第17章一元二次方程及其应用 期末综合复习训练题 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 覆盖一元二次方程定义、解法、根的性质及应用全模块，题型从基础判断到综合应用，逻辑链完整 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1|基础概念判断|从定义出发，明确一元二次方程要素| |解法应用|解答15(3小题)|直接开平方法、因式分解法、公式法训练|承接定义，掌握核心解法| |根的性质|单选5/解答16|含参数判别式、根与系数关系应用|深化方程根的特征分析| |实际应用|解答18-20|面积、动态几何、利润问题建模|综合知识解决生活问题，体现模型意识与应用意识|

2025-2026学年沪科版八年级数学下册《第17章一元二次方程及其应用》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方后，可化为（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．已知是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2026 B．2030 C．2034 D．2045 5．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 7．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，绵阳全市约有4万个充电桩，根据规划到2026年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知关于x的方程，若方程的一个根是1，则方程的另一个根是________． 9．若，是方程的两个根，则______________． 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 11．已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 12．在实数范围内定义一种新的运算“”,其规则为：,则方程的解为__________． 13．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 14．关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 三、解答题 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 18．某学校在迎新活动中打算利用26米长的墙为一边围出一块面积为300平方米的长方形活动区域，另外三边用48米长的塑料围栏，如图，为了方便学生进出，在两边各空出一个长为1米的出入口（出入口不用塑料围栏），假设这个长方形区域平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少？ 19．已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 20．综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 参考答案 1．解：对于选项A：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 对于选项B：方程含有分式，不是一元二次方程，故B错误； 对于选项C：当时，方程不是一元二次方程，故C错误； 对于选项D：整理，得，符合一元二次方程的定义，故D正确． 2．解：∵原方程为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 4．解：∵是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 则． 5．解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根． 6．解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 7．解：设从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为， 由题意得， ， 整理得. 解得，（增长率不能为负，舍去）. ∴年平均增长率为． 8．解：设方程的另一个根为t， 将代入方程得：， 解得， 根据根与系数的关系得， 解得，即方程的另一个根为2． 9．解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，， ． 10．解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 11．解： 因式分解得 解得 即长方形相邻两边的长分别为和 长方形周长为 12．解： ， 可化为， ， 整理得， 可得 或 ， 解得， ． 13．解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 14．解：由表格中的数据可知，当或时，代数式的值为0， ∴方程的解为或， 在中，令，则方程可变形为方程， ∴方程的解为或， ∴或， 解得． 15．（1）解：原方程， 移项得， 开方得， 即或， 解得，． （2）原方程， 移项得， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． （3）原方程， 方程两边同乘得， 这里，，， 计算得， 代入求根公式， 得， 即，． 16．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 17．（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 18．解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：， 即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 19．（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 20．（1）解：∵售价60元时销量200件，每降2元增10件， 每降1元，销量增5件， 降价元， 销量； （2）解：每件利润元，销量件，利润2500元，， 整理得， 解得， ， 舍去， 此时模型的实际售价为50元； （3）解：每售出一件捐赠5元， 每件实际利润为元， 假设利润能达到3800元，列方程：， 展开并整理得， ∵此方程中， ， ∴该一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的售价 ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 学科网（北京）股份有限公司 $