2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 以六角攒尖建筑、新能源汽车续航等真实情境为载体，覆盖向量、复数、概率等核心知识，通过分层设问与仿射坐标系探究，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量（①⑥⑨）、复数（②⑦）、概率（③⑪）|结合必然事件判断（③）、分层抽样（⑤）考查基础概念| |填空题|3题/15分|复数共轭（⑫）、棱台体积（⑬）|正四棱台体积计算（⑬）体现空间观念| |解答题|5题/77分|复数运算（⑮）、概率事件关系（⑯）、立体几何证明（⑰）、统计数据分析（⑱）、仿射坐标系探究（⑲）|仿射坐标系（⑲）创新设问，测量误差分析（⑱）考查数据处理，正方体中点共面证明（⑰）体现逻辑推理|

2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 3．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 5．某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 6．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 10．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 11．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（    ） A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜 B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜 C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷 D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知复数满足，则其共轭复数__________. 13．在正四棱台中，，，则该棱台的体积为_______． 14．所对的三边为，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位． (1)求复数z和|z|； (2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 16．（15分） 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 17．（15分） 如图，在正方体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求异面直线所成的角. 18．（17分） 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 2．复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】由得，实部为， 故选：B. 3．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 4．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A 5．某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据男生抽取人数求出抽取的比例，再利用分层抽样即可求解. 【详解】由抽取男生人数16人，所以抽取比例为，所以抽取人数为， 故选：B. 6．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 7．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 8．三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件证明平面，取的中点分别为，通过计算得到，推出点为三棱锥的外接球的球心，则得外接球半径，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】 如图，因，， 在中，由，可得. 在中，.在中,由，可得. 因,且平面，则平面. 取的中点分别为，连接，则，故可得平面. 在中，为的中点，则， 在中，,则, 即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1， 所以外接球的表面积为. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 【答案】AB 【分析】对于A，根据向量共线的充要条件即可判断；对于B，由零向量与任何向量共线即可判断；对于C，取即可排除；对于D，根据向量有方向即可判断. 【详解】对于A，根据向量共线的充要条件即可得到A正确； 对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量与不共线，可得与都是非零向量，故B正确； 对于C，当时，恒成立，但的关系不确定，故C错误； 对于D，因向量有方向，故不能比较大小，故D错误. 故选：AB. 10．某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 11．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（    ） A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜 B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜 C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷 D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷 【答案】AD 【分析】对于每个选项，由古典概型概率计算公式计算各自获胜的概率即可求解. 【详解】对于A，小明获胜的概率为，故A符合题意； 对于B，若要点数之和为奇数，则只能是一奇一偶，而每抛一次出现奇数，偶数的概率都是， 但可能是先出现奇数，有可能先出现偶数，故小明获胜的概率为，故B不符合题意； 对于C，若点数之和为6，则两个加数可以是，即小明获胜的概率为， 若点数之和为8，则两个加数可以是，即小红获胜的概率为，故C不符合题意； 对于D，抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，则这三个自然数可以是， 所以小明获胜的概率为， 若掷出的点数都相同，则这三个自然数可以是， 所以小红获胜的概率为，故D符合题意. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：关键是准确计算出各自获胜的概率，由此即可顺利得解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知复数满足，则其共轭复数__________. 【答案】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】进行分母有理化，分子分母同乘， ， 复数的共轭复数为. 故答案为； 13．在正四棱台中，，，则该棱台的体积为_______． 【答案】/ 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，进而利用台体体积公式进行求解. 【详解】上下底面中心分别为，连接，过点作⊥于点， 则， 因为，，所以，故， ， 由勾股定理得， 则该棱台的体积为. 故答案为： 14．所对的三边为，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位． (1)求复数z和|z|； (2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 【详解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2. 又＝＝＝＋i为实数，所以＝0，故a＝－2b.又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i， 所以|z|＝＝2. (2)z1＝＋－i＝4＋＋i ＝＋i. 因为z1在复平面内对应的点位于第四象限， 所以解得－2<m<或1<m<， 故实数m的取值范围为∪. 16．（15分） 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【答案】(1). (2). (3). 【详解】（1）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 . （2）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故. （3）由事件 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故. 事件 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球. 所以 个红球 2 个白球，2个红球 1 个白球 . 17．（15分） 如图，在正方体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求异面直线所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得，结合确定平面的性质，得到与确定一个平面，即可得证； （2）连结，证得，得到（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，即可求解. 【详解】（1）证明：因为分别是和的中点，所以且， 又因为且，所以四边形 是平行四边形，所以， 所以，所以与确定一个平面， 所以点，即四点共面． （2）解：连结，在正方体中，平行且等于, 所以四边形为平行四边形，可得， 因此（或其补角）是异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为，在中，可得， 所以是等边三角形，可得， 即异面直线与所成的角等于.    18．（17分） 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6 (2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解 【详解】（1）平均数, 方差 （2）（ⅰ）由可得， 故是无效数据， （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时， 故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 【答案】(1)； (2)不正确，理由见解析； (3)，的最小值为. 【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，并求得的范围，即可得到的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以两边平方得， 故； （2）不正确，理由如下， 因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以 故的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $