宁夏回族自治区吴忠市同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学

**基本信息** 同心县第四中学九年级数学期末试卷，满分120分，覆盖图形性质、函数、方程、概率等知识，以刘徽割圆术、投石机轨迹等情境融合文化传承与实际应用，考查抽象能力、推理意识和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称、抛物线性质、方程根的判别|第8题以割圆术估算π，渗透数学文化| |填空题|8/24|概率、一元二次方程根与系数、二次函数图象|第16题结合尺规作图，考查切线判定定理应用| |解答题|9/72|二次函数综合、几何旋转、实际问题建模|25题以投石机轨迹构建二次函数模型，26题综合函数与几何推理，体现分层设计|

同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 出卷人：买晓燕 审卷人：关素霞 满分：120分 时间：120分钟 一.选择题（每题3分，共24分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 3．方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 5．下列事件是不可能事件的是（　　 ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．瓮中捉鳖 6．三角形内切圆的圆心为（　　 ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则△AOC扫过的面积为( ) A．π+ B．π + C．3π D．π （第7题） （第8题） 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（    ） A． B． C． D． 二.填空题（每题3分，共24分） 9．从－，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是____ 10.一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根是2，则另一个根是 . 11．已知点，在二次函数的图象上，则 ． （填“”，“”或“”） 12．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则地基的面积为 m2 ． 13．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ． （第12题） （第14题） （第15题） 14．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是 ． 15．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是　 　． 16．已知及外一点P，求作直线,PE，使,PE与相切于点D,E 【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧， 交于点D，E； ④作直线，，则直线,PE 即为所求．请给出PD，PE为切线的理论依据： （请写出定理的内容） 三．解答题（共72分） 17.（8分，每小题4分）解方程 (1) (2)7x(5x-2)=3(5x-2) 18．（6分） 二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表： 1 2 3 1 1 （1）写出二次函数图象的顶点坐标 ．开口方向 （2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ② ③ ④ 19. （6分）如图所示，△ABC与点O在10×10的网格 中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1． （1） 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1； （2）画出△ABC的外接圆，圆心为点M.（3）若∠ACB=22.5°，求长度 20.(6分）由于我校学生较多，为了便于学生尽快就餐，学校规定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在某天早餐提供了牛肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． (1)按规定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件(填“可能”“必然”或“不可能”)； (2)请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到牛肉包和油饼的概率． 21.（6分）如图，已知圆锥的底面半径2cm，母线长6cm （1） 圆锥的高OM= cm.侧面展开扇形BOC的圆心角= ° （2） 求圆锥的全面积。 22．（6分）在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 23. （6分）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2， △ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE． （1） 求证：△ABC≌△ABE；（2）连接AD，求AD的长． 24. （8分）如图，在△ABC中，，以为直径作，交于点D， 交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求阴影部分的面积．（结果保留π） 25. （10分）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； （2）若高为4的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？ 26．(10分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝x2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标； （3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物 线于点D，求线段QD长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $