟踪训练1】 题目：两数最大公因数是4，最小公倍数是48，其中一个数是16，求另一个数。 【跟踪训练2】 题目：两个自然数乘积是240，最大公因数是4，求两数的最小公倍数。 高频真题 1．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 8和32              15和25               28和21 2．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 35和20 19和57 39和52 19和57的最大公因数是19， 最小公倍数是：19×3＝57． 39和52的最大公因数是：13 最小公倍数是13×3×4＝156 3．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． 36和54                  19和57 4．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数． 24和16     32 和63       35和28 5．求出下面每组最大公因数． 78和13        24和42        30和45       41和53 9,12和18         36,48和84 6．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数． 4和6 30和15 5和11 28和16 32和12 20、30和40 7．朱老师拿了一摞练习本，如果平均分给第一小组的5个同学，可以正好分完；如果平均分给第二小组的8个同学，也可以正好分完。这摞练习本至少有多少本？ 8．霜月小学组织五年级72人和六年级64人参加“践行三爱三节”活动，现在要分别把两个年级同学分成若干个小组，要使两个年级每个小组的人数相等，每个小组最多有多少人？ 9．把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？（1992年小学数学奥林匹克竞赛试题） 10．学校合唱队的同学可以分成6人一组，也可以分成8人一组，都正好分完．如果这些学生的总人数在50人以内，可能是多少人？ 11．把一块长48m、宽32m的长方形菜地分成同样大小的最大的正方形菜地而没有剩余，分出的正方形菜地的边长是多少米？如果用分出来的3块正方形菜地种黄瓜，那么种黄瓜的菜地面积是这块菜地的几分之几？（用最简分数表示） 12．两个数最大公因数是16，最小公倍数是480，且这两个数的差是16，则这两个数各是多少？ 13．鲜花店有一些鲜花，枝数在140和150之间，如果每6枝或每8枝扎成一束，正好没有剩余，这些鲜花有多少枝？ 14．小明和小红经常到图书馆看书，有一天他俩在图书馆相遇，小明每5天去图书馆一次，小红每6天去图书馆一次，那么他们多少天后又能在图书馆相遇？ 15．甲、乙两根钢筋，甲长24米，乙长18米，现在把它们截成同样长的小段，且无剩余，每小段最长多少米？这时一共可截多少段？ 16．幼儿园的阿姨要把一包糖分给小朋友．这包糖不超过50块，无论是每人8块，还是每人10块，都剩下3块，这包糖有多少块? 17．有四种包装盒：6瓶/盒，8瓶/盒，12瓶/盒，15瓶/盒．现有60瓶牛奶，选哪种包装正好装完？还有其他的包装方式吗？ 18．两根钢筋分别长为24米和18米，现把它截成同样长的小段，且无剩余，每段最长可截成多少米？一共可截成多少段？ 19．同学们为庆祝“六一”儿童节准备了72个苹果，如果每5个摆一盘能正好摆完吗？每盘摆的要一样多，怎样摆才能正好摆完？有几种摆法？ 20．水果店运来87个西瓜，如果每3个一袋，能正好装完吗？如果每5个一袋，能正好装完吗？为什么？ 21．有一张长24厘米、宽9厘米的长方形纸，如果要剪成若干同样大的正方形而没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？ 22．猜电话号码 023﹣ABCDEFGH（A：5的最小倍数．B：最小的合数．C：5的最大因数．D：既是4的倍数，又是4的因数．E：它的所有因数是1，2，3，6．F：10内最大的质数．G：它只有一个因数．H：是小的自然数．）这个号码是多少？ 23．一筐橘子有若干个（个数在100之内），3个3个地数和5个5个地数都正好数完．这筐橘子最多有多少个？ 24．有24朵红花、9朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多少人？每人几朵红花？ 25．礼品店新进来96个玩具，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 26．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人? 27．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？ 28． 苹果，梨，橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆．最少要分成多少堆(每堆都有苹果，梨子和橘子三种水果)才能保证找到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数？ 29．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5？ 30．六一儿童节，把36块水果糖和27块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果恰好分完，你知道这个组最多有几位同学吗？ 31．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？ 32．一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 33．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 34．一个房间长450厘米，宽330厘米。现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：公因数与公倍数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 公因数与公倍数是小学数论体系中实用性最强、小升初分值占比最高的核心专题之一，衔接因数倍数、分解质因数等基础知识点，延伸出海量应用题与压轴题型，是重点中学择校、分班考的必考拉分考点。 本节课我们系统吃透了本专题全维度考点：熟练掌握最大公因数、最小公倍数的核心定义与互质、倍数特殊规律，精通短除法、分解质因数两大万能求解方法，牢记两数因倍乘积核心公式，攻克了等分裁剪、周期重合、同余缺余、逆向求值六大核心题型，厘清了“大公等分、小倍周期”的题型判断逻辑，规避了各类高频易错陷阱，掌握了标准化解题四步法与专题口诀。 本专题的核心不在于机械计算，而在于题型识别、模型匹配、规律活用。很多同学失分的核心原因是分不清该求最大公因数还是最小公倍数，无法快速匹配解题模型。希望同学们牢记题型特征，多练多悟，形成条件反射式的解题思维，熟练运用规律简化复杂问题。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础满分与拔高分值，更能培养严谨的逻辑推理、模型化解题思维，为初中数论、分式运算、函数周期等重难点知识筑牢根基，在小升初备考中稳步突破、冲刺高分！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 公因数与公倍数是小升初奥数数论核心必考专题、重点中学择校考、分班考高频压轴考点，是因数与倍数知识点的拔高延伸，也是分数运算、周期问题、分配问题、几何裁剪问题的解题基础。校内数学仅基础认知最大公因数、最小公倍数，侧重简单计算，而奥数中该专题题型灵活、应用性极强，是衔接基础数学与高阶应用题的关键模块。 本专题核心本质：通过精准寻找多个自然数的公共因数与公共倍数，解决“无剩余等分、周期重合、余数统一、最值求解”四大类实际问题。专题核心考察学生的数感、模型识别能力、逆向思维与实际应用能力，是小升初拉分重点题型，同时为初中因式分解、分式化简、数论综合题筑牢前置基础。 小升初高频考查题型：最大公因数与最小公倍数基础计算、短除法与分解质因数求解、几何裁剪分割问题、物品等分分组问题、周期相遇重合问题、同余缺余修正问题、两数GCD与LCM综合求值、多条件最值压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1. 因数与倍数：若自然数（a、b、c均为整数，无余数），则a是b的倍数，b是a的因数，二者相互依存。一个数因数有限，倍数无限。 2. 公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 3. 最大公因数（GCD）：几个数的公因数中，数值最大的数。记作：，多个数记作。 4. 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 5. 最小公倍数（LCM）：几个数的公倍数中，数值最小的数（0除外）。记作：，多个数记作。 6. 互质数：最大公因数为1的两个自然数，叫做互质数。 常见互质情况：相邻自然数互质、1和任意自然数互质、两个不同质数互质、质数与非倍数合数互质。 三、三大求解方法（全覆盖解题） 1. 列举法（入门基础，适合小数） 分别列出多个数的因数/倍数，找出公共部分，筛选最大公因数、最小公倍数。优点：直观易懂；缺点：大数计算繁琐，奥数极少单独使用。 2. 分解质因数法（奥数核心） 先将所有数彻底分解为质因数标准式： 最大公因数：取所有数公共质因数的最低次幂相乘； 最小公倍数：取所有数全部质因数的最高次幂相乘。 3. 短除法（考试通用万能法） 1. 用多个数的公有质因数连续去除，直到所得的商两两互质为止； 2. 最大公因数 = 左侧所有除数的乘积； 3. 最小公倍数 = 左侧所有除数 × 最下方所有商的乘积。 四、核心必考公式（拔高压轴必备） 两数万能核心公式：两个自然数的乘积 = 它们的最大公因数 × 最小公倍数 字母表达式： 重要推论：已知两数乘积、最大公因数、最小公倍数其中任意两个量，可求第三个量，是综合压轴题核心解题依据。 五、特殊数字规律（秒解技巧） 1. 两数互质：，； 2. 两数倍数关系（大数是小数的倍数）：最大公因数为小数，最小公倍数为大数； 3. 1与任意数：最大公因数为1，最小公倍数为这个数本身。 六、六大经典解题模型（全覆盖奥数题型） 1. 等分无剩余模型（求最大公因数） 题干特征：平均分、无剩余、分成最大相同份数、裁最大正方形、分最长小段；解题核心：求对应数值的最大公因数。 2. 周期重合模型（求最小公倍数） 题干特征：再次相遇、下次同时发生、周期重合、最少总数量；解题核心：求对应周期数的最小公倍数。 3. 同余问题模型（余同） 多个数除同一个数，余数相同；解题口诀：余同加余，最小公倍数做周期。 4. 缺数问题模型（缺同） 多个数除同一个数，缺的数量相同；解题口诀：缺同减缺，最小公倍数做周期。 5. 两数求值模型（公式法） 已知两数最大公因数、最小公倍数，反向求原数；核心：拆分最小公倍数，结合最大公因数重组搭配。 6. 最值限定模型 结合取值范围、奇偶性、整数条件，筛选符合要求的最大/最小自然数。 七、标准解题四步法 第一步：判模型：读题识别是等分问题（求GCD）还是周期重合问题（求LCM）； 第二步：选方法：大数用分解质因数法，常规数用短除法； 第三步：套公式：结合核心公式、余同缺同规律计算； 第四步：验取值：验证结果符合题意、取值范围，排除错误答案。 八、高频易错点汇总 1. 混淆题型：等分、无剩余求最大公因数，周期、最少数量求最小公倍数，题型判断颠倒； 2. 短除法计算错误：最小公倍数漏乘商、最大公因数多乘多余数； 3. 忽略互质、倍数特殊规律，强行复杂计算； 4. 多数字求LCM/GCD时，未除到两两互质就停止计算； 5. 忘记两数乘积万能公式，无法解决逆向求值压轴题； 6. 同余、缺余问题不会修正数值，无法快速求解。 九、专题解题口诀 等分无剩求大公，周期重合求小倍； 短除求法记分明，公因乘除公倍全； 互质公因即为一，倍数小倍取大全； 乘积公式通逆向，余同加余缺同减。 例题讲解 【典型例题1】基础求解GCD与LCM（入门必考） 题目：用短除法求24和36的最大公因数和最小公倍数。 【分析】 基础入门题型，考察短除法标准用法。用公有质因数持续试除，直到商两两互质，左侧除数乘积为最大公因数，除数与商的总乘积为最小公倍数。 【详解】 1. 用短除法依次除以公有质因数2、2、3，最终商为2和3（两两互质）； 2. 最大公因数：； 3. 最小公倍数：。 【答案】 最大公因数：12，最小公倍数：72。 【跟踪训练1】 题目：用短除法求18和27的最大公因数和最小公倍数。 【分析】 常规双数求解，严格按照短除法步骤，除至商互质，分别计算GCD和LCM。 【详解】 短除公共质因数3、3，最终商2、3互质； 最大公因数：； 最小公倍数：。 【答案】 最大公因数：9，最小公倍数：54。 【跟踪训练2】 题目：用分解质因数法求40和60的最大公因数和最小公倍数。 【分析】 运用分解质因数核心方法，取公共质因数最低次幂求GCD，取全部质因数最高次幂求LCM。 【详解】 ，； 最大公因数：； 最小公倍数：。 【答案】 最大公因数：20，最小公倍数：120。 【典型例题2】等分裁剪问题（GCD高频应用题） 题目：一张长方形彩纸长48厘米、宽36厘米，要剪成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以剪出多少个这样的正方形？ 【分析】 典型等分无剩余模型，求最大正方形边长，本质是求长和宽的最大公因数。求出边长后，用总面积÷单个正方形面积，或（长÷边长）×（宽÷边长）计算个数。 【详解】 1. 求48和36的最大公因数：，即最大边长12厘米； 2. 计算个数：（个）。 【答案】 正方形最大边长12厘米，一共可剪12个。 【跟踪训练1】 题目：把一根长64分米的木棒和一根长48分米的木棒截成同样长的小段，无剩余，每段最长多少分米？一共可以截成多少段？ 【分析】 等分截段问题，求最长小段长度即求两数最大公因数，再分别计算段数求和。 【详解】 ，每段最长16分米； 总段数：（段）。 【答案】 每段最长16分米，一共截7段。 【跟踪训练2】 题目：有30块橡皮、45支铅笔，平均分给若干名同学，每人分到的橡皮、铅笔数量分别相同，且无剩余，最多可以分给多少名同学？ 【分析】 平均分配无剩余，求最多人数，本质是求两种物品数量的最大公因数。 【详解】 ，最多可分给15名同学。 【答案】 最多分给15名同学。 【典型例题3】周期重合问题（LCM高频应用题） 题目：甲每6天去一次图书馆，乙每8天去一次图书馆，两人4月1日同时到图书馆，下一次两人同时到图书馆是几月几日？ 【分析】 经典周期重合模型，再次同时相遇的时间间隔，是两人周期天数的最小公倍数，结合日期推算即可。 【详解】 1. 求6和8的最小公倍数：； 2. 4月1日再过24天，为4月25日。 【答案】 下一次同时到图书馆是4月25日。 【跟踪训练1】 题目：路边路灯每12米一盏，广告牌每18米一个，起点处路灯和广告牌重合，下一次重合在多少米处？ 【分析】 位置重合问题，求最小重合距离，即求两个间隔距离的最小公倍数。 【详解】 ，下一次重合在36米处。 【答案】 36米处。 【跟踪训练2】 题目：小明每4天锻炼一次，小红每6天锻炼一次，小刚每8天锻炼一次，三人周一同时锻炼，下次同时锻炼是周几？ 【分析】 多周期重合问题，先求三个数的最小公倍数，再用总天数除以7取余数推算星期。 【详解】 ，24÷7=3周……3天； 周一往后推3天为周四。 【答案】 下次同时锻炼是周四。 【典型例题4】同余修正问题（奥数拔高） 题目：一堆糖果，分给5人余2颗，分给7人余2颗，这堆糖果最少有多少颗？ 【分析】 典型余同问题，两次分配余数相同，解题口诀：余同加余。糖果总数减去余数后，是5和7的公倍数，求最小值即取最小公倍数加余数。 【详解】 1. 5和7最小公倍数：； 2. 总数最小值：（颗）。 【答案】 这堆糖果最少37颗。 【跟踪训练1】 题目：一个数除以4余1，除以6余1，这个数最小是多少？ 【分析】 余数相同，利用余同加余规律，最小公倍数加固定余数求解最小值。 【详解】 ，。 【答案】 这个数最小是13。 【跟踪训练2】 题目：一批书籍，每包放8本余3本，每包放10本余3本，这批书籍至少多少本？ 【分析】 同余题型，扣除余数后为两数公倍数，取最小公倍数求解。 【详解】 ，（本）。 【答案】 至少43本。 【典型例题5】缺同修正问题（名校常考） 题目：一批树苗，栽6行少4棵，栽8行少4棵，这批树苗最少有多少棵？ 【分析】 典型缺同问题，两次分配缺的数量相同，解题口诀：缺同减缺。树苗总数加上缺的数量，是6和8的公倍数，最小值为最小公倍数减缺数。 【详解】 1. ； 2. 最少树苗数：（棵）。 【答案】 这批树苗最少20棵。 【跟踪训练1】 题目：一个数除以5余3，除以7余5，这个数最小是多少？ 【分析】 转换题型：除以5少2，除以7少2，属于缺同问题，最小公倍数减缺数。 【详解】 ，。 【答案】 这个数最小是33。 【跟踪训练2】 题目：若干玩具，分给9人少2个，分给12人少2个，玩具最少有多少个？ 【分析】 缺同模型，统一缺数为2，用最小公倍数减去缺数得最小值。 【详解】 ，（个）。 【答案】 最少34个。 【典型例题6】公式逆向综合压轴（分班考真题） 题目：已知两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是18，求另一个数。 【分析】 逆向求值压轴题，核心依托两数万能公式：，已知三个量，代入公式即可求出未知量。 【详解】 1. 两数乘积：； 2. 另一个数：。 【答案】 另一个数是24。 【跟踪训练1】 题目：两数最大公因数是4，最小公倍数是48，其中一个数是16，求另一个数。 【分析】 套用因倍乘积万能公式，逆向计算未知自然数。 【详解】 两数乘积：，另一数：。 【答案】 另一个数是12。 【跟踪训练2】 题目：两个自然数乘积是240，最大公因数是4，求两数的最小公倍数。 【分析】 直接变形万能公式，最小公倍数=两数乘积÷最大公因数。 【详解】 最小公倍数：。 【答案】 最小公倍数是60。 高频真题 1．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 8和32              15和25               28和21 【答案】8和32；5和75；7和84 【分析】8和32：两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 15和25、28和21：分解质因数后，最大公因数取公有的质因数，最小公倍数取公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 【详解】 32是8的倍数 8和32 最大公因数为：8 最小公倍数为：32 15和25 最大公因数为： 最小公倍数为： 28和21     最大公因数为： 最小公倍数为： 2．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 35和20 19和57 39和52 【答案】 35和20的最大公因数是：5， 最小公倍数是：5×7×4＝140． 19和57的最大公因数是19， 最小公倍数是：19×3＝57． 39和52的最大公因数是：13 最小公倍数是13×3×4＝156 【详解】略 3．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． 36和54                  19和57 【答案】 36和54的最大公因数是2×3×3＝18，最小公倍数是2×3×3×2×3＝108． 19和57的最大公因数是19，最小公倍数是19×3＝57． 【详解】略 4．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数． 24和16     32 和63       35和28 【答案】8和48  32和64  7和140 【详解】略 5．求出下面每组最大公因数． 78和13        24和42        30和45       41和53 9,12和18         36,48和84 【答案】13 6 15 1 3 12 【详解】略 6．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数． 4和6 30和15 5和11 28和16 32和12 20、30和40 【答案】4和6的最大公因数是2， 最小公倍数是2×2×3＝12． 30和15的最大公因数是15， 最小公倍数是30． 5和11的最大公因数是1， 最小公倍数是5×11＝55． 28和16的最大公因数是2×2＝4， 最小公倍数是2×2×7×4＝112． 32和12的最大公因数是2×2＝4， 最小公倍数是2×2×8×3＝96． 20、30和40的最大公因数是2×5＝10， 最小公倍数是2×5×2×1×3×2＝120． 【详解】略 7．朱老师拿了一摞练习本，如果平均分给第一小组的5个同学，可以正好分完；如果平均分给第二小组的8个同学，也可以正好分完。这摞练习本至少有多少本？ 【答案】40本 【详解】5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40…… 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64…… 5和8共同的倍数中最小的是40。 答：这摞练习本至少有40本。 8．霜月小学组织五年级72人和六年级64人参加“践行三爱三节”活动，现在要分别把两个年级同学分成若干个小组，要使两个年级每个小组的人数相等，每个小组最多有多少人？ 【答案】8人 【详解】72的全部因数有：1，2，3．4，6，8，9，12，18，24，36，7 64的全部因数有：1，2，4，8，16，32，64 72和64的共同因数中最大的是8． 答：每个小组最多有8人． 9．把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？（1992年小学数学奥林匹克竞赛试题） 【答案】3组 【详解】每组中任两个数的最大公约数都是“1”就必须保证每组中的数没有相同的质因数． 先把这八个数分解质因数     26＝2×13 　33＝3×11 　　34＝2×17　　 35＝5×7 　　63＝32×7 　85＝5×17　　 91＝7×13　　 143＝11×13     从中我们可以看出，每一个数都有2个不同的质因数，并且35，63，91中都有质因数7；26，91，143中都有质因数13．显然有相同质因数的三个数不能同在一组．因此至少要分3组才有可能把这两组三个数分开．     现取26、33、35为一组，34、63、143为一组，85、91为一组．同组的数中，没有相同的质因数，都保证“每两个数的最大公约数都为“1”．所以只有至少分3组，才能满足题目要求．即至少要分3组． 【点睛】转化为分析各数的质因数，从而找到答案．阐述理由时，一方面讲为什么不能少于3组，另一方面举例证明这3组确实分得出．这样阐述，理由充足，令人信服． 10．学校合唱队的同学可以分成6人一组，也可以分成8人一组，都正好分完．如果这些学生的总人数在50人以内，可能是多少人？ 【答案】可能是24人或48人 【详解】6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、......；8的倍数有：8、16、24、32、40、48、......．所以6和8在50以内的公倍数有24、48． 答：可能是24人或48人． 11．把一块长48m、宽32m的长方形菜地分成同样大小的最大的正方形菜地而没有剩余，分出的正方形菜地的边长是多少米？如果用分出来的3块正方形菜地种黄瓜，那么种黄瓜的菜地面积是这块菜地的几分之几？（用最简分数表示） 【答案】16米    【详解】要想使分出的正方形菜地边长最大，那么正方形的边长最大是48和32的最大公因数；用菜地的长和宽分别除以正方形菜地的边长，再把两个商相乘后就是一共分的块数，用3除以正方形的块数求出种黄瓜的面积是这块菜地的几分之几即可． 解：48=2×2×2×2×3，32=2×2×2×2×2，48和32的最大公因数是2×2×2×2=16，所以正方形菜地的边长是16m； (48÷16)×(32÷16) =3×2 =6(块) 3÷6= 答：分出的正方形菜地的边长是16米，那么种黄瓜的菜地面积是这块菜地的 ． 12．两个数最大公因数是16，最小公倍数是480，且这两个数的差是16，则这两个数各是多少？ 【答案】80；96 【详解】略 13．鲜花店有一些鲜花，枝数在140和150之间，如果每6枝或每8枝扎成一束，正好没有剩余，这些鲜花有多少枝？ 【答案】 6和8的最小公倍数是2×3×4＝24．在140和150之间24的倍数是144． 答：这些鲜花有144枝． 【详解】略 14．小明和小红经常到图书馆看书，有一天他俩在图书馆相遇，小明每5天去图书馆一次，小红每6天去图书馆一次，那么他们多少天后又能在图书馆相遇？ 【答案】30天 【详解】略 15．甲、乙两根钢筋，甲长24米，乙长18米，现在把它们截成同样长的小段，且无剩余，每小段最长多少米？这时一共可截多少段？ 【答案】(24，18)＝6 (24＋18)÷6＝7(段) 答：每小段最长6米，这时一共可截7段． 【详解】略 16．幼儿园的阿姨要把一包糖分给小朋友．这包糖不超过50块，无论是每人8块，还是每人10块，都剩下3块，这包糖有多少块? 【答案】 [8，10]＝2×4×5＝40 40＋3＝43(块) 答：这包糖有43块． 【详解】略 17．有四种包装盒：6瓶/盒，8瓶/盒，12瓶/盒，15瓶/盒．现有60瓶牛奶，选哪种包装正好装完？还有其他的包装方式吗？ 【答案】答：6瓶/盒，12瓶/盒，15瓶/盒，这三种包装正好装完；还有1，2，3，4，5，10，20，30，60瓶/盒的包装方式． 【详解】略 18．两根钢筋分别长为24米和18米，现把它截成同样长的小段，且无剩余，每段最长可截成多少米？一共可截成多少段？ 【答案】24和18的最大公因数是6. 24÷6=4      18÷6=3 4+3=7（段） 答：每段最长可截成6米．一共可截成7段． 【详解】考查学生对最大公因数知识的综合运用情况，并能正确解答相关的实际问题 19．同学们为庆祝“六一”儿童节准备了72个苹果，如果每5个摆一盘能正好摆完吗？每盘摆的要一样多，怎样摆才能正好摆完？有几种摆法？ 【答案】不能；有12种摆法． 【详解】试题分析：根据5的倍数特征，个位数字是0或5，则72每5个摆一盘不能正好摆完．要求每盘摆的要一样多，把72分解质因数，分成两个数的积，其中一个数是摆几个，另一个数是摆几盘，有几个计算式，就有几×2个摆法． 解：72个个位数字是2，不是0或5，所以每5个摆一盘不能正好摆完； 72=72×1=2×36=3×24=4×18=6×12=8×9 所以每盘摆的要一样多，每盘摆1个，摆72盘摆完；每盘摆72个，摆1盘摆完；每盘摆2个，摆36盘摆完；每盘摆36个，摆2盘摆完；每盘摆3个，摆24盘摆完；每盘摆24个，摆3盘摆完；每盘摆4个，摆18盘摆完；每盘摆18个，摆4盘摆完；每盘摆6个，摆12盘摆完；每盘摆12个，摆6盘摆完；每盘摆8个，摆9盘摆完；每盘摆9个，摆8盘摆完；有12种摆法． 【点评】此题考查了5的倍数特点，以及分解质因数的方法． 20．水果店运来87个西瓜，如果每3个一袋，能正好装完吗？如果每5个一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能 【详解】试题分析：能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；再根据能被3、5整除的数的特征进行判断能否正好装完． 解：87个西瓜，如果每3个装一袋，能正好装完，因为8+7=15，15是3的倍数，所以87能被3整除； 如果每5个装一袋，不能正好装完，因为87的个位上是7，所以87不能被5整除； 答：如果每3个装一袋，能正好装完；如果每5个装一袋，不能正好装完． 【点评】此题考查能被3、5整除的数的特征及其运用． 21．有一张长24厘米、宽9厘米的长方形纸，如果要剪成若干同样大的正方形而没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？ 【答案】正方形的边长最大是3厘米． 【详解】试题分析：因为把大正方形要剪成若干同样大小的正方形没有剩余，要求剪出的小正方形的边长最大是多少厘米，相当于求24和9的最大公因数，据此解答． 解答：解：24=2×2×3 9=3×3 所以24和9的最大公约数为3， 答：正方形的边长最大是3厘米． 点评：此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题． 22．猜电话号码 023﹣ABCDEFGH（A：5的最小倍数．B：最小的合数．C：5的最大因数．D：既是4的倍数，又是4的因数．E：它的所有因数是1，2，3，6．F：10内最大的质数．G：它只有一个因数．H：是小的自然数．）这个号码是多少？ 【答案】这个数是023﹣54546710． 【详解】试题分析：A是5的最小倍数，因为5的最小倍数是5，所以A是5； B是最小的合数，最小的自然数是4，所以B是4； C是5的最大因数，因数5的最大因数是5，所以C是5； D既是4的倍数，又是4的因数，所以D是4； E所有因数是1，2，3，6，所以E是6； F是10以内的最大质数，所以F是7； G只有一个因数，所以G是1； H是最小的自然数，最小的自然数是0，所有H是0； 由此得出这个电话号码． 解答：解：由分析可知：A是5，B是4，C是5，D是4，E是6，F是7，G是1，H是0； 所以这个数是023﹣54546710． 点评：此题属于综合性很强的试题，根据相关知识点确定出每一个字母代表的数值，进而得解． 23．一筐橘子有若干个（个数在100之内），3个3个地数和5个5个地数都正好数完．这筐橘子最多有多少个？ 【答案】这筐橘子最多有90个． 【详解】试题分析：根据3个3个地数和5个5个地数都正好数完，说明橘子的数量是3和5的公倍数，个数在100之内的最大的公倍数，就是这筐橘子最多有多少个． 解答：解：3和5互质， 所以3和5的最小公倍数是3×5=15 15×6=90 15×7=105 所以在100之内的3和5的最大公倍数是90； 答：这筐橘子最多有90个． 点评：灵活运用最小公倍数的求解方法来解决实际问题． 24．有24朵红花、9朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多少人？每人几朵红花？ 【答案】最多可以分给3人，每人8朵红花． 【详解】试题分析：每人分得的花的颜色和数量都相同，就是分得的红花和黄花的数量，既是24的因数也是9的因数，即是24和9的公因数，要求最多就是求24和9的最大公因数，因此求出24和9的最大公因数就是最多可分给几人，然后用红花和黄花的数量分别除以它们的最大公因数，就是每人红花、黄花各几朵． 解答：解：24=2×2×2×3， 9=3×3， 所以24和9的最大公因数是：3； 每人红花的朵数：24÷3=8（朵）． 答：最多可以分给3人，每人8朵红花． 点评：解答本题要先分析理解：每人分得的花的颜色和数量都相同，就是求24和9的公因数，注意掌握求最大公因数的方法． 25．礼品店新进来96个玩具，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，能正好装完．如果每5个装一袋，不能正好装完．因为96不是5的倍数． 【详解】试题分析：（1）用96除以2，如果有余数就不能装完，如果没有余数，就正好装完； （2）用96除以5，如果有余数就不能装完，如果没有余数，就正好装完； 据此解答即可． 解答：解：（1）因为96÷2=48（袋）， 没有余数，能正好装完； 答：如果每2个装一袋，能正好装完． （2）96÷5=19（袋）…1（个）， 有余数，不能正好装完． 答：如果每5个装一袋，不能正好装完．因为96不是5的倍数． 点评：此题考查能被2、5整除的数的特征及其运用． 26．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人? 【答案】10 【详解】为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30． 所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人． 27．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？ 【答案】60 【详解】是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续 正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60． 综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60． 28． 苹果，梨，橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆．最少要分成多少堆(每堆都有苹果，梨子和橘子三种水果)才能保证找到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数？ 【答案】9 【详解】由于有三种水果，我们首先来分析一下这三种水果分堆后每一堆中水果数的奇偶性的搭配状态．因为每堆中都有苹果、橘子和梨子三种水果，而每种水果的个数不是奇数就是偶数．所以，根据乘法原理不难求得，这三种水果的奇偶性共有 (种)情况．根据抽屉原理，必须最少分成9堆，才能保证有两堆，这两堆中三种水果的奇偶性完全相同．根据奇数与偶数的加法运算性质，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数． 29．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5？ 【答案】不能 【详解】此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5． 30．六一儿童节，把36块水果糖和27块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果恰好分完，你知道这个组最多有几位同学吗？ 【答案】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18, 36． 27的因数有：1，3，9，27 36和27公有的因数有：1、3、9 其中最大的一个为9，所以这个组最多有9个学生． 【详解】题目要求把不同的糖果分给同一个小组，不能有剩除，所以要求出这两个数的最大公因数． 31．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？ 【答案】40 【详解】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟． 32．一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 【答案】1人 【分析】因为得优、良、中的学生占比分别为、3、，人数必须是整数，所以参考学生总数需同时是7、3、2的倍数，（只有总数是这三个数的倍数，乘对应分数才能得到整数人数）。7、3、2两两互质（除1外无其他公因数），根据最小公倍数计算方法，它们的最小公倍数为7×3×2＝42，又因“参考学生不满50人”，若取最小公倍数的2倍，42×2＝84＞50，不符合条件，所以参考学生总数只能是42人。已知总人数是42人，得差学生占，则得差人数为：，据此得解。 【详解】由题意“参加的学生中有得优，得良，得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为7×3×2＝42，，所以参加的学生总数为42人，那么得差的学生有：（人） 答：得差的学生有1人。 33．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 【答案】15厘米；63块 【分析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。据此解答即可。 【详解】1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为 （平方厘米），正方形纸块的面积为 （平方厘米），共可裁成正方形纸块 （张）。 答：能裁成最大的正方形纸块的边长是15厘米。共可裁成63块。 【点睛】考查了公约数的实际应用。 34．一个房间长450厘米，宽330厘米。现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？ 【答案】30厘米；165块 【分析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数。 【详解】450和330的最大公约数是30，边长是30厘米； 共需 （块）。 答：需要用边长最大为30厘米的方砖165块，才能正好把房间地面铺满。 【点睛】考查了最大公约数的实际应用。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $