小升初奥数培优讲义：复杂和倍差问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦复杂和倍差问题，目标培养学生转化条件、捕捉不变量的高阶思维，通过知识梳理（基础公式、四大高频题型）、例题讲解（典型题+跟踪训练）、高频真题演练的流程，系统帮助学生掌握解题方法。 亮点在于“四大核心技巧”与分层训练设计，如变倍问题中用不变量法统一份数，三量和倍问题通过补数还原转化模型，培养抽象能力与推理意识。真题覆盖多情境题型，助力学生构建解题模型，教师可依此精准教学，提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：复杂和倍差问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和倍差问题是小学数学应用题的“重中之重”，也是小升初奥数的核心拉分题型。基础和倍差题型简单易懂，而复杂和倍差问题，考验的是同学们转化条件、捕捉不变量、梳理逻辑关系的高阶数学思维。 本节课我们学习了多量和倍、带增减条件、和差变化、变倍问题等高频难点，所有复杂题型都万变不离其宗：无非是在基础公式上做条件伪装、数量变化。解题无需死记硬背，只要熟练掌握“补全条件、画图建模、锁定不变、统一份数”四大核心技巧，就能剥离题目伪装，将复杂问题转化为基础模型轻松求解。 数学学习贵在总结、重在变通。希望同学们吃透每一道例题的解题逻辑，区分各类题型的解题差异，规避易错陷阱，坚持复盘验算。在小升初的备考路上，沉淀解题方法、打磨逻辑思维，不惧题型变式，灵活应对各类难题，稳步夯实数学功底，全力冲刺理想成绩！ 一、问题定义 和倍差问题是小升初奥数应用题的核心必考题型，基础题型分为和倍问题、差倍问题、和差问题三类。复杂和倍差问题是在基础题型上的拔高延伸，题目不会直接给出明确的和、差、倍数关系，需要通过转化条件、抵消变量、寻找不变量、补全数量等方式，梳理出标准的和倍、差倍、和差关系，进而求解未知量。 这类题型侧重考察学生的条件转化能力和逻辑梳理能力，是小升初择校考试的高频重难点。 二、基础核心公式（解题根基） 1. 和倍问题 已知两个数的和与倍数关系：小数（1倍数）= 和 ÷（倍数+1），大数 = 和 - 小数 或 大数 = 小数×倍数 2. 差倍问题 已知两个数的差与倍数关系：小数（1倍数）= 差 ÷（倍数-1），大数 = 小数 + 差 或 大数 = 小数×倍数 3. 和差问题 已知两个数的和与差：大数 =（和+差）÷2，小数 =（和-差）÷2 三、复杂和倍差四大高频题型 复杂题型区别于基础题型，核心特点是条件隐藏、数量多变、倍数变化、多量叠加，主要分为四类： 1. 三量及多量和倍问题：三个及以上数量存在倍数关系，已知总和，无直接两两倍数，需要统一1倍数再求解； 2. 带多余/缺少条件的和倍差问题：题目出现“多几、少几、剩余、不足”，需要先补全和差，转化为标准和倍差题型； 3. 和差变化问题：两个数量经过增加、减少、互相转移后，和或差发生变化，需要先求出变化后的和差，再结合倍数求解； 4. 变倍问题（培优难点）：两个量同时变化，倍数关系改变，但和不变或差不变，抓住不变量统一份数是解题核心。 四、核心解题方法与技巧 1. 线段图法（万能方法）：通过画线段直观表示1倍数、多倍数、和、差、多余量、缺少量，快速梳理隐藏数量关系，规避逻辑错误； 2. 不变量法（变倍问题专属）：数量变化中，优先判断和不变、差不变还是单一量不变，以不变量为标准统一倍数份数； 3. 补数还原法：针对“多几、少几”题型，多的减掉、少的补上，把非标准和差转化为标准和差； 4. 份数统一法：多量、变倍题型中，统一1倍数的份数，通过份数差对应实际数量差求解。 五、通用解题步骤与避坑口诀 1. 解题步骤 ① 审题：筛选有效条件，区分已知和、差、倍数、多余、缺少、变化量； ② 转化：将复杂条件转化为标准的和倍、差倍、和差模型； ③ 建模：画线段图或统一份数，确定1倍数； ④ 计算：套用公式求出基础量，再推导所有未知量； ⑤ 验算：代入原题验证和、差、倍数关系是否成立。 2. 避坑口诀 有和有倍先找1，有差有倍定标准； 多则减去少则补，变量之中找不变； 多量统一一份数，线段理清万事通。 例题讲解 【典型例题1】三量复杂和倍问题 题目：甲、乙、丙三个数的和是180，已知甲数是乙数的2倍，丙数比乙数多20，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【分析】 本题为典型三量和倍问题，无统一标准量，需先确定最小量为1倍数。乙数最小，设乙数为1份，甲数为2份，丙数是1份多20。总和180包含整份数和多余的20，先减去多余量，将题型转化为标准三量和倍问题，再求出单份量。 【详解】 1. 确定份数：乙数=1份，甲数=2份，丙数=1份+20 2. 去除多余量，求标准总和： 3. 总份数：（份） 4. 1份量（乙数）： 5. 甲数： 6. 丙数： 验算：，符合题意。 【答案】 甲数=80，乙数=40，丙数=60 【跟踪训练1】 题目：三个数的和是150，第二个数是第一个数的3倍，第三个数比第一个数少10，三个数分别是多少？ 【分析】 三量和倍变式题，以第一个数为1倍数，第二个数为3份，第三个数为1份少10。需补上缺少的10，转化为标准整份数和倍问题，再分步求解。 【详解】 1. 设第一个数为1份，第二个数=3份，第三个数=1份-10 2. 补全缺少量： 3. 总份数：（份） 4. 第一个数： 5. 第二个数： 6. 第三个数： 【答案】 第一个数=32，第二个数=96，第三个数=22 【跟踪训练2】 题目：果园里共有果树120棵，桃树是梨树的2倍，苹果树比桃树少15棵，三种果树各有多少棵？ 【分析】 多量和倍拔高题，统一以梨树为1倍数，桃树为2份，苹果树为2份少15。通过补全缺少数量，将总和转化为整份数，再计算单份量与各量数值。 【详解】 1. 设梨树为1份，桃树=2份，苹果树=2份-15 2. 补全数量： 3. 总份数：（份） 4. 梨树：（棵） 5. 桃树：（棵） 6. 苹果树：（棵） 【答案】 梨树27棵，桃树54棵，苹果树39棵 【典型例题2】带多余条件的复杂和倍问题 题目：两数之和是95，其中大数比小数的4倍多5，求大数和小数各是多少？ 【分析】 非标准和倍问题，存在多余数值5，无法直接套用公式。解题关键：把大数多出的5减掉，剩余的和就是小数的（4+1）倍，转化为标准和倍问题求解。 【详解】 1. 去掉多余量，标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 验算：，符合题意。 【答案】 小数=18，大数=77 【跟踪训练1】 题目：两数之和是88，大数比小数的3倍多8，求两数分别是多少？ 【分析】 经典带多余条件和倍题型，先剔除大数多出的8，得到标准和，再利用和倍公式求出小数，最后求出大数。 【详解】 1. 标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=20，大数=68 【跟踪训练2】 题目：两数之和是102，大数比小数的5倍少6，求两数各是多少？ 【分析】 带缺少条件的和倍问题，大数不足小数的5倍，差6。需要补上缺少的6，将总和转化为标准倍数和，再套用公式计算。 【详解】 1. 补全缺少量，标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=18，大数=84 【典型例题3】复杂差倍问题（带增减条件） 题目：甲、乙两数的差是42，甲数比乙数的7倍少6，甲、乙两数各是多少？ 【分析】 非标准差倍问题，倍数关系带缺少量。甲数是乙数的7倍少6，说明甲数加6就正好是乙数的7倍，此时两数的差也会随之增加6，转化为标准差倍问题求解。 【详解】 1. 补全缺少量，标准差： 2. 倍数差： 3. 乙数（1倍数）： 4. 甲数： 验算：，符合题意。 【答案】 甲数=50，乙数=8 【跟踪训练1】 题目：两数之差是36，大数比小数的4倍多3，求大数和小数。 【分析】 带多余条件的差倍问题，大数比小数4倍多3，先减掉多余的3，得到标准差值，再用差倍公式计算1倍数。 【详解】 1. 标准差： 2. 倍数差： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=11，大数=47 【跟踪训练2】 题目：甲比乙大55，甲是乙的6倍少5，求甲、乙两数。 【分析】 差倍变式拔高题，通过补全缺少的数值，将非标准倍数转化为整倍数，利用标准差值和倍数差求出基础量。 【详解】 1. 标准差： 2. 倍数差： 3. 乙： 4. 甲： 【答案】 甲=67，乙=12 【典型例题4】和不变变倍问题（培优重难点） 题目：甲、乙两人共有零花钱120元，甲给乙20元后，甲的钱数是乙的2倍，原来甲、乙各有多少元？ 【分析】 经典和不变变倍问题，两人互相转账，总钱数始终不变。先根据变化后的倍数关系和不变的总和，求出变化后两人的钱数，再反向倒推还原原来的数量。 【详解】 1. 和不变，始终为120元，变化后倍数和： 2. 变化后乙的钱数：（元） 3. 变化后甲的钱数：（元） 4. 原来甲：（元） 5. 原来乙：（元） 【答案】 原来甲有100元，乙有20元 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两筐苹果共90个，从甲筐拿15个放入乙筐后，乙筐数量是甲筐的2倍，原来两筐各有多少个苹果？ 【分析】 总量不变变倍题型，物品内部转移，总数不变。先求变化后两筐数量，再逆向还原初始数量。 【详解】 1. 总数量不变，倍数和： 2. 变化后甲筐：（个） 3. 变化后乙筐：（个） 4. 原甲筐：（个） 5. 原乙筐：（个） 【答案】 原来甲筐45个，乙筐45个 【跟踪训练2】 题目：师徒二人共有零件140个，师傅给徒弟30个后，师傅零件数量是徒弟的1倍，原来师徒各有多少个零件？ 【分析】 和不变变式题，变化后数量相等，即1倍关系，先求变化后数量，再倒推原值。 【详解】 1. 总数140个不变，变化后两人数量相等：（个） 2. 原来师傅：（个） 3. 原来徒弟：（个） 【答案】 原来师傅100个，徒弟40个 【典型例题5】差不变变倍拔高问题 题目：甲的书本数量是乙的4倍，两人同时购入5本书后，甲的书本数量是乙的3倍，原来甲、乙各有多少本书？ 【分析】 差不变核心题型，两人增加相同数量，数量差始终不变。先统一差的份数，对比倍数变化，求出单份量，进而求解原值。 【详解】 1. 原来甲:乙=4:1，差为3份 2. 现在甲:乙=3:1，差为2份 3. 统一差的份数（3和2最小公倍数6）：原8:2，现9:3 4. 每人增加：份，对应5本书 5. 原乙：（本） 6. 原甲：（本） 【答案】 原来甲有40本，乙有10本 【跟踪训练1】 题目：甲的零花钱是乙的5倍，两人同时花掉10元后，甲的钱数是乙的7倍，原来两人各有多少钱？ 【分析】 同减差不变题型，两人减少相同数量，差值不变。通过统一差的份数，找到份数变化对应实际数量，求解单份值。 【详解】 1. 原甲:乙=5:1，差4份；现甲:乙=7:1，差6份 2. 统一差12份：原15:3，现14:2 3. 每人减少1份，对应10元 4. 原乙：（元） 5. 原甲：（元） 【答案】 原来甲150元，乙30元 【跟踪训练2】 题目：A的糖果是B的3倍，两人各增加8颗糖果后，A的糖果是B的2倍，原来两人各有多少颗糖果？ 【分析】 差不变拔高题型，增量相同、差值不变，统一差的份数后，根据份数增量对应实际数量，快速求解原值。 【详解】 1. 原A:B=3:1，差2份；现A:B=2:1，差1份 2. 统一差2份：原3:1，现4:2 3. 每人增加1份，对应8颗 4. 原B：（颗） 5. 原A：（颗） 【答案】 原来A有24颗，B有8颗 高频真题 1．师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？ 【答案】8个；4个 【分析】根据师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量得出师傅每小时价格的零件是徒弟的2倍。两个人合作10个小时加工了120个，用除法得出两个人合作每小时加工的零件为12个。即徒弟每小时做1份的零件，师傅做2份零件，合作3份的零件是12个，每一份零件是4个，则徒弟每小时加工的零件是4个，师傅每小时做的零件数＝徒弟每小时的零件数×2即可。 【详解】120÷10＝12（个） 12÷（2＋1） ＝12÷3 ＝4（个） 4×2＝8（个） 答：师傅每小时加工8个零件，徒弟每小时加工4个零件。 2．已知两个自然数的和与这两个自然数的差的积是187。问这两个自然数各是多少？ 【答案】14和3、94和93 【分析】先将187写成两个数的乘积，即可假设两个数的和以及差，再根据和差公式：大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2得出这两个自然数。 【详解】187＝11×17＝1×187 假设差是11，和是17。 （11＋17）÷2 ＝28÷2 ＝14 （17－11）÷2 ＝6÷2 ＝3 假设差是1，和是187。 （1＋187）÷2 ＝188÷2 ＝94 （187－1）÷2 ＝186÷2 ＝93 答：这两个自然数分别是14和3或者94和93。 3．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨．面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？ 【答案】70吨  175吨 【详解】大米:（60+45+35）÷（3-1）=70（吨） 面粉:70+60+45=175（吨） 答：原来有大米70吨，面粉175吨。 4．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆．每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的汽车是24辆．经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？ 【答案】6天 【分析】根据题意，两站的汽车数的和不变，是192+48=240辆，当甲站的汽车是乙站7倍时，可以求出乙站这时的汽车辆数；每天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站的汽车有24辆，相当于每天乙站向甲站开往24-21=3辆，用乙站开始的48辆减去现在的，再除以3即可． 【详解】192+48=240（辆） 240÷（7+1）=30（辆） （48-30）÷（24-21） =18÷3 =6（天） 答：经过6天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍． 5．甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克，求乙的体重． 【答案】65千克 【分析】因为甲乙丙平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，这说明：只要把多余的3千克给丙，那么丙就是63千克了，由此可以先算出甲和乙的平均体重；进而根据题意，依次求出丙、甲、乙的体重． 【详解】甲与乙的平均体重：（63×3+3）÷3=64（千克） 丙的体重：64-3=61（千克） 甲的体重：61+2=63（千克） 乙的体重：64×2－63=65（千克） 答：乙的体重是65千克． 6．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？ 【答案】父亲40岁；母亲36岁；儿子11岁 【分析】母亲年龄＝父亲、母亲和儿子年龄之和－父亲和儿子年龄之和，据此再结合题干母亲与儿子年龄加起来是47岁，用47减去母亲的年龄，即可得出儿子的年龄。再根据父亲与儿子年龄加起来是51岁，用51减去儿子的年龄，即可得出父亲的年龄。 【详解】母亲：87－51＝36（岁） 儿子：47－36＝11（岁） 父亲：51－11＝40（岁） 答：父亲40岁，母亲36岁，儿子11岁。 7．一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋多少元？ 【答案】10元 【详解】由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得， 鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元） 故答案：10元． 8．有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆? 【答案】4 【详解】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：,解得，所以有4堆． 9．甲、乙两个书架共有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，问乙书架原有多少本书？ 【答案】500本 【详解】 这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多本，也就是说：甲的比乙的的两倍还多本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的比乙的的两倍还多本”其实也就是“甲的比乙的多本”，如果同时扩大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的比乙多本”，结合“甲乙的和为本”这个条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。 ，，（本），， （本） 甲的书本数目 （本） 乙的书本数目 方法二：设甲原有x本书，，解得，则乙为500本。 10．四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 【答案】45块橡皮；80支铅笔． 【详解】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)． 11．小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？ 【答案】132只 【详解】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）． 12．五（一）班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的。原计划抽多少个同学参加大扫除？ 【答案】8人 【分析】把全班的总人数看作单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”，找2对应的分数（），据除法的意义求出全班的人数，全班人数乘得出原来参加大扫除的人数。 【详解】2÷（）× ＝2÷× ＝40× ＝8（人） 答：原计划有8位同学参加大扫除。 【点睛】这道题关键在于统一单位“1”，“实际参加的人数是没参加的”转化为“实际参加的是总数的”。 13．有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？ 【答案】14个 【详解】1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨．苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有3×4+2=14（个）． 14．一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？ 【答案】12袋 【分析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半． 同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多． 【详解】一包方糖有（块）． 于是喝前两盒咖啡用掉方糖（块）； 每盒咖啡的袋数为： （袋）． 15．1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？ 【答案】35岁 【详解】将父母看成一个人，年龄每年增加2岁，兄弟看成一个人每年增加2岁，设父母1年前年龄和是7份，那么1年前兄弟二人的年龄就是1份，后来过了年，兄弟年龄是1份加10，4倍就是4份加40，父母年龄是7份加10，所以1份就是，所以1年前父母和是70，妈妈年龄，妈妈今年35岁． 16．父子年龄之和是岁，再过年，父亲的年龄正好是儿子的倍，父子今年各多少岁？ 【答案】父亲39岁，儿子6岁 【详解】再过年，父子俩一共长了岁，那时他们的年龄之和是(岁)，由于父亲的年龄是儿子的倍，因而岁相当于儿子年龄的倍，可以先求出儿子年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄． 年后的年龄和为：(岁) 年后儿子的年龄：(岁) 儿子今年的年龄：(岁)，父亲今年的年龄：(岁) 17．李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？ 【答案】李伟24岁，张磊11岁 【详解】由题中“李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等”这个条件我们可以知道李伟比张磊大：（岁）；又由题中“李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁”可以知道他们两人今年的年龄和是：（岁），再根据和差关系就可以解答了．李伟的年龄：（岁），张磊的年龄：（岁）． 18．甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？ 【答案】甲28岁，乙21岁 【详解】当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：(岁），所以现在甲年龄为：(岁），乙年龄为：(岁）． 19．姐妹两人买东西,姐姐带的钱数是妹妹的2倍,姐姐用去180元,妹妹用去30元,这时二人剩下的钱数相等,问姐妹各带了多少元? 【答案】300 150 【详解】 由上图可以看出姐姐比妹妹多花180-30=150(元),正好是妹妹带的钱数的1倍,也就是妹妹带了150元,姐姐带的钱数很容易也就求出来了. 180-30=150(元) 150×2=300(元) 答:姐姐带了300元,姐妹带了150元. 20．某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？ 【答案】50人 【分析】因为总人数未变，以总人数作为“1”。原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：l÷（－）＝50（人）。 【详解】这个班共有人数：1÷（－）＝1÷＝50（人） 答：这个班共有50人 【点睛】本题考查分数四则复合应用题，抓住全班人数不发生改变，所以将其看做单位“1”。 21．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？ 【答案】260米 【分析】由于甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；同理乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，用单位“1”减去甲乙丙的占比和，即是丁队的占比，然后乘总长度1200米即可解答。 【详解】所以丁筑路为：1200×（1－－－） ＝1200×（1－－－） ＝1200× ＝260（米） 答：丁队筑路260米。 【点睛】此题考查学生对比例分配应用题的掌握，需要注意各队占比与总占比之间的关系。 22．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？ 【答案】男生541人  女生434人 【详解】解：设六年级学生人数是“1份”，那么男生是4份-23人，女生是3份+11人，全校是7份-（23-11）人． 每份是（975+12）÷7＝141（人） 男生人数：141×4-23＝541（人） 女生人数：975-541＝434（人） 答：有男生541人、女生434人. 23．张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？ 【答案】50元 【详解】我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是270元，差是210元. 外衣和鞋价之和=（270＋210）÷2＝240（元） 外衣价与鞋价之差是140，因此鞋价=（240-140）÷2＝50（元） 答：买这双鞋花50元. 24．一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？ 【答案】2200克 【详解】第二次运出余下：(250＋20)×2＝540(克)，第一次运出余下： (540＋50)×2＝1180(克)，那么在第一次没运之前有食物(1180－80)×2．即： [(250＋20)×2＋50]×2－80＝1100(克) 1100×2＝2200(克) 25．一次口算比赛共20道题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣5分，不做不得分也不扣分．东东在比赛中每道题都做了，最后考了60分．你知道东东做对了几道题吗？ 【答案】(20×5－60)÷(5＋5)＝4(道) 20－4＝16(道) 答：东东做对了16道题． 【详解】略 26．幼儿园有三个班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，结果甲班比乙班共多分个枣，乙班比丙班总共多分个枣．问：三个班总共分了多少个枣？ 【答案】673个 【详解】设丙班有小孩x人 由于甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，所以甲班每个小孩比丙班每个小孩少分8个枣这样，甲班x小孩比丙班x小孩少分8x个枣由于甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班多分5个枣，所以甲班比丙班总共多分8个枣． 又由题意知道甲班比丙班多8个小孩，这8个小孩只分到8x＋8个枣．甲班每个小孩分到的枣是： (8x＋8)÷8＝x＋1(个) 同理，乙班x个小孩比丙班每个小弦少分5x个枣乙班每个小孩分枣：(5x＋5)÷4 我们可以得到方程：x＋1＋3＝． 解方程：x＝11 因此：甲班小孩19人，每个小孩分枣12个； 　　　　乙班小孩15人，每个小孩分枣15个； 　　　　丙班小孩11人，每个小孩分枣20个． 　　　　11×20＋15×15＋19×12＝673(个)． 答：三个班共分673个枣． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：复杂和倍差问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 知识梳理 学习寄语 和倍差问题是小学数学应用题的“重中之重”，也是小升初奥数的核心拉分题型。基础和倍差题型简单易懂，而复杂和倍差问题，考验的是同学们转化条件、捕捉不变量、梳理逻辑关系的高阶数学思维。 本节课我们学习了多量和倍、带增减条件、和差变化、变倍问题等高频难点，所有复杂题型都万变不离其宗：无非是在基础公式上做条件伪装、数量变化。解题无需死记硬背，只要熟练掌握“补全条件、画图建模、锁定不变、统一份数”四大核心技巧，就能剥离题目伪装，将复杂问题转化为基础模型轻松求解。 数学学习贵在总结、重在变通。希望同学们吃透每一道例题的解题逻辑，区分各类题型的解题差异，规避易错陷阱，坚持复盘验算。在小升初的备考路上，沉淀解题方法、打磨逻辑思维，不惧题型变式，灵活应对各类难题，稳步夯实数学功底，全力冲刺理想成绩！ 一、问题定义 和倍差问题是小升初奥数应用题的核心必考题型，基础题型分为和倍问题、差倍问题、和差问题三类。复杂和倍差问题是在基础题型上的拔高延伸，题目不会直接给出明确的和、差、倍数关系，需要通过转化条件、抵消变量、寻找不变量、补全数量等方式，梳理出标准的和倍、差倍、和差关系，进而求解未知量。 这类题型侧重考察学生的条件转化能力和逻辑梳理能力，是小升初择校考试的高频重难点。 二、基础核心公式（解题根基） 1. 和倍问题 已知两个数的和与倍数关系：小数（1倍数）= 和 ÷（倍数+1），大数 = 和 - 小数 或 大数 = 小数×倍数 2. 差倍问题 已知两个数的差与倍数关系：小数（1倍数）= 差 ÷（倍数-1），大数 = 小数 + 差 或 大数 = 小数×倍数 3. 和差问题 已知两个数的和与差：大数 =（和+差）÷2，小数 =（和-差）÷2 三、复杂和倍差四大高频题型 复杂题型区别于基础题型，核心特点是条件隐藏、数量多变、倍数变化、多量叠加，主要分为四类： 1. 三量及多量和倍问题：三个及以上数量存在倍数关系，已知总和，无直接两两倍数，需要统一1倍数再求解； 2. 带多余/缺少条件的和倍差问题：题目出现“多几、少几、剩余、不足”，需要先补全和差，转化为标准和倍差题型； 3. 和差变化问题：两个数量经过增加、减少、互相转移后，和或差发生变化，需要先求出变化后的和差，再结合倍数求解； 4. 变倍问题（培优难点）：两个量同时变化，倍数关系改变，但和不变或差不变，抓住不变量统一份数是解题核心。 四、核心解题方法与技巧 1. 线段图法（万能方法）：通过画线段直观表示1倍数、多倍数、和、差、多余量、缺少量，快速梳理隐藏数量关系，规避逻辑错误； 2. 不变量法（变倍问题专属）：数量变化中，优先判断和不变、差不变还是单一量不变，以不变量为标准统一倍数份数； 3. 补数还原法：针对“多几、少几”题型，多的减掉、少的补上，把非标准和差转化为标准和差； 4. 份数统一法：多量、变倍题型中，统一1倍数的份数，通过份数差对应实际数量差求解。 五、通用解题步骤与避坑口诀 1. 解题步骤 ① 审题：筛选有效条件，区分已知和、差、倍数、多余、缺少、变化量； ② 转化：将复杂条件转化为标准的和倍、差倍、和差模型； ③ 建模：画线段图或统一份数，确定1倍数； ④ 计算：套用公式求出基础量，再推导所有未知量； ⑤ 验算：代入原题验证和、差、倍数关系是否成立。 2. 避坑口诀 有和有倍先找1，有差有倍定标准； 多则减去少则补，变量之中找不变； 多量统一一份数，线段理清万事通。 例题讲解 【典型例题1】三量复杂和倍问题 题目：甲、乙、丙三个数的和是180，已知甲数是乙数的2倍，丙数比乙数多20，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【分析】 本题为典型三量和倍问题，无统一标准量，需先确定最小量为1倍数。乙数最小，设乙数为1份，甲数为2份，丙数是1份多20。总和180包含整份数和多余的20，先减去多余量，将题型转化为标准三量和倍问题，再求出单份量。 【详解】 1. 确定份数：乙数=1份，甲数=2份，丙数=1份+20 2. 去除多余量，求标准总和： 3. 总份数：（份） 4. 1份量（乙数）： 5. 甲数： 6. 丙数： 验算：，符合题意。 【答案】 甲数=80，乙数=40，丙数=60 【跟踪训练1】 题目：三个数的和是150，第二个数是第一个数的3倍，第三个数比第一个数少10，三个数分别是多少？ 【分析】 三量和倍变式题，以第一个数为1倍数，第二个数为3份，第三个数为1份少10。需补上缺少的10，转化为标准整份数和倍问题，再分步求解。 【详解】 1. 设第一个数为1份，第二个数=3份，第三个数=1份-10 2. 补全缺少量： 3. 总份数：（份） 4. 第一个数： 5. 第二个数： 6. 第三个数： 【答案】 第一个数=32，第二个数=96，第三个数=22 【跟踪训练2】 题目：果园里共有果树120棵，桃树是梨树的2倍，苹果树比桃树少15棵，三种果树各有多少棵？ 【分析】 多量和倍拔高题，统一以梨树为1倍数，桃树为2份，苹果树为2份少15。通过补全缺少数量，将总和转化为整份数，再计算单份量与各量数值。 【详解】 1. 设梨树为1份，桃树=2份，苹果树=2份-15 2. 补全数量： 3. 总份数：（份） 4. 梨树：（棵） 5. 桃树：（棵） 6. 苹果树：（棵） 【答案】 梨树27棵，桃树54棵，苹果树39棵 【典型例题2】带多余条件的复杂和倍问题 题目：两数之和是95，其中大数比小数的4倍多5，求大数和小数各是多少？ 【分析】 非标准和倍问题，存在多余数值5，无法直接套用公式。解题关键：把大数多出的5减掉，剩余的和就是小数的（4+1）倍，转化为标准和倍问题求解。 【详解】 1. 去掉多余量，标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 验算：，符合题意。 【答案】 小数=18，大数=77 【跟踪训练1】 题目：两数之和是88，大数比小数的3倍多8，求两数分别是多少？ 【分析】 经典带多余条件和倍题型，先剔除大数多出的8，得到标准和，再利用和倍公式求出小数，最后求出大数。 【详解】 1. 标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=20，大数=68 【跟踪训练2】 题目：两数之和是102，大数比小数的5倍少6，求两数各是多少？ 【分析】 带缺少条件的和倍问题，大数不足小数的5倍，差6。需要补上缺少的6，将总和转化为标准倍数和，再套用公式计算。 【详解】 1. 补全缺少量，标准和： 2. 倍数和： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=18，大数=84 【典型例题3】复杂差倍问题（带增减条件） 题目：甲、乙两数的差是42，甲数比乙数的7倍少6，甲、乙两数各是多少？ 【分析】 非标准差倍问题，倍数关系带缺少量。甲数是乙数的7倍少6，说明甲数加6就正好是乙数的7倍，此时两数的差也会随之增加6，转化为标准差倍问题求解。 【详解】 1. 补全缺少量，标准差： 2. 倍数差： 3. 乙数（1倍数）： 4. 甲数： 验算：，符合题意。 【答案】 甲数=50，乙数=8 【跟踪训练1】 题目：两数之差是36，大数比小数的4倍多3，求大数和小数。 【分析】 带多余条件的差倍问题，大数比小数4倍多3，先减掉多余的3，得到标准差值，再用差倍公式计算1倍数。 【详解】 1. 标准差： 2. 倍数差： 3. 小数： 4. 大数： 【答案】 小数=11，大数=47 【跟踪训练2】 题目：甲比乙大55，甲是乙的6倍少5，求甲、乙两数。 【分析】 差倍变式拔高题，通过补全缺少的数值，将非标准倍数转化为整倍数，利用标准差值和倍数差求出基础量。 【详解】 1. 标准差： 2. 倍数差： 3. 乙： 4. 甲： 【答案】 甲=67，乙=12 【典型例题4】和不变变倍问题（培优重难点） 题目：甲、乙两人共有零花钱120元，甲给乙20元后，甲的钱数是乙的2倍，原来甲、乙各有多少元？ 【分析】 经典和不变变倍问题，两人互相转账，总钱数始终不变。先根据变化后的倍数关系和不变的总和，求出变化后两人的钱数，再反向倒推还原原来的数量。 【详解】 1. 和不变，始终为120元，变化后倍数和： 2. 变化后乙的钱数：（元） 3. 变化后甲的钱数：（元） 4. 原来甲：（元） 5. 原来乙：（元） 【答案】 原来甲有100元，乙有20元 【跟踪训练1】 题目：甲、乙两筐苹果共90个，从甲筐拿15个放入乙筐后，乙筐数量是甲筐的2倍，原来两筐各有多少个苹果？ 【分析】 总量不变变倍题型，物品内部转移，总数不变。先求变化后两筐数量，再逆向还原初始数量。 【详解】 1. 总数量不变，倍数和： 2. 变化后甲筐：（个） 3. 变化后乙筐：（个） 4. 原甲筐：（个） 5. 原乙筐：（个） 【答案】 原来甲筐45个，乙筐45个 【跟踪训练2】 题目：师徒二人共有零件140个，师傅给徒弟30个后，师傅零件数量是徒弟的1倍，原来师徒各有多少个零件？ 【分析】 和不变变式题，变化后数量相等，即1倍关系，先求变化后数量，再倒推原值。 【详解】 1. 总数140个不变，变化后两人数量相等：（个） 2. 原来师傅：（个） 3. 原来徒弟：（个） 【答案】 原来师傅100个，徒弟40个 【典型例题5】差不变变倍拔高问题 题目：甲的书本数量是乙的4倍，两人同时购入5本书后，甲的书本数量是乙的3倍，原来甲、乙各有多少本书？ 【分析】 差不变核心题型，两人增加相同数量，数量差始终不变。先统一差的份数，对比倍数变化，求出单份量，进而求解原值。 【详解】 1. 原来甲:乙=4:1，差为3份 2. 现在甲:乙=3:1，差为2份 3. 统一差的份数（3和2最小公倍数6）：原8:2，现9:3 4. 每人增加：份，对应5本书 5. 原乙：（本） 6. 原甲：（本） 【答案】 原来甲有40本，乙有10本 【跟踪训练1】 题目：甲的零花钱是乙的5倍，两人同时花掉10元后，甲的钱数是乙的7倍，原来两人各有多少钱？ 【分析】 同减差不变题型，两人减少相同数量，差值不变。通过统一差的份数，找到份数变化对应实际数量，求解单份值。 【详解】 1. 原甲:乙=5:1，差4份；现甲:乙=7:1，差6份 2. 统一差12份：原15:3，现14:2 3. 每人减少1份，对应10元 4. 原乙：（元） 5. 原甲：（元） 【答案】 原来甲150元，乙30元 【跟踪训练2】 题目：A的糖果是B的3倍，两人各增加8颗糖果后，A的糖果是B的2倍，原来两人各有多少颗糖果？ 【分析】 差不变拔高题型，增量相同、差值不变，统一差的份数后，根据份数增量对应实际数量，快速求解原值。 【详解】 1. 原A:B=3:1，差2份；现A:B=2:1，差1份 2. 统一差2份：原3:1，现4:2 3. 每人增加1份，对应8颗 4. 原B：（颗） 5. 原A：（颗） 【答案】 原来A有24颗，B有8颗 高频真题 1．师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？ 2．已知两个自然数的和与这两个自然数的差的积是187。问这两个自然数各是多少？ 3．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨．面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？ 4．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆．每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的汽车是24辆．经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？ 5．甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克，求乙的体重． 6．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？ 7．一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋多少元？ 8．有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆? 9．甲、乙两个书架共有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，问乙书架原有多少本书？ 10．四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 11．小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？ 12．五（一）班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的。原计划抽多少个同学参加大扫除？ 13．有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？ 14．一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？ 15．1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？ 16．父子年龄之和是岁，再过年，父亲的年龄正好是儿子的倍，父子今年各多少岁？ 17．李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？ 18．甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？ 19．姐妹两人买东西,姐姐带的钱数是妹妹的2倍,姐姐用去180元,妹妹用去30元,这时二人剩下的钱数相等,问姐妹各带了多少元? 20．某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？ 21．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？ 22．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？ 23．张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？ 24．一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？ 25．一次口算比赛共20道题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣5分，不做不得分也不扣分．东东在比赛中每道题都做了，最后考了60分．你知道东东做对了几道题吗？ 26．幼儿园有三个班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，结果甲班比乙班共多分个枣，乙班比丙班总共多分个枣．问：三个班总共分了多少个枣？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $