小升初奥数培优讲义：间隔问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习教案聚焦间隔问题专题，涵盖直线三种植树、封闭环形、锯木头等核心模型，通过知识梳理、例题精讲、跟踪训练、真题演练四环节，帮助学生掌握间隔数与物体数关系及万能解题四步法。 亮点在于数形结合与模型建构，如通过爬楼梯问题对比“楼层与层数”培养几何直观，用专题口诀强化模型意识。设计阶梯式练习（基础到综合压轴），配合易错点汇总，助力学生突破端点漏判等问题，教师可依此精准教学，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：间隔问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 间隔问题是小学奥数最基础、最实用、最考验细心的典型应用题，看似简单的分段计数，实则蕴含严谨的数形对应思维，是打破惯性思维、培养细致审题能力的核心专题。它区别于机械计算，没有复杂公式和繁琐运算，所有错题几乎都源于模型混淆、端点漏判、间隔与数量不分，是小升初考试中最容易“会做失分”的题型。 本节课我们系统吃透了间隔问题全维度考点：熟练掌握直线三种植树模型、封闭环形模型、双边植树基础模型，精通锯木头、爬楼梯、敲钟、排队四大高频拓展题型，攻克了基础正向计算、逆向求总长、条件变更综合压轴全梯度题型，彻底厘清了“间隔数与物体数、次数与段数、楼层与层数”的核心易错关系，掌握了万能解题四步法与专题口诀。 间隔思维贯穿小学、初中数学始终，是图形计数、周期问题、行程问题的思维基础。希望同学们牢记“先判场景、再求段数、后套公式、最后验证”的解题逻辑，摒弃惯性加减的错误思维，养成精准审题、严谨推导的好习惯，彻底吃透间隔专题，规避所有易错陷阱，在小升初基础题、拔高题、压轴题中稳拿满分，夯实奥数思维根基，为后续高阶数学学习保驾护航！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 间隔问题（俗称植树问题）是小升初奥数经典必考应用题、重点中学分班考、择校考高频基础题型，属于小学奥数“典型应用题”核心模块。校内数学仅简单接触基础植树模型，无系统分类与拓展题型训练，而奥数间隔问题题型覆盖面广、变式极多，是小学阶段锻炼数形对应、分段思维、端点辨析能力的核心专题。 本专题核心本质为物体点数与间隔段数的对应关系，所有题型万变不离其宗，无需复杂计算，核心在于区分场景、辨清模型。题型套路固定、易错点集中，是小升初最容易“会做但做错”的题型，也是尖子生夯实基础、规避粗心失分的关键专题。同时，间隔问题是初中数轴分段、图形计数、周期问题的前置思维基础。 小升初高频考查题型：直线三种植树模型、封闭图形植树、锯木头分段问题、爬楼梯层数问题、敲钟计时问题、排队间隔问题、多条件综合压轴问题。 二、四大核心基础量（解题必备） 1. 总长：整体排列的总长度、总距离或总范围； 2. 间距：相邻两个物体、节点之间的相等距离； 3. 间隔数（段数）：总长被平均分成的段数，是解题核心中间量； 4. 物体数（点数）：树、人、台阶、钟声、分段数量等具体物体个数。 通用基础公式：间隔数 = 总长 ÷ 间距 三、五大必考核心模型与万能公式 1. 直线两端都栽（最基础） 场景：道路两端全部植树、两端都摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 + 1 原理：首尾都有物体，点数比段数多1。 2. 直线一端栽、一端不栽 场景：道路一端有建筑物、一端封口，只单侧端点摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 原理：端点与段数一一对应，无多余点数。 3. 直线两端都不栽 场景：道路两端均有建筑物、障碍物，无法摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 - 1 原理：两端空缺，点数比段数少1。 4. 封闭图形植树（环形必考） 场景：圆形、正方形、长方形、封闭池塘、环形跑道等封闭路线。 公式：物体数 = 间隔数 原理：首尾端点重合，封闭图形无多余端点，点数与段数完全相等。 5. 双边植树 场景：道路两侧、图形两边同时摆放物体。 公式：总物体数 = 单边数量 × 2 四、四大高频拓展模型（奥数拔高核心） 1. 锯木头问题 核心规律：锯的次数 = 段数 - 1 关键考点：总时间由“锯的次数”决定，而非段数，每锯一次耗时固定。 2. 爬楼梯问题 核心规律：爬的层数 = 终点楼层 - 起点楼层 关键考点：1楼无需爬，楼层数≠层数，时间、路程均由层数（间隔数）决定。 3. 敲钟问题 核心规律：间隔数 = 敲钟次数 - 1 关键考点：钟声瞬间完成，耗时全部在两次钟声的间隔中。 4. 排队间隔问题 核心规律：人数与间隔数对应直线植树模型，队伍总长 = 间距 ×（人数 - 1）。 五、标准解题四步法（万能通用） 第一步：定场景：判断直线/封闭、单边/双边、两端栽树情况； 第二步：求段数：利用“间隔数=总长÷间距”算出核心中间量； 第三步：套模型：根据场景匹配对应公式，求出物体数量； 第四步：验结果：结合生活常识验证，规避端点、次数、层数易错点。 六、高频易错点汇总 1. 混淆植树模型，不分两端栽、不栽、封闭场景，公式套用错误； 2. 锯木头、敲钟问题误将段数、次数直接当作间隔数计算； 3. 爬楼梯直接用终点楼层当作层数，忽略1楼无间隔； 4. 双边植树算出单边数量后，忘记乘2，答案少一半； 5. 封闭图形错误套用直线两端栽公式，多算1个物体； 6. 已知物体数求总长、间距时，逆向公式记忆混乱。 七、专题解题口诀 直线植树分三样，两端加一尾无减； 一端一闭数相等，封闭图形段点齐； 锯木敲钟次数算，爬楼层数首尾差； 分清间隔与点数，细心审题稳答题。 例题讲解 【典型例题1】直线两端都栽（入门基础） 题目：在一条长80米的公路一侧植树，每隔5米栽一棵，两端都栽，一共需要栽多少棵树？ 【分析】 基础直线间隔问题，场景为公路一侧、两端都栽。解题核心为先通过总长和间距求出间隔数，再套用“两端都栽：棵数=间隔数+1”的公式计算，是间隔问题最基础的必考模型。 【详解】 1. 计算间隔数：（段） 2. 两端都栽，棵数=间隔数+1：（棵） 【答案】 一共需要栽17棵树。 【跟踪训练1】 题目：一条长100米的小路一侧，每隔4米摆一盆花，两端都摆，一共摆多少盆花？ 【跟踪训练2】 题目：公路长120米，一侧每隔6米栽一棵树，两端都栽，求总棵数。 【典型例题2】直线两端都不栽（高频易错） 题目：一条长60米的走廊一侧挂灯笼，每隔3米挂一个，两端不挂，一共挂多少个灯笼？ 【分析】 典型易错题型，场景为两端不栽，区别于常规植树。核心公式：物体数=间隔数-1，先求段数，再减1，避免惯性加1出错。 【详解】 1. 间隔数：（段） 2. 两端不挂，灯笼数=间隔数-1：（个） 【答案】 一共挂19个灯笼。 【跟踪训练1】 题目：80米长的栏杆一侧贴标语，每隔5米贴一张，两端不贴，一共贴多少张？ 【跟踪训练2】 题目：长90米的墙体一侧挂画，每隔6米挂一幅，两端不挂，总数量是多少？ 【典型例题3】一端栽一端不栽+双边植树（拔高常考） 题目：一条长70米的河道一旁植树，一端紧挨堤坝不栽，一端栽树，每隔7米栽一棵；若河道两边都栽，一共栽多少棵树？ 【分析】 混合题型，结合一端栽树和双边植树考点。单边一端栽树，棵数等于间隔数，算出单边数量后乘2得到双边总数。 【详解】 1. 单边间隔数：（段） 2. 一端栽树，单边棵数=10棵 3. 双边总棵数：（棵） 【答案】 一共栽20棵树。 【跟踪训练1】 题目：60米长的水渠一侧植树，一端栽一端不栽，每隔4米一棵，两边都栽，总棵数多少？ 【跟踪训练2】 题目：48米道路一侧摆花，一端摆一端不摆，每隔6米一盆，道路两侧摆花总盆数？ 【典型例题4】封闭图形植树（环形必考） 题目：一个圆形池塘周长120米，沿池塘边每隔8米栽一棵柳树，一共栽多少棵？ 【分析】 封闭环形间隔问题，核心规律：封闭图形物体数=间隔数，无需加减1，直接用总长÷间距即可得到棵数。 【详解】 间隔数=棵数：（棵） 【答案】 一共栽15棵柳树。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道周长200米，每隔10米插一面彩旗，一共插多少面？ 【跟踪训练2】 题目：正方形花坛周长88米，沿边每隔4米栽一棵花，一共栽多少棵？ 【典型例题5】锯木头分段问题（高频易错拔高） 题目：把一根木头锯成5段需要8分钟，照这样计算，锯成8段需要多少分钟？ 【分析】 经典易错拓展题型，核心考点：锯的次数=段数-1。先根据5段求出锯的次数，算出单次耗时，再求8段的总耗时，切忌直接用段数计算时间。 【详解】 1. 锯成5段，次数：（次） 2. 单次耗时：（分钟/次） 3. 锯成8段，次数：（次） 4. 总耗时：（分钟） 【答案】 锯成8段需要14分钟。 【跟踪训练1】 题目：一根木材锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 【跟踪训练2】 题目：锯一根钢管，锯成6段用10分钟，锯10段需要多久？ 【典型例题6】爬楼梯与敲钟问题（名校常考） 题目1（爬楼）：小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样速度，从1楼爬到8楼需要多少分钟？ 题目2（敲钟）：时钟5点敲5下，8秒敲完，10点敲10下需要几秒？ 【分析】 两类经典拓展间隔问题，核心均为间隔数=次数/楼层差-1。爬楼梯1楼无间隔，楼层差为实际爬的层数；敲钟耗时在间隔，钟声本身无耗时，先求单次间隔时间，再算总时间。 【详解】 爬楼梯解答： 1. 1楼到4楼，层数：（层） 2. 单层耗时：（分钟/层） 3. 1楼到8楼，层数：（层） 4. 总耗时：（分钟） 敲钟解答： 1. 敲5下，间隔数：（个） 2. 单次间隔：（秒） 3. 敲10下，间隔数：（个） 4. 总耗时：（秒） 【答案】 爬楼需要14分钟，敲钟需要18秒。 【跟踪训练1】 题目：小红从1楼到3楼用4分钟，到9楼需要几分钟？ 【跟踪训练2】 题目：时钟4点敲4下，6秒敲完，9点敲9下需要几秒？ 【典型例题7】间隔综合压轴题（名校分班考） 题目：一条公路一侧原有电线杆21根，两端都有，每两根间距8米。现在全部更换，改为间距10米，两端仍保留，现在有多少根电线杆？ 【分析】 间隔综合逆向题型，先根据原有根数求出公路总长，再结合新间距计算新间隔数，最后根据两端都栽模型求新电线杆数量，融合正向、逆向双重考点。 【详解】 1. 原有21根，间隔数：（段） 2. 公路总长：（米） 3. 新间距10米，新间隔数：（段） 4. 两端都栽，新根数：（根） 【答案】 现在有17根电线杆。 【跟踪训练1】 题目：小路一侧原有13棵树，两端都栽，间距6米，改为间距4米，现在多少棵树？ 【分析】 【跟踪训练2】 题目：环形花坛原有24盆花，间距5米，重新摆放改为间距4米，现在多少盆花？ 高频真题 1．二（1）班学生做课间操时，排成了一个方阵。小宇站在中间，从前、后、左、右数，小宇都是第3个。二（1）班一共有多少人？ 2．在街心公园的一条道路两旁栽柳树，道路的一端栽，另一端不栽，这条路长250米，每隔10米栽一棵，一共栽了多少棵树？ 3．在一条长500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线杆多少根？ 4．一个圆形花坛，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 5．一个圆形池塘的半径是15米，沿着它的边线大约每隔0.3米种一棵月季花，一共要种多少棵月季花？ 6．一个直径是30米的圆形水池，如果沿着水池边每隔1.57米裁一棵树，一共要栽多少棵树？ 7．在学校操场西侧“阅读书廊”两侧，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了36盆（两端都放）。这个“阅读书廊”长多少米？ 8．张军家小区前有一条长1000米的林荫大道，在它的一侧每隔50米安装一盏路灯（两端也要安装）。一共要安装多少盏路灯？ 9．某市政公司计划在一条6千米的公路两旁架设电线杆（两端都架设），每相邻两根电线杆之间的距离是200米，一共要架设多少根电线杆？ 10．某小区的绿地长45米，为了美化绿地，要栽一行松树，每隔5米栽一棵树（两头都栽），已经栽了4棵，还需要栽多少棵？ 11．学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成的方块队（即每行每列都是6人），前后每行间隔为2米。他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？ 12．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 13．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 14．一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树） 15．晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶。如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶？（各层楼之间的台阶数相同） 16．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？ 17．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 18．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵? 19．甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层．以这样的速度，甲跑到第28层时，乙跑到第几层？ 20．共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？ 21．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 22．在一段长200米的公路的一侧栽松树，每隔40米载一棵（两端都要栽），一共需要栽多少棵松树？ 23．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 24．50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等，现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？ 25．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？ 26．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：间隔问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 间隔问题是小学奥数最基础、最实用、最考验细心的典型应用题，看似简单的分段计数，实则蕴含严谨的数形对应思维，是打破惯性思维、培养细致审题能力的核心专题。它区别于机械计算，没有复杂公式和繁琐运算，所有错题几乎都源于模型混淆、端点漏判、间隔与数量不分，是小升初考试中最容易“会做失分”的题型。 本节课我们系统吃透了间隔问题全维度考点：熟练掌握直线三种植树模型、封闭环形模型、双边植树基础模型，精通锯木头、爬楼梯、敲钟、排队四大高频拓展题型，攻克了基础正向计算、逆向求总长、条件变更综合压轴全梯度题型，彻底厘清了“间隔数与物体数、次数与段数、楼层与层数”的核心易错关系，掌握了万能解题四步法与专题口诀。 间隔思维贯穿小学、初中数学始终，是图形计数、周期问题、行程问题的思维基础。希望同学们牢记“先判场景、再求段数、后套公式、最后验证”的解题逻辑，摒弃惯性加减的错误思维，养成精准审题、严谨推导的好习惯，彻底吃透间隔专题，规避所有易错陷阱，在小升初基础题、拔高题、压轴题中稳拿满分，夯实奥数思维根基，为后续高阶数学学习保驾护航！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 间隔问题（俗称植树问题）是小升初奥数经典必考应用题、重点中学分班考、择校考高频基础题型，属于小学奥数“典型应用题”核心模块。校内数学仅简单接触基础植树模型，无系统分类与拓展题型训练，而奥数间隔问题题型覆盖面广、变式极多，是小学阶段锻炼数形对应、分段思维、端点辨析能力的核心专题。 本专题核心本质为物体点数与间隔段数的对应关系，所有题型万变不离其宗，无需复杂计算，核心在于区分场景、辨清模型。题型套路固定、易错点集中，是小升初最容易“会做但做错”的题型，也是尖子生夯实基础、规避粗心失分的关键专题。同时，间隔问题是初中数轴分段、图形计数、周期问题的前置思维基础。 小升初高频考查题型：直线三种植树模型、封闭图形植树、锯木头分段问题、爬楼梯层数问题、敲钟计时问题、排队间隔问题、多条件综合压轴问题。 二、四大核心基础量（解题必备） 1. 总长：整体排列的总长度、总距离或总范围； 2. 间距：相邻两个物体、节点之间的相等距离； 3. 间隔数（段数）：总长被平均分成的段数，是解题核心中间量； 4. 物体数（点数）：树、人、台阶、钟声、分段数量等具体物体个数。 通用基础公式：间隔数 = 总长 ÷ 间距 三、五大必考核心模型与万能公式 1. 直线两端都栽（最基础） 场景：道路两端全部植树、两端都摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 + 1 原理：首尾都有物体，点数比段数多1。 2. 直线一端栽、一端不栽 场景：道路一端有建筑物、一端封口，只单侧端点摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 原理：端点与段数一一对应，无多余点数。 3. 直线两端都不栽 场景：道路两端均有建筑物、障碍物，无法摆放物体。 公式：物体数 = 间隔数 - 1 原理：两端空缺，点数比段数少1。 4. 封闭图形植树（环形必考） 场景：圆形、正方形、长方形、封闭池塘、环形跑道等封闭路线。 公式：物体数 = 间隔数 原理：首尾端点重合，封闭图形无多余端点，点数与段数完全相等。 5. 双边植树 场景：道路两侧、图形两边同时摆放物体。 公式：总物体数 = 单边数量 × 2 四、四大高频拓展模型（奥数拔高核心） 1. 锯木头问题 核心规律：锯的次数 = 段数 - 1 关键考点：总时间由“锯的次数”决定，而非段数，每锯一次耗时固定。 2. 爬楼梯问题 核心规律：爬的层数 = 终点楼层 - 起点楼层 关键考点：1楼无需爬，楼层数≠层数，时间、路程均由层数（间隔数）决定。 3. 敲钟问题 核心规律：间隔数 = 敲钟次数 - 1 关键考点：钟声瞬间完成，耗时全部在两次钟声的间隔中。 4. 排队间隔问题 核心规律：人数与间隔数对应直线植树模型，队伍总长 = 间距 ×（人数 - 1）。 五、标准解题四步法（万能通用） 第一步：定场景：判断直线/封闭、单边/双边、两端栽树情况； 第二步：求段数：利用“间隔数=总长÷间距”算出核心中间量； 第三步：套模型：根据场景匹配对应公式，求出物体数量； 第四步：验结果：结合生活常识验证，规避端点、次数、层数易错点。 六、高频易错点汇总 1. 混淆植树模型，不分两端栽、不栽、封闭场景，公式套用错误； 2. 锯木头、敲钟问题误将段数、次数直接当作间隔数计算； 3. 爬楼梯直接用终点楼层当作层数，忽略1楼无间隔； 4. 双边植树算出单边数量后，忘记乘2，答案少一半； 5. 封闭图形错误套用直线两端栽公式，多算1个物体； 6. 已知物体数求总长、间距时，逆向公式记忆混乱。 七、专题解题口诀 直线植树分三样，两端加一尾无减； 一端一闭数相等，封闭图形段点齐； 锯木敲钟次数算，爬楼层数首尾差； 分清间隔与点数，细心审题稳答题。 例题讲解 【典型例题1】直线两端都栽（入门基础） 题目：在一条长80米的公路一侧植树，每隔5米栽一棵，两端都栽，一共需要栽多少棵树？ 【分析】 基础直线间隔问题，场景为公路一侧、两端都栽。解题核心为先通过总长和间距求出间隔数，再套用“两端都栽：棵数=间隔数+1”的公式计算，是间隔问题最基础的必考模型。 【详解】 1. 计算间隔数：（段） 2. 两端都栽，棵数=间隔数+1：（棵） 【答案】 一共需要栽17棵树。 【跟踪训练1】 题目：一条长100米的小路一侧，每隔4米摆一盆花，两端都摆，一共摆多少盆花？ 【分析】 两端都栽模型，先求间隔数，再加1得到物体数量。 【详解】 间隔数：（段） 盆数：（盆） 【答案】 一共摆26盆花。 【跟踪训练2】 题目：公路长120米，一侧每隔6米栽一棵树，两端都栽，求总棵数。 【分析】 标准两端栽树题型，按固定步骤计算间隔数、物体数。 【详解】 间隔数：（段） 棵数：（棵） 【答案】 一共栽21棵树。 【典型例题2】直线两端都不栽（高频易错） 题目：一条长60米的走廊一侧挂灯笼，每隔3米挂一个，两端不挂，一共挂多少个灯笼？ 【分析】 典型易错题型，场景为两端不栽，区别于常规植树。核心公式：物体数=间隔数-1，先求段数，再减1，避免惯性加1出错。 【详解】 1. 间隔数：（段） 2. 两端不挂，灯笼数=间隔数-1：（个） 【答案】 一共挂19个灯笼。 【跟踪训练1】 题目：80米长的栏杆一侧贴标语，每隔5米贴一张，两端不贴，一共贴多少张？ 【分析】 两端不栽模型，间隔数减1为最终数量。 【详解】 间隔数：（段） 标语数：（张） 【答案】 一共贴15张。 【跟踪训练2】 题目：长90米的墙体一侧挂画，每隔6米挂一幅，两端不挂，总数量是多少？ 【分析】 严格套用两端不栽公式，先分段再减1。 【详解】 间隔数：（段） 挂画数：（幅） 【答案】 一共挂14幅。 【典型例题3】一端栽一端不栽+双边植树（拔高常考） 题目：一条长70米的河道一旁植树，一端紧挨堤坝不栽，一端栽树，每隔7米栽一棵；若河道两边都栽，一共栽多少棵树？ 【分析】 混合题型，结合一端栽树和双边植树考点。单边一端栽树，棵数等于间隔数，算出单边数量后乘2得到双边总数。 【详解】 1. 单边间隔数：（段） 2. 一端栽树，单边棵数=10棵 3. 双边总棵数：（棵） 【答案】 一共栽20棵树。 【跟踪训练1】 题目：60米长的水渠一侧植树，一端栽一端不栽，每隔4米一棵，两边都栽，总棵数多少？ 【分析】 一端栽树模型，单边棵数等于间隔数，再计算双边总数。 【详解】 单边间隔数：（棵） 双边总数：（棵） 【答案】 总棵数30棵。 【跟踪训练2】 题目：48米道路一侧摆花，一端摆一端不摆，每隔6米一盆，道路两侧摆花总盆数？ 【分析】 结合一端栽树与双边考点，分步计算即可。 【详解】 单边盆数：（盆） 双边总数：（盆） 【答案】 总盆数16盆。 【典型例题4】封闭图形植树（环形必考） 题目：一个圆形池塘周长120米，沿池塘边每隔8米栽一棵柳树，一共栽多少棵？ 【分析】 封闭环形间隔问题，核心规律：封闭图形物体数=间隔数，无需加减1，直接用总长÷间距即可得到棵数。 【详解】 间隔数=棵数：（棵） 【答案】 一共栽15棵柳树。 【跟踪训练1】 题目：环形跑道周长200米，每隔10米插一面彩旗，一共插多少面？ 【分析】 封闭图形模型，彩旗数等于间隔数。 【详解】 （面） 【答案】 一共插20面彩旗。 【跟踪训练2】 题目：正方形花坛周长88米，沿边每隔4米栽一棵花，一共栽多少棵？ 【分析】 正方形属于封闭图形，物体数与间隔数相等。 【详解】 （棵） 【答案】 一共栽22棵花。 【典型例题5】锯木头分段问题（高频易错拔高） 题目：把一根木头锯成5段需要8分钟，照这样计算，锯成8段需要多少分钟？ 【分析】 经典易错拓展题型，核心考点：锯的次数=段数-1。先根据5段求出锯的次数，算出单次耗时，再求8段的总耗时，切忌直接用段数计算时间。 【详解】 1. 锯成5段，次数：（次） 2. 单次耗时：（分钟/次） 3. 锯成8段，次数：（次） 4. 总耗时：（分钟） 【答案】 锯成8段需要14分钟。 【跟踪训练1】 题目：一根木材锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 【分析】 先求锯的次数与单次耗时，再计算目标段数总时间。 【详解】 4段需锯3次，单次：分钟 7段需锯6次，总时间：分钟 【答案】 需要12分钟。 【跟踪训练2】 题目：锯一根钢管，锯成6段用10分钟，锯10段需要多久？ 【分析】 严格遵循次数=段数-1，分步计算单次耗时与总耗时。 【详解】 6段锯5次，单次：分钟 10段锯9次，总时间：分钟 【答案】 需要18分钟。 【典型例题6】爬楼梯与敲钟问题（名校常考） 题目1（爬楼）：小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样速度，从1楼爬到8楼需要多少分钟？ 题目2（敲钟）：时钟5点敲5下，8秒敲完，10点敲10下需要几秒？ 【分析】 两类经典拓展间隔问题，核心均为间隔数=次数/楼层差-1。爬楼梯1楼无间隔，楼层差为实际爬的层数；敲钟耗时在间隔，钟声本身无耗时，先求单次间隔时间，再算总时间。 【详解】 爬楼梯解答： 1. 1楼到4楼，层数：（层） 2. 单层耗时：（分钟/层） 3. 1楼到8楼，层数：（层） 4. 总耗时：（分钟） 敲钟解答： 1. 敲5下，间隔数：（个） 2. 单次间隔：（秒） 3. 敲10下，间隔数：（个） 4. 总耗时：（秒） 【答案】 爬楼需要14分钟，敲钟需要18秒。 【跟踪训练1】 题目：小红从1楼到3楼用4分钟，到9楼需要几分钟？ 【分析】 计算实际爬升层数，求单层速度，再算总时间。 【详解】 1-3楼爬2层，单层：分钟 1-9楼爬8层，总时间：分钟 【答案】 需要16分钟。 【跟踪训练2】 题目：时钟4点敲4下，6秒敲完，9点敲9下需要几秒？ 【分析】 根据敲钟间隔规律，先求单个间隔时长，再计算总时长。 【详解】 敲4下3个间隔，单间隔：秒 敲9下8个间隔，总时长：秒 【答案】 需要16秒。 【典型例题7】间隔综合压轴题（名校分班考） 题目：一条公路一侧原有电线杆21根，两端都有，每两根间距8米。现在全部更换，改为间距10米，两端仍保留，现在有多少根电线杆？ 【分析】 间隔综合逆向题型，先根据原有根数求出公路总长，再结合新间距计算新间隔数，最后根据两端都栽模型求新电线杆数量，融合正向、逆向双重考点。 【详解】 1. 原有21根，间隔数：（段） 2. 公路总长：（米） 3. 新间距10米，新间隔数：（段） 4. 两端都栽，新根数：（根） 【答案】 现在有17根电线杆。 【跟踪训练1】 题目：小路一侧原有13棵树，两端都栽，间距6米，改为间距4米，现在多少棵树？ 【分析】 先求总长，再算新间隔数，最后求新物体数量。 【详解】 原间隔数：，总长：米 新间隔数：，新棵数：棵 【答案】 现在有19棵树。 【跟踪训练2】 题目：环形花坛原有24盆花，间距5米，重新摆放改为间距4米，现在多少盆花？ 【分析】 封闭图形综合题，先求周长，再根据新间距求新盆数。 【详解】 花坛周长：米 新盆数：盆 【答案】 现在有30盆花。 高频真题 1．二（1）班学生做课间操时，排成了一个方阵。小宇站在中间，从前、后、左、右数，小宇都是第3个。二（1）班一共有多少人？ 【答案】25人 【分析】根据题意，无论从前、后、左、右，小宇都是第3个且他站在中间，则可以画一画分析题意，如图。 可以看出这个方阵有5行5列，小宇的位置正好在这个方阵的中心，则每行的人数可以用小宇所在行来求，因小宇在从左数的第3个，从右数的第3个，用3加3再减去1（小宇多加了1次，所以要减掉多加的1次）即可求出每行人数，而求一共有多少人，就是求5个5相加是多少，用乘法计算，列式是，根据口诀“五五二十五”求出得数。 【详解】（人）   （人） 答：二（1）班一共有25人。 2．在街心公园的一条道路两旁栽柳树，道路的一端栽，另一端不栽，这条路长250米，每隔10米栽一棵，一共栽了多少棵树？ 【答案】50棵 【分析】此题属于只栽一端的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。由于是两旁都挂，就先求出一旁的数量之后乘2。据此计算即可。 【详解】250÷10＝25（棵） 25×2＝50（棵） 答：一共栽了50棵树。 【点睛】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 3．在一条长500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线杆多少根？ 【答案】9根 【分析】先用500÷50求出间隔数，由于公路两端都不架设，再用间隔数减1即可求出电线杆的数量。 【详解】500÷50－1 ＝10－1 ＝9（根） 答：若公路两端都不架设，共需电线杆9根。 【点睛】本题属于典型两端都不栽的植树问题，解答此题关键需要利用的规律是：间隔数－1＝植树棵数。 4．一个圆形花坛，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【答案】157盏 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出环形石子小路的周长；再用周长除以0.4，即可求出一共要装多少盏地灯。 【详解】3.14×（9＋1）×2÷0.4 ＝3.14×10×2÷0.4 ＝31.4×2÷0.4 ＝62.8÷0.4 ＝157（盏） 答：一个要装157盏地灯。 【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答；关键明确在封闭线路上植树，间隔数＝植树棵数。 5．一个圆形池塘的半径是15米，沿着它的边线大约每隔0.3米种一棵月季花，一共要种多少棵月季花？ 【答案】314棵 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×2×半径，代入数据，求出半径是15米的圆形池塘的周长；沿着它的边线每隔0.3米种一颗月季花，由于圆是封闭图形，相当于植树问题中的一端植树，一端不植树，即间距数＝棵数，由此可知用圆的周长除以0.3，即可求出种多少棵月季花。 【详解】3.14×2×15÷0.3 ＝6.28×15÷0.3 ＝94.2÷0.3 ＝314（棵） 答：一共要种314棵月季花。 【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答。 6．一个直径是30米的圆形水池，如果沿着水池边每隔1.57米裁一棵树，一共要栽多少棵树？ 【答案】60棵 【分析】根据题意，本题属于植树问题，依据在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数，先计算圆形水池的周长3.14×30＝94.2（米） ，然后计算间隔数即植树棵数： 94.2÷1.57＝40（棵），据此解答即可。 【详解】3.14×30÷1.57 ＝94.2÷1.57 ＝60（棵） 答：一共要栽60棵树。 【点睛】本题主要考查植树问题，关键是分清间隔数和植树棵数的关系。 7．在学校操场西侧“阅读书廊”两侧，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了36盆（两端都放）。这个“阅读书廊”长多少米？ 【答案】68米 【分析】根据题意可知，要求“阅读书廊”长多少米，我们要先知道一侧的间隔数，因为两端都放，所以间隔数等于一侧的盆数减一，即36÷2－1＝17，求出间隔数，再用间隔数×间隔距离4米，据此解答即可。 【详解】由分析可知， （36÷2－1）×4 ＝17×4 ＝68（米） 答：这个“阅读书廊”长68米。 【点睛】本题主要考查了两旁植树问题中的求路长。 8．张军家小区前有一条长1000米的林荫大道，在它的一侧每隔50米安装一盏路灯（两端也要安装）。一共要安装多少盏路灯？ 【答案】21盏 【分析】用全长1000米除以50米，求出间隔数，再将间隔数加上1，求出路一侧需要安装的路灯数量。 【详解】1000÷50＋1 ＝20＋1 ＝21（盏） 答：一共要安装21盏路灯。 【点睛】本题考查了植树问题，两端都植树时，植树数＝总长÷间距＋1。 9．某市政公司计划在一条6千米的公路两旁架设电线杆（两端都架设），每相邻两根电线杆之间的距离是200米，一共要架设多少根电线杆？ 【答案】62根 【分析】两端都架设，电线杆的根数＝段数＋1，公路总长÷间距＋1，先求出公路一侧的电线杆数量，再乘2即可。 【详解】6千米＝6000米 （6000÷200＋1）×2 ＝（30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（根） 答：一共要架设62根电线杆。 【点睛】关键是根据植树问题的解题思路，理解电线杆数量和段数之间的关系。 10．某小区的绿地长45米，为了美化绿地，要栽一行松树，每隔5米栽一棵树（两头都栽），已经栽了4棵，还需要栽多少棵？ 【答案】6棵 【分析】先用总长度除以每个间隔的长度，求出有多少个间隔，由于两端都栽树，所以间隔数加上1就是植树的棵数。然后用植树的棵数减去已经栽的棵数算出还需要栽的棵数。 【详解】45÷5＝9（棵） 9＋1＝10（棵） 10－4＝6（棵） 答：还需要栽6棵。 【点睛】本题属于植树问题两端都栽的情况：植树的棵数＝间隔数＋1，需要牢记这一公式。 11．学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成的方块队（即每行每列都是6人），前后每行间隔为2米。他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？ 【答案】分钟 【分析】根据前后每行间隔长×间隔数＝方块队长。方块队长： （米），方块队通过主席台行进路程总长：（米），方块队通过主席台需要：（分钟），综合算式：（分钟）。 【详解】[2×（6－1）＋30]÷40 ＝[2×5＋30]÷40 ＝[10＋30]÷40 ＝40÷40 ＝1（分钟） 答：通过长30米的主席台，需要1分钟。 【点睛】解答此题的关键是要明确：的方块队前后行间共有5个间隔，再运用植树问题解题即可。 12．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 【答案】根 【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。 【详解】画出涂色示意图如下： 可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍； 100÷30＝3（个）……10（厘米） 剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。 2×3＋1＝7（根） 答：长度是4厘米的短木棍有7根。 【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。 13．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 【答案】秒 【分析】每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是：（秒），而这之间的间隔数只有：（个），所以每个间隔的时间是：（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：（秒）。 【详解】[（43－3）÷（6－1）]×（12－1）＋3 ＝[40÷5]×11＋3 ＝8×11＋3 ＝88＋3 ＝91（秒） 答：一共需要91秒的时间。 【点睛】解答本题的关键是，要弄清楚敲6下和敲12下分别有几个间隔，即可求出每个间隔所用的时间，再据此解题即可。 14．一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树） 【答案】棵 【分析】从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11＝1（分钟），那么走24分钟应该走了（24÷1）个间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树。 【详解】24÷（11÷11） ＝24÷1 ＝24（个） 答：应走到第24棵树。 【点睛】本题考查了“植树问题”，解答此题的关键是，要要清楚老爷爷走的间隔数是多少个。 15．晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶。如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶？（各层楼之间的台阶数相同） 【答案】级 【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系，即植树问题；从第一层到第三层只走了（3－1）个楼层，晶晶走了36级台阶；那么从一层走到六层走了（6－1）个楼层，据此可知，先求出每层多少级台阶，再求出5个楼层共有多少级台阶即可。 【详解】36÷（3－1）×（6－1） ＝36÷2×5 ＝90（级） 答：从第一层走到第六层需要走90级台阶 【点睛】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系，实质上考查的是植树问题，由此解题即可。 16．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？ 【答案】5层，160人 【详解】（48-16）÷8+1＝5（层） （48+16）×5÷2＝160（人） 答：这个方阵有5层，一共有160人． 17．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 【答案】144盆 【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆． 答：一共摆了144盆． 18．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵? 【答案】方阵最外层杨树12棵，柳树12棵; 方阵中共有杨树25棵，柳树24棵或者杨树24棵，柳树25棵. 【分析】根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树.观察图（1）（2）,不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的．因而杨树和柳树的棵数相等．即最外层杨、柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）． 当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵． 【详解】（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵） （2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵： 杨树：（7×7+1）÷2=25（棵） 柳树：7×7-25=24（棵） （3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树 柳树（7×7+1）÷2=25（棵） 杨树7×7-25=24（棵） 答：方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵． 19．甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层．以这样的速度，甲跑到第28层时，乙跑到第几层？ 【答案】19层 【分析】因为甲跑到四层楼是跑了（4-1）个楼层间隔，乙恰好跑到三层楼，是跑了（3-1）个楼层间隔，由此得出乙的速度是甲的（3-1）÷（4-1）；再由甲跑到第28层楼时是跑了（28-1）个楼层间隔，进而求出乙跑的楼层间隔数，从而求出乙跑到第几层楼． 【详解】（28-1）×[（3-1）÷（4-1）]+1＝19（层） 20．共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？ 【答案】解：最外层每边人数是：960÷4÷3+3， =80+3， =83（人）， 83﹣2=81（人）， 答：中间一层每边人数是81人．   【详解】【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数=空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边人数，则再减去2人，就是中间一层的每边人数，据此解答即可． 21．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 【答案】解：8×4﹣4   =32﹣4 =28（盆） 8×8=64（盆） 答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花   【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题． 22．在一段长200米的公路的一侧栽松树，每隔40米载一棵（两端都要栽），一共需要栽多少棵松树？ 【答案】6棵 【详解】因为两端都要载，用200÷40＝5（棵） 5＋1＝6（棵） 答：一共需要栽6棵松树。 23．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 【答案】1994米 【详解】每队有60000÷25＝2400人，所以每队有2400÷32＝75排，于是每队排排之间有74个间隔，即每队长74×1＝74米． 但是每队之间又间隔6米，25队有24个间隔，即24×6＝144米，那么这只游行队伍的长度为74×25+144＝1994米． 24．50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等，现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？ 【答案】一共加入了100个女生，加入女生后，相邻两人之间的距离是2米． 【详解】试题分析：因为50个男生围成一圈，所以中间会有50个间隔，也就是能插入50×2个女生，先求得男生之间的间距再除以（2+1）就是加入女生后，相邻两人之间的距离；据此解答． 解：50×2=100（个） 300÷50÷（2+1） =300÷50÷3 =2（米） 答：一共加入了100个女生，加入女生后，相邻两人之间的距离是2米． 点评：本题考查了圆周上的植树问题，注意环形的间隔数等于站队的人数． 25．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？ 【答案】144人 【详解】解：（23+1）÷2=12（人） 12×12=144（人） 或 （23-1）÷2+1=12（人） 12×12=144(人)……高年级人数 26．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 【答案】这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子 【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数． （2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘层数，再乘4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个． 【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个） 答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $