精品解析：宁夏吴忠市红寺堡区2024年秋季学期初中学业水平考试九年级期末数学试卷

吴忠市红寺堡区2024年秋季学期初中学业水平考试九年级期末数学试卷 （满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的切线，为切点，连接，与交于点，为上一动点（点不与点，重合），连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 11 5. 一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （ ） A. 4 B. C. D. 9.6 7. 用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 已知现有的瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是______． 11. 已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是________． 12. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是______． 13. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________． 14. 如图，四边形内接于，平分，直径，，则劣弧的长为______． 15. 如图，中，，，点是的内心，则的度数为______． 16. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③④；⑤当时，的值随值的增大而增大．其中正确的结论有__________ 三、解答题（72分） 17. 解方程 （1）； （2） ． 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：， 第一步 第二步 第三步 （1）任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）任务二：请你写出该方程正确的解法． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积. 20. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 21. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m值． 22. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽多少？ 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 24. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 25. 已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=-2． （1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标． （2）试确定抛物线的解析式． （3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围． 26. 【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市红寺堡区2024年秋季学期初中学业水平考试九年级期末数学试卷 （满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为元，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 3. 如图，是的切线，为切点，连接，与交于点，为上一动点（点不与点，重合），连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可得，则，由圆周角定理可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键． 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：， 解得：， 故选：C 5. 一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，∆=（﹣2）2﹣4×4×=0， ∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根． 故选B． 6. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （ ） A. 4 B. C. D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】AB是圆O的直径，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD， ∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，， 又∵∠BAC=30°， ∴AB=2BC=12，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 7. 用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，根据扇形弧长公式， ， 设圆锥底面半径为， 扇形弧长等于圆锥底面周长， ， 解得， 圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为， 由勾股定理得圆锥的高：. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． 故选：A． 【点睛】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的特征：两个点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据平面直角坐标系中点关于原点对称的特征作答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此对称点的坐标是． 故答案为：． 10. 已知现有的瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】解：从这瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 11. 已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案． 【详解】连接OA、OB，作OG⊥AB于G， 等边三角形的边长是2，高为3， 因而等边三角形的面积是3， ∴正六边形的面积=18． 故答案为： 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 12. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，计算即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：根据平移规律可得，平移的抛物线的解析式为． 13. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________． 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围． 14. 如图，四边形内接于，平分，直径，，则劣弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，求出，利用角平分线和等边对等角，求出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，以及弧长公式．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，以及弧长公式，是解题的关键． 15. 如图，中，，，点是的内心，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：点是的内心，，， ，， ． 故答案为： 16. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③④；⑤当时，的值随值的增大而增大．其中正确的结论有__________ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；由于时，，则可对②进行判断；利用抛物线与轴的一个交点为，可得，把代入可对④进行判断；根据而此函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，所以结论①正确； ∵时，， ∴，即，所以结论②错误； ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴时，， ∴，即， 又∵当时，， ，所以③④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值随增大而增大，所以结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为，开口向下，以及抛物线与轴交于点，从而可判断所给的结论． 三、解答题（72分） 17. 解方程 （1）； （2） ． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 两边开方，得， 解得，． 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：， 第一步 第二步 第三步 （1）任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______； （2）任务二：请你写出该方程正确的解法． 【答案】（1）移项；二，未考虑的情况 （2） 解：， ， 解得，． 【解析】 【分析】（1）题干使用了整体思想，将视作一个整体，第一步为移项，第二步两边同除以，但未考虑的情况，因此出现错误； （2）将视作一个整体，使用因式分解法解方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积. 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，扇形的面积计算，勾股定理： （1）根据旋转的性质作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过的图形面积为：。 20. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）100；图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识， （1）根据篮球的人数除以所占的百分比得出本次被调查的学生人数，即可解决问题； （2）用乘以选择羽毛球的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可； 熟练掌握用树状图法求概率并能灵活运用扇形统计图和条形统计图的关联信息是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生人数为（人）． 选择“足球”的人数为（人）． 故答案为：100； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 21. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，将变形为，再将，代入进行计算即可得． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与判别式的关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握这些知识点，认真计算． 22. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=－1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0，2)， 通过以上条件可设顶点式， 把A(－2，0)代入，可得：a=－0.5，所以抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=－1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=－1与抛物线相交的两点之间的距离， 把y=－1代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度为. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，把实际问题转化为二次函数问题是解题关键. 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 24. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用等，掌握切线的判定定理，圆周角定理的应用是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，再由角平分线得定义和同圆半径相等，等腰三角形及等量代换可得即可得到结论． （2）如图，设半径为x，则有，根据勾股定理即可求出x的值． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为x，则有， 在中， ， ∴， 解得． ∴的半径为15． 25. 已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=-2． （1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标． （2）试确定抛物线的解析式． （3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为（−3，0），点B的坐标是（−1，0）；（2）y＝x2＋4x＋3，（3）−3＜x＜0 【解析】 【分析】（1）根据已知得出点A、C的坐标，再利用点A与点B关于直线x＝−2对称，即可求出B点坐标； （2）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案； （3）由图象观察可知，二次函数值小于一次函数值时，得出x的取值范围． 【详解】（1）y＝x＋3中， 当y＝0时，x＝−3， ∴点A的坐标为（−3，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴点C坐标为（0，3）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝−2， ∴点A与点B关于直线x＝−2对称， ∴点B的坐标是（−1，0）； （2）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）， ∵二次函数的图象经过点C（0，3）和点A（−3，0），且对称轴是直线x＝−2， ∴可列得方程组：， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋3， （3）由图象观察可知，当−3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值． 【点睛】此题主要考查了一次函数与交点坐标求法以及待定系数法求二次函数解析式和结合图象比较函数大小关系等知识，利用函数图象比较函数的大小关系是难点，同学们应重点掌握． 26. 【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【答案】（1）4；无数个；（2）（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个； （2）设与切点为E，连接并延长交于F，连接，设，则，，由勾股定理，得解答即可． （3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”； 已知，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”， 故答案为：4，无数． （2）解：如图，，，矩形， 则，，， 设与切点为E，连接并延长交于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接，设， 则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得 （3）解：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 以点Q为圆心，以为半径作， 则即为所求． 证明：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则，，， 故， ， 故点B，C都在上，且是的切线， 故是过点B、C的“友好圆”． 【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $