小升初奥数培优讲义：最值问题-2025-2026学年小升初奥数思维提升专项

该小学数学小升初复习讲义聚焦最值问题专题，涵盖和定积大、积定和小定理及自然数拆分、多位数组合等五大模型，通过知识梳理、例题精讲、跟踪训练、高频真题四个环节，帮助学生掌握“定条件-套模型-算极值-验边界”四步解题法，系统攻克小升初高频考点。 亮点在于规律口诀化与模型精准化，如“拆分优先多用三”口诀破解自然数拆分难题，多位数组合通过“高位放大数+差值对比”培养推理意识，几何最值结合长方形周长面积关系渗透几何直观，助力学生突破规律记反、方案不优等易错点，教师可依托真题实例精准教学，提升学生实战解题能力。

小升初奥数培优讲义：最值问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 最值问题是小学奥数体系中实用性最强、考区分度最高的综合专题，它打破了常规数学“求值计算”的固定思维，教会我们用规律归纳、极端思考、最优选择的思维解决实际问题，是小学数学思维从“会做题”向“会优化、会决策”进阶的关键一课。 本节课我们系统吃透了小升初最值问题全维度考点：熟练掌握和定积大、积定和小两大核心定理，精通自然数拆分、多位数组合、几何周长面积、生活统筹四大必考模型，攻克了基础数值最值、几何最值、应用压轴最值全梯度题型，彻底解决了规律记反、拆分出错、方案不最优、边界遗漏等高频问题。最值问题没有复杂公式，所有题型都源于固定规律，核心就是找极值、控差值、求最优。 数学源于生活、用于生活，最值思维不仅适用于小升初考试，更能解决生活中省钱、省时、高效的实际问题，也是初中函数最值、几何动态最值的核心铺垫。希望同学们牢记专题口诀，熟练区分各类最值模型，养成先判规律、再套模型、最后验证最优解的严谨习惯，彻底吃透最值专题，补齐奥数拔高短板，在小升初择校、分班压轴考试中稳拿高分，以最优思维奔赴更高的数学舞台！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 最值问题是小升初奥数核心拔高专题、重点中学择校考、分班考压轴必考题型，属于小学奥数“计算+几何+应用”综合类核心考点。校内数学仅涉及基础的最大、最小数值比较，无系统最值解题方法，而奥数最值问题侧重在固定约束条件下，寻找最大值或最小值，是校内知识的深度延伸。 本专题综合性极强，融合数论、计算、几何、统筹优化四大模块，主要考查学生规律归纳能力、极端思维、最优方案设计能力。题型套路固定、规律极强，无需复杂公式推导，掌握核心口诀与模型即可快速解题，是小升初拉开分数差距、冲刺满分的关键专题，同时也是初中函数最值、几何最值问题的前置基础。 小升初高频考查题型：自然数拆分最值、和定积最大/积定和最小、多位数组合最值、长方形周长面积几何最值、统筹费用/时间最值、固定条件极值压轴题。 二、两大核心万能定理（小升初必考） 1. 和定最值定理（重中之重） 核心内容：两个数的和固定不变时，两数的差越小，乘积越大；两数的差越大，乘积越小。当两数完全相等时，乘积达到最大值。 通俗口诀：和一定，差小积大，差大积小。 适用场景：两数求和、求积最值，长方形周长固定求面积最值，多位数组合乘积最值。 2. 积定最值定理 核心内容：两个数的乘积固定不变时，两数的差越小，和越小；两数的差越大，和越大。当两数完全相等时，两数之和达到最小值。 通俗口诀：积一定，差小和小，差大和大。 适用场景：固定面积求最小周长、固定乘积求最小和。 三、自然数拆分最值模型（高频压轴） 题型定义：把一个自然数拆分成若干个非零自然数的和，使拆分后的所有数乘积最大。 万能拆分口诀：尽量多拆3，少拆2，绝不拆1。 精准拆分规则： 1. 被除数÷3余0：全拆3； 2. 被除数÷3余1：拆成两个2，剩余全部拆3（1+3不如2+2乘积大）； 3. 被除数÷3余2：保留一个2，剩余全部拆3。 四、多位数组合最值模型 1. 最大乘积组合 用给定数字组成多个数求最大乘积：高位放大数，数字均匀分配，保证数与数之间差值最小，贴合“和定差小积大”定理。 2. 最小乘积组合 高位放小数，数字两极分配，数与数差值最大，贴合“和定差大积小”定理，注意首位不能为0。 五、几何最值核心模型 1. 周长固定 长方形周长一定，长与宽越接近，面积越大；长=宽（正方形）时，面积最大。 2. 面积固定 长方形面积一定，长与宽越接近，周长越小；正方形时周长最小。 六、统筹优化最值模型（应用必考） 生活场景最值问题：租船、租车、购物、工程安排等，核心原则：优先选用单价更低、利用率更高的方案，尽量无浪费，剩余少量再微调，实现费用最少、时间最短、效率最高。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：定条件：判断是和定、积定、拆分、几何、统筹哪类题型； 第二步：套模型：对应核心定理与口诀，锁定极值规律； 第三步：算极值：按规则拆分、组合、计算，得出最值； 第四步：验边界：验证整数条件、取值范围，排除不合理解。 八、高频易错点汇总 1. 自然数拆分出现1，导致乘积变小，违背拆分规则； 2. 和定积大小规律记反，混淆差与积的关系； 3. 几何最值忽略正方形是特殊长方形，漏算最优解； 4. 多位数组合首位取0，造成数字无效； 5. 统筹问题只看单价，忽略空位浪费，方案不是最优； 6. 有余数拆分时，不会调整2和3的数量，导致结果错误。 九、专题解题口诀 和定差小积最大，积定差小和最小； 拆分优先多用三，余一换二不拆一； 几何方正最值取，统筹最优少浪费； 极值规律牢牢记，步步验证拿第一。 例题讲解 【典型例题1】自然数拆分最大乘积（入门必考） 题目：把14拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大，求最大乘积。 【分析】 标准自然数拆分最值题型，套用核心口诀：尽量多拆3，少拆2，不拆1。先计算14除以3的余数，根据余数调整拆分方案，保证乘积最大。 【详解】 1. 计算除法：，余数为2； 2. 余数为2，保留1个2，剩余全部拆3：14=3+3+3+3+2； 3. 计算乘积：。 【答案】 最大乘积是162。 【跟踪训练1】 题目：把13拆成若干自然数的和，使乘积最大，求最大乘积。 【跟踪训练2】 题目：把16拆成若干自然数的和，求最大乘积。 【典型例题2】和定积最大基础题型（高频必考） 题目：两个自然数的和是20，求这两个数的最大乘积和最小乘积。 【分析】 典型和定最值问题，依据“和一定，差小积大，差大积小”。两数相等时差最小，乘积最大；两数差值最大（1和19）时，乘积最小。 【详解】 1. 求最大乘积：和为20，两数相等即10和10，； 2. 求最小乘积：自然数最小为1，两数为1和19，。 【答案】 最大乘积100，最小乘积19。 【跟踪训练1】 题目：两个自然数和为28，求最大乘积。 【跟踪训练2】 题目：两个不同自然数和为17，求最大乘积。 【典型例题3】几何周长面积最值（常考拔高） 题目：用一根长40厘米的铁丝围成一个长方形（长、宽为整数），求长方形的最大面积。 【分析】 周长固定的几何最值问题，周长一定，长和宽越接近，面积越大，正方形时面积最大，贴合和定积大定理。 【详解】 1. 长方形周长40cm，长+宽=cm； 2. 和为20，长、宽相等时最接近，即长=宽=10cm（正方形）； 3. 最大面积：平方厘米。 【答案】 最大面积为100平方厘米。 【跟踪训练1】 题目：周长36分米的长方形，长宽为整数，最大面积是多少？ 【跟踪训练2】 题目：周长22厘米的长方形，长宽为整数，最大面积是多少？ 【典型例题4】多位数乘积最值（培优难点） 题目：用1、2、3、4组成两个两位数，使乘积最大，求最大乘积。 【分析】 多位数组合最值，遵循两大原则：①大数放高位；②两数差值最小。优先将最大两个数放在十位，剩余数字合理搭配，缩小两数差距。 【详解】 1. 十位放最大两数：4、3；个位搭配1、2； 2. 组合尝试：41×32=1312，42×31=1302； 3. 差值更小的41和32乘积更大，最大乘积为1312。 【答案】 最大乘积是1312。 【跟踪训练1】 题目：用2、3、4、5组成两个两位数，求最大乘积。 【跟踪训练2】 题目：用1、3、5、7组成两个两位数，求最小乘积。 【典型例题5】积定和最小题型（拔高必考） 题目：两个自然数乘积为36，求这两个数的最小和。 【分析】 积定最值核心题型，依据“积一定，差小和小”。枚举所有乘积为36的自然数组合，找到差值最小的一组，和即为最小值。 【详解】 1. 枚举组合：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6； 2. 差值最小为6和6，和为； 3. 最小和为12。 【答案】 最小和是12。 【跟踪训练1】 题目：两自然数乘积为49，求最小和。 【跟踪训练2】 题目：两自然数乘积为24，求最小和。 【典型例题6】统筹优化最值（名校压轴） 题目：40名同学去划船，大船限坐6人，每条租金30元；小船限坐4人，每条租金24元。怎样租船最省钱？ 【分析】 生活统筹最值压轴题，核心思路：先算单价，优先租单价更低的船，尽量坐满无空位，剩余人数微调方案，对比总费用找最小值。 【详解】 1. 计算单价：大船单人元，小船单人元，优先租大船； 2. （条）……4（人）； 3. 剩余4人刚好租1条小船，无空位； 4. 总费用：元。 【答案】 租6条大船、1条小船最省钱，总费用204元。 【跟踪训练1】 题目：38人租车，大车限坐8人，租金40元；小车限坐5人，租金30元，最省钱方案？ 【跟踪训练2】 题目：超市买饮料，大瓶5升15元，小瓶2升7元，买12升饮料最少花多少钱？ 高频真题 1．用4个不同的数字，组成一个最大四位数和一个最小四位数。已知这两个四位数之和是11469，问：其中最小四位数是多少？ 2．用3，4，5，6和0这五个数组成一个三位数和一个两位数。 (1)怎样组数可使乘积最小？ (2)组成的两数乘积的最大值与最小值相差多少？ 3．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层。星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动）那么星星从一楼乘电梯至少要按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？写出一种乘坐顺序（答案不唯一）。 4．丁一路公共汽车，包括起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个乘客座位？（不含司机座位） 5．《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援。马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？ 6．小光、小明、小强和小华四人参加数学竞赛，四人的分数是互不相同的整数，四人的平均分是80分。小光得分最少，比小明少得6分；小华得分最多，比小强多得8分。得分最多的小华最少得多少分？ 7．如图相当于一个棋盘，警察先走，小偷后走，双方交替走棋，每次只能沿线走一步，请问警察最少需要走几步能够抓到小偷？ 8．15个互不相同的非零自然数相加，和是2001；将这15个数从小到大排列，要求第十个数尽可能大，第十个数最大是多少？ 9．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m， 从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m．哪两家的店距离最近？相距多远？ 10．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？ 11．有一个位数,在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数.若是的99倍,求当最小时,的值. 12．在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小. 13．有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数．已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88分、85分、80分，最低分是30分；又知道没有与前三名得分相同的学生，其他同学得分相同的人数都不超过3人．那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少人？ 14．在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？ 15．有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱．他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）．假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤......），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？ 16．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 17．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。 18．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少? 19．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023．请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？ 20．一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最小值是多少？当取到最小值时，这组数是怎样构成的？ 21．一张圆桌有12个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个座们，都将与已经就座的人为邻，则n的最小值是______． 22．用20米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍，若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时，鸡舍面积最大，最大面积是多少？ 23．用3个不同数字（不包括0）组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是1776，则其中最小的那个三位数是多少？ 24．用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？ 25．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？ 26．四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义：最值问题 [知识梳理+例题讲解+高频真题] 学习寄语 最值问题是小学奥数体系中实用性最强、考区分度最高的综合专题，它打破了常规数学“求值计算”的固定思维，教会我们用规律归纳、极端思考、最优选择的思维解决实际问题，是小学数学思维从“会做题”向“会优化、会决策”进阶的关键一课。 本节课我们系统吃透了小升初最值问题全维度考点：熟练掌握和定积大、积定和小两大核心定理，精通自然数拆分、多位数组合、几何周长面积、生活统筹四大必考模型，攻克了基础数值最值、几何最值、应用压轴最值全梯度题型，彻底解决了规律记反、拆分出错、方案不最优、边界遗漏等高频问题。最值问题没有复杂公式，所有题型都源于固定规律，核心就是找极值、控差值、求最优。 数学源于生活、用于生活，最值思维不仅适用于小升初考试，更能解决生活中省钱、省时、高效的实际问题，也是初中函数最值、几何动态最值的核心铺垫。希望同学们牢记专题口诀，熟练区分各类最值模型，养成先判规律、再套模型、最后验证最优解的严谨习惯，彻底吃透最值专题，补齐奥数拔高短板，在小升初择校、分班压轴考试中稳拿高分，以最优思维奔赴更高的数学舞台！ 知识梳理 一、问题定义与考情分析 最值问题是小升初奥数核心拔高专题、重点中学择校考、分班考压轴必考题型，属于小学奥数“计算+几何+应用”综合类核心考点。校内数学仅涉及基础的最大、最小数值比较，无系统最值解题方法，而奥数最值问题侧重在固定约束条件下，寻找最大值或最小值，是校内知识的深度延伸。 本专题综合性极强，融合数论、计算、几何、统筹优化四大模块，主要考查学生规律归纳能力、极端思维、最优方案设计能力。题型套路固定、规律极强，无需复杂公式推导，掌握核心口诀与模型即可快速解题，是小升初拉开分数差距、冲刺满分的关键专题，同时也是初中函数最值、几何最值问题的前置基础。 小升初高频考查题型：自然数拆分最值、和定积最大/积定和最小、多位数组合最值、长方形周长面积几何最值、统筹费用/时间最值、固定条件极值压轴题。 二、两大核心万能定理（小升初必考） 1. 和定最值定理（重中之重） 核心内容：两个数的和固定不变时，两数的差越小，乘积越大；两数的差越大，乘积越小。当两数完全相等时，乘积达到最大值。 通俗口诀：和一定，差小积大，差大积小。 适用场景：两数求和、求积最值，长方形周长固定求面积最值，多位数组合乘积最值。 2. 积定最值定理 核心内容：两个数的乘积固定不变时，两数的差越小，和越小；两数的差越大，和越大。当两数完全相等时，两数之和达到最小值。 通俗口诀：积一定，差小和小，差大和大。 适用场景：固定面积求最小周长、固定乘积求最小和。 三、自然数拆分最值模型（高频压轴） 题型定义：把一个自然数拆分成若干个非零自然数的和，使拆分后的所有数乘积最大。 万能拆分口诀：尽量多拆3，少拆2，绝不拆1。 精准拆分规则： 1. 被除数÷3余0：全拆3； 2. 被除数÷3余1：拆成两个2，剩余全部拆3（1+3不如2+2乘积大）； 3. 被除数÷3余2：保留一个2，剩余全部拆3。 四、多位数组合最值模型 1. 最大乘积组合 用给定数字组成多个数求最大乘积：高位放大数，数字均匀分配，保证数与数之间差值最小，贴合“和定差小积大”定理。 2. 最小乘积组合 高位放小数，数字两极分配，数与数差值最大，贴合“和定差大积小”定理，注意首位不能为0。 五、几何最值核心模型 1. 周长固定 长方形周长一定，长与宽越接近，面积越大；长=宽（正方形）时，面积最大。 2. 面积固定 长方形面积一定，长与宽越接近，周长越小；正方形时周长最小。 六、统筹优化最值模型（应用必考） 生活场景最值问题：租船、租车、购物、工程安排等，核心原则：优先选用单价更低、利用率更高的方案，尽量无浪费，剩余少量再微调，实现费用最少、时间最短、效率最高。 七、标准解题四步法（万能通用） 第一步：定条件：判断是和定、积定、拆分、几何、统筹哪类题型； 第二步：套模型：对应核心定理与口诀，锁定极值规律； 第三步：算极值：按规则拆分、组合、计算，得出最值； 第四步：验边界：验证整数条件、取值范围，排除不合理解。 八、高频易错点汇总 1. 自然数拆分出现1，导致乘积变小，违背拆分规则； 2. 和定积大小规律记反，混淆差与积的关系； 3. 几何最值忽略正方形是特殊长方形，漏算最优解； 4. 多位数组合首位取0，造成数字无效； 5. 统筹问题只看单价，忽略空位浪费，方案不是最优； 6. 有余数拆分时，不会调整2和3的数量，导致结果错误。 九、专题解题口诀 和定差小积最大，积定差小和最小； 拆分优先多用三，余一换二不拆一； 几何方正最值取，统筹最优少浪费； 极值规律牢牢记，步步验证拿第一。 例题讲解 【典型例题1】自然数拆分最大乘积（入门必考） 题目：把14拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大，求最大乘积。 【分析】 标准自然数拆分最值题型，套用核心口诀：尽量多拆3，少拆2，不拆1。先计算14除以3的余数，根据余数调整拆分方案，保证乘积最大。 【详解】 1. 计算除法：，余数为2； 2. 余数为2，保留1个2，剩余全部拆3：14=3+3+3+3+2； 3. 计算乘积：。 【答案】 最大乘积是162。 【跟踪训练1】 题目：把13拆成若干自然数的和，使乘积最大，求最大乘积。 【分析】 13除以3余1，遵循规则：余1换两个2，不拆1，保证乘积最优。 【详解】 ，余1则拆为3+3+3+2+2 乘积： 【答案】 最大乘积是108。 【跟踪训练2】 题目：把16拆成若干自然数的和，求最大乘积。 【分析】 计算余数，按照多拆3、余2留2的规则拆分，计算极值。 【详解】 ，余1调整为3×4+2×2 拆分：16=3+3+3+3+2+2 乘积： 【答案】 最大乘积是324。 【典型例题2】和定积最大基础题型（高频必考） 题目：两个自然数的和是20，求这两个数的最大乘积和最小乘积。 【分析】 典型和定最值问题，依据“和一定，差小积大，差大积小”。两数相等时差最小，乘积最大；两数差值最大（1和19）时，乘积最小。 【详解】 1. 求最大乘积：和为20，两数相等即10和10，； 2. 求最小乘积：自然数最小为1，两数为1和19，。 【答案】 最大乘积100，最小乘积19。 【跟踪训练1】 题目：两个自然数和为28，求最大乘积。 【分析】 和固定，两数最接近时乘积最大，平均分配即可。 【详解】 28平均分为14和14， 【答案】 最大乘积196。 【跟踪训练2】 题目：两个不同自然数和为17，求最大乘积。 【分析】 两数不相等，取最接近的两个自然数，差值最小，乘积最大。 【详解】 17可分为8和9，两数差值最小， 【答案】 最大乘积72。 【典型例题3】几何周长面积最值（常考拔高） 题目：用一根长40厘米的铁丝围成一个长方形（长、宽为整数），求长方形的最大面积。 【分析】 周长固定的几何最值问题，周长一定，长和宽越接近，面积越大，正方形时面积最大，贴合和定积大定理。 【详解】 1. 长方形周长40cm，长+宽=cm； 2. 和为20，长、宽相等时最接近，即长=宽=10cm（正方形）； 3. 最大面积：平方厘米。 【答案】 最大面积为100平方厘米。 【跟踪训练1】 题目：周长36分米的长方形，长宽为整数，最大面积是多少？ 【分析】 先求长加宽的和，再取长宽相等的正方形状态，求最大面积。 【详解】 长+宽=分米，长宽均为9分米 面积：平方分米 【答案】 最大面积81平方分米。 【跟踪训练2】 题目：周长22厘米的长方形，长宽为整数，最大面积是多少？ 【分析】 和为奇数，无法均分，取最接近的两个整数，差值最小，面积最大。 【详解】 长+宽=cm，最接近整数5和6 面积：平方厘米 【答案】 最大面积30平方厘米。 【典型例题4】多位数乘积最值（培优难点） 题目：用1、2、3、4组成两个两位数，使乘积最大，求最大乘积。 【分析】 多位数组合最值，遵循两大原则：①大数放高位；②两数差值最小。优先将最大两个数放在十位，剩余数字合理搭配，缩小两数差距。 【详解】 1. 十位放最大两数：4、3；个位搭配1、2； 2. 组合尝试：41×32=1312，42×31=1302； 3. 差值更小的41和32乘积更大，最大乘积为1312。 【答案】 最大乘积是1312。 【跟踪训练1】 题目：用2、3、4、5组成两个两位数，求最大乘积。 【分析】 高位放大数，搭配数字使两数差值最小，计算对比极值。 【详解】 十位为5、4，组合52×43=2236，53×42=2226 最大乘积为2236 【答案】 最大乘积2236。 【跟踪训练2】 题目：用1、3、5、7组成两个两位数，求最小乘积。 【分析】 求最小乘积遵循：小数放高位，两数差值最大，贴合和定差大积小。 【详解】 十位放1、3，组合15×37=555，17×35=595 最小乘积为555 【答案】 最小乘积555。 【典型例题5】积定和最小题型（拔高必考） 题目：两个自然数乘积为36，求这两个数的最小和。 【分析】 积定最值核心题型，依据“积一定，差小和小”。枚举所有乘积为36的自然数组合，找到差值最小的一组，和即为最小值。 【详解】 1. 枚举组合：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6； 2. 差值最小为6和6，和为； 3. 最小和为12。 【答案】 最小和是12。 【跟踪训练1】 题目：两自然数乘积为49，求最小和。 【分析】 枚举因数组合，找差值最小的两个数，计算最小和。 【详解】 因数组合：1×49、7×7，最小和 【答案】 最小和是14。 【跟踪训练2】 题目：两自然数乘积为24，求最小和。 【分析】 枚举所有因数组合，对比差值，锁定最小和。 【详解】 组合：4×6（差值最小），和为 【答案】 最小和是10。 【典型例题6】统筹优化最值（名校压轴） 题目：40名同学去划船，大船限坐6人，每条租金30元；小船限坐4人，每条租金24元。怎样租船最省钱？ 【分析】 生活统筹最值压轴题，核心思路：先算单价，优先租单价更低的船，尽量坐满无空位，剩余人数微调方案，对比总费用找最小值。 【详解】 1. 计算单价：大船单人元，小船单人元，优先租大船； 2. （条）……4（人）； 3. 剩余4人刚好租1条小船，无空位； 4. 总费用：元。 【答案】 租6条大船、1条小船最省钱，总费用204元。 【跟踪训练1】 题目：38人租车，大车限坐8人，租金40元；小车限坐5人，租金30元，最省钱方案？ 【分析】 先对比单人单价，优先低价车型，结合空位情况微调方案，对比取值。 【详解】 大车单人5元，小车单人6元，优先大车； 条……6人，6人租2小车有空位，调整为3大车+4小车刚好坐满； 总费用：元。 【答案】 租3辆大车、4辆小车最省钱，费用240元。 【跟踪训练2】 题目：超市买饮料，大瓶5升15元，小瓶2升7元，买12升饮料最少花多少钱？ 【分析】 对比单价，优先大瓶，剩余容量搭配小瓶，计算最小花费。 【详解】 大瓶单价更低，12升=5×2+2×1，刚好匹配无浪费； 费用：元。 【答案】 最少花费37元。 高频真题 1．用4个不同的数字，组成一个最大四位数和一个最小四位数。已知这两个四位数之和是11469，问：其中最小四位数是多少？ 【答案】最小四位数是2049 【分析】设四个不同数字从大到小依次为 a、b、c、d。 用这四个数组数：最大四位数是 abcd；最大四位数与最小四位数的和是11469，从个位分析：最大数个位是d，最小数个位是a，个位相加，即d＋a＝9。 又因为和的最高位是1，说明两个四位数的千位相加满十进1。最大数千位是a，最小数千位不能是最小数d，（因为前面推理出d＋a＝9）只能是c，即a＋c＝11。 在0～9数字里，结合 a＋c＝11、a＋d＝9，且d是最小数字，可直接推出d＝0，由此求出a＝9， c＝2。 两数和为11469，十位是6，对应数字b和c相加，和可能是6或16； 由c＝2得出16不符合题意，所以b＋c＝6，据此求出b＝4。 【详解】设4个数字从大到小为a，b，c，d，最大数为abcd，最小数为c0ba （d＝0），千位不能为0。 a＋c＝11，d＋a＝9，得a＝9，d＝0，c＝2。 十位：b＋2＝6，得b＝4， 所以最小数是2049。 【点睛】用一组数字组数，最大数按数字从大到小排列；组成最小数时，切记最高位不能为0，合理调整数字位置；多位数加减推理题，依托数位对应关系，优先从首尾特殊数位切入，快速寻找解题突破口；中间数位计算，要全面考虑有无进位两种情况；结合一位数取值范围，排除不符合条件的情况，进而得出正确结果。 2．用3，4，5，6和0这五个数组成一个三位数和一个两位数。 (1)怎样组数可使乘积最小？ (2)组成的两数乘积的最大值与最小值相差多少？ 【答案】(1)456和30相乘，乘积最小 (2)20340 【分析】求积最小：要使乘积最小，应使两个因数的最高位数字尽可能小，非零数字中最小的是3和4，因此三位数的百位和两位数的十位分别是3和4。求积最大：要使乘积最大，应使两个因数的最高位数字尽可能大，数字中最大的是6和5，因此三位数的百位和两位数的十位分别是6和5。求差值：分别计算出最大积和最小积，然后相减即可得到差值。 【详解】（1） 。 答：组成456和30时乘积最小。 （2） 最大积为 34020。 答：组成的两数乘积的最大值与最小值相差20340。 3．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层。星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动）那么星星从一楼乘电梯至少要按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？写出一种乘坐顺序（答案不唯一）。 【答案】 至少按10次按钮，例如：按6次“上楼”，接着按2次“下楼”，再按2次“上楼”。 【分析】从1楼到43楼，需通过“上楼”和“下楼”按钮组合操作。每次“上楼”增加8层，“下楼”减少11层。需找到最少按键次数，使得总楼层变化为42层。设上的次数为x次，下的次数为y次，因此可得：8x－11y＝42。根据x、y为正整数且和要尽可能的少，则可解得x为8，y为2，即至少要按10次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会。其中一种乘坐顺序为：按6次“上楼”到49层，再按2次“下楼”到27层，最后按2次“上楼”到达43层。 【详解】解：设设上的次数为x次，下的次数为y次。 1＋8x－11y＝43 8x－11y＝42 因为x、y为正整数且和要尽可能的少， 因此解得x＝8，y＝2。 按电梯次数：8＋2＝10（次） 乘坐顺序：按6次“上楼”，接着按2次“下楼”，再按2次“上楼”。 答：至少按10次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会，例如：按6次“上楼”，接着按2次“下楼”，再按2次“上楼”。 4．丁一路公共汽车，包括起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个乘客座位？（不含司机座位） 【答案】25个 【分析】由于起点和终点共有10个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，所以从1 到10站，每站上车的乘客个数为：9、8、7、6、5、4、3、2、1、0； 从1 到10站，每站下车的乘客个数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 当上车的乘客比下车的乘客少的时候，车上的乘客数量减少，反之，当上车的乘客比下车的乘客多的时候，车上的乘客数量增加，我们可以看出：从第六站开始，下车的人比上车的人多，第六站以前，上车的人比下车的人多，所以第五站至第六站之间的一段路上，车上乘客最多，据此进行计算。 【详解】由题意可知， 从1 到10 站，每站上车的乘客个数为： 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0； 从1 到10 站，每站下车的乘客个数为： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 可以发现：当上车的乘客比下车的乘客少的时候，车上的乘客数量减少， 反之，当上车的乘客比下车的乘客多的时候，车上的乘客数量增加． 由于：从第六站开始，下车的人比上车的人多， 第六站以前，上车的人比下车的人多， 所以第五站至第六站之间的一段路上，车上乘客最多． 第五站有乘客： （9－0）＋（8－1）＋（7－2）＋（6－3）＋（5－4） ＝9＋7＋5＋3＋1 ＝25 答：所以车上至少应有25个座位。 5．《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援。马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？ 【答案】130天 【分析】首先根据没有土豆的时候能够生存多少天，然后根据水的存储量计算出共能够有多少土豆，除以每天的吃的土豆就是天数。 【详解】6人的食物储备一个人可以生活5×6＝30天。非饮用水储存50×6＝300千克。 共可以收获的土豆300÷4×2.5＝187.5（千克）。 共可以生存187.5÷1.875＝100（天） 100＋30＝130（天） 答：可以供马克生活130天。 6．小光、小明、小强和小华四人参加数学竞赛，四人的分数是互不相同的整数，四人的平均分是80分。小光得分最少，比小明少得6分；小华得分最多，比小强多得8分。得分最多的小华最少得多少分？ 【答案】87分 【分析】先根据，四人的平均分是80分，求出总分80×4＝320分，假设小光是x，那么小明是x＋6，假设小华是y，那么小强是y－8，则x＋x＋5＋y－9＋y＝320，得出x＋y＝162，即小光＋小华＝161， 又因为分数为不相同的整数有：得分最多小华和得分最少的小光之间差最小为16即：y－x＝16，解出以上方程组即可求出。 【详解】先求出总分：80×4＝320（分）， 假设小光是x，那么小明是x＋6，假设小华是y，那么小强是y－8， 则x＋x＋6＋y－8＋y＝320， 得出x＋y＝161，即小光＋小华＝161①， 又因为分数为不相同的整数有： 得分最多小华和得分最少的小光之间差最小为14，即：y－x＝14，即小华－小光＝14②， 由①、②解出：y＝87， 即小华得分最少是87， 答：得分最多的小华最少得87分； 故答案为：87 7．如图相当于一个棋盘，警察先走，小偷后走，双方交替走棋，每次只能沿线走一步，请问警察最少需要走几步能够抓到小偷？ 【答案】4 【分析】图中给出的位置，如果警察不走，而小偷先走，小偷无论怎么走都会被警察一步抓住，所以只要通过几步，把警察和小偷的位置变成现在的状态（或者与之类似的状态，警察在中间，小偷在最左侧），而且下一步有小偷先走，那么警察就可以抓住小偷了。 【详解】如图，把六个位置编号如下： 第一步警察由F走到C，小偷只能由B走到A； 第二步警察由C走到D，小偷只能由A走到B； 第三步警察由D走到F，小偷只能由B到A或者B到C； 第四步小偷无论往哪个方向走都会被警察抓住。 答：警察最少需要4步才能抓住小偷。 8．15个互不相同的非零自然数相加，和是2001；将这15个数从小到大排列，要求第十个数尽可能大，第十个数最大是多少？ 【答案】323 【分析】按题意，即要求第1到9个数尽可能小，为1到9，第1到9个数的和＝1＋2＋3＋……＋9＝45；则剩余6个数的和＝2001－45＝1956，设第10个数最大为x，则剩余6个数的和至少为（x＋x＋5）×6÷2≤1956，解得x≤323.5，x最大为323，则第十个数尽可能大，第十个数是323；据此解答即可。 【详解】根据题意得出第1到9个数尽可能小，为1到9，第1到9个数的和＝1＋2＋3＋…＋9＝45； 则剩余6个数的和＝2001－45＝1956； 设第10个数最大为x，则剩余6个数的和至少为（x＋x＋5）×6÷2≤1956； 解得x≤323.5，x最大为323 答：第十个数最大是323。 9．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m， 从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m．哪两家的店距离最近？相距多远？ 【答案】甲到乙最近；1000米． 【详解】解：设从乙店到丙店为x米,由题意列方程： 3000-x+3500-x=2500 解得，x=2000 所以甲到乙距离：3000-2000=1000（米） 乙到丙距离：3500-2000=1500（米） 所以甲到乙最近是1000米． 10．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？ 【答案】3次 【详解】最多试3次． 第一次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁． 第二次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁． 第三次，1把锁，不用试，即可确定． 总共，2+1=3次，3把锁即可全部确定． 11．有一个位数,在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数.若是的99倍,求当最小时,的值. 【答案】112359550561797752809 【详解】由已知,有,且有:. 故,. 用1000…除以89直到首次余88为止,不难求出: 112359550561797752809. 12．在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小. 【答案】122364 【详解】如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364. 13．有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数．已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88分、85分、80分，最低分是30分；又知道没有与前三名得分相同的学生，其他同学得分相同的人数都不超过3人．那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少人？ 【答案】9人 【详解】本题是求“至少”的问题，找到满足“至少”的条件是本题的关键． 要求得分不低于60分的学生至少有多少人，那么不及格的人数应尽量多，即30分到59分每个分数都有3个学生，则他们的总分是：（30＋31＋32＋……＋57＋58＋59）×3＝4005（分）．总分减去不及格的总分和前三名学生的得分，还有4729－4005－（88＋85＋80）＝471（分），即这471分是除了前三名外其他得分不低于60分的学生的总分，为了使得分不低于60分的人数尽量少，则应使及格学生的分数尽量高，但又低于第三名80分，所以我们可以假设得分是79分的有三个人，此时剩下的分数还有471－79×3＝234（分），正好是3个78分．故得分不低于60分的学生至少有：前三名3人＋3个79分的＋3个78分的，即至少有9人． 14．在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？ 【答案】1800米 【详解】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点， A， B 两点必须是奇点，现在A， B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图 15．有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱．他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）．假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤......），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？ 【答案】450×4 【详解】f(x)=(60-2x)*x,当x=15时，有最大值450． 450×4 16．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【答案】784 【详解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下： 但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为： 再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式： ，所以差最大为784． 17．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。 【答案】最小值为28。 见详解 【分析】由题意“任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和”可以看出：从第1个圆圈加到第5个圆圈，第2个圆圈加到第6个圆圈……第10个圆圈加到第4个圆圈，其中包括了所有的连续5个圆圈的之和，从中可以看出每个数都是加了5次，而其之和是10倍，所以可以得出：5×（1＋2＋……＋10≤10M，可据此解答。 【详解】由题意可得： 5×（1＋2＋……＋10≤10M 5×55≤10M 275≤10M 27.5≤M 由于M为整数，所以M＝28。 答：M的最小值为28。 因为是任意之和都不大于28，可将1，2，…，10这10个数均匀分布，将10，7，6，3，2，9，8，5，4，1依次填入圆圈中。填图如下： 【点睛】本题主要考查整数的综合运用，解决本题的关键是找到每个数都是加了5次，而其之和是10倍，从而得出5×（1＋2＋……＋10≤10M，这是本题的突破口。 18．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少? 【答案】1989 【详解】设原四位数为，其反序数是新四位数，依题意有： 显然通过千位和d大于a，于是可由个位得10+a－d＝2，即d－a＝8，故d＝9，a＝1． 由十位得b－c＝1，从而可以为1109，1219，1329，1439，1549，1659，1769，1879，1989共9个数，其中最大的为1989． 19．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023．请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？ 【答案】1147. 【详解】试题分析：余数比除数要小，商比除数大2，可知，最小数是余数，最大数是被除数；被除数﹣余数=1023=商×除数=3×11×31=33×31，商是33，除数是31．余数最大是30，被除数=1023+30=1053，则1053+31+33+30=1147，所以四个数和最大可能是1147． 解：最大数与最小数之差是1023， 则被除数﹣余数=1023=商×除数=3×11×31=33×31， 即商是33，除数是31．余数最大是30， 被除数=1023+30=1053， 1053+31+33+30=1147， 所以四个数和最大可能是1147． 点评：首先明确最小数是余数，最大数是被除数，然后根据被除数、除数、商、余数之间的关系进行分析是完成本题的关键． 20．一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最小值是多少？当取到最小值时，这组数是怎样构成的？ 【答案】这组数之和的最小值是61；这组数是1、2、3、5、10、15、25 【分析】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8；最大的为25；可以将所有的情况都列举出来，然后找出这组数之和的最小值。 【详解】下面将所有的可能情况列出： l，2，3，4，…，25所有的和是35； l，2，3，5，…，25所有的和是36； 1，2，3，6，…，25所有的和是37； 1，2，4，5，…，25所有的和是37； 1，2，4，6，…，25所有的和是38； 1，2，4，8，…，25所有的和是40； 25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数。在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数。要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20＋5开始。 25＝20＋5＝19＋6＝18＋7＝17＋8＝16＋9＝15＋10＝14＋11＝13＋12 这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16＋9＝15＋10＝14＋11＝13＋12 看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的： 再看l，2，3，5，…，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：1＋2＋3＋5＋10＋15＋25＝36＋25＝61 答：这组数之和的最小值是61；此时这组数是1、2、3、5、10、15、25。 【点睛】本题考查的是最值问题，在求解的时候需要考虑到所有可能的情况，需要进行分类讨论。 21．一张圆桌有12个座位，已经有n个人按某种方式就座．当某人就座时，发现无论他坐在哪个座们，都将与已经就座的人为邻，则n的最小值是______． 【答案】4 【详解】若就座的n个人，每两个人间只空一个座位，显然是符合题意的，若空两个座位，也符合题意，但若空3个座位，则后来的人可以坐在这3个座位的中间那个．所以n至少为12÷（2+1）=4． 22．用20米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍，若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时，鸡舍面积最大，最大面积是多少？ 【答案】长为10米，宽为5米时，鸡舍面积最大，这个最大面积是50平方米 【分析】我们知道，当一个长方形周长一定时，如长与宽相等则面积最大．因为此题由于靠墙部分没有篱笆，不能直接运用以上结论．通过观察，我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一侧（如图2虚线所示），则这两个长方形就转化成了一个较大的长方形．问题也就转化成用40米长的篱笆围成一个长方形，当长方形的长和宽各为多少时，面积最大，最大值为多少？ 【详解】作出这个长方形关于墙对称到墙另一侧的部分，得到一个新的长方形，此时大长方形周长为40米，大长方形的长+宽=20米． 我们知道当长方形周长一定时，长和宽相等时，面积最大． 所以当大长方形长、宽均为10米时，大长方形面积最大．也就是说原长方形长为10米，宽为5米时，鸡舍面积最大，这个最大面积是50平方米． 23．用3个不同数字（不包括0）组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是1776，则其中最小的那个三位数是多少？ 【答案】125 【详解】设这三个数字为a、b、c，那么由这三个数组成的六个不同的三位数分别是； 这六个数的和是： 若这六个数的和是1776．则a+b+c=1776÷222=8 因为8=1+2+5=1+3+4，因此其中最小的那个数是125． 24．用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？ 【答案】最大乘积是342002，最小乘积是33210 【详解】要使乘积最大，不仅百位上的数一定是5和6，十位上的数一定是3和4，个位上的数只能是1和2，而且要使组成的三位数的差尽可能小．由于631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是631×542=342002． 同理，要使乘积最小，必须百位上为1和2，十位上为3和4，个位数上为5和6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为135和246，此时最小乘积为33210． 25．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？ 【答案】10000元 【分析】将所有货物集中存放在某一仓库的情形列出来，共有五种情况，通过枚举比较，确定要选择的仓库，再求出最少运输费，这是比较容易想到的办法．除此以外，也可以用“小往大处靠”原则求解，即如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中所花的运费最少． 【详解】解法一：我们设依次计算以一、二、……、五号仓库为集中点所需要的运输费： 1×（20×100+40×400）=2000+16000=18000（元） 1×（10×100+40×300）=1000+12000=13000（元） 1×（10×200+20×100+40×200）=2000+2000+8000=12000（元） 1×（10×300+20×200+40×100）=3000+4000+4000=11000（元） 1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元） 因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运输费最少，为10000元． 解法二：由于，所以可以用“小往大处靠”原则解题．所以五号仓库为最佳集中仓库，此时运费最少，为 1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元） 【点睛】要注意“小往大处靠”原则成立的前提是“某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半”，失去这个前提条件，结论便不成立．例如将一、二、五号仓库的存货分别变为30吨、10吨、30吨，那么容易算出集中到二号仓库运输费最少． 26．四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 【答案】局 【分析】四名棋手进行单循环比赛，一共比6局，总分是12分，因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是两胜一平得5分，然后分析他们的胜负关系。 【详解】（局） （分） 1.如果全部是平局，则个人的分数只能分别为，，，，就会出现分数相同的情况，如图所示（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局） 2.如果有局是平局，则可以出现满足条件的情况：人分数分别为，，，，如图所示 所以至少有局是平局； 答：至少有3局平局。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，求解问题时，可以需要考虑到每一种情况。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $