精品解析：福建莆田市城厢区顶墩实验学校2025—2026学年度下学期八年级期中数学试卷

莆田市城厢区顶墩实验学校2025—2026年度下学期 八年级期中数学试卷 一、选择题 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A，，被开方数是能开得尽方的平方数，因此A不符合要求； 选项B，，被开方数含有小数，因此B不符合要求； 选项C，，被开方数是整数，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，因此C符合要求； 选项D，，被开方数含有分母，因此D不符合要求． 2. 下列x的取值，使代数式有意义的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需验证三角形三边中两短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能构成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A选项中，最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B选项中，最长边为，∵ ，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C选项中，最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D选项中，最长边为，∵ ，，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减乘除等运算，根据二次根式混合运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5. 中，已知，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（    ） A. 均是变量，是常量 B. 是变量，2、 是常量 C. 和均是变量，2和是常量 D. 是变量，是常量 【答案】C 【解析】 【分析】在变化过程中，数值固定不变的量是常量，数值可以发生变化的量是变量，根据定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变． ∴和是常量． 又∵半径可取不同数值，周长随的变化而变化． ∴和是变量． 7. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 8. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线的一半的长，即可得解． 【详解】解：如图，∵菱形的一条对角线长为16， ∴， ∵菱形的对角线，， ∴， ∴． 9. 如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，E为中点，F为边上一动点（不与点A、D重合），连接，过点D作交于点G，垂足为H，连接，，记，，，，，四边形的面积分别为，，，，，则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质，找到面积之间的关系． 在矩形中，，，由E为中点可得，再由可得，由可得，从而得到，根据全等三角形的性质以及三角形面积逐个判断即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∵E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，①正确； ∴， 由题意可得，， ∵E为中点， ∴，则， 由可得，②正确； 由题意可得，， ∴， ∴， ∴，③正确； 由②③可得，， 化简可得，，④正确， 综上，正确的①②③④，D选项符合题意． 二、填空题 11. 计算： ____． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 13. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， 又， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：10． 16. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ___． 【答案】12 【解析】 【分析】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x， ∵a=2，b=3， ∴AB=2+3=5， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（2+x）2+（x+3）2=52， 整理得，x2+5x-6=0，即x2+5x=6， 而矩形面积为（2+x）（3+x）=x2+5x+6=6+6=12， 即该矩形的面积为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理得到x2+5x=6再整体代入计算是解题的关键． 三、解答题 17. 计算 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在矩形中，点E，F在上，且，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据，即可求证． 【详解】略 19. 城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，． （1）技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； （2）在（1）的条件下，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】（1）测量的是点A，C之间的距离；依据见解析 （2）这块地全部种草的费用是1080元 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：测量的是点A，C之间的距离； 依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵由（1）得， 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， （元）， 答：这块地全部种草的费用是1080元． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简． 【详解】解：原式= 当时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 21. 如图，矩形的对角线相交于点O． （1）在矩形外求作点E，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求作的菱形． （2）12 【解析】 【分析】（1）分别以点B、C为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可． （2）连接交于F，由菱形的性质和菱形的面积求得，再根据矩形的性质、直角三角形的性质与勾股定理，求得，从而可求得，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：， ∵矩形的对角线相交于点O． ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接交于F， 由（1）知：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 22. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 23. 综合与实践：构图法求三角形的面积 问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积． 素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形． 任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___． 任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】任务1，根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； 任务2：根据网格的特点作出三边，，的长分别为， ，，然后根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； 任务3，根据任务2的方法，将图形放置网格中求得，进而求得两个正方形的面积，即可求解． 【详解】任务1：如图所示， ， 故答案为：． 任务2：如图所示，三边，，的长分别为， ， ∴； 任务3：如图所示，，，， ∴改造后的六边形花圃的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，老师采用小组合作探究的形式给各小组都发放长为12cm，宽为8cm的长方形纸片，让他们通过折纸提出问题和探究． （1）【操作发现】第1组的同学连接对角线，将矩形分别沿，折叠，使点B落在上点F处，点D落在上的点N处，请你判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． （2）【操作探索】第2组的同学是在边上取中点E，连接，然后沿折叠，使得点B的对应点F在矩形的内部，连接，且，如图2，请你求的长． （3）【问题解决】第3组的同学对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点B对应点F落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，连接，则___________． 【答案】（1） 四边形是平行四边形，理由如下： 如图1， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得到，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）7.2（cm） （3）（cm） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质可得，，进而得到，即可证明． （2）连接交于H，由题意得，，由中位点得到，由折叠的性质得到，再由三角形的面积可得的值，即可解答． （3）延长交于P，由P在上，得，，再由平行的性质得到，再由垂直定理得到，再根据三角形内角和定理得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连接交于H， ∵， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得到：，，， ∴， ∴∠BFE=∠EBF，∠EFC=∠ECF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，延长交于P， ∵P在上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，三角形内角和定理，解答本题的关键是正确的作出辅助线． 25. 如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． （1）求，的长； （2）当点落在线段上，求的长； （3）连接，若为等腰三角形，求的值及． 【答案】（1），； （2） （3）的值面积为或，面积为4． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用折叠的性质得到，利用三角形的面积公式和正方形的性质得到正方形的面积，进而求得，再利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答∶①当CF=FD时，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到为等边三角形，则，利用折叠的性质解答即可；②当时利用等腰三角形的性质和正方形的性质得到为等边三角形，则， ，利用折叠的性质解答即可；③不存在的情形，综上即可得出结论． 【小问1详解】 解：正方形中，，E为边上一点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 当点F落在线段上，如图， 则，， ． ．E为边上一点， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①当CF=FD时，连接BF，如图， ，．将沿线段折叠，得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 过F作于N，交于M， 则， 四边形为矩形， ，， 为等腰三角形， ， 由折叠的性质得∶， ， 的面积； ②当时，如图， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 作于M，于N，如图所示∶ 则， 由折叠的性质得∶ ， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， 的面积； ③不存在的情形， 综上，若为等腰三角形，的值面积为或，面积为4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市城厢区顶墩实验学校2025—2026年度下学期 八年级期中数学试卷 一、选择题 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列x的取值，使代数式有意义的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中，已知，则等于（   ） A. B. C. D. 6. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（    ） A. 均是变量，是常量 B. 是变量，2、 是常量 C. 和均是变量，2和是常量 D. 是变量，是常量 7. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 8. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 9. 如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 10. 如图，在矩形中，，E为中点，F为边上一动点（不与点A、D重合），连接，过点D作交于点G，垂足为H，连接，，记，，，，，四边形的面积分别为，，，，，则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 计算： ____． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 13. 最简二次根式与可以合并，则________． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为______． 15. 如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 16. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ___． 三、解答题 17. 计算 18. 如图，在矩形中，点E，F在上，且，连接．求证：． 19. 城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，． （1）技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； （2）在（1）的条件下，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，矩形的对角线相交于点O． （1）在矩形外求作点E，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，菱形的面积为，求的长． 22. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 23. 综合与实践：构图法求三角形的面积 问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积． 素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形． 任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___． 任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积． 24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，老师采用小组合作探究的形式给各小组都发放长为12cm，宽为8cm的长方形纸片，让他们通过折纸提出问题和探究． （1）【操作发现】第1组的同学连接对角线，将矩形分别沿，折叠，使点B落在上点F处，点D落在上的点N处，请你判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． （2）【操作探索】第2组的同学是在边上取中点E，连接，然后沿折叠，使得点B的对应点F在矩形的内部，连接，且，如图2，请你求的长． （3）【问题解决】第3组的同学对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点B对应点F落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，连接，则___________． 25. 如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ． （1）求，的长； （2）当点落在线段上，求的长； （3）连接，若为等腰三角形，求的值及． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $