1.4.2 充要条件同步课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过复习充分与必要条件引入，结合逆命题概念及四个具体命题（如三角形全等、一元二次方程根）的原逆命题真假判断，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动引导数学观察，通过例题（如圆与直线相切充要条件证明）和集合关系分析培养逻辑推理的数学思维，用精确数学语言梳理条件类型，助力学生深化理解，为教师提供结构化教学资源。

1.4.2 充要条件 复习回顾 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 则p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 PART 1 逆命题 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换， 就得到一个新的命题形式的命题， “若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1、若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. p:两个三角形全等. q:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. 原命题：若p，则q. 真命题 逆命题：若q，则p. 真命题 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 2、若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 原命题：若p，则q. 假命题 逆命题：若q，则p. 真命题 p:两个三角形周长相等. q:两个三角形全等. 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 原命题：若p，则q. 真命题 逆命题：若q，则p. 假命题 p:一元二次方程ax2+bx+c=0, 的系数满足ac<0 q:方程有两个不相等 的实数根. 问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ p: A与B均是空集. q: A∪B是空集. 原命题：若p，则q. 真命题 逆命题：若q，则p. 真命题 PART 2 充要条件 定义：如果既有 ，又有 就记作 称p是q的充分必要条件，简称为充要条件。 p: x2-2x+1=0，q: x=1 p 是 q 的充要条件 概念生成 充要条件 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 如果既有 pq ，又有qp 就记作 p  q 如果p是q的充要条件,那么q是p的充要条件吗？ 如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 例题精讲 B D.sin60°= 解： A.是以空集为元素的集合 B.方程的根是x=0或x=3 C.{x|x≤9}是无限集 例题精讲 例2. 设条件p:x=1，结论q：x2=1，则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：x2=1⟹x=1或x=-1 故p是q的充分不必要条件 A 例3.“x<2”是“x<0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例题精讲 解： 故“x<2”是“x<0”的必要不充分条件. B 例题精讲 例4.“x,y∈R,(x+1)2+(y+2)2=0”的一个充要条件是( ) A.x=-1 B.y=-2 C.x=-1或y=-2 D.x=-1且y=-2 【解析】几个非负数的和为0，必须每个数都是0. D ∵(x+1)2≥0，（y+2)2≥0 又(x+1)2+(y+2)2=0 ∴x+1=0且y+2=0 ∴x=-1且y=-2 当x=-1且y=-2时，(x+1)2+(y+2)2=0成立 练习 1.“x=2”是“（x-2）(x-3)=0”的( )条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 2.“x,y∈R,(x-5)2+(y+6)2=0”是“x=5且y=-6”的( )条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 3.“a=b”是“a3=b3”的( )条件 4.已知命题p：x＜1，命题q：-1<x<1,则p是q的( )条件 A C C B 【点评】 充要条件关系的判定常用定义法和集合法，本题的4个小题都可以用定义法判定，而（1）和（4）还可用集合法判定. 判断p是q的什么条件，首先要分清p和q哪个是条件，哪个是结论，然后结合p和q所涉及的知识，恰当地选用判定方法. 问题2 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 概念深化 “四边形是平行四边形” 四边形的两组对角分别相等 四边形的两组对边分别相等 四边形的两组对边分别平行 四边形的一组对边平行且相等 四边形的对角线互相平分 数学定义是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了同一个数学对象。 充要条件与数学定义之间的关系： ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 教材P22 练习2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 概念深化 概念巩固应用 例4 已知：⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 求证：d＝r是直线l与⨀O相切的充要条件． P O Q P Q O 证明：设p:d=r，q:直线l与⨀O相切. 若d=r，则点P在⨀O上。 在直线 l 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ。 在Rt∆OPQ中，OQ>OP =r. 所以，除点P外直线l上的点都在⨀O的外部， 即直线l与⨀O仅有一个公共点P。 所以直线l与⨀O相切。 (1)充分性(p⇒q)： 若直线 l与⨀O 相切，不妨设切点为P，则OP⟂l . d=OP=r. (2)必要性(q⇒p)： 所以，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. 如图，作OP⟂l 于点P，则OP=d。 l 概念巩固应用 课堂小结 1.本节课你学会了哪些知识？ 2.请举例说明什么是充要条件？如何判断充要条件？ 3.请举例说明充要条件与数学定义之间的关系 充分 P Q 必要 P(Q) Q P P(Q) 充要 探究：条件类型与集合的关系 P Q Q P 充要 “小推大”： 小范围推出大范围 探究：条件类型与集合的关系 充分不必要 必要不充分 充分 必要 “x2<9”的必要不充分条件是________． A.0<x<3 B.1<x<3 C.﹣3≤x≤3 D.﹣3<x<3 C A 探究：条件类型与集合的关系 $