专题01 期末真题百练通关（134题43考点常考题型）（高效培优期末专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

**基本信息** 以43个期末高频考点为纲，134道真题构建"基础-中档-压轴"三级训练体系，融合概念生成、性质推导与综合应用，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|26题|穿墙规律、分母有理化裂项法|定义→有意义条件→性质→化简→四则运算| |一元二次方程|33题|直接开平方/配方法/公式法/因式分解法|定义→解法→根的判别式与关系→实际应用| |勾股定理|13题|逆定理判定、勾股数应用|定理→逆定理→勾股数→实际应用| |四边形|42题|特殊四边形判定与性质综合法|多边形→平行四边形→矩形/菱形/正方形→中位线| |统计|20题|频数分布直方图分析、方差计算|数据收集→整理→分析（平均数/众数/中位数/方差/四分位数）|

专题01 期末真题百练通关（134题43考点常考题型） 考点01 二次根式的定义（基础） 考点23 勾股定理的应用（中档） 考点02 二次根式有意义的条件（基础） 考点24 多边形（基础） 考点03 二次根式的性质与化简（中档） 考点25 平行四边形的性质（中档） 考点04 最简二次根式（基础） 考点26平行四边形的判定（中档） 考点05 二次根式的乘除法（中档） 考点27平行四边形的判定与性质（压轴） 考点06 分母有理化（压轴） 考点28三角形中位线定理（中档） 考点07 二次根式的加减法（中档） 考点29矩形的性质（中档） 考点08 二次根式的混合运算（中档） 考点30直角三角形斜边上的中线（中档） 考点09 一元二次方程的定义（基础） 考点31矩形的判定与性质（压轴） 考点10 一元二次方程的一般形式（基础） 考点32菱形的性质（中档） 考点11一元二次方程的解（基础） 考点33菱形的判定（中档） 考点12解一元二次方程-直接开平方法（中档） 考点34菱形的判定与性质（压轴） 考点13解一元二次方程-配方法（中档） 考点35正方形的性质（压轴） 考点14解一元二次方程-公式法（中档） 考点36正方形的判定与性质（压轴） 考点15解一元二次方程-因式分解法（中档） 考点37频数（率）分布直方图（中档） 考点16根的判别式（中档） 考点38加权平均数（基础） 考点17根与系数的关系（中档） 考点39 众数与中位数（中档） 考点18列一元二次方程（中档） 考点40方差（中档） 考点19一元二次方程的应用（压轴） 考点41统计量的选择（中档） 考点20勾股定理（中档） 考点42离差平方和（中档） 考点21 勾股定理的逆定理（中档） 考点43四分位数和箱线图（中档） 考点22 勾股数（中档） 考点01 二次根式的定义（基础）（共3小题） 1．（2025春•瑶海区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•庐江县校级期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•滁州期末）已知是整数，正整数a的最小值是　　 ． 考点02 二次根式有意义的条件（基础）（共3小题） 4．（2025春•安徽期末）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜2 D．x≥﹣2 5．（2025春•界首市期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1且x≠0 D．x＜1 6．（2025春•淮北期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 ． 考点03 二次根式的性质与化简（中档）（共4小题） 7．（2025春•芜湖期末）化简的结果是（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 8．（2025春•庐阳区校级期末）已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 9．（2025春•岳西县期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a 10．（2024秋•安徽校级期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 考点04 最简二次根式（基础）（共3小题） 11．（2025春•亳州期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025春•庐阳区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 13．（2025春•淮南校级期末）若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 　　 ． 考点05 二次根式的乘除法（中档）（共4小题） 14．（2025春•黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　） A． B． C．a2b D．ab 15．（2025春•合肥校级期末）估计的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 16．（2025春•临泉县期末）计算　 　 ． 17．（2025春•颍上县期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 　 ． 考点06 分母有理化（中档）（共3小题） 18．（2025春•巢湖市期末）阅读下列解题过程：；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①② （2）利用上面提供的解法，请计算：． 19．（2025春•寿县期末）观察下列等式： a1；a2；a3；a4 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：　 　 ； （2）请写出第n个等式：　 ； （3）求a1+a2+a3+…+a20的值． 20．（2025春•芜湖校级期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　 　 ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 考点07 二次根式的加减法（中档）（共3小题） 21．（2025春•芜湖期末）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 22．（2025春•瑶海区校级期末）　 ． 23．（2025春•蚌埠校级期末）观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则S4的值为　 ． （2）写出Sn的值，并通过计算说明其正确性． 考点08 二次根式的混合运算（中档）（共3小题） 24．（2025春•和县期末）计算：． 25．（2025春•霍邱县期末）计算：． 26．（2025春•芜湖校级期末）计算 （1）6； （2）（2）（2）+（）2 考点09 一元二次方程的定义（基础）（共3小题） 27．（2025春•安庆期末）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1 28．（2025春•阜阳校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　　 ． 29．（2025春•凤阳县期末）若方程kx2+x＝3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是　 ． 考点10 一元二次方程的一般形式（基础）（共3小题） 30．（2025春•岳西县期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 31．（2025春•庐阳区校级期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝4x化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．1，4，1 B．2，﹣5，0 C．3，4，0 D．﹣2，﹣5，1 32．（2025春•马鞍山期末）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　　 ． 考点11一元二次方程的解（基础）（共3小题） 33．（2025春•肥东县校级期末）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D．6 34．（2025春•亳州期末）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 35．（2025春•滁州期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2025的值为 　　 ． 考点12解一元二次方程-直接开平方法（中档）（共3小题） 36．（2024秋•萧县期末）用直接开平方法解关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝b，则b应满足的条件是（　　） A．b＞0 B．b≥0 C．b＜0 D．b≤0 37．（2025春•怀宁县期末）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 　　 ． 38．（2025春•岳西县期末）若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　 ． 考点13解一元二次方程-配方法（中档）（共3小题） 39．（2025春•舒城县期末）解方程：x2﹣6x+1＝0． 40．（2025春•临泉县期末）解方程：x2+2x﹣1＝0． 41．（2025春•瑶海区校级期末）解方程：x2+2x+1＝4． 考点14解一元二次方程-公式法（中档）（共3小题） 42．（2024秋•太和县期末）解方程：x2+x＝1． 43．（2025春•六安期末）解方程：2x（x+2）﹣1＝0． 44．（2025春•青阳县期末）解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 考点15解一元二次方程-因式分解法（中档）（共3小题） 45．（2024秋•阜阳期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 46．（2024秋•淮南期末）解下列方程：x2+4x＝x+4． 47．（2025春•太湖县期末）解方程：（y﹣2）（y﹣3）＝12． 考点16根的判别式（中档）（共3小题） 48．（2025春•潜山市期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 49．（2025春•亳州期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2+3x+4＝0 D．x2+5x﹣1＝0 50．（2025春•包河区期末）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1 考点17根与系数的关系（中档）（共3小题） 51．（2025春•颍上县期末）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 52．（2025春•霍邱县期末）已知方程x2﹣3x+1＝0的两根是m、n，则代数式（m+1）（n+1）的值为 　　 ． 53．（2025春•潜山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 考点18列一元二次方程（中档）（共3小题） 54．（2025春•庐阳区校级期末）如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 55．（2025春•桐城市期末）某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了15%，2023年比2022年旅游人数增加了x%，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为62%，则下列方程正确的是（　　） A．（1+15%）（1+62%）＝（1+x）2 B．（1+15%）（1+x%）＝1+62%×2 C．（1+15%）（1+62%）＝（1+x%）2 D．（1+15%）（1+x%）＝（1+62%）2 56．（2025春•安庆期末）电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3（1+x）＝10 考点19一元二次方程的应用（压轴）（共3小题） 57．（2025春•庐阳区校级期末）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 58．（2025春•安徽期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 59．（2025春•包河区校级期末）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 考点20勾股定理（中档）（共3小题） 60．（2025春•庐阳区校级期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 61．（2025秋•宿州期末）若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　） A．3或4 B．5或 C．5 D． 62．（2025秋•宿松县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为　　 ． 考点21 勾股定理的逆定理（中档）（共4小题） 63．（2025春•庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 64．（2025秋•萧县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B．S△ABC＝4.5 C．点A到直线BC的距离为2 D．∠BAC＝90° 65．（2025春•肥东县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC，CD＝1，AD＝2，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 66．（2025春•亳州期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 考点22 勾股数（中档）（共3小题） 67．（2025秋•宿州期末）下列各组数是勾股数的是（　　） A．1，， B．0.6，0.8，1 C．3，4，5 D．5，11，12 68．（2025春•蚌埠期末）下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 69．（2025春•临泉县期末）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）． 考点23 勾股定理的应用（中档）（共2小题） 70．（2025春•潜山市期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 71．（2025春•和县期末）【研学实践】 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离BD＝16米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 BF＝20米，最后测量放风筝的小康同学的身高AB＝1.6米． 【数据应用】 已知图中各点均在同一平面内，点C，F，D，E在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度EF． （2）若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升18米到点C的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 考点24 多边形（基础）（共4小题） 72．（2025春•太湖县期末）从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 73．（2025春•金安区校级期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A．五 B．六 C．七 D．八 74．（2025春•肥西县期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 75．（2025春•萧县期末）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 　 　 ． 考点25 平行四边形的性质（中档）（共4小题） 76．（2025春•巢湖市期末）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A．36° B．108° C．72° D．60° 77．（2025春•瑶海区校级期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 78．（2025春•濉溪县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（　　） A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C．1＜m＜11 D．5＜m＜6 79．（2025春•埇桥区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，DE平分∠ADC交AB与点E． （1）求∠ADE的度数； （2）若AB＝10，BC＝7，求BE的长． 考点26平行四边形的判定（中档）（共3小题） 80．（2025春•巢湖市期末）下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 81．（2025春•瑶海区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 82．（2025春•埇桥区期末）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． 求证：四边形ABDF是平行四边形． 考点27平行四边形的判定与性质（压轴）（共3小题） 83．（2025秋•宿松县期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，AF，CE，CF，∠BAE＝∠DCF．求证： （1）△ABE≌△CDF． （2）四边形AECF是平行四边形． 84．（2025春•砀山县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长． 85．（2025春•临泉县期末）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若DE＝EF＝2，CFBE，求CD的长． 考点28三角形中位线定理（中档）（共3小题） 86．（2025春•无为市期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 87．（2025春•庐江县校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　 ． 88．（2025春•颍上县期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　　 ． 考点29矩形的性质（中档）（共3小题） 89．（2025春•六安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 90．（2025春•巢湖市期末）如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 91．（2025春•界首市期末）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝　　 cm． 考点30直角三角形斜边上的中线（中档）（共3小题） 92．（2025春•全椒县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 93．（2025春•瑶海区校级期末）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 94．（2024秋•淮南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（　　） A．7 B．7.5 C． D．14 考点31矩形的判定与性质（压轴）（共3小题） 95．（2025秋•合肥校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 96．（2025春•庐阳区校级期末）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长． 97．（2025春•临泉县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 考点32菱形的性质（中档）（共3小题） 98．（2025春•芜湖期末）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 99．（2025春•庐江县校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD、CD上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE＝∠CBF．求证：∠BEF＝∠BFE． 100．（2025春•滁州期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由． 考点33菱形的判定（中档）（共3小题） 101．（2024春•大观区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC 102．（2025春•芜湖校级期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FHBD 其中正确结论的为　 　 （请将所有正确的序号都填上）． 103．（2025春•怀宁县期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由． 考点34菱形的判定与性质（压轴）（共3小题） 104．（2025春•淮南校级期末）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 105．（2025春•包河区校级期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 106．（2025春•长丰县校级期末）已知AE∥BF，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC． （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且AB＝6，BG＝10，AC＝5，求DG的长． 考点35正方形的性质（压轴）（共3小题） 107．（2025春•包河区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为（　　） A． B． C． D． 108．（2025春•安庆期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中正确的有（　　） ①CE＝CF ②DE＝EF ③AC⊥CG ④ A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 109．（2025春•青阳县期末）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP． （1）求证：AE＝CE； （2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长； （3）当时，求BP的长． 考点36正方形的判定与性质（压轴）（共3小题） 110．（2025春•肥东县校级期末）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，四边形ACED为平行四边形，DE，BC相交于F，连接DC，BE． （1）试确定四边形BDCE的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE为正方形？请给予证明． 111．（2023春•阜阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF． （1）求证：△AEH≌△CGF． （2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形． 112．（2024春•贵池区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 考点37频数（率）分布直方图（中档）（共3小题） 113．（2025春•庐江县校级期末）有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数分布直方图，若组距定为7．则组数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 114．（2025春•濉溪县期末）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 115．（2025春•临泉县期末）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 16 C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 b （1）频数分布表中a＝　8　 ，b＝　　 ，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m＝　　 ，D所对应的扇形的圆心角度数是 　　 ． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 考点38加权平均数（基础）（共3小题） 116．（2025春•安庆期末）某校举办了以“红心颂党恩，喜迎二十大”为主题的演讲比赛．已知某位选手在演讲内容、演讲结构、演讲表达三项的得分分别为94分，80分，90分，若依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．85分 B．88分 C．89分 D．90分 117．（2025春•庐江县校级期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 　　 分． 118．（2025春•安徽期末）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是90分、80分、80分．若将三项得分依次按2：5：3的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为　　 分． 考点39 众数与中位数（中档）（共3小题） 119．（2025春•肥东县校级期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（　　） A．4.6 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3 120．（2024春•金寨县期末）《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（　　） A．90棵，120棵 B．100棵，100棵 C．120棵，100棵 D．100棵，120棵 121．（2025春•全椒县期末）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是　　 ． 122．（2025春•太和县期末）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生有 　　 人，图①中m的值是 　　 ； （2）本次调查获取样本数据的众数为 　　 元，中位数为 　　 元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 考点40方差（中档）（共3小题） 123．（2025春•阜阳校级期末）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 124．（2025秋•埇桥区校级期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　　 ． 125．（2025秋•宿州期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示． 根据以上信息．整理分析数据： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 85 85 B校 85 a b （1）a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）填空：（填“A校”或“B校”） ①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 　 ； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 　 ； ③从两校比赛成绩的方差的角度来比较，　 代表队选手成绩的方差较大． 考点41统计量的选择（中档）（共3小题） 126．（2025春•北川县期末）体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 127．（2025春•甘南州期末）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 　 .（填“平均数”“中位数”或“众数”） 128．（2024春•青秀区校级期末）为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 考点42离差平方和（中档）（共2小题） 129．（2026春•台州期中）某校生物小组的5名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：73，78，89，86，89，则下列说法中不正确的是（　　） A．种子发芽数的平均数是83 B．种子发芽数的中位数是89 C．种子发芽数的众数是89 D．种子发芽数的离差平方和为206 130．（2026春•杭州期中）一组数据1，2，3，4，5的方差计算式是S2（4）2+（5）2，下列说法中错误的是（　　） A．n＝5 B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，离差平方和不变 考点43四分位数和箱线图（中档）（共4小题） 131．（2026春•杭州期中）已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（　　） A．163 B．167 C．168 D．170 132．（2026春•东城区校级期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是　　 分． 133．（2026春•鼓楼区校级期中）如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的下四分位数是　 　 ． 134．（2026春•德化县校级期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（134题43考点常考题型） 考点01 二次根式的定义（基础） 考点23 勾股定理的应用（中档） 考点02 二次根式有意义的条件（基础） 考点24 多边形（基础） 考点03 二次根式的性质与化简（中档） 考点25 平行四边形的性质（中档） 考点04 最简二次根式（基础） 考点26平行四边形的判定（中档） 考点05 二次根式的乘除法（中档） 考点27平行四边形的判定与性质（压轴） 考点06 分母有理化（压轴） 考点28三角形中位线定理（中档） 考点07 二次根式的加减法（中档） 考点29矩形的性质（中档） 考点08 二次根式的混合运算（中档） 考点30直角三角形斜边上的中线（中档） 考点09 一元二次方程的定义（基础） 考点31矩形的判定与性质（压轴） 考点10 一元二次方程的一般形式（基础） 考点32菱形的性质（中档） 考点11一元二次方程的解（基础） 考点33菱形的判定（中档） 考点12解一元二次方程-直接开平方法（中档） 考点34菱形的判定与性质（压轴） 考点13解一元二次方程-配方法（中档） 考点35正方形的性质（压轴） 考点14解一元二次方程-公式法（中档） 考点36正方形的判定与性质（压轴） 考点15解一元二次方程-因式分解法（中档） 考点37频数（率）分布直方图（中档） 考点16根的判别式（中档） 考点38加权平均数（基础） 考点17根与系数的关系（中档） 考点39 众数与中位数（中档） 考点18列一元二次方程（中档） 考点40方差（中档） 考点19一元二次方程的应用（压轴） 考点41统计量的选择（中档） 考点20勾股定理（中档） 考点42离差平方和（中档） 考点21 勾股定理的逆定理（中档） 考点43四分位数和箱线图（中档） 考点22 勾股数（中档） 考点01 二次根式的定义（基础）（共3小题） 1．（2025春•瑶海区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．没有意义，故该选项不符合题意； B．是三次根式，故该选项不符合题意； C．是二次根式，故该选项符合题意； D．当a≥1时，是二次根式，当a＜1时，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025春•庐江县校级期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意； B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意； C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意； D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意； 故选：C． 3．（2025春•滁州期末）已知是整数，正整数a的最小值是　　 ． 【解答】解：2是整数，得 a＝2， 故答案为：2． 考点02 二次根式有意义的条件（基础）（共3小题） 4．（2025春•安徽期末）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜2 D．x≥﹣2 【解答】解：要使式子有意义，则2x+4≥0， 解得x≥﹣2， 故选：D． 5．（2025春•界首市期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1且x≠0 D．x＜1 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x≠0且x﹣1≥0， 解得x≥1， 故选：A． 6．（2025春•淮北期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 ． 【解答】解：∵2﹣x＞0， ∴x＜2． 故答案为：x＜2． 考点03 二次根式的性质与化简（中档）（共4小题） 7．（2025春•芜湖期末）化简的结果是（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 【解答】解：因为有意义， ∴a＜0， ∴， 故选：D． 8．（2025春•庐阳区校级期末）已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 【解答】解：由条件可知x﹣5＜0，x﹣3＜0， ∴原式＝5﹣x+3﹣x ＝8﹣2x； 故选：D． 9．（2025春•岳西县期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0，a﹣2＜0， 原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3． 故选：A． 10．（2024秋•安徽校级期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【解答】解：由数轴知a＜1＜b， ∴b﹣1＞0，a﹣b＜0， 则原式＝|a|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣（b﹣1）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣b+1﹣b+a ＝1﹣2b． 考点04 最简二次根式（基础）（共3小题） 11．（2025春•亳州期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、2，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选：B． 12．（2025春•庐阳区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，故此选项错误； B、，是最简二次根式，故此选项正确； C、2，不是最简二次根式，故此选项错误； D、，不是最简二次根式，故此选项错误． 故选：B． 13．（2025春•淮南校级期末）若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 　　 ． 【解答】解：∵2，能与最简二次根式合并同类项， ∴x﹣1＝3， ∴x＝4． 故答案为：4． 考点05 二次根式的乘除法（中档）（共4小题） 14．（2025春•黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　） A． B． C．a2b D．ab 【解答】解：∵a，b， ∴可以表示为：3（）2a2b． 故选：C． 15．（2025春•合肥校级期末）估计的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【解答】解：原式3235， ∵49＜（5）2＝50＜64， ∴7＜58． 故选：C． 16．（2025春•临泉县期末）计算　 　 ． 【解答】解：原式． 故答案为：． 17．（2025春•颍上县期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　　 ． 【解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1， ∴b＝82﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 考点06 分母有理化（中档）（共3小题） 18．（2025春•巢湖市期末）阅读下列解题过程：；请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，化简：①② （2）利用上面提供的解法，请计算：． 【解答】解：（1）①3； ②； （2） （）（） （）（） ＝n． 19．（2025春•寿县期末）观察下列等式： a1；a2；a3；a4 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：　 　 ； （2）请写出第n个等式：　 ； （3）求a1+a2+a3+…+a20的值． 【解答】解：（1）观察，如a2的下标2，与中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得 故答案为： （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式 故答案为： （3）a1+a2+a3+…+a20 ... ． 故答案为：． 20．（2025春•芜湖校级期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　 　 ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）原式 ＝11﹣1 ＝10． 考点07 二次根式的加减法（中档）（共3小题） 21．（2025春•芜湖期末）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 【解答】解：A．当a＝2，b＝2时，，故选项不符合题意； B．当，时，，故选项不符合题意； C．当a＝0，b＝8时，，故选项不符合题意； D．当a＝4，b＝2时，，故选项符合题意． 故选：D． 22．（2025春•瑶海区校级期末）　 ． 【解答】解：原式． 故答案为：． 23．（2025春•蚌埠校级期末）观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则S4的值为　 ． （2）写出Sn的值，并通过计算说明其正确性． 【解答】解：（1）根据题干规律可得： ． 故答案为：； （2）， ∵，，， ∴． 考点08 二次根式的混合运算（中档）（共3小题） 24．（2025春•和县期末）计算：． 【解答】解：原式＝2﹣1+（3+4﹣4）＝1+7﹣48﹣4． 25．（2025春•霍邱县期末）计算：． 【解答】解： 2 ＝42 ＝4． 26．（2025春•芜湖校级期末）计算 （1）6； （2）（2）（2）+（）2 【解答】解：（1）原式＝224 ＝4； （2）原式＝4﹣3+3﹣22 ＝6﹣2． 考点09 一元二次方程的定义（基础）（共3小题） 27．（2025春•安庆期末）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1 【解答】解：A．x﹣1＝0，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．ax2＝1，当a≠0时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D．x（x﹣2）＝1，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 28．（2025春•阜阳校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　　 ． 【解答】解：∵是一元二次方程， ∴m2+1＝2，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 29．（2025春•凤阳县期末）若方程kx2+x＝3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是　 ． 【解答】解：化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1＝0，根据题意得：k﹣3≠0， 解得k≠3． 考点10 一元二次方程的一般形式（基础）（共3小题） 30．（2025春•岳西县期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5， 故选：C． 31．（2025春•庐阳区校级期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝4x化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．1，4，1 B．2，﹣5，0 C．3，4，0 D．﹣2，﹣5，1 【解答】解：方程整理得：2x2﹣5x＝0， 则a，b，c的值分别是2，﹣5，0． 故选：B． 32．（2025春•马鞍山期末）已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　　 ． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0， 去括号，得x2+3x﹣2x﹣6＝0， 合并，得x2+x﹣6＝0， 所以常数项是﹣6． 故答案为：﹣6． 考点11一元二次方程的解（基础）（共3小题） 33．（2025春•肥东县校级期末）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D．6 【解答】解：把x＝﹣2代入程x2﹣kx+k+2＝0得4+2k+k+2＝0， 解得k＝﹣2． 故选：A． 34．（2025春•亳州期末）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0， 则2a2+a＝4， 则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3． 故选：B． 35．（2025春•滁州期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2025的值为 　　 ． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m+2025＝3（2m2﹣3m）+2025＝3×1+2025＝2028． 故答案为：2028． 考点12解一元二次方程-直接开平方法（中档）（共3小题） 36．（2024秋•萧县期末）用直接开平方法解关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝b，则b应满足的条件是（　　） A．b＞0 B．b≥0 C．b＜0 D．b≤0 【解答】解：∵任何数的平分都大于等于零， ∴用直接开平方法解关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝b，则b应满足的条件是b≥0， 故选B． 37．（2025春•怀宁县期末）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 　　 ． 【解答】解：由ax2＝b（ab＞0）得，解得，可知两根互为相反数． ∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4， ∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2和﹣2， ∴， ∴4． 故答案为：4． 38．（2025春•岳西县期末）若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　 ． 【解答】解：将x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0， ∴（2a﹣1）2﹣16＝0， ∴2a﹣1＝±4， ∴a1或a2， 故答案为：或． 考点13解一元二次方程-配方法（中档）（共3小题） 39．（2025春•舒城县期末）解方程：x2﹣6x+1＝0． 【解答】解：∵x2﹣6x＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 则x﹣3， ∴x＝3． 40．（2025春•临泉县期末）解方程：x2+2x﹣1＝0． 【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1， 配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1． 41．（2025春•瑶海区校级期末）解方程：x2+2x+1＝4． 【解答】解：∵x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 则x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x＝1或x＝﹣3． 考点14解一元二次方程-公式法（中档）（共3小题） 42．（2024秋•太和县期末）解方程：x2+x＝1． 【解答】解：x2+x＝1， 移项得：x2+x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝1+4＝5＞0， ∴x， 则x1，x2． 43．（2025春•六安期末）解方程：2x（x+2）﹣1＝0． 【解答】解：∵2x（x+2）﹣1＝0， ∴2x2+4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝﹣1， ∴Δ＝16﹣4×2×（﹣1）＝24， ∴x， ∴x1，x2． 44．（2025春•青阳县期末）解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 【解答】解：原方程整理得x2+4x﹣3＝0， a＝1，b＝4，c＝﹣3， Δ＝16+12＝28， ∴x， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2． 考点15解一元二次方程-因式分解法（中档）（共3小题） 45．（2024秋•阜阳期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣2． 46．（2024秋•淮南期末）解下列方程：x2+4x＝x+4． 【解答】解：移项得：x2+3x﹣4＝0， 整理得：（x+4）（x﹣1）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1． 47．（2025春•太湖县期末）解方程：（y﹣2）（y﹣3）＝12． 【解答】解：（y﹣2）（y﹣3）＝12， y2﹣3y﹣2y+6＝12， y2﹣3y﹣2y+6﹣12＝0， y2﹣5y﹣6＝0， ∴（y﹣6）（y+1）＝0， ∴y﹣6＝0或y+1＝0， ∴y1＝6，y2＝﹣1． 考点16根的判别式（中档）（共3小题） 48．（2025春•潜山市期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 49．（2025春•亳州期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2+3x+4＝0 D．x2+5x﹣1＝0 【解答】解：根据根的判别式分别进行计算分析判断如下： A．a＝1，b＝﹣4，c＝4． 判别式Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0，方程有两个相等实数根． B．a＝1，b＝﹣1，c＝1． 判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3，方程无实数根． C．a＝1，b＝3，c＝4． 判别式Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7，方程无实数根． D．a＝1，b＝5，c＝﹣1． 判别式Δ＝52﹣4×1×（﹣1）＝25+4＝29，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 50．（2025春•包河区期末）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1 【解答】解：因为方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根， 即方程x2+（1+a）x＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（1+a）2﹣4×1×0＝0， 解得，a＝﹣1， 所以实数a的值为﹣1． 故选：A． 考点17根与系数的关系（中档）（共3小题） 51．（2025春•颍上县期末）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 52．（2025春•霍邱县期末）已知方程x2﹣3x+1＝0的两根是m、n，则代数式（m+1）（n+1）的值为 　　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1， 所以（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1＝1+3+1＝5． 故答案为：5． 53．（2025春•潜山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0， ∵Δ＝（2m+2）2﹣4×1×（2m﹣1） ＝4m2+8m+4﹣8m+4 ＝4m2+8＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得x1+x2＝﹣2m﹣2，x1x2＝2m﹣1， ∵（x1+1）（x2+1）＝a， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝a， ∴2m﹣1+（﹣2m﹣2）+1＝a， 解得：a＝﹣2． 考点18列一元二次方程（中档）（共3小题） 54．（2025春•庐阳区校级期末）如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设该草坪的长和宽各增加xm，根据“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”得 ， 故选：A． 55．（2025春•桐城市期末）某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了15%，2023年比2022年旅游人数增加了x%，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为62%，则下列方程正确的是（　　） A．（1+15%）（1+62%）＝（1+x）2 B．（1+15%）（1+x%）＝1+62%×2 C．（1+15%）（1+62%）＝（1+x%）2 D．（1+15%）（1+x%）＝（1+62%）2 【解答】解：设2021年的旅游人数为a人， a（1+15%）（1+x%）＝a（1+62%）2， 即（1+15%）（1+x%）＝（1+62%）2， 故选：D． 56．（2025春•安庆期末）电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3（1+x）＝10 【解答】解：根据题意得到方程为：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10， 故选：A． 考点19一元二次方程的应用（压轴）（共3小题） 57．（2025春•庐阳区校级期末）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得，5（1+x）2＝7.2， 整理得，5x2+10x﹣2.2＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%； （2）设售价应降低y元， 由题意列一元二次方程得，（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得y1＝10，y2＝20， ∵尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 58．（2025春•安徽期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 59．（2025春•包河区校级期末）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）①设每千克樱桃应降价x元，根据题意列一元二次方程得： ， 解得x1＝4，x2＝6， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元．此时，售价为60﹣6＝54（元）， ∴． 即该店应按原售价的9折出售； （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意列方程得： （60﹣y﹣40）（100+10y）＝2400， 整理得，3y2+40y+400＝0， ∵Δ＝402﹣4×3×400＝﹣3200＜0， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 考点20勾股定理（中档）（共3小题） 60．（2025春•庐阳区校级期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 61．（2025秋•宿州期末）若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　） A．3或4 B．5或 C．5 D． 【解答】解：∵|m﹣3|0， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， ∴m＝3，n＝4， 当m、n为直角边时，第三边长是5， 当n为斜边时，第三边长是， 综上所述，第三条边长为5或， 故选：B． 62．（2025秋•宿松县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为　　 ． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵AD平分∠BAC，BD＝9， ∴， ∴∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝9， ∵点E是AD中点， ∴， 故答案为：． 考点21 勾股定理的逆定理（中档）（共4小题） 63．（2025春•庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A、∵c2＝a2﹣b2， ∴c2+b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝3k，c＝5k， ∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠C＝∠B﹣∠A， ∴∠C+∠A＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 64．（2025秋•萧县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B．S△ABC＝4.5 C．点A到直线BC的距离为2 D．∠BAC＝90° 【解答】解：由题意得： AB2＝22+42＝20， ∴AB＝2， 故A不符合题意； 由题意得： AC2＝22+12＝5， CB2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， 故D不符合题意； ∵AC，AB＝2， ∴△ABC的面积AC•AB 2 ＝5， 故B符合题意； 设点A到直线BC的距离为h， ∵△ABC的面积为5，BC＝5， ∴BC•h＝5， ∴h＝2， ∴点A到直线BC的距离为2， 故C不符合题意； 故选：B． 65．（2025春•肥东县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC，CD＝1，AD＝2，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠BCD＝90°，BC，CD＝1，AB＝3，， ∴， ∴， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90°， ∴ ， 故选：A． 66．（2025春•亳州期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【解答】解：在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 连接CD， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形EDFC是矩形， ∴EF＝CD，∠EDF＝90°， ∵点P是EF的中点， ∴DPEFCD， 当CD最小时，则DP最小， 根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小， ∴DPEFCD2.4， 故选：A． 考点22 勾股数（中档）（共3小题） 67．（2025秋•宿州期末）下列各组数是勾股数的是（　　） A．1，， B．0.6，0.8，1 C．3，4，5 D．5，11，12 【解答】解：A、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； B、0.6、0.8不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意； C、是勾股数，因为32+42＝52，此选项符合题意； D、不是勾股数，因为112+52≠122，此选项不合题意； 故选：C． 68．（2025春•蚌埠期末）下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25 【解答】解：A、∵32+42＝25＝52， ∴3，4，5是勾股数，不符合题意； B、∵92+122＝225＝152， ∴9，12，15是勾股数，不符合题意； C、∵52+62＝61≠72， ∴5，6，7不是勾股数，符合题意； D、∵72+242＝625＝252， ∴7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 69．（2025春•临泉县期末）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）． 【解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，am2，， ∴b2＝c2﹣a2 ＝（m2）2﹣（m2）2 m4m2﹣（m4m2） m4m2m4m2 ＝m2， ∵m是大于1的奇数， ∴b＝m． 故答案为：m． 考点23 勾股定理的应用（中档）（共2小题） 70．（2025春•潜山市期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：24（米）； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 根据勾股定理得：25， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 71．（2025春•和县期末）【研学实践】 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离BD＝16米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 BF＝20米，最后测量放风筝的小康同学的身高AB＝1.6米． 【数据应用】 已知图中各点均在同一平面内，点C，F，D，E在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度EF． （2）若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升18米到点C的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【解答】解：（1）由题意得，DE＝AB＝1.6米，BD⊥DF， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得米， ∴EF＝DF+DE＝13.6米； ∴此时风筝的垂直高度EF为13.6米． 答：此时风筝的垂直高度EF为13.6米． （2）由题意得，DC＝12+18＝30（米）， 在Rt△BCD中，由勾股定理得米， ∵34﹣20＝14（米）， ∴还需要放出风筝线14米． 答：还需要放出风筝线14米． 考点24 多边形（基础）（共4小题） 72．（2025春•太湖县期末）从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【解答】解：从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为7﹣3＝4条， 故选：A． 73．（2025春•金安区校级期末）过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（　　） A．五 B．六 C．七 D．八 【解答】解：设多边形的边数是n， 由题意得：n﹣3＝3， ∴n＝6． ∴这个多边形的边数是六． 故选：B． 74．（2025春•肥西县期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设该多边形的边数为n 则：（n﹣2）•180°＝900°， 解得：n＝7． 故选：D． 75．（2025春•萧县期末）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 　 　 ． 【解答】解：代入正多边形的内角公式得： 正九边形的一个内角度数， 故答案为：140°． 考点25 平行四边形的性质（中档）（共4小题） 76．（2025春•巢湖市期末）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A．36° B．108° C．72° D．60° 【解答】解：在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3， 设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°， 解得x＝36° 则∠D＝108°． 故选：B． 77．（2025春•瑶海区校级期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 78．（2025春•濉溪县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（　　） A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C．1＜m＜11 D．5＜m＜6 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝12， ∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝6， 在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB， ∴6﹣5＜m＜6+5， ∴1＜m＜11． 故选：C． 79．（2025春•埇桥区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，DE平分∠ADC交AB与点E． （1）求∠ADE的度数； （2）若AB＝10，BC＝7，求BE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠ADC＝130°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE∠ADC＝65； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝7，DC∥AB， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD＝7， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣7＝3． 考点26平行四边形的判定（中档）（共3小题） 80．（2025春•巢湖市期末）下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 【解答】解：A、 根据AB∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； B、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； D、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； 故选：C． 81．（2025春•瑶海区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 【解答】解：A、由AB∥DC，AD＝BC，无法判断四边形是平行四边形，可能是等腰梯形；本选项符合题意； B、由AB∥DC，AD∥BC，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C、由AB＝DC，AD＝BC，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、由OA＝OC，OB＝OD，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：A． 82．（2025春•埇桥区期末）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． 求证：四边形ABDF是平行四边形． 【解答】证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB＝∠BAE， ∵AB∥DF． ∴∠BAE＝∠DFE， ∴∠CAB＝∠EFD， 在△CAB和△EFD中， ， ∴△CAB≌△EFD（ASA）， ∴AB＝FD， 又∵AB∥FD， ∴四边形ABDF是平行四边形． 考点27平行四边形的判定与性质（压轴）（共3小题） 83．（2025秋•宿松县期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，AF，CE，CF，∠BAE＝∠DCF．求证： （1）△ABE≌△CDF． （2）四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 84．（2025春•砀山县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长． 【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高， ∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵∠AED＝30°， ∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴△ADF为等边三角形， ∴AD＝DF， ∵ED＝AD， ∴ED＝DF， ∵BD＝DC， ∴四边形BECF为平行四边形； （2）∵AB＝6， ∴BD＝3，AD＝3， ∵△ADF为等边三角形， ∴AF＝AD＝3， ∴BF3， ∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∴BE＝BD＝3， ∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（33）＝66． 85．（2025春•临泉县期末）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE，DF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若DE＝EF＝2，CFBE，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴DE∥BF，∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（AAS）， ∴DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵DE＝EF＝2， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DFDE＝2，CFBE， 由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形， ∴BE＝DF＝2， ∴CFBE24， ∴CE＝EF+CF＝6， ∴CD2， 即CD的长为2． 考点28三角形中位线定理（中档）（共3小题） 86．（2025春•无为市期末）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB＝90°， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝1， 故选：A． 87．（2025春•庐江县校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　 ． 【解答】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm， ∴DFAC6＝3（cm）， ∵EF＝1cm， ∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm）， ∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm）， 故答案为：8cm． 88．（2025春•颍上县期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　　 ． 【解答】（1）证明：如图，延长CD交AB于E， ∵AD平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴CD＝DE， ∵点G是BC的中点， ∴DG是△AEB的中位线， ∴DG∥AB； （2）解：由（1）可知：△ADE≌△ADC，DG是△AEB的中位线， ∴AE＝AC＝5，BE＝2DG＝4， ∴AB＝AE+BE＝5+4＝9， 故答案为：9． 考点29矩形的性质（中档）（共3小题） 89．（2025春•六安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°， ∴AB＝BE， ∴AC＝2CD， ∴BD＝2AB， ∴BO＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO75°， 故选：C． 90．（2025春•巢湖市期末）如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO． ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∴S△BCDBC•CD3×2＝3，故S阴影＝3． 故答案为：3． 91．（2025春•界首市期末）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝　　 cm． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝CD＝4cm，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝90°﹣15°＝75°， ∵BC＝EC， ∴∠CEB＝∠EBC＝75°， ∴∠CED＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴BC＝EC＝2CD＝8cm． 故答案为：8． 考点30直角三角形斜边上的中线（中档）（共3小题） 92．（2025春•全椒县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AE是△ABC的高线， ∴BE＝ECBC＝3，AE⊥BC， ∴AC5， ∵BD是△ABC的中线， ∴点D为AC的中点， ∴DEAC＝2.5． 故选：B． 93．（2025春•瑶海区校级期末）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BDAB＝3， ∵AE＝BE＝7， ∴ED⊥AD， 在Rt△ADE中，DE2， 故选：B． 94．（2024秋•淮南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（　　） A．7 B．7.5 C． D．14 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接EG，CE， ∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13，CEAB，GEAP1， ∴； ∵CG≤CE+GE， ∴当C，G，E三点共线时，CG最大，最大值为GE+CE； ∵， ∴CG的最大值为7； 故选：A． 考点31矩形的判定与性质（压轴）（共3小题） 95．（2025秋•合肥校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 【解答】解：如图，连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， ∵M是EF的中点， ∴PMEFAP， 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短， 则PM也最短， 此时，S△ABCBC•APAB•AC， ∴AP2.4， 即AP最短时，AP＝2.4， ∴PM的最小值AP＝1.2， 故选：C． 96．（2025春•庐阳区校级期末）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AF∥BE，BF∥AE， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∵∠DAE＝∠BEC， ∴∠AED+∠BEC＝∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°， ∴四边形AFBE是矩形． （2）解：连接EF， ∵∠DAE＝30°，∠BAD＝∠AEB＝∠D＝90°，DE＝1， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝∠DAE＝30°， ∵AE＝2DE＝2， ∴AB＝2AE＝4， ∵四边形AFBE是矩形， ∴EF＝AB＝4， ∴EF的长为4． 97．（2025春•临泉县期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴四边形ABCD的面积＝AB•BC＝3×4＝12． 考点32菱形的性质（中档）（共3小题） 98．（2025春•芜湖期末）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴∠BCD＝∠BAD＝52°，AC平分∠BAD， ∴， 故选：A． 99．（2025春•庐江县校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD、CD上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE＝∠CBF．求证：∠BEF＝∠BFE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（ASA）， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE． 100．（2025春•滁州期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD， ∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝BE＝DF＝AF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD， ∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝BE＝DF＝AF，，，OE∥BC， ∴AE＝OE＝OF＝AF， ∴四边形AEOF是菱形， ∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB， ∴∠AEO＝90°， ∴四边形AEOF是正方形． 考点33菱形的判定（中档）（共3小题） 101．（2024春•大观区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　） A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠ABC， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 102．（2025春•芜湖校级期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FHBD 其中正确结论的为　 　 （请将所有正确的序号都填上）． 【解答】解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°，AE＝AC， ∵∠BAC＝30°， ∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC， ∵F为AB的中点， ∴AB＝2AF， ∴BC＝AF， ∴△ABC≌△EFA， ∴FE＝AB， ∴∠AEF＝∠BAC＝30°， ∴EF⊥AC，故①正确， ∵EF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴HF∥BC， ∵F是AB的中点， ∴HFBC， ∵BCAB，AB＝BD， ∴HFBD，故④说法正确； ∵AD＝BD，BF＝AF， ∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°， ∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°， ∴∠DFB＝∠EAF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝30°， ∴∠BDF＝∠AEF， ∴△DBF≌△EFA（AAS）， ∴AE＝DF， ∵FE＝AB， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∵AE≠EF， ∴四边形ADFE不是菱形； 故②说法不正确； ∴AGAF， ∴AGAB， ∵AD＝AB， 则AD＝4AG，故③说法正确， 故答案为：①③④． 103．（2025春•怀宁县期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由． 【解答】（1）证明；∵AF＝FG， ∴∠FAG＝∠FGA， ∵AG平分∠CAB， ∴∠CAG＝∠FAG， ∴∠CAG＝∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC， ∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴H是ED的中点， ∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED， ∵DE∥BC， ∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE， ∴△ECG≌△GHD（AAS）； （2）证明：过点G作GP⊥AB于P， ∴GC＝GP，而AG＝AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC＝AP， 由（1）可得EG＝DG， ∴Rt△ECG≌Rt△DPG， ∴EC＝PD， ∴AD＝AP+PD＝AC+EC； （3）解：四边形AEGF是菱形， 理由：∵∠B＝30°， ∴∠ADE＝30°， ∴AEAD， ∴AE＝AF＝FG， 由（1）得AE∥FG， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∴四边形AEGF是菱形． 考点34菱形的判定与性质（压轴）（共3小题） 104．（2025春•淮南校级期末）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行，内错角相等）． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE（角平分线的定义）． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∵AB＝8， ∴AB＝AE＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M， ∵∠APM＝90°﹣∠FAP＝30°， ∴AM＝2，， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴． 105．（2025春•包河区校级期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； ∴AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：连接DF， ∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴SAC•DF＝10． 106．（2025春•长丰县校级期末）已知AE∥BF，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC． （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且AB＝6，BG＝10，AC＝5，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC， ∴∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，BC＝DC， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC， ∴AC⊥BD，BM＝DM， ∴∠AMD＝90°， ∵C是BG的中点， ∴CM∥DG， ∴∠BDG＝∠AMD＝90°， ∴△BDG是直角三角形； ∵BM＝DM，C是BG的中点，BG＝10， ∴CM是△BDG的中位线， ∴， 设CM＝x， ∵AC＝5， ∴AM＝5﹣x， 在Rt△AMD中，DM2＝AD2﹣AM2， 在Rt△CMD中，DM2＝CD2﹣CM2， ∴AD2﹣AM2＝CD2﹣CM2， 即62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得：， ∴， ∴． 考点35正方形的性质（压轴）（共3小题） 107．（2025春•包河区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， 在Rt△BAF和Rt△EMG中， ， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD， ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BEG＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴BF⊥EG， ∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点， ∴QPBE， ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4， ∴QB＝QE＝2， ∵QD﹣QP≤DP， ∴当Q、D、P共线时，DP有最小值， ∵QPBE＝2，AQ＝AE+EQ＝2+2＝4， ∴QD2， ∴PD＝22， ∴PD的最小值为22． 故选：C． 108．（2025春•安庆期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中正确的有（　　） ①CE＝CF ②DE＝EF ③AC⊥CG ④ A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N 点，如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形，四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， ∴DE＝EF，DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，故②正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠EDC+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝45°+45°＝90°，即∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ∵△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG， ∴，故④正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故①错误， 综上可知：②③④正确， 故选：D． 109．（2025春•青阳县期末）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP． （1）求证：AE＝CE； （2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长； （3）当时，求BP的长． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵∠PBC＝15°，EP⊥BD， ∴∠EBP＝30°，∠EPD＝45°＝∠EDP， ∴BP＝2EP，DE＝EP， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形ABCD的边长为x，则BC＝x，CP＝x﹣2， 由勾股定理得，B P2＝B C2+C P2，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形ABCD的边长为； （3）解：如图，作EF⊥AD于F，设EF＝x，AD＝y， ∵正方形ABCD， ∴BC＝CD＝AD＝y，∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴∠DEF＝45°＝∠ADB， ∴DF＝EF＝x， ∴AF＝y﹣x， 由勾股定理得，AF2+EF2＝AE2，即，整理得，y2﹣2xy+2x2＝6； 同理可得，，DP＝2x， ∴CP＝y﹣2x， 由勾股定理得，B P2＝B C2+C P2，即BP2＝y2+（y﹣2x）2＝2（y2﹣2xy+2x2）＝12， 解得，或（舍去）， ∴BP的长为． 考点36正方形的判定与性质（压轴）（共3小题） 110．（2025春•肥东县校级期末）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，D为AB的中点，四边形ACED为平行四边形，DE，BC相交于F，连接DC，BE． （1）试确定四边形BDCE的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDCE为正方形？请给予证明． 【解答】解：（1）四边形BDCE是矩形 理由如下， ∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴AD＝BD，CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵四边形ADEC为平行四边形， ．∴AD∥CE，AD＝CE， BD∥CE，BD＝CE， ∴四边形BDCE是平行四边形， 又∵∠BDC＝90°， ∴▱BDCE是矩形； （2）当∠ACB＝90°时，四边形BDCE为正方形， 证明：∵四边形ADEC为平行四边形， ∴DE∥AC， ∴∠BFD＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BFD＝90°， BC⊥DE， ∴矩形BDCE为正方形． 111．（2023春•阜阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF． （1）求证：△AEH≌△CGF． （2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C． 在△AEH与△CGF中， ， ∴△AEH≌△CGF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D． ∵AE＝CG，AH＝CF， ∴EB＝DG，HD＝BF． ∴△BEF≌△DGH（SAS）， ∴EF＝HG． 又∵△AEH≌△CGF， ∴EH＝GF． ∴四边形HEFG为平行四边形． ∴EH∥FG， ∴∠HEG＝∠FGE． ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG＝∠FEG， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴EF＝GF， ∴平行四边形EFGH是菱形， 又∵∠EFG＝90°， ∴菱形EFGH是正方形． ∴四边形EFGH是正方形． 112．（2024春•贵池区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6； （3）解：连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，AB∥CD， ∵F是AB中点， ∴AF＝FB， ∴DF， ∴正方形DEFG的面积DF2（）2． 考点37频数（率）分布直方图（中档）（共3小题） 113．（2025春•庐江县校级期末）有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数分布直方图，若组距定为7．则组数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：将数据适当分组，绘制成相应的频数分布直方图，若组距定为7： 93﹣21＝72， 72÷7＝10……2， ∴组数为10+1＝11， 故选：C． 114．（2025春•濉溪县期末）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【解答】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20， 则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：0.4． 故选：D． 115．（2025春•临泉县期末）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 16 C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 b （1）频数分布表中a＝　8　 ，b＝　　 ，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m＝　　 ，D所对应的扇形的圆心角度数是 　　 ． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【解答】解：（1）频数分布表中a＝8，b＝10， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：8，10； （2）∵m%100%＝20%， ∴m＝20， D所对应的扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°； 故答案为：20，72°； （3）600×20%＝120（人）， 答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120人． 考点38加权平均数（基础）（共3小题） 116．（2025春•安庆期末）某校举办了以“红心颂党恩，喜迎二十大”为主题的演讲比赛．已知某位选手在演讲内容、演讲结构、演讲表达三项的得分分别为94分，80分，90分，若依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（　　） A．85分 B．88分 C．89分 D．90分 【解答】解：由题意可得， 94×50%+80×30%+90×20% ＝47+24+18 ＝89（分）， 故选：C． 117．（2025春•庐江县校级期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 　　 分． 【解答】解：由题意，王立最后的成绩为（分）， 故答案为：94． 118．（2025春•安徽期末）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是90分、80分、80分．若将三项得分依次按2：5：3的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为　　 分． 【解答】解：小明的最终比赛成绩为（分）， 故答案为：82． 考点39 众数与中位数（中档）（共3小题） 119．（2025春•肥东县校级期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（　　） A．4.6 B．4.7 C．7 D．4.6或4.3 【解答】解：由表格中的数据可知，这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7． 故选：B． 120．（2024春•金寨县期末）《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（　　） A．90棵，120棵 B．100棵，100棵 C．120棵，100棵 D．100棵，120棵 【解答】解：将这8个数按从小到大的顺序排列为60，70，90，100，100，120，120，120，位于最中间的两个数分别为100，100， ∴这8个班级植树棵数的中位数为（棵）， ∵120出现的次数最多， ∴众数为120棵， 故选：D． 121．（2025春•全椒县期末）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是　　 ． 【解答】解：∵30，21，20，8，5中插入一个数x， 又∵数据共有6个数，20为其中中间的一个数， 中位数是19， ∴（20+x）÷2＝19， 解得x＝18． 故答案为：18． 122．（2025春•太和县期末）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生有 　　 人，图①中m的值是 　　 ； （2）本次调查获取样本数据的众数为 　　 元，中位数为 　　 元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生有4÷8%＝50（人），， 故答案为：50，32． （2）∵10元组16人，人数最多， ∴众数为10， ∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且4+16＜25，4+16+12＞26， ∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组， ∴中位数为15． 故答案为：10，15． （3）（人）， 答：该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人． 考点40方差（中档）（共3小题） 123．（2025春•阜阳校级期末）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【解答】解：根据方差、平均数的意义进行判断如下：甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定； 甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 124．（2025秋•埇桥区校级期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于　　 ． 【解答】解：这组数据的和为8×2＝16， 故答案为：16． 125．（2025秋•宿州期末）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加比赛．两校派出选手的比赛成绩如图所示． 根据以上信息．整理分析数据： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 85 85 B校 85 a b （1）a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）填空：（填“A校”或“B校”） ①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 　 ； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 　 ； ③从两校比赛成绩的方差的角度来比较，　 代表队选手成绩的方差较大． 【解答】解：（1）将B校5名选手的成绩重新排列为：70、75、80、100、100， 所以其中位数a＝80、众数b＝100， 故答案为：80、100； （2）①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是A校； ②从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是B校； ③[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70， [（70﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（100﹣85）2]＝160， ∴从两校比赛成绩的方差的角度来比较，B校代表队选手成绩的方差较大． 故答案为：A校、B校、B校． 考点41统计量的选择（中档）（共3小题） 126．（2025春•北川县期末）体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【解答】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的方差． 故选：D． 127．（2025春•甘南州期末）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 　 .（填“平均数”“中位数”或“众数”） 【解答】解：由题意可得：该学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数， 故答案为：中位数． 128．（2024春•青秀区校级期末）为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100 ∴a＝5，b91，c＝100； （2）估计成绩不低于9（0分）的人数是27001755（人）， 答：估计成绩不低于9（0分）的人数是1755人； （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是9（1分）， 众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多． 考点42离差平方和（中档）（共2小题） 129．（2026春•台州期中）某校生物小组的5名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：73，78，89，86，89，则下列说法中不正确的是（　　） A．种子发芽数的平均数是83 B．种子发芽数的中位数是89 C．种子发芽数的众数是89 D．种子发芽数的离差平方和为206 【解答】解：把这组数据从小到大排列为73，78，86，89，89，故中位数为86，即选项B说法不正确，符合题意； 种子发芽数的众数是89，故选项C说法正确，不符合题意； 种子发芽数的平均数是83，故选项A说法正确，不符合题意； 种子发芽数的离差平方和为：（73﹣83）2+（78﹣83）2+2×（89﹣83）2+（86﹣83）2＝206． 故选：B． 130．（2026春•杭州期中）一组数据1，2，3，4，5的方差计算式是S2（4）2+（5）2，下列说法中错误的是（　　） A．n＝5 B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，离差平方和不变 【解答】解：由方差的计算公式可知：数据的个数n＝5，故A选项说法正确，不符合题意； （1+2+3+4+5）＝3，故C选项说法正确，不符合题意； 数据的方差为s2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，故B选项说法错误，符合题意； ∵这组数据的平均数为3，若添加数据3，则这组数据的离差平方和不变，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 考点43四分位数和箱线图（中档）（共4小题） 131．（2026春•杭州期中）已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（　　） A．163 B．167 C．168 D．170 【解答】解：将这组数据重新排列为：158，161，163，163，167，168，169，170，170，175， 所以这组数据的下四分位数是163， 故选：A． 132．（2026春•东城区校级期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是　　 分． 【解答】解：由箱线图可知，下四分位数是6（8分）， 故答案为：68． 133．（2026春•鼓楼区校级期中）如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的下四分位数是　 　 ． 【解答】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：11． 134．（2026春•德化县校级期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70，，m75＝96； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $