小升初奥数培优讲义：位值原理-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦位值原理专题，目标是让学生掌握多位数展开公式、数字互换规律等核心内容，通过知识梳理、例题讲解（含六大梯度题型）、高频真题巩固等环节，帮助学生系统构建位值原理解题体系。 亮点在于“原理拆解+规律建模”教学法，如两位数互换和差问题用11倍、9倍规律验证培养推理意识，通过“设数位-套公式-列等式-验整数”四步法强化模型意识，跟踪训练与真题结合助力突破数位求值等难点，教师可精准把握学生掌握情况提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：位值原理 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 位值原理是小学数论体系的基石、数字类奥数题型的万能底层逻辑，区别于常规计算题型，它跳出了“直接算数”的固化思维，教会同学们用代数拆解、规律建模、逻辑推理的方式分析数字问题，是小升初择校、分班考极具区分度的核心考点。 本节课我们系统吃透了位值原理全维度考点：精准区分数字面值与数位权重，熟练掌握两位、三位、多位数标准展开公式，吃透数字互换、添0去0、数位变动三大核心规律，攻克了基础展开、数位求值、差值计算、方程压轴六大梯度题型，掌握了标准化解题四步法与秒杀口诀，规避了首位为0、公式混淆、规律记错等高频易错陷阱。 绝大多数数字谜、数论求值、数字变形、多位数求和难题，本质都是位值原理的变形应用。看似复杂的数字变化，只要拆解到位、套用规律，就能化繁为简、快速破题。希望同学们牢记“重原理、轻硬算、善拆解、会建模”的奥数思维，摒弃机械算数的习惯，吃透数位核心规律，灵活运用公式逆向推理。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础满分与拔高分值，更能培养抽象思维与方程思想，完美衔接初中代数、数论重难点，让你的数学思维稳步进阶、领跑备考！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 位值原理是小升初数论核心基础专题、重点中学择校考、分班考高频必考考点，是小学奥数数字类题型的底层逻辑，也是后续数论综合、数字谜、不定方程、进位制问题的前置核心知识点。校内数学仅直观认识数位、读数写数，不涉及原理拆解与公式运算，而奥数中位值原理侧重数字化拆解、代数表达、规律推导、差值计算、逆向求值，属于“简单原理、灵活题型、极易失分”的拉分专题。 本专题核心本质：同一个数字在不同数位上，代表的数值大小不同，数字本身值+数位权重=实际数值。通过把多位数拆分为“数字×数位权重”的代数形式，摆脱具象数字限制，用公式和逻辑解决各类数字变形、互换、增减、求和、求差问题。 小升初高频考查题型：多位数标准拆分、数字互换求差值、已知数位关系求原数、多位数添0去0变值、多位分组求和、数字移位求值、位值方程压轴题、最值与存在性推理题。 二、核心基础概念（必背） 1. 位值原理定义：任何一个多位数的数值，由数字本身和它所在的数位共同决定。相同数字在不同数位上的计数单位（位权）不同，代表的实际数值不同，这就是位值原理。 举例：数字6，在个位表示6个一（数值6），在十位表示6个十（数值60），在百位表示6个百（数值600）。 2. 数位与位权：十进制中，从右往左数位依次为个位、十位、百位、千位……，对应位权依次为（即10的0次方、1次方、2次方、3次方）。 3. 核心区分：数字本身是“面值”，数位决定“权重”，多位数实际数值=各数位数字×对应位权之和。 三、多位数标准展开公式（奥数核心） 设多位数各数位数字为未知数，通用拆解公式（必考）： 1.两位数：十位数字为a，个位数字为b（a≠0），则两位数可表示为： 2. 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a≠0），则三位数可表示为： 3. 四位数：千位a、百位b、十位c、个位d，可表示为： 4. 通用规律：n位数，从左至右每一位数字依次乘以10的递减次方，再求和。 四、高频衍生公式（拔高秒解） 1. 两位数数字互换公式 原数，互换后新数； 两数和：，和一定是11的倍数； 两数差：，差一定是9的倍数。 2. 三位数数字整体互换公式 原数，首尾互换新数； 两数差：，差值一定是99的倍数。 3. 末尾添0/去0规律 一个数末尾添一个0，数值扩大10倍，增加原数的9倍； 一个数末尾去掉一个0，数值缩小10倍，减少原数的。 五、四大经典解题模型（全覆盖题型） 1. 拆分求值模型（基础） 直接利用位值公式展开多位数，代入数字计算数值、和、差，适用于基础计算题。 2. 互换规律模型（高频） 题干出现“数字互换、倒序数字、反序数”，直接套用11、9、99倍数规律，快速求解和差、原数。 3. 数位关系模型（应用） 已知数位之间的和、差、倍数关系，设未知数结合位值公式列等式，逆向求原多位数。 4. 数位变动模型（拔高） 题干出现“添数字、去数字、末尾添0、首位移末位、末位移首位”，通过新旧数差值建立方程求解。 六、标准解题四步法 第一步：设数位：根据题意设各数位未知数字（首位不为0）； 第二步：套公式：用位值原理写出原数、新数的代数表达式； 第三步：列等式：根据和、差、倍数、增减关系列方程或算式； 第四步：验整数：数字为0-9的整数、首位不为0，筛选合法答案。 七、高频易错点汇总 1. 混淆数字面值与位值，直接将数位数字相加代替多位数数值； 2. 两位数、三位数展开公式记忆错误，位权漏写、错写； 3. 忽略多位数首位不能为0的隐藏条件，出现无效答案； 4. 数字互换和差规律记混，分不清11倍、9倍、99倍适用场景； 5. 添0去0问题搞错倍数关系，无法对应数值变化量； 6. 多数位未知数求解时，忽略数字0-9的取值范围。 八、专题解题口诀 数字本身为面值，数位权重定大小； 两位展开十加个，三位百十个位和； 互换和为十一倍，差值九倍莫记错； 添零扩十去零缩，位值拆分解千题。 例题讲解 【典型例题1】基础位值展开计算（入门必考） 题目：一个两位数，十位数字是7，个位数字是3，请用位值原理展开并计算这个数的数值。 【分析】 基础入门题型，考察两位数标准位值展开公式。十位数字位权为10，个位数字位权为1，分别计算数值后求和即可得到多位数实际值。 【详解】 根据两位数位值公式：，其中； 代入计算：。 【答案】 该两位数为73。 【跟踪训练1】 题目：一个三位数，百位5、十位0、个位8，用位值原理展开求值。 【分析】 运用三位数标准展开公式，0占位数位正常代入计算，不影响公式结构。 【详解】 三位数公式：，； 数值：。 【答案】 该三位数为508。 【跟踪训练2】 题目：四位数千位9、十位6、其余数位为1，用位值原理展开求值。 【分析】 根据四位数位权规则，依次对应千、百、十、个位权重，代入数字展开计算。 【详解】 四位数公式：，； 数值：。 【答案】 该四位数为9161。 【典型例题2】两位数数字互换和差问题（高频必考） 题目：一个两位数，十位数字是5，个位数字是2，将数字互换位置得到新数，求新旧两数的和与差，并验证规律。 【分析】 经典互换题型，先通过位值公式求出原数与新数，再计算和与差，验证“和是11的倍数、差是9的倍数”的核心规律，巩固公式应用。 【详解】 1. 原数：，新数（互换后）：； 2. 两数和：，，是11的倍数； 3. 两数差：，，是9的倍数。 【答案】 和为77，差为27；和是11的倍数，差是9的倍数，符合位值规律。 【跟踪训练1】 题目：一个两位数是83，数字互换后得到新数，求两数的和与差。 【分析】 套用两位数互换位值公式，快速计算和差，验证倍数规律。 【详解】 原数83，新数38；和：，差：。 【答案】 和为121，差为45。 【跟踪训练2】 题目：一个两位数数字互换后，两数和为99，求这个两位数的数位数字之和。 【分析】 逆向运用互换和公式：和=，已知和反向求数字和。 【详解】 由，得。 【答案】 数位数字之和为9。 【典型例题3】数位关系求原数（基础拔高） 题目：一个两位数，十位数字比个位数字大3，两个数字之和是9，求这个两位数。 【分析】 数位关系应用题，先根据和差条件求出个位、十位数字，再通过位值公式组合成原两位数，核心是先解数位未知数，再还原多位数。 【详解】 1. 已知十位数字-个位数字=3，十位数字+个位数字=9； 2. 和差计算：十位数字=，个位数字=； 3. 原数：。 【答案】 这个两位数是63。 【跟踪训练1】 题目：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，数字和为6，求原数。 【分析】 根据倍数与和的关系先求数位数字，再用位值公式还原多位数。 【详解】 设十位数字为x，个位为2x，，解得； 十位2，个位4，原数：。 【答案】 这个两位数是24。 【跟踪训练2】 题目：一个三位数，百位比十位大1，十位比个位大1，三个数字和为6，求这个三位数。 【分析】 根据数位递进关系设未知数，结合数字和求解各数位，再展开求值。 【详解】 设个位数字为x，十位，百位； ，解得； 个位1、十位2、百位3，原数：。 【答案】 这个三位数是321。 【典型例题4】末尾添0去0变值问题（名校常考） 题目：一个自然数，末尾添上一个0后，得到的新数比原数大108，求原数。 【分析】 经典数位变动题型，末尾添0，原数扩大10倍，新数=原数×10，差值为原数的9倍，利用倍数差直接求解。 【详解】 1. 添0后新数是原数10倍，比原数多9倍； 2. 原数：。 【答案】 原数是12。 【跟踪训练1】 题目：一个整数末尾添一个0，新数与原数的和是132，求原数。 【分析】 添0后为原数10倍，两数和为原数的11倍，用和除以11即可求出原数。 【详解】 和对应倍数：倍，原数：。 【答案】 原数是12。 【跟踪训练2】 题目：一个整数末尾去掉一个0，数值减少了144，求原数。 【分析】 去0后原数缩小10倍，剩余数为原数，减少部分为原数。 【详解】 原数：。 【答案】 原数是160。 【典型例题5】三位数互换差值综合题（拔高题型） 题目：一个三位数，百位是8，个位是3，首尾数字互换得到新数，求新旧两数的差值。 【分析】 三位数首尾互换题型，套用核心规律：差值为，也可展开位值公式计算验证。 【详解】 1. 原数：，新数：； 2. 差值：； 3. 规律验证：，十位数字不影响差值。 【答案】 两数差值为495。 【跟踪训练1】 题目：三位数百位7、个位2，首尾互换，求两数差值。 【分析】 直接套用三位数互换差值公式，快速计算，无需考虑十位数字。 【详解】 差值：。 【答案】 差值为495。 【跟踪训练2】 题目：一个三位数首尾互换后，新数比原数小198，已知百位比个位大，求百位与个位的数字差。 【分析】 逆向运用三位数差值公式，差值÷99=百位个位数字差。 【详解】 数字差：。 【答案】 百位数字比个位数字大2。 【典型例题6】位值原理方程压轴题（分班考真题） 题目：一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换后，新数比原数大27，已知原两位数十位数字与个位数字和为7，求原两位数。 【分析】 小升初压轴高频题型，结合位值公式、和差条件列方程求解。设十位、个位数字为未知数，利用互换差值公式建立等式，结合数字和求解。 【详解】 1. 设原数十位为a，个位为b，原数，新数； 2. 差值条件：，化简得，即； 3. 已知，联立得：； 4. 原数：。 【答案】 原两位数是25。 【跟踪训练1】 题目：两位数互换数字后比原数小45，数字和为9，求原数。 【分析】 利用位值差值公式化简等式，结合数字和条件联立求解数位数字。 【详解】 ，得，又； 解得，原数=72。 【答案】 原数是72。 【跟踪训练2】 题目：一个两位数，数字和为10，互换后新数与原数的差为18，求原数（所有可能值）。 【分析】 差值存在两种情况：原数大或新数大，需要分类讨论，枚举所有合法整数解。 【详解】 由差值18得数字差：，数字和为10； 情况1：十位>个位，十位6、个位4，原数64； 情况2：十位<个位，十位4、个位6，原数46。 【答案】 原数为64或46。 高频真题 1．已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2015的倍数。那么三位数ABC是( )。 【答案】465 【分析】根据“编码数”的规律，“＝×1001”，可以先把六位数 拆成 ×1001进行变形。对 1001 和 2015 分解质因数，找出它们的公因数与互质部分，根据互质关系判断 必须是 2015 中对应质因数的倍数，这样一来就大大缩小了范围。最后再结合 A、B、C 是不同非零数字这个条件，找到符合要求的三位数 。 【详解】＝×1001 1001＝7×11×13 2015＝5×13×31 因为是2015的倍数， 所以×7×11×13是5×13×31的倍数， 约去公因数13，得×7×11是5×31的倍数。 7、11与5、31互质，因此必须是5×31＝155的倍数。 三位数中155的倍数有： 155、310、465、620、775、930。 又A、B、C是互不相同的非零数字： 155：两个5，重复，舍去； 310：含0，舍去； 465：4、6、5互不相同且非零，符合； 620：含0，舍去； 775：两个7，重复，舍去； 930：含0，舍去。 因此，三位数是465。 2．整数“35”读作“三十五”，是由三个十、五个一组成，如果一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，那么这个三位数是________。 【答案】 100a + 10b + c 【分析】百位上是a，表示a个百；十位上是b，表示b个十；个位上是c，表示c个一，则这个三位数是100a＋10b＋c。 【详解】一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，那么这个三位数是：100a＋10b＋c。 3．从数字1，2，3，4，5中任意取4个组成四位数，则这些四位数的平均数是________。 【答案】3333 【分析】先计算组成的四位数的总个数，再分析每个数字在各个数位上出现的次数，求出所有四位数的总和，最后用总和除以总个数得到平均数即可。 【详解】根据题意，从5个数字中选4个组成四位数，根据排列组合的乘法原理， 总个数：（个） 对于1，2，3，4，5中任意一个数字，它在千位、百位、十位、个位上出现的次数均为： （次） 个位上的数字总和为：； 十位上的数字总和为： ； 百位上的数字总和为： ； 千位上的数字总和为： ； 四位数的总和： ＋＋＋ 平均数为总和除以总个数， 即 则这些四位数的平均数是3333。 【点睛】本题难点在于分析每个数字在各个数位上出现的次数，以及理解如何通过这些次数计算所有四位数的总和。 4．用4~9这六个数字组成两个三位数，这两个三位数之和最大是________。 【答案】1839 【分析】要让两个三位数相加的和最大，需要百位上的数字尽可能大，百位应该选9和8；接着十位上的数字尽可能大，十位应该选7和6；个位数字选剩下的5和4。这样保证最高位数字最大，最低位数字选最小的，据此解答。 【详解】这两个数字的百位分别是9和8，分别代表900和800， 这两个数字的十位分别是7和6，分别代表70和60， 这两个数字的个位分别是5和4，分别代表5和4， 即这两个三位数之和最大是900＋800＋70＋60＋5＋4＝1839。 5．在一个四位数的前面添上数字3，末尾添上数字8，这样得到的六位数比原来的四位数大341111。新的六位数是______。 【答案】 345678 【分析】设原四位数为N，根据位值定理，新六位数为300000 ＋ 10N ＋ 8。根据题意，新数比原数大341111，列方程求解即可。 【详解】 解：设原来的四位数为，则新的六位数为： 因此，新的六位数为： 则新的六位数是345678。 6．如果两个数含有的数字相同，且排列顺序恰好相反，就将这两个数称为互反数。如：56和65，123和321。小花的体重数和小黑的体重数恰好是一对互反数，两人体重之和是77kg，小黑比小花重，两人体重之差不超过10kg，小花的体重为______kg。 【答案】 34 【分析】根据题意，小花的体重和小黑的体重是两位数的互反数，且和为77kg，差不超过10kg。设小花的体重为（即十位为，个位为），则小黑的体重为。根据和的条件可得方程： 再结合（小黑更重）和差不超过10kg的条件，逐一验证可能的和组合，最终确定唯一符合条件的解。 【详解】设小花的体重为，即，则小黑的体重为，即。 列举满足的两位数组合： ，：，，差为（超过10kg，不符合）。 ，：，，差为（超过10kg，不符合） ，：，，差为（符合条件）。 ，：，，此时（不符合小黑更重的条件）。 其他组合均不满足或差的条件。 唯一符合条件的解则小花的体重为34kg。 7．一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数之和是以下5个数中的一个：9865、9867、9462、9696、9869，则这两个4位数的和是___________。 【答案】9696 【分析】根据题意将这个四位数和最新的四位数表示出，再利用位值定理将多位数进行拆分，最后再观察发现倍数关系。 【详解】解：设这个4位数是，则最新的4位数是。 则两个数之和：，是101的倍数 在所给的5个数中只有9696是101的倍数。 则这两个4位数的和是9696。 8．把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98，如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是______。 【答案】37 【分析】根据“如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数”这一等量关系，列方程，并解方程即可解题。 【详解】设为，即，整理得，，两位数为37。 【点睛】正确理解逆序数的意义，是解答此题的关键。 9．一个两位数，减去它的倒序数（如92的倒序数是29），差大于0且能被9整除，求满足条件的两位数有多少个？ 【答案】45 【分析】设这个两位数是，则它的倒序数为，两者的差为－＝（10a＋b）－（10b＋a）＝9a－9b＝9（a－b），这个差本身就是9的倍数，因此只需满足a－b＞0即可。根据乘法原理，从0~9中任意选出两个数字组成两位数，十位有1~9共9种选法，个位有0~9共10种选法，再去除一半即可。 【详解】10×9÷2＝45（个） 答：满足条件的两位数有45个。 10．有一个两位数，如果在其两个数字之间添一个0，则得到的三位数是原来这个两位数的9倍。原来这个两位数是多少？ 【答案】45 【分析】首先根据位值原理，用含有字母的式子分别表示出原来的两位数和添0后得到的三位数。然后根据“三位数是原来两位数的9倍”这一等量关系列出方程。化简方程后，得到十位数字与个位数字的倍数关系。最后结合数字必须是0到9的整数这一隐含条件，通过试值法确定具体的数字，从而求出原来的两位数。 【详解】解：设原来两位数的十位数字是x，个位数字是y。 则原来的两位数是10x＋y，得到的三位数是100x＋y。 根据题意列方程： 9×（10x＋y）＝100x＋y 90x＋9y＝100x＋y 100x－90x＝9y－y 10x＝8y 5x＝4y 因为5和4互质，且x、y均为整数，所以x是4的倍数，y是5的倍数。 因为x是两位数的十位数字，取值范围是1至9。 所以x可以是4或8。 当x＝4时，5×4＝4y解得y＝5，符合题意。 当x＝8时，5×8＝4y解得y＝10，不符合个位数字是0至9的要求，舍去。 所以原来的两位数是45。 答：原来这个两位数是45。 11．没有数码9的三位数有多少个？它们的和是多少？ 【答案】648个，320112 【分析】如果一个三位数不含数字9，那么这个三位数每个数位上的数字都没有9，个位数字可以是08共9种写法，十位数字可以是08共9种写法，百位数字为18共8种写法，根据乘法原理可得一共有8×9×9＝648个不含数字9的三位数。求这些三位数的和分类讨论：百位数字18每个都出现了9×9＝81次，所以百位数字的和为81×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＝81×36＝2916，十位数字08每个都出现了8×9＝72次，所以十位数字的和为72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＝72×36＝2592，个位数字和与十位数字和相同，这些三位数的和为2916×100＋2592×10＋2592×1＝320112 【详解】三位数不含数字9，个位数字可以是08共9种，十位数字可以是08共9种，百位数字为18共8种，一共有8×9×9＝648个不含数字9的三位数； 百位数的和：81×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×100 ＝81×36×100 ＝291600 十位数的和：72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×10 ＝72×36×10 ＝25920 个位数的和：72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×1 ＝72×36 ＝2592 这些不含数字9的三位数的和：291600＋25920＋2592＝320112 没有数码9的三位数有648个，它们的和是320112。 【点睛】本题重点考查用乘法原理及分类讨论的方法计算多位数的个数，同时结合位值原理计算所有符合条件的多位数的和。 12．已知数码a≠0，请问满足＋a＋b＋c＋d＝2023的四位数所有可能值之和是多少？ 【答案】4012 【分析】此题可用位值展开法，四位数 表示 1000a＋100b＋10c＋d，因此原式可化为1000a＋100b＋10c＋d ＋ a＋b＋c＋d ＝ 1001a＋101b＋11c＋2d ＝ 2023，由此转化为数字谜问题，利用系数范围估计 a 的可能取值，再逐步推求 b，c，d，最终得到符合的四位数。 【详解】 因此1001a＋101b＋11c＋2d＝2023； 因为101b＋11c＋2d≤909＋99＋18＝1026； 所以1001a≥2023－1026＝997，由此得出a≥1； 又因a＜3，所以a＝2或1； 当a＝2时； 101b＋11c＋2d＝2023－2002＝21，所以b＝0； 此时可以得知11c＋2d＝21； 因此c＝1且有d＝5； 故此情况仅＝2015满足条件； 当a＝1时； 101b＋11c＋2d＝2023－1001＝1022； 因为11c＋2d≤99＋18＝117； 所以101b≥1022－117＝905，故b＝9； 则11c＋2d＝1022－909＝113； 又因2d≤18； 则11c≥113－18＝95，因此c＝9； 且有2d＝113－99＝14，即d＝7； 故此情况仅＝1997满足条件； 所以所有可能值之和是2015＋1997＝4012。 【点睛】解题关键是将数位表示的数转化为代数表达式，通过数位拆分建立方程，结合四位数的范围估算首位数字，再逐步推导各位数字。 13．已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 【答案】39 【分析】将乘积分解为质因数，利用质数37、13、7、5必须在五个连续数中出现，结合估算范围锁定37为其中之一，并推断出13的倍数39与5和7的公倍数35必在列，从而确定这五个数，再通过计算验证，据此解答。 【详解】令。 因为，故这五个连续正整数都小于50，因此质数37为其中一个数，即可判断出这五个连续正整数都小于42。接着考虑质因子5、7、13，可再判断出35、39也会在这五个连续正整数中，故有，所以，且。 答：这五个连续正整数中的最大数是39。 【点睛】本题的关键是将写成，并对10101进行质因数分解，由此得出乘积中必含质因数37、13、7、5。利用“连续五个自然数中必有一个数是某个质数的倍数”这一性质，结合数值范围，锁定这五个数为35、36、37、38、39。解题时要特别注意质数37较大，对确定范围起到决定性作用。 14．将一个六位数中连续的三位数字保持顺序，移动到这个数的最前方或者最后方，得到一个新的数，我们将此视为一次操作。已知六位数123456按照下图操作五次后得到654321，那么②处所代表的数是多少？ 【答案】265314 【分析】根据题意了解移动规则，从开始操作结果为126345和最终得到的结果 654321 出发，分析其数字组成和顺序，逐步推导即可。 【详解】根据题意，设六位数为，那么中间连续的三位数字可能是或者是。 移动也分两种情况，移动到最前方或者移动到最后方。 如果想改变前面的数字，那么就移动到最前方；如果想改变后面的数字，那么就移动到最后方； 因为已知第一次操作：123456 →126345（将“345”移动到最后方） 所以，的操作就是移动到最后方。 因为已知，操作五次后得到结果为654321，首位数字有变动，那么必须有移动到最前面的操作。 所以，的操作就是移动到最前方。 和交替移动情况如下： 初始数：123456   第一次操作：123456 →126345（将“345”移动到最后方，“6”跟到“12”后）   第二次操作：126345 → 263145（将“263” 移动到最前方， “1”跟到“263”后）   第三次操作：263145 → 265314（将“314” 移动到最后方，“5”跟到“26”后）   第四次操作：265314→ 653214（将“653” 移动到最前方，“2”跟到“653”后）   第五次操作：653214 → 654321（将“321” 移动到最后方，“4”跟到“65”后）   故答案为：②处所代表的数是265314 【点睛】本题的关键在于，把具体的数字问题转化为抽象的数位问题，通过条件分析逐步推导出答案。 15．一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。这个四位数是多少？ 【答案】1993 【分析】令千位上的数字是1份，则个位上的数字是3份，百位和十位上的数字是9份，再结合每个数位上的数字最大只能是9，因此，1份为1，即可得出答案。 【详解】令千位上的数字为1份； 个位数字为：1×3＝3（份） 百位和十位上的数字为：3×3＝9（份） 因为每个数位上的数字最大只能是9，因此，1份就代表1。 所以这个四位数是1993， 答：这个四位数是1993。 16．把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的21倍。原三位数是多少？ 【答案】400 【分析】不妨令原三位数为x，则前面加上8后，8在千位，表示的是8000，因此新数的大小就是8000＋x，结合新数是原数的21倍，即可建立方程。 【详解】解：设原三位数为x。 21x＝8000＋x 21x－x＝8000 20x＝8000 x＝400 答：原三位数是400。 【点睛】本题主要考查位置原理的应用，在三位数的前面加上数字8，实际上是加的8000，这是本题易错的一个点，需引起注意。 17．一个两位数，十位的数字比个位数字少1，把这个两位数的个位与十位数字对调，所得新数与原数的和是165。求原来的两位数。 【答案】78 【分析】不妨令个位数字为a，则十位数字为a－1，调换位置后，个位为a－1，十位为a，结合位置原理，分别表示出原两位数的大小和现两位数的大小，利用和为165，即可列出方程，得出答案。 【详解】解：设原数个位数字为a，则十位数字为a－1 10（a－1）＋a＋10a＋a－1＝165 10a－10＋12a－1＝165 10a＋12a＝165＋10＋1 22a＝176 a＝8 十位数字＝8－1＝7 所以这个两位数为78. 答：原来的两位数是78。 【点睛】本题主要考查位置原理的应用，运用位置原理去表示数的大小，从而建立方程。是解决这类问题的关键。 18．试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数（如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差是99的倍数。 【答案】见详解 【分析】设原序数为，则反序数为，根据位值原理，将－进行展开，然后合并同类项，再做出判断。 【详解】－ 因为等式的右边能被99整除，所以能被99整除。 【点睛】本题考查的是位值原理，根据位值原理展开多位数时，要注意同一数字在各个数位上所表示的含义。 19．试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被9整除。 【答案】见详解 【分析】设这个两位数是（），交换位置后是，根据位值原理将展开，然后进行判断。 【详解】 一定能被9整除。 【点睛】本题考查的是位值原理，0~9这10个数字所处的数位不同，其所表示的含义也不同。 20．试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数（如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数）。 【答案】见详解 【分析】设原序数为，则反序数为，两个数的和是，根据位值原理将其展开，合并化简，然后进行判断。 【详解】 因为能被整除，所以能被11整除。 【点睛】本题考查的是位值原理，用位值原理将多位数展开时，要注意每个数位所表示的含义。 21．如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。 【答案】13717；6 【分析】根据题意，设这个数码为x，则有：（10x＋3）－x＝123450＋A，解得，9x＝123447＋A，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A＝6，故：x＝13717。 【详解】设这个数是x； 则把这个数码3加在自然数的右端就变成了10x＋3； 12345A＝123450＋A； 所以： 10x＋3－x＝123450＋A 得： 9x＝123447＋A 因为A＝0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9中的一个且x是自然数。 为了使123447＋ A能被9整除 得A＝6，即x＝13717； 答：这个数是13717； A的数值为6。 【点睛】熟练掌握9个倍数特征，是解答此题的关键。 22．把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。 【答案】3097或8013 【分析】根据“把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122”，据此设未知数，列方程并解方程，即可求出这个四位数是多少。 【详解】设这个四位数为x，则有： （50000＋x）－（10x＋5）＝22122 49995－9x＝22122 9x＝27873 x＝3097 或（10x＋5）－（50000＋x）＝22122， 9x－49995＝22122 9x＝72117 x＝8013 答：这个四位数是3097或8013。 【点睛】根据题意列方程并解方程，是解答此题的关键。 23．有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。 【答案】 【分析】根据“有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999”，设未知数，列方程并解方程，即可解题。 【详解】设三位数为x，则有： （6000＋x）＋（10x＋6）＝9999 11x＝9999－6006 11x＝3993 x＝363 答：原来的三位数是363。 【点睛】正确理解题意，找出等量关系，是解答此题的关键。 24．有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。 【答案】 【分析】根据“有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414”这一等量关系，列方程并解方程即可。 【详解】设两位数为x，则有： （10x＋1）－（100＋x）＝414 9x－99＝414 9x＝513 x＝57 答：原来的两位数是57。 【点睛】根据位值原理，找出本题中的等量关系，是解答此题的关键。 25．有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？ 【答案】2664 【分析】“各个数位上的数字之和是12，又各个数位上的数字之积是30”的只有1、5、6；所以。 【详解】设这个三位数是，则根据题意可得： ，由找突破口，将30分解成3个因数相乘，符合的即为所求，组成三位数的三个数码只有1，5，6符合要求，即三位数有：156，165，516，561，615，651；其和为：。 答：所有这样的三位数的和是2664。 【点睛】找出符合要求的数码是1、5、6，是解答此题的关键。 26．一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。 【答案】297 【分析】个位是7，明显a大于c，所以10＋c－a＝7，a－c＝3，据此列方程并解方程可得：他们的差为297。 【详解】设原三位数是100a十10b＋ c，则新三位数则是100c＋ 106＋ a； 则：100c＋ 10b＋a－（100a＋ 10b＋c）＝100（c－a）－（c－a）＝ 99（c－a）； 新三位数与原三位数的差的个位数字是7， c－ a＝ 3， 差为：99×3 ＝ 297； 答：它们的差是297。 【点睛】此题考查了数的十进制的应用问题.此题难度较大，注意掌握三位数的表示方法是解此题的关键。首先设原三位数是100a＋ 10b＋c ，新三位数则是100c ＋ 106 ＋ a ，把他们相减，化简后再根据个位数的值求解即可。 27．一个三位数，个位数字比十位数字大1，个位数字比百位数字大3．把百位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的和为787，原数是多少？ 【答案】245 【详解】令原数为，新数为，列式：+=787．因为c-a=3，而c最大是9， a最大是6，由于c+a不会是17，只能是c+a=7，可见c=5，a=2．又已知c-b=1，所以b=4，原数是245． 28．红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 【答案】红色：2   黄色：1   蓝色：8 【详解】解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是:10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222． 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2． 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：位值原理 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 位值原理是小学数论体系的基石、数字类奥数题型的万能底层逻辑，区别于常规计算题型，它跳出了“直接算数”的固化思维，教会同学们用代数拆解、规律建模、逻辑推理的方式分析数字问题，是小升初择校、分班考极具区分度的核心考点。 本节课我们系统吃透了位值原理全维度考点：精准区分数字面值与数位权重，熟练掌握两位、三位、多位数标准展开公式，吃透数字互换、添0去0、数位变动三大核心规律，攻克了基础展开、数位求值、差值计算、方程压轴六大梯度题型，掌握了标准化解题四步法与秒杀口诀，规避了首位为0、公式混淆、规律记错等高频易错陷阱。 绝大多数数字谜、数论求值、数字变形、多位数求和难题，本质都是位值原理的变形应用。看似复杂的数字变化，只要拆解到位、套用规律，就能化繁为简、快速破题。希望同学们牢记“重原理、轻硬算、善拆解、会建模”的奥数思维，摒弃机械算数的习惯，吃透数位核心规律，灵活运用公式逆向推理。扎实掌握本专题内容，不仅能稳拿小升初基础满分与拔高分值，更能培养抽象思维与方程思想，完美衔接初中代数、数论重难点，让你的数学思维稳步进阶、领跑备考！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 位值原理是小升初数论核心基础专题、重点中学择校考、分班考高频必考考点，是小学奥数数字类题型的底层逻辑，也是后续数论综合、数字谜、不定方程、进位制问题的前置核心知识点。校内数学仅直观认识数位、读数写数，不涉及原理拆解与公式运算，而奥数中位值原理侧重数字化拆解、代数表达、规律推导、差值计算、逆向求值，属于“简单原理、灵活题型、极易失分”的拉分专题。 本专题核心本质：同一个数字在不同数位上，代表的数值大小不同，数字本身值+数位权重=实际数值。通过把多位数拆分为“数字×数位权重”的代数形式，摆脱具象数字限制，用公式和逻辑解决各类数字变形、互换、增减、求和、求差问题。 小升初高频考查题型：多位数标准拆分、数字互换求差值、已知数位关系求原数、多位数添0去0变值、多位分组求和、数字移位求值、位值方程压轴题、最值与存在性推理题。 二、核心基础概念（必背） 1. 位值原理定义：任何一个多位数的数值，由数字本身和它所在的数位共同决定。相同数字在不同数位上的计数单位（位权）不同，代表的实际数值不同，这就是位值原理。 举例：数字6，在个位表示6个一（数值6），在十位表示6个十（数值60），在百位表示6个百（数值600）。 2. 数位与位权：十进制中，从右往左数位依次为个位、十位、百位、千位……，对应位权依次为（即10的0次方、1次方、2次方、3次方）。 3. 核心区分：数字本身是“面值”，数位决定“权重”，多位数实际数值=各数位数字×对应位权之和。 三、多位数标准展开公式（奥数核心） 设多位数各数位数字为未知数，通用拆解公式（必考）： 1.两位数：十位数字为a，个位数字为b（a≠0），则两位数可表示为： 2. 三位数：百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a≠0），则三位数可表示为： 3. 四位数：千位a、百位b、十位c、个位d，可表示为： 4. 通用规律：n位数，从左至右每一位数字依次乘以10的递减次方，再求和。 四、高频衍生公式（拔高秒解） 1. 两位数数字互换公式 原数，互换后新数； 两数和：，和一定是11的倍数； 两数差：，差一定是9的倍数。 2. 三位数数字整体互换公式 原数，首尾互换新数； 两数差：，差值一定是99的倍数。 3. 末尾添0/去0规律 一个数末尾添一个0，数值扩大10倍，增加原数的9倍； 一个数末尾去掉一个0，数值缩小10倍，减少原数的。 五、四大经典解题模型（全覆盖题型） 1. 拆分求值模型（基础） 直接利用位值公式展开多位数，代入数字计算数值、和、差，适用于基础计算题。 2. 互换规律模型（高频） 题干出现“数字互换、倒序数字、反序数”，直接套用11、9、99倍数规律，快速求解和差、原数。 3. 数位关系模型（应用） 已知数位之间的和、差、倍数关系，设未知数结合位值公式列等式，逆向求原多位数。 4. 数位变动模型（拔高） 题干出现“添数字、去数字、末尾添0、首位移末位、末位移首位”，通过新旧数差值建立方程求解。 六、标准解题四步法 第一步：设数位：根据题意设各数位未知数字（首位不为0）； 第二步：套公式：用位值原理写出原数、新数的代数表达式； 第三步：列等式：根据和、差、倍数、增减关系列方程或算式； 第四步：验整数：数字为0-9的整数、首位不为0，筛选合法答案。 七、高频易错点汇总 1. 混淆数字面值与位值，直接将数位数字相加代替多位数数值； 2. 两位数、三位数展开公式记忆错误，位权漏写、错写； 3. 忽略多位数首位不能为0的隐藏条件，出现无效答案； 4. 数字互换和差规律记混，分不清11倍、9倍、99倍适用场景； 5. 添0去0问题搞错倍数关系，无法对应数值变化量； 6. 多数位未知数求解时，忽略数字0-9的取值范围。 八、专题解题口诀 数字本身为面值，数位权重定大小； 两位展开十加个，三位百十个位和； 互换和为十一倍，差值九倍莫记错； 添零扩十去零缩，位值拆分解千题。 例题讲解 【典型例题1】基础位值展开计算（入门必考） 题目：一个两位数，十位数字是7，个位数字是3，请用位值原理展开并计算这个数的数值。 【分析】 基础入门题型，考察两位数标准位值展开公式。十位数字位权为10，个位数字位权为1，分别计算数值后求和即可得到多位数实际值。 【详解】 根据两位数位值公式：，其中； 代入计算：。 【答案】 该两位数为73。 【跟踪训练1】 题目：一个三位数，百位5、十位0、个位8，用位值原理展开求值。 【跟踪训练2】 题目：四位数千位9、十位6、其余数位为1，用位值原理展开求值。 【典型例题2】两位数数字互换和差问题（高频必考） 题目：一个两位数，十位数字是5，个位数字是2，将数字互换位置得到新数，求新旧两数的和与差，并验证规律。 【分析】 经典互换题型，先通过位值公式求出原数与新数，再计算和与差，验证“和是11的倍数、差是9的倍数”的核心规律，巩固公式应用。 【详解】 1. 原数：，新数（互换后）：； 2. 两数和：，，是11的倍数； 3. 两数差：，，是9的倍数。 【答案】 和为77，差为27；和是11的倍数，差是9的倍数，符合位值规律。 【跟踪训练1】 题目：一个两位数是83，数字互换后得到新数，求两数的和与差。 【跟踪训练2】 题目：一个两位数数字互换后，两数和为99，求这个两位数的数位数字之和。 【典型例题3】数位关系求原数（基础拔高） 题目：一个两位数，十位数字比个位数字大3，两个数字之和是9，求这个两位数。 【分析】 数位关系应用题，先根据和差条件求出个位、十位数字，再通过位值公式组合成原两位数，核心是先解数位未知数，再还原多位数。 【详解】 1. 已知十位数字-个位数字=3，十位数字+个位数字=9； 2. 和差计算：十位数字=，个位数字=； 3. 原数：。 【答案】 这个两位数是63。 【跟踪训练1】 题目：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，数字和为6，求原数。 【跟踪训练2】 题目：一个三位数，百位比十位大1，十位比个位大1，三个数字和为6，求这个三位数。 【典型例题4】末尾添0去0变值问题（名校常考） 题目：一个自然数，末尾添上一个0后，得到的新数比原数大108，求原数。 【分析】 经典数位变动题型，末尾添0，原数扩大10倍，新数=原数×10，差值为原数的9倍，利用倍数差直接求解。 【详解】 1. 添0后新数是原数10倍，比原数多9倍； 2. 原数：。 【答案】 原数是12。 【跟踪训练1】 题目：一个整数末尾添一个0，新数与原数的和是132，求原数。 【跟踪训练2】 题目：一个整数末尾去掉一个0，数值减少了144，求原数。 【典型例题5】三位数互换差值综合题（拔高题型） 题目：一个三位数，百位是8，个位是3，首尾数字互换得到新数，求新旧两数的差值。 【分析】 三位数首尾互换题型，套用核心规律：差值为，也可展开位值公式计算验证。 【详解】 1. 原数：，新数：； 2. 差值：； 3. 规律验证：，十位数字不影响差值。 【答案】 两数差值为495。 【跟踪训练1】 题目：三位数百位7、个位2，首尾互换，求两数差值。 【跟踪训练2】 题目：一个三位数首尾互换后，新数比原数小198，已知百位比个位大，求百位与个位的数字差。 【典型例题6】位值原理方程压轴题（分班考真题） 题目：一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换后，新数比原数大27，已知原两位数十位数字与个位数字和为7，求原两位数。 【分析】 小升初压轴高频题型，结合位值公式、和差条件列方程求解。设十位、个位数字为未知数，利用互换差值公式建立等式，结合数字和求解。 【详解】 1. 设原数十位为a，个位为b，原数，新数； 2. 差值条件：，化简得，即； 3. 已知，联立得：； 4. 原数：。 【答案】 原两位数是25。 【跟踪训练1】 题目：两位数互换数字后比原数小45，数字和为9，求原数。 【跟踪训练2】 题目：一个两位数，数字和为10，互换后新数与原数的差为18，求原数（所有可能值）。 高频真题 1．已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2015的倍数。那么三位数ABC是( )。 2．整数“35”读作“三十五”，是由三个十、五个一组成，如果一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，那么这个三位数是________。 3．从数字1，2，3，4，5中任意取4个组成四位数，则这些四位数的平均数是________。 4．用4~9这六个数字组成两个三位数，这两个三位数之和最大是________。 5．在一个四位数的前面添上数字3，末尾添上数字8，这样得到的六位数比原来的四位数大341111。新的六位数是______。 6．如果两个数含有的数字相同，且排列顺序恰好相反，就将这两个数称为互反数。如：56和65，123和321。小花的体重数和小黑的体重数恰好是一对互反数，两人体重之和是77kg，小黑比小花重，两人体重之差不超过10kg，小花的体重为______kg。 7．一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数之和是以下5个数中的一个：9865、9867、9462、9696、9869，则这两个4位数的和是___________。 8．把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98，如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是______。 9．一个两位数，减去它的倒序数（如92的倒序数是29），差大于0且能被9整除，求满足条件的两位数有多少个？ 10．有一个两位数，如果在其两个数字之间添一个0，则得到的三位数是原来这个两位数的9倍。原来这个两位数是多少？ 11．没有数码9的三位数有多少个？它们的和是多少？ 12．已知数码a≠0，请问满足＋a＋b＋c＋d＝2023的四位数所有可能值之和是多少？ 13．已知有五个连续正整数的乘积可表示成数的120倍其中A与B都是数码。请问这五个连续正整数中的最大数是多少？ 14．将一个六位数中连续的三位数字保持顺序，移动到这个数的最前方或者最后方，得到一个新的数，我们将此视为一次操作。已知六位数123456按照下图操作五次后得到654321，那么②处所代表的数是多少？ 15．一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。这个四位数是多少？ 16．把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的21倍。原三位数是多少？ 17．一个两位数，十位的数字比个位数字少1，把这个两位数的个位与十位数字对调，所得新数与原数的和是165。求原来的两位数。 18．试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数（如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差是99的倍数。 19．试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被9整除。 20．试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数（如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数）。 21．如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。 22．把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。 23．有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。 24．有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。 25．有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？ 26．一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。 27．一个三位数，个位数字比十位数字大1，个位数字比百位数字大3．把百位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的和为787，原数是多少？ 28．红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $