1.4.2 充要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合与常用逻辑用语，通过“自主学习·新知感悟”引导学生从现实问题中抽象数学概念，以“自主学习-合作探究-课堂评价-课后分层练”为学习支架，衔接前后知识形成完整认知链。 其亮点在于PPT支持任意编辑方便教师调整内容，合作探究环节以问题链驱动逻辑推理发展数学思维，课后分层练（15题梯度设计）助力因材施教。通过数学眼光观察、数学思维推理，学生提升探究与应用能力，教师可高效开展分层教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 集合与常用逻辑用语 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 学习目标　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，提升数学抽象素养．(重点)　2.会判断一些简单的充要条件问题，提升逻辑推理素养．(重点)　3.能够对充要条件进行证明，提升逻辑推理素养．(重点、难点) 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题1　张三为什么走了？ 提示：“该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的． 问题2　李四为什么走了？ 提示：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P20～21，分析思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有区别吗？若有，区别在哪里？ 提示：有区别． ①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　 ) (2)q不是p的必要条件时，pq．(　　 ) (3)若q是p的必要条件，则当q成立时，p也成立．(　　 ) (4)如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 　充要条件 　　　给出以下两个“若p，则q”形式的命题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等． ②若m≤ eq \f(1,4)，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根． 问题3　在上述的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p. (2)充分不必要条件，即p⇒q且q p. (3)必要不充分条件，即pq且q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，即p q且qp. 温馨提示 用集合的观点理解充分条件与必要条件 p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}. 若 A⊆B,则p是q的充分条件; 若 AB,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件; 若 BA，则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 角度一　充要条件的判断 例1　(链接教材：人教A版P21例3)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 解：(1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件． (2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (4)两个三角形全等时一定有这两个三角形面积相等，反之，若两个三角形面积相等，不一定有两个三角形全等．所以p是q的充分不必要条件． 类题通法 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 【迁移运用】 “a>0”是“|a|>0”的(　　 ) A．充分不必要条件 　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 　　　 　D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为a>0⇒|a|>0，|a|>0⇒a>0或a<0，所以“|a|>0”不一定推出“a>0”．故“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件． 例2　(链接教材：人教A版P22例4)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，设为x1，x2，所以Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝ eq \f(c,a)<0，所以ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0，故方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，设为x1，x2，则x1x2＝ eq \f(c,a)<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根． 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 类题通法 充要条件证明的两种思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 　充要条件的应用 例3　已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？ 解：不存在．因为若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A＝B，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a＝0，,1＋a＝4，))方程组无解，所以不存在满足条件的实数a. 变式探究　(1)(变条件)若把本例中的“充要条件”改为“充分不必要条件”，是否存在满足条件的实数a? 解：由题意知，A是B的真子集，所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得).又a>0，解得a≥3.所以满足条件的实数a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}． (2)(变条件)若把本例中的“充要条件”改为“必要不充分条件”，是否存在满足条件的实数a? 解：由题意知，B是A的真子集，所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得).又a>0，解得0<a≤1.所以满足条件的实数a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}． 类题通法 (1)充要条件就是研究一个命题的条件与结论之间关系，实质上是判断两个互为条件与结论的命题的真假.常见的方法有定义判断法、等价判断法(以否定形式呈现)、集合判断法. (2)“p是q的必要而不充分条件”的含义是“q⇒p而pq”;“p的必要不充分条件是q”的含义是“p⇒q 而 qp”. 1．“a>b”是“a2>b2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.若a＝1，b＝－1，满足a>b，但a2>b2不成立，若a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但a>b不成立，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件． 2．(2025·福建龙岩模拟)“x∈A”是“x∈A∪B”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.根据并集的定义，当x∈A时，一定有x∈A∪B，即由x∈A能推出x∈A∪B，所以“x∈A”是“x∈A∪B”的充分条件. 若x∈A∪B，则x可能属于A，也可能属于B，不一定有x∈A. 例如A＝{1，2}，B＝{3，4}，当x＝3时，x∈A∪B＝{1，2，3，4}，但x∉A，即由x∈A∪B不能推出x∈A，所以“x∈A”不是“x∈A∪B”的必要条件． 综上，“x∈A”是“x∈A∪B”的充分不必要条件. 3．《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件． 4．函数 y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是_______． 解析：已知函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则x＝－ eq \f(m,2)＝1，故m＝－2，反之也成立． 答案：m＝－2 【基础巩固】 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.方程x2－2x＋1＝0的实根为x＝1. 2．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时，不一定有0≤x≤2，又当0≤x≤2时，一定有x≤2，故“2－x>0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件． 3．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为a2＝b2⇔a＝b或a＝－b，a2＋b2＝2ab⇔(a－b)2＝0⇔a＝b，所以 a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2，但是a2＝b2a2＋b2＝2ab，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 4．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的两点，若α： eq \f(AD,AB)＝ eq \f(DE,BC)，β：DE∥BC，则α是β的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为当 eq \f(AD,AB)＝ eq \f(DE,BC)时，DE∥BC不一定成立，如图所示， 所以α是β的不充分条件； 由DE∥BC，可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，所以△ADE∽△ABC， 所以 eq \f(AD,AB)＝ eq \f(DE,BC)，所以α是β的必要条件． 所以α是β的必要不充分条件． 5．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“x<1”是“x2<1”的既不充分也不必要条件 D．“a<5”是“a<3”的必要条件 解析：选BD.对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，当x＝－3<1时，x2＝9>1，所以x<1 x2<1，当x2<1时，有－1<x<1，所以x2<1⇒x<1，所以“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件，故C为假命题；易知D为真命题． 6．(多选)下列选项中正确的是(　　 ) A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C．A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 解析：选AD.对于A，根据点与圆的位置关系可知A正确；对于B，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故B错误；对于C，A∪B＝A是B⊆A的充要条件，故C错误；对于D，若x为有理数或y为有理数，则xy不一定是有理数，例如x＝1，y＝ eq \r(2)，若xy为有理数，则x，y可能都不是有理数，例如x＝ eq \r(2)，y＝ eq \r(2)，故x或y为有理数为xy为有理数的既不充分也不必要条件，故D正确． 7．△ABC，△A1B1C1的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析：△ABC，△A1B1C1的对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，故填“必要不充分”． 答案：必要不充分 8．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是________． 解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”的充要条件． 答案：m＝±2 9．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答). (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 证明：充分性：若A＝B，则a＝b， ∴a2－b2－ac＋bc＝0成立． 必要性：∵a2－b2－ac＋bc＝0成立，且a2－b2－ac＋bc＝(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a＋b－c)， ∴(a－b)(a＋b－c)＝0， 又在△ABC中，a＋b－c>0， ∴a－b＝0，∴a＝b，∴A＝B. 综上，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 11．(多选)设全集为U，则下面选项中是“A⊆B”的充要条件的是(　　) A．A∩B＝A B．(∁UA)⊇(∁UB) C．(∁UB)∩A＝∅ D．(∁UA)∩B＝∅ 解析：选ABC.由A∩B＝A，可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故A正确； 由(∁UA)⊇(∁UB)可得A⊆B，由A⊆B可得(∁UA)⊇(∁UB)， 故“(∁UA)⊇(∁UB)”是“A⊆B”的充要条件，故B正确； 由(∁UB)∩A＝∅，可得A⊆B，由A⊆B可得(∁UB)∩A＝∅，故“(∁UB)∩A＝∅”是“A⊆B”的充要条件，故C正确； 由(∁UA)∩B＝∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故“(∁UA)∩B＝∅”不是“A⊆B”的充要条件，故D不正确． 12．(新定义)设x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数，<x>表示不小于x的最小整数，例如：[1.1]＝1，[－1.1]＝－2，<0.9>＝1，<－0.9>＝0，那么“[a]＝<b>”是“a≥b”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.设[a]＝<b>＝k，由[x]和<x>的定义得a≥k，b≤k， 所以a≥k≥b，即a≥b，充分性成立； 当a＝2.2，b＝2.1时，[a]＝2，<b>＝3，[a]<<b>，必要性不成立； 所以“[a]＝<b>”是“a≥b”的充分不必要条件． 13．已知集合A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}，求A∩B＝{3，7}的充要条件． 解：若A∩B＝{3，7}，A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}， 则m2＋4m＋2＝7且m2＋4m－2＝3，解得m＝1或m＝－5； 或m2＋4m＋2＝7且2－m＝3(无解，舍去). 经检验，m＝－5时，2－m＝7，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去， 则m＝1，所以m＝1是A∩B＝{3，7}的必要条件； 若m＝1，则A＝{2，3，7}，B＝{0，1，3，7}，所以A∩B＝{3，7}， 所以m＝1是A∩B＝{3，7}的充分条件． 综上，A∩B＝{3，7}的充要条件为m＝1. 【创新探索】 14．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　 ) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．AB的必要条件是card(A)≤card(B) D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 解析：选AB.易知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).A∩B＝∅，也就是集合A与集合B没有公共元素，A是真命题；A⊆B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，B是真命题；AB，也就是集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中的元素个数有可能多于B中的元素个数，C是假命题；A＝B，也就是集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D是假命题． 15．(知识融合)如图，已知矩形ABCD，AD＝a，AB＝b，P是BC上的点，则存在点P使∠APD＝90°的充要条件是__________． 解析：以线段AD为直径画圆，如图所示： 如图(1)：当 eq \f(a,2)＝b时，即a＝2b时，圆与线段BC有唯一公共点P，这时有∠APD＝90°； 如图(2)：当 eq \f(a,2)>b，即a>2b时，圆与线段BC有两个交点M，N，当P点与M，N两点中一点重合时，就有∠APD＝90°； 如图(3)：当 eq \f(a,2)<b，即a<2b时，圆与线段BC无公共点，则∠APD<90°. 故使∠APD＝90°的充要条件是a≥2b. 答案：a≥2b $