小升初奥数培优讲义：循环小数-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初循环小数复习讲义，聚焦纯/混循环小数识别、互化、周期规律等核心考点，通过知识梳理（定义分类、公式推导）、例题讲解（基础到压轴题型）、跟踪训练、高频真题四个环节，帮助学生系统掌握循环小数与分数互化、周期定位等关键技能。 亮点在于“四步法”解题模型与周期规律推理，如用“总位数÷循环节位数=组数……余数”解决第100位数字问题，培养模型意识与推理能力。结合口诀记忆规避易错点，高频真题对接小升初考情，助力学生化无限为有限思维，教师可精准把握考点提升复习效率。

小升初奥数培优讲义：循环小数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 循环小数是小学数论体系中兼具计算与规律推理的核心专题，是小升初择校、分班考填空压轴、计算大题的高频考点。它打破了有限小数的计算思维，让同学们学会用周期规律、归纳推理、公式建模的思维解决无限数学问题，是衔接小学数学与初中有理数、数列规律的重要桥梁。 本节课我们系统吃透了循环小数全维度考点：精准区分纯循环、混循环、有限小数三大类型，熟练掌握纯/混循环小数与分数互化的万能公式，精通分数循环类型判定法则、循环小数大小比较技巧，攻克了数位定位、数字求和、周期综合压轴全梯度题型，牢记解题口诀，规避了公式误用、余数判断错误、未约分判定等高频易错陷阱。 循环小数的学习核心不在于死记硬背公式，而在于看清结构、找准周期、严谨推导。看似无限循环的复杂小数，本质都是有限周期的重复规律，只要找准循环节、算对周期余数，所有难题都能化繁为简。希望同学们深耕基础、熟练运用模型，跳出机械计算的思维定式，养成观察规律、严谨推理的奥数素养。扎实掌握本专题内容，既能稳稳拿下小升初计算与填空满分，又能为初中有理数运算、规律探究题型筑牢基础，助力备考冲刺、稳步领跑数学学习！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 循环小数是小升初数论与计算板块核心必考考点、分班考择校考高频压轴题型，是衔接有限小数与分数、无限数系的关键知识点。校内数学仅要求认识循环小数、简单读写，而奥数板块重点考查循环小数与分数互化、循环节周期规律、位数定位、数字求和、大小比较、循环小数四则运算，题型灵活、陷阱较多，是小升初拉分重点专题。 本专题核心本质：无限循环小数是有理数，所有循环小数都可以化为最简分数。通过掌握标准化互化公式、周期规律，破解无限小数的有限计算问题，将抽象的无限循环问题转化为可计算的周期余数问题。 小升初高频考查题型：循环小数识别与简写、纯/混循环小数化分数、分数判定循环类型、循环小数大小比较、循环节位数定位、前n位数字求和、循环小数简便运算、多循环节综合周期压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1.循环小数定义：一个无限小数，从小数点后某一位开始，有一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字，叫做循环节。 2. 两大分类 纯循环小数：小数点后第一位开始就循环，没有不循环部分。例：、。 混循环小数：小数点后前几位不循环，从后面某一位开始循环。例：，十分位不循环，百分位、千分位循环。 3. 简写规则：只写一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方打点。一位循环只打一个点，两位及以上循环首尾打点。 例：，，。 三、循环小数与分数互化核心公式（必考） 1. 纯循环小数化分数（万能公式） 规则：循环节数字组成分子，分母全为9，9的个数等于循环节位数，最后约分。 公式： 举例：，。 2. 混循环小数化分数（拔高必考） 规则：分子=整体小数部分（含不循环+一轮循环）-不循环部分数字；分母=9后补0，9的个数=循环节位数，0的个数=不循环位数。 公式： 举例：，。 3. 有限小数化分数 小数点后有几位，分母就是10的几次方，分子为小数部分数字，最后约分。 四、分数判定循环类型规律 先将分数化为最简分数，观察分母质因数： 1. 分母只含质因数2、5 → 有限小数； 2. 分母不含质因数2、5 → 纯循环小数； 3. 分母既含2、5，又含其他质因数 → 混循环小数。 五、循环周期解题核心模型（压轴必考） 1. 周期定位公式：总位数÷循环节位数=组数……余数 余数≠0：对应周期内第余数位数字；余数=0：对应周期最后一位数字。 2. 数字求和公式：一组循环节数字和×完整组数 + 余下几位数字和。 六、循环小数大小比较方法 先统一展开小数点后数位，多写几组循环节，从左至右逐位对比大小，切勿仅凭循环节长短判断大小。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判类型：区分纯循环、混循环、有限小数； 第二步：套公式：根据类型套用对应化分数公式，或周期公式； 第三步：算核心：互化记得约分，周期问题算组数余数； 第四步：验结果：分数化为最简，数位定位核对余数规则。 八、高频易错点汇总 1. 混循环小数化分数，忘记减去不循环部分、分母9和0个数对应错误； 2. 分数未化为最简就判定循环类型，导致判断失误； 3. 周期问题余数为0时，误判为无数字，忽略对应周期末位； 4. 循环小数简写标点位置错误、多写漏写循环节； 5. 循环小数比大小，未展开数位直接判断，导致出错； 6. 互化后分数未约分，保留非最简形式丢失步骤分。 九、专题解题口诀 纯循环九为分母，循环节作分子； 混循环九零搭配，总长减不循； 分母二五有限数，无二五纯循环； 有余取余无取尾，周期求和精准算。 例题讲解 【典型例题1】循环小数识别与简写（入门必考） 题目：判断下列小数类型，并规范简写：① ② ③ 【分析】 基础入门题型，核心区分纯循环与混循环小数，找准重复出现的循环节，按照简写规则标注循环点。从第一位开始循环为纯循环，中间开始循环为混循环。 【详解】 ① ：小数点后第一位开始循环，循环节为3，是纯循环小数，简写：； ② ：小数点后第一位开始循环，循环节为123，是纯循环小数，简写：； ③ ：小数点后前两位不循环、第三位开始循环，循环节为6，是混循环小数，简写：。 【答案】 ①纯循环小数；②纯循环小数；③混循环小数 【跟踪训练1】 题目：判断、的类型并简写。 【分析】 根据循环起始位置判断类型，找准循环节，规范标注循环点。 【详解】 ：纯循环小数，循环节45，简写； ：混循环小数，循环节5，简写。 【答案】 （纯循环），（混循环） 【跟踪训练2】 题目：写出循环小数、的完整展开形式。 【分析】 根据循环节规则，无限重复标注的循环数字，展开小数形式。 【详解】 ； 。 【答案】 ， 【典型例题2】纯循环小数化分数（高频基础） 题目：将下列纯循环小数化为最简分数：① ② 【分析】 套用纯循环小数化分数公式，循环节作分子，对应位数9作分母，最后约分得到最简分数，是小升初计算基础必考题型。 【详解】 ① ； ② 。 【答案】 ①；② 【跟踪训练1】 题目：把、化为最简分数。 【分析】 严格套用纯循环化分公式，注意的特殊规律，计算后约分。 【详解】 ； 。 【答案】 、 【跟踪训练2】 题目：将化为最简分数。 【分析】 三位纯循环小数，分母为999，分子为循环节数字，最终约分化简。 【详解】 【答案】 【典型例题3】混循环小数化分数（拔高必考） 题目：将下列混循环小数化为最简分数：① ② 【分析】 套用混循环化分核心公式，分子=整体小数数-不循环部分，分母9配0（9对应循环位数，0对应不循环位数），最后约分。 【详解】 ① ：不循环1位，循环1位，分母90，分子； ； ② ：不循环2位，循环1位，分母900，分子； 。 【答案】 ①；② 【跟踪训练1】 题目：将化为最简分数。 【分析】 不循环1位，循环1位，分母90，分子作差后约分。 【详解】 （29为质数，无法约分） 【答案】 【跟踪训练2】 题目：将化为最简分数。 【分析】 不循环2位，循环2位，分母9900，分子整体作差后约分化简。 【详解】 【答案】 【典型例题4】分数判定循环类型（常考变式） 题目：判断下列最简分数化为小数的类型：① ② ③ 【分析】 先化为最简分数，再分解分母质因数：仅含2、5为有限小数；无2、5为纯循环；含2、5和其他数为混循环。注意必须先约分再判断。 【详解】 ① 最简，，仅含2、5，有限小数； ② 最简，，无2、5，纯循环小数； ③ ，，仅含2，有限小数。 【答案】 ①有限小数；②纯循环小数；③有限小数 【跟踪训练1】 题目：判断、的小数类型。 【分析】 约分后分解分母质因数，结合判定规则判断循环类型。 【详解】 最简，，含2和其他质因数，混循环小数； 最简，，含5和其他质因数，混循环小数。 【答案】 均为混循环小数 【跟踪训练2】 题目：判断、的小数类型。 【分析】 最简分数分解分母质因数，对照规则判定。 【详解】 最简，分母无2、5，纯循环小数； 最简，，有限小数。 【答案】 纯循环小数，有限小数 【典型例题5】循环小数大小比较（易错题型） 题目：比较大小：、、 【分析】 循环小数比大小核心：展开多组循环节，统一数位后逐位对比，区分有限小数与无限循环小数，避免直观错觉。 【详解】 展开数位： ，（有限小数），； 逐位对比得：。 【答案】 【跟踪训练1】 题目：比较和的大小。 【分析】 展开循环节，统一数位后从左至右逐位对比判断。 【详解】 ，； 第三位数字：1<2，故。 【答案】 【跟踪训练2】 题目：将、、从小到大排序。 【分析】 全部展开数位，逐位对比后统一排序。 【详解】 ，，； 排序：。 【答案】 【典型例题6】循环节周期定位压轴（分班考高频） 题目：循环小数，小数点后第100位数字是多少？ 【分析】 经典周期压轴题型，先确定循环节位数，利用总位数÷周期长度，通过余数判断目标数位数字，余数为0取周期最后一位。 【详解】 循环节：142857，共6位，周期为6； （组）……4（个）； 余数为4，对应周期内第4位数字：8。 【答案】 第100位数字是8 【跟踪训练1】 题目：循环小数，小数点后第50位数字是多少？ 【分析】 循环节2位，计算周期组数与余数，定位数位数字。 【详解】 周期=2，（组），余数为0，取周期最后一位； 循环节27，末位为7，第50位数字是7。 【答案】 7 【跟踪训练2】 题目：混循环小数，小数点后第30位数字是多少？ 【分析】 混循环需先扣除不循环数位，剩余位数再算周期，不循环1位，循环节2位。 【详解】 去掉不循环的第1位，剩余位； 周期=2，组……1个； 对应循环节第1位数字3。 【答案】 3 【典型例题7】循环节数字求和综合压轴 题目：循环小数，小数点后前100位数字之和是多少？ 【分析】 周期求和核心题型，先算单组循环节数字和，再算完整组数与剩余位数，分组求和相加得到总和。 【详解】 循环节18，周期2位，单组和：； 组，无剩余位数； 数字总和：。 【答案】 450 【跟踪训练1】 题目：小数点后前30位数字之和是多少？ 【分析】 先求单周期数字和，计算组数余数，分别求和再汇总。 【详解】 周期6，单组和：； 组，总和：。 【答案】 135 【跟踪训练2】 题目：小数点后前50位数字之和是多少？ 【分析】 混循环小数，先扣除不循环数位，剩余部分算周期求和，最后加上不循环数字。 【详解】 不循环位：2（1位），循环节6（周期1）； 剩余位，均为6； 总和：。 【答案】 296 高频真题 1．在混合循环小数的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，新的循环小数是（    ）。 ①    ②  ③   ④      ⑤ A．①⑤ B．③④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】C 【分析】要使新产生的循环小数尽可能大，我们需要让循环节的首位数字尽可能大，并且后续的数字也尽可能大。可以先把每个循环小数都往后再写几位，据此即可知道新的循环小数最大时多少。 【详解】原数为，我们来分析各个选项： ① ：往后再写出6位为：618282……； ② ：往后再写出6位为：182821……； ③ ：往后再写出6位为：828282……； ④  ：往后再写出6位为：282282……； ⑤  ：往后再写出6位为：828282……； 因此可以发现③和⑤这两个数的数值相等，且是所有选项中最大的。 故答案为：C 2．将小数0.7654321改为循环小数，同时要求小数点后的第2020位上的数字是3，那么表示循环节的两个点应分别加在数字（     ）和1的上面。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由题意知，先确定每个选项中循环节的长度和不循环部分的长度，然后利用除法计算第位数字在循环节中的位置，最后判断该位置上的数字是否为。 【详解】A．循环节从数字开始：不循环部分长度为，循环节为7654321，长度为。计算第位的位置：2020÷7＝288……4。余数是，对应循环节的第位数字，即。此选项错误。 B．循环节从数字开始：不循环部分为，长度为，循环节为，长度为。计算第位的位置：（2020－1）÷6＝2019÷6＝336……3。余数是，对应循环节的第位数字，即。此选项错误。 C．循环节从数字开始：不循环部分为，长度为，循环节为，长度为。计算第位的位置：（2020－2）÷5＝2018÷5＝403……3。余数是，对应循环节的第位数字，即。因为，符合要求，此选项正确。 D．循环节从数字开始：不循环部分为，长度为，循环节为，长度为。计算第位的位置：（2020－3）÷4＝504……1。余数是，对应循环节的第位数字，即。此选项错误。 3．将化成小数后，小数点后第2013位上的数字是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】A 【详解】略 4．在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 【答案】B 【详解】略 5．纯循环小数写成最简分数时，分子和分母的和是60，则 ( )。 【答案】9 【分析】这种题解法固定，先化分数，再一个一个推算。三位纯循环小数转分数，分母固定是999，分子就是循环节组成的三位数。先把小数写成分数形式，再对分数进行约分，约分后分子加分母等于60。 先因数分解999，缩小数字范围，一步步找出符合条件的分子、分母是几。列举999的因数：1、3、9、27、37、111…，111及更大数超过60，肯定不用想了，只保留9、27、37，一个一个试，看哪种情况下加起来是60。 【详解】根据分析依次检验： 分母为9：60－9＝51，51＞9，不符合； 分母为27：60－27＝33，33＞27，不符合； 分母为37：60－37＝23，23＜37，符合。 37×27＝999，分子23×27＝621，原分数就是，循环节621，6＋2＋1＝9。 6．123÷1111的商是循环小数，它的小数部分第2023位上的数字是( )。 【答案】0 【分析】根据题意计算出123÷1111的结果，找出它的循环节（即重复出现的数字段）。 确定循环周期的长度，再用目标位数（2023）除以周期长度，根据余数来判断第2023位上的数字： 余数为0，对应循环节的最后一个数字。 余数为n，对应循环节的第n个数字。 【详解】 可得：这是一个纯循环小数，它的循环节是1107，共4个数字。 2023÷4＝505⋯⋯3 根据分析，余数是3，且循环节1107的第3个数字是0，所以它的小数部分第2023位上的数字是0。 7．已知化成小数后是一个循环节21位的纯循环小数。如果循环节组成的多位数能被整除，那么n的最大值是________。 【答案】5 【分析】循环节是21位的纯循环小数化为分数时分子是循环节组成的多位数，分母是由21个数字9组成的21位数，则循环节组成的多位数可以表示为＝，如果这个多位数能被整除，要看这个多位数最多能分解出来多少个因数3，可以分解出两个因数3，可以分解出两个因数3，是3的倍数但不是9的倍数，因此只能分解出一个因数3，所以循环节组成的多位数一共可以分解出因数3的个数为：2＋2＋1＝5（个），最多能被整除，n的最大值为5。 【详解】由分数的循环节组成的多位数可以表示为：＝，如果这个多位数能被整除，要看这个多位数最多能分解出来多少个因数3，其中可以分解出两个因数3，可以分解出两个因数3，是3的倍数但不是9的倍数，因此只能分解出一个因数3，所以循环节组成的多位数一共可以分解出因数3的个数为：2＋2＋1＝5（个），所以n的最大值为5。 【点睛】本题重点考查纯循环小数化分数的方法，循环节有几位，对应分数的分母就由几个数字9组成，分子等于循环节组成的多位数，同时综合一个数能被3和9整除的特性来解决问题。 8．一个循环小数…（为两个大于0且不同的自然数），小数部分前100个数之和是200，这个循环小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 /0.3131… /0.1313… 【分析】根据题意，这个循环小数的循环节是AB，又因为小数部分前100位上的数字和是200，所以100÷2×（A＋B）＝200，由此可得A＋B的数值，因为A、B为两个不同的自然数，可以列举出两个字母各自代替的数字，据此答题即可。 【详解】100÷2×（A＋B）＝200 100÷2×（A＋B）×2＝200×2 100×（A＋B）＝400 100×（A＋B）÷100＝400÷100 A＋B＝4 因为A、B为两个大于0不同的自然数，所以这两个数只能分别是1、3： 要想循环小数最大，让A最大，B最小，即A＝3，B＝1，此时该循环小数为0.3131…，要想循环小数最小，则A最小，B最大，即A＝1，B＝3，此时该循环小数为0.1313…。 即这个循环小数最大是0.3131…，最小是0.1313…。 9．写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环节为3位，那么这个分数最大是( )。 【答案】 【分析】分子为2的最简真分数，化成小数后是混循环小数，不循环部分2位，循环节3位。根据分数化小数的规律，分母需满足以下条件：分母含5²（确保不循环部分为2位）；分母含与10互质的因数k，且k的最小循环节长度为3；分母与2互质（因分子为2，分母不能含2的因数）。 通过分析，分母应为5²×k，其中k的最小循环节长度为3。符合条件的k最小为27（因1/27的循环节长度为3），此时分母为5²×27＝675，对应的分数为2/675，满足所有条件且分母最小，分数值最大。 【详解】混循环小数不循环部分为2位，说明分母含5²；循环节为3位，说明分母除去5²后的部分k需满足10³≡1（mod k）。符合条件的k最小为27（因27＝3³，＝0.037037...，循环节长度3）。 构造分母：分母＝5²×27＝25×27＝675。分数为，分子分母互质（因675为奇数，与2互质），是最简真分数。 则这个分数最大是。 10．在循环小数的某一位上再添一个循环点，得到一个新的循环小数，要使这个小数最小，循环点应该加在小数点后第__________位。 【答案】1/一 【分析】循环小数中，如果要使一个循环小数尽可能的小，则需要使这个循环小数高位上的数字尽可能小。这个循环小数中，十分位上的数字0最小，因此可以将另外一个循环点加在十分位的0上面。 【详解】在循环小数的某一位上再添一个循环点，要使这个循环小数尽可能的小，则这个循环小数为，即循环点应该加在小数点后第1位。 11．在循环小数的某一位上再添一个循环点，得到一个新的循环小数，这个小数最大是______。 【答案】 【分析】循环小数中，如果要使一个循环小数尽可能的大，则需要使这个循环小数高位上的数字尽可能大。循环小数中，千分位上的数字8最大，因此可以将另外一个循环点加在8上面。 【详解】循环小数中，千分位上的数字8最大，因此新的循环小数最大是。 12．一个分数的分子与分母之和为25，将它化为小数后形如，则这个分数的分母是( )。 【答案】18 【分析】根据题意，将这个分数化为小数是，这个数小于0.5的真分数，即这个分数就小于，那么在分子分母之和是25的分数里小于的分数有：，，，，，，，，根据分数与除法之间的关系，依次将分数转化为小数。得出这个分数后，找到分母。 【详解】小于，在分子分母之和是25的分数里小于的分数有：，，，，，，，。 经过计算可知：， 这个分数是，则这个分数的分母是18。 13．1.6÷3的商用循环小数表示是___________，精确到百分位约是___________。 【答案】 0.5 0.53 【分析】将1.6÷3计算出，找到商的循环节，在循环节的首尾两位数字上打上点，若循环节只有一个数字，则在那个数字上打上点即可；精确到百分位时，需要观察千分位上的数，再采用四舍五入法计算即可。 【详解】计算1.6÷3＝0.533……，简写为0.5，精确到百分位，看千分位上的数字为3，则根据四舍五入应该舍去，即答案为0.53；所以1.6÷3的商用循环小数表示是0.5，精确到百分位约是0.53。 【点睛】熟练掌握小数除法的计算法则与小数的近似数即可解题。 14．6.64÷3.3的商用循环小数的简便形式表示是___________，小数点后第100位上的数是___________。 【答案】 2.0 1 【分析】循环小数：一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数就叫做循环小数；循环小数的简便写法是只写出一个循环节，然后在循环节的首位和末位数字上各记一个圆点所以找出循环节即可写出简便形式；先算出6.64÷3.3的商，再看它的循环节是几位数，根据“周期问题”，用100除以它的循环节的位数，如果能整除，第100上的数字就是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几就从循环节的首位起数出第几位，该位上的数字就是所求问题。据此解答。 【详解】6.64÷3.3＝2.01212…， 根据循环小数记法可记为：2.0， 小数点从第2位起“12”循环， 所以第100位上数学为：（100－1）÷2＝49……1， 所以第100位上数学为1。 【点睛】此题考查循环小数的简记法和循环节的辨识，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法。 15．计算下面各题： （1）+   （2）-   （3）×   （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）3 【详解】略 16．把混循环小数化分数． 【答案】（1）；（2） 【详解】略 17．把纯循环小数化分数： 【答案】（1）；（2） 【详解】略 18．计算： 【答案】 【详解】方法一： = 方法二： 19．计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1）原式 （2）原式 20．在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有多少个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。 【答案】53 【分析】假设＝为循环节恰好为六位的纯循环小数，那么＝＝，故n×＝999999，所以n是999999的因数，999999＝×7×11×13×37， 根据计算因数个数的公式“指数+1再相乘”，可得其因数个数为：（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝64（个），但是这些因数中，有些数的倒数是循环节为三位、二位或一位的纯循环小数（，，），这些数也被算在这64个里面了，需要减去。 分别求出分母为999、99、9的因数个数，再根据容斥原理求总和减去重复部分。 【详解】循环节为六位：（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝64（个） 循环节为三位（分母为 ）：（3＋1）×（1＋1）＝8（个） 循环节为二位（分母为）：（2＋1）×（1＋1）＝6（个） 循环节为一位（分母为）：2＋1＝3（个） 根据容斥原理求总和： 64－（8＋6）＋3＝53（个） 答：包括7和13在内，共有53个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。 21．拓展题 （1） 小数点后第100位应是几？ （2） 小数点后第100位应是几？ 【答案】（1）6  (2)7 【详解】略 22．下面的数，哪些是循环小数？将它们表示出来． 0.3757……    1.66666……   3.161616…… 1.1380413804……    0.417417……   5.7234242…… 4.3737      0.50505…… 【答案】  1.66666……   3.161616……1.1380413804……    0.417417……  5.7234242……  0.50505……  是循环小数 1.66666……=1. 3.161616……=3. 1. 1380413804……=1. 0.417417……=0. 5.7234242……=5.723 0.50505……=0. 【详解】略 23．不计算判断下列除法哪些商是循环小数，哪些不是循环小数 65÷99     23÷16     5÷9     91÷8 【答案】65÷99   5÷9 商是循环小数   23÷16    91÷8商不是循环小数 【详解】略 24．真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？ 【答案】 【详解】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成． ，而，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“”，因此这个分数应该为，所以． 25．真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少? 【答案】 【详解】， ，，，， ．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即． 26． 将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 【答案】9 【详解】× 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样四舍五入后第100位为9． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：循环小数 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 循环小数是小学数论体系中兼具计算与规律推理的核心专题，是小升初择校、分班考填空压轴、计算大题的高频考点。它打破了有限小数的计算思维，让同学们学会用周期规律、归纳推理、公式建模的思维解决无限数学问题，是衔接小学数学与初中有理数、数列规律的重要桥梁。 本节课我们系统吃透了循环小数全维度考点：精准区分纯循环、混循环、有限小数三大类型，熟练掌握纯/混循环小数与分数互化的万能公式，精通分数循环类型判定法则、循环小数大小比较技巧，攻克了数位定位、数字求和、周期综合压轴全梯度题型，牢记解题口诀，规避了公式误用、余数判断错误、未约分判定等高频易错陷阱。 循环小数的学习核心不在于死记硬背公式，而在于看清结构、找准周期、严谨推导。看似无限循环的复杂小数，本质都是有限周期的重复规律，只要找准循环节、算对周期余数，所有难题都能化繁为简。希望同学们深耕基础、熟练运用模型，跳出机械计算的思维定式，养成观察规律、严谨推理的奥数素养。扎实掌握本专题内容，既能稳稳拿下小升初计算与填空满分，又能为初中有理数运算、规律探究题型筑牢基础，助力备考冲刺、稳步领跑数学学习！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 循环小数是小升初数论与计算板块核心必考考点、分班考择校考高频压轴题型，是衔接有限小数与分数、无限数系的关键知识点。校内数学仅要求认识循环小数、简单读写，而奥数板块重点考查循环小数与分数互化、循环节周期规律、位数定位、数字求和、大小比较、循环小数四则运算，题型灵活、陷阱较多，是小升初拉分重点专题。 本专题核心本质：无限循环小数是有理数，所有循环小数都可以化为最简分数。通过掌握标准化互化公式、周期规律，破解无限小数的有限计算问题，将抽象的无限循环问题转化为可计算的周期余数问题。 小升初高频考查题型：循环小数识别与简写、纯/混循环小数化分数、分数判定循环类型、循环小数大小比较、循环节位数定位、前n位数字求和、循环小数简便运算、多循环节综合周期压轴题。 二、核心基础概念（必背） 1.循环小数定义：一个无限小数，从小数点后某一位开始，有一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字，叫做循环节。 2. 两大分类 纯循环小数：小数点后第一位开始就循环，没有不循环部分。例：、。 混循环小数：小数点后前几位不循环，从后面某一位开始循环。例：，十分位不循环，百分位、千分位循环。 3. 简写规则：只写一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方打点。一位循环只打一个点，两位及以上循环首尾打点。 例：，，。 三、循环小数与分数互化核心公式（必考） 1. 纯循环小数化分数（万能公式） 规则：循环节数字组成分子，分母全为9，9的个数等于循环节位数，最后约分。 公式： 举例：，。 2. 混循环小数化分数（拔高必考） 规则：分子=整体小数部分（含不循环+一轮循环）-不循环部分数字；分母=9后补0，9的个数=循环节位数，0的个数=不循环位数。 公式： 举例：，。 3. 有限小数化分数 小数点后有几位，分母就是10的几次方，分子为小数部分数字，最后约分。 四、分数判定循环类型规律 先将分数化为最简分数，观察分母质因数： 1. 分母只含质因数2、5 → 有限小数； 2. 分母不含质因数2、5 → 纯循环小数； 3. 分母既含2、5，又含其他质因数 → 混循环小数。 五、循环周期解题核心模型（压轴必考） 1. 周期定位公式：总位数÷循环节位数=组数……余数 余数≠0：对应周期内第余数位数字；余数=0：对应周期最后一位数字。 2. 数字求和公式：一组循环节数字和×完整组数 + 余下几位数字和。 六、循环小数大小比较方法 先统一展开小数点后数位，多写几组循环节，从左至右逐位对比大小，切勿仅凭循环节长短判断大小。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：判类型：区分纯循环、混循环、有限小数； 第二步：套公式：根据类型套用对应化分数公式，或周期公式； 第三步：算核心：互化记得约分，周期问题算组数余数； 第四步：验结果：分数化为最简，数位定位核对余数规则。 八、高频易错点汇总 1. 混循环小数化分数，忘记减去不循环部分、分母9和0个数对应错误； 2. 分数未化为最简就判定循环类型，导致判断失误； 3. 周期问题余数为0时，误判为无数字，忽略对应周期末位； 4. 循环小数简写标点位置错误、多写漏写循环节； 5. 循环小数比大小，未展开数位直接判断，导致出错； 6. 互化后分数未约分，保留非最简形式丢失步骤分。 九、专题解题口诀 纯循环九为分母，循环节作分子； 混循环九零搭配，总长减不循； 分母二五有限数，无二五纯循环； 有余取余无取尾，周期求和精准算。 例题讲解 【典型例题1】循环小数识别与简写（入门必考） 题目：判断下列小数类型，并规范简写：① ② ③ 【分析】 基础入门题型，核心区分纯循环与混循环小数，找准重复出现的循环节，按照简写规则标注循环点。从第一位开始循环为纯循环，中间开始循环为混循环。 【详解】 ① ：小数点后第一位开始循环，循环节为3，是纯循环小数，简写：； ② ：小数点后第一位开始循环，循环节为123，是纯循环小数，简写：； ③ ：小数点后前两位不循环、第三位开始循环，循环节为6，是混循环小数，简写：。 【答案】 ①纯循环小数；②纯循环小数；③混循环小数 【跟踪训练1】 题目：判断、的类型并简写。 【跟踪训练2】 题目：写出循环小数、的完整展开形式。 【典型例题2】纯循环小数化分数（高频基础） 题目：将下列纯循环小数化为最简分数：① ② 【分析】 套用纯循环小数化分数公式，循环节作分子，对应位数9作分母，最后约分得到最简分数，是小升初计算基础必考题型。 【详解】 ① ； ② 。 【答案】 ①；② 【跟踪训练1】 题目：把、化为最简分数。 【跟踪训练2】 题目：将化为最简分数。 【典型例题3】混循环小数化分数（拔高必考） 题目：将下列混循环小数化为最简分数：① ② 【分析】 套用混循环化分核心公式，分子=整体小数数-不循环部分，分母9配0（9对应循环位数，0对应不循环位数），最后约分。 【详解】 ① ：不循环1位，循环1位，分母90，分子； ； ② ：不循环2位，循环1位，分母900，分子； 。 【答案】 ①；② 【跟踪训练1】 题目：将化为最简分数。 【跟踪训练2】 题目：将化为最简分数。 【典型例题4】分数判定循环类型（常考变式） 题目：判断下列最简分数化为小数的类型：① ② ③ 【分析】 先化为最简分数，再分解分母质因数：仅含2、5为有限小数；无2、5为纯循环；含2、5和其他数为混循环。注意必须先约分再判断。 【详解】 ① 最简，，仅含2、5，有限小数； ② 最简，，无2、5，纯循环小数； ③ ，，仅含2，有限小数。 【答案】 ①有限小数；②纯循环小数；③有限小数 【跟踪训练1】 题目：判断、的小数类型。 【跟踪训练2】 题目：判断、的小数类型。 【典型例题5】循环小数大小比较（易错题型） 题目：比较大小：、、 【分析】 循环小数比大小核心：展开多组循环节，统一数位后逐位对比，区分有限小数与无限循环小数，避免直观错觉。 【详解】 展开数位： ，（有限小数），； 逐位对比得：。 【答案】 【跟踪训练1】 题目：比较和的大小。 【跟踪训练2】 题目：将、、从小到大排序。 【典型例题6】循环节周期定位压轴（分班考高频） 题目：循环小数，小数点后第100位数字是多少？ 【分析】 经典周期压轴题型，先确定循环节位数，利用总位数÷周期长度，通过余数判断目标数位数字，余数为0取周期最后一位。 【详解】 循环节：142857，共6位，周期为6； （组）……4（个）； 余数为4，对应周期内第4位数字：8。 【答案】 第100位数字是8 【跟踪训练1】 题目：循环小数，小数点后第50位数字是多少？ 【跟踪训练2】 题目：混循环小数，小数点后第30位数字是多少？ 【典型例题7】循环节数字求和综合压轴 题目：循环小数，小数点后前100位数字之和是多少？ 【分析】 周期求和核心题型，先算单组循环节数字和，再算完整组数与剩余位数，分组求和相加得到总和。 【详解】 循环节18，周期2位，单组和：； 组，无剩余位数； 数字总和：。 【答案】 450 【跟踪训练1】 题目：小数点后前30位数字之和是多少？ 【跟踪训练2】 题目：小数点后前50位数字之和是多少？ 高频真题 1．在混合循环小数的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，新的循环小数是（    ）。 ①    ②  ③   ④      ⑤ A．①⑤ B．③④ C．③⑤ D．②⑤ 2．将小数0.7654321改为循环小数，同时要求小数点后的第2020位上的数字是3，那么表示循环节的两个点应分别加在数字（     ）和1的上面。 A．7 B．6 C．5 D．4 3．将化成小数后，小数点后第2013位上的数字是（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 4．在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 5．纯循环小数写成最简分数时，分子和分母的和是60，则 ( )。 6．123÷1111的商是循环小数，它的小数部分第2023位上的数字是( )。 7．已知化成小数后是一个循环节21位的纯循环小数。如果循环节组成的多位数能被整除，那么n的最大值是________。 8．一个循环小数…（为两个大于0且不同的自然数），小数部分前100个数之和是200，这个循环小数最大是( )，最小是( )。 9．写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环节为3位，那么这个分数最大是( )。 10．在循环小数的某一位上再添一个循环点，得到一个新的循环小数，要使这个小数最小，循环点应该加在小数点后第__________位。 11．在循环小数的某一位上再添一个循环点，得到一个新的循环小数，这个小数最大是______。 12．一个分数的分子与分母之和为25，将它化为小数后形如，则这个分数的分母是( )。 13．1.6÷3的商用循环小数表示是___________，精确到百分位约是___________。 14．6.64÷3.3的商用循环小数的简便形式表示是___________，小数点后第100位上的数是___________。 15．计算下面各题： （1）+   （2）-   （3）×   （4） 16．把混循环小数化分数． 17．把纯循环小数化分数： 18．计算： 19．计算 （1） （2） 20．在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有多少个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。 21．拓展题 （1） 小数点后第100位应是几？ （2） 小数点后第100位应是几？ 22．下面的数，哪些是循环小数？将它们表示出来． 0.3757……    1.66666……   3.161616…… 1.1380413804……    0.417417……   5.7234242…… 4.3737      0.50505…… 23．不计算判断下列除法哪些商是循环小数，哪些不是循环小数 65÷99     23÷16     5÷9     91÷8 24．真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？ 25．真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少? 26． 将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $